Note sur Les Representations Quasi-Conformes

En cartographie mathématique, on a étudié les représentations de la sphère avec les variables (L M , λ) ou celles de l'ellipsoide de révolution avec les coordonnées (L, λ) vers le plan (X, Y ) avec :

avec :

1 + e sin ϕ 1 -e sin ϕ latitude isométrique (4)

En posant :

on a considéré les représentations conformes (c’est-à-dire qui conservent les angles) ou encore définie par :

avec Z(z) une fonction dite holomorphe de z soit :

où z est le conjugé de z soit z = L -iλ.

Définition : Une fonction f (z) = Z = Z(z) définie et dérivable sur un domaine D ⊂ C(l’ensemble des nombres complexes) est dite quasi-conforme si elle vérifie :

|z| désigne le module du nombre complexe z. Le coefficient µ s’appelle coefficient de Beltrami.

Soit f une fonction quasi-conforme et un point z 0 ∈ D. Ecrivons un développement de f au point z 0 . On a alors :

Par un changement de variable, on peut prendre z 0 = 0, d’où :

Utilisant (10), l’équation précédente s’écrit en négligeant les termes du deuxième degré :

où α, β, γ des constantes complexes avec :

3 Etude de la Transformée d’un cercle

On sait que pour une transformation conforme, l’image d’un cercle autour d’un point est un cercle (ou encore l’indicatrice de Tissot est un cercle). Soit un point z 0 qu’on peut prendre égal à 0. Par un changement de l’origine des axes, la fonction f s’écrit :

Par abus, on garde la même notation. On considère autour de l’origine z 0 = 0 un point M (x = a. cos θ, y = a. sin θ) qui décrit un cercle infiniment petit de rayon a. Etudions son image par f .

De l’équation précédente, on a :

Si

Maintenant prenons

en tenant compte que |µ| < 1.

Des équations (21,23) et ( 25), on déduit que l’image de M décrit une ellipse de grand-demi axe et demi-petit axe respectivement :

On appelle :

coefficient de distortion ou de dilatation. Un élément de longueur sur le plan est donné par :

Comme df = βdz + γdz et d f = βdz + γdz, on alors :

Le carré du module linéaire de la transformation quasi-conforme s’écrit :

Dans l’équation (32), considérons z = ae iθ varie le long d’un cercle de rayon a infiniment petit et faisons tendre θ -→ 2π. Alors, on obtient :

L’équation (32) devient :

Comme : γ = µβ on obtient :

or µ + μ = 2|µ| cos arg µ, par suite l’équation (36) s’écrit :

Remplaçant β par ∂f ∂z (z 0 ), (37) devient :

5 Exemple de Transformation Quasi-conforme Lors de passage de coordonnées planes (X, Y ) i d’un système géodésique S 1 à des coordonnées planes (X ′ , Y ′ ) j dans un autre système géodésique S 2 , on utilise souvent une transformation du type :

ou encore sous forme matricielle :

En posant Z = X ′ + iY ′ et z = X + iY , on obtient :

Posons :

, alors l’équation (42) s’écrit :

Posons :

Alors (44) s’écrit : 2. L. Bers : Quasiconformal mappings, with applications to differential equations, function theory and topology. American Mathematical Society Bulletin, vol 83 , no 6, pp 1083Bulletin, vol 83 , no 6, pp -1100Bulletin, vol 83 , no 6, pp ,1977. .

This content is AI-processed based on open access ArXiv data.