Un problema da discutere: un inganno con le percentuali

Il problema, tratto da [2], coinvolge solo concetti elementari e, in effetti, può essere proposto in una Scuola secondaria di I grado. Ma è facile sbagliare, anche per un matematico con una certa esperienza, perché la risposta corretta è decisamente poco intuitiva. Le percentuali riservano sempre qualche sorpresa (si veda anche [1]).

Intuitivamente è spontaneo un ragionamento del tipo seguente. All’inizio l’acqua costituisce il 99% dei cocomeri e quindi corrisponde a un peso di 99 kg; alla fine la percentuale dell’acqua è passata al 98% e quindi avremo 98 kg di acqua. Il resto è rimasto inalterato; in conclusione il peso finale è di 99 kg.

Tuttavia, basta una semplice verifica per rendersi conto che questo risultato è sbagliato.

Se avessimo 98 kg di acqua su un totale di 99 kg, allora la percentuale dell’acqua sarebbe di pochissimo inferiore al 99%: infatti, la divisione 98/99 dà come quoziente il numero periodico 0,989898… Forse, il risultato corretto risulta meno strano se facciamo riferimento alla parte dei cocomeri che non è acqua, credo si chiami residuo secco (o sostanza secca). Questo all’inizio era l'1 % e alla fine è il 2%, cioè è raddoppiato; quindi … Vediamo allora di risolvere il problema non cercando una soluzione intuitiva ma applicando i classici metodi dell’algebra elementare. Chiamiamo x il peso finale. Visto che il residuo secco è di 1 kg, il peso dell’acqua alla fine è di (x -1) kg; abbiamo così l’equazione Con semplicissimi calcoli, ricordando l’uguaglianza precedente, si trova ancora che x è uguale alla metà del peso iniziale dei cocomeri: dopo l’evaporazione il peso dei cocomeri si è ridotto alla metà.

Cerchiamo di visualizzare la situazione con una figura. Per rendere la figura più “leggibile”, suppongo che l’acqua iniziale sia il 90% dei cocomeri e che, dopo l’evaporazione si sia ridotta all'80%. Considero un rettangolo (che corrisponde alla partita di cocomeri) e indico il residuo secco con il colore, lasciando in grigio la parte che corrisponde all’acqua (figura 1).

figura 1

La parte grigia è il 90% dell’intero rettangolo. Quanto si deve tagliare a sinistra se vogliamo che, ferma restando la parte colorata, la parte grigia sia l'80% del totale? figura 2 0 9 10

Guardando con attenzione la figura 2, è abbastanza chiaro che il taglio a sinistra di una piccola fetta del rettangolo non altera in maniera significativa il rapporto fra la parte colorata e l’intero rettangolo; invece la linea tratteggiata, che dimezza il rettangolo, risponde alla richiesta.

Per capire meglio il legame fra le varie quantità in gioco, indichiamo con A la riduzione dell’acqua in punti percentuali (nel problema proposto A = 1) e con P il peso finale in kg dei cocomeri. È chiaro che:

per A = 0 (in assenza di evaporazione) si ha P = 100, mentre per A = 99 (tutta l’acqua è evaporata) si ha P = 1.

Le due righe precedenti potrebbero erroneamente far supporre che P = 100  A (e nel caso A = 1 si troverebbe davvero P = 99). Con calcoli analoghi a quelli visti si trova invece

Così, per A = 1 si ottiene P = 50.

Concludo proponendo due problemi del tutto analoghi.

Nel primo caso, ambientato in un contesto molto diverso, considero volutamente numeri piccoli, che permettano semplici verifiche. Anche in questo caso è probabile che la prima risposta sia sbagliata, ma basta un po’ di riflessione per ottenere la risposta corretta.

Una classe di 30 studenti è formata da maschi per i 2/3.

This content is AI-processed based on open access ArXiv data.