Title: Detrended cross-correlations and their random matrix limit: an example from the cryptocurrency market
ArXiv ID: 2512.06473
발행일: 2025-12-06
저자: Stanisław Drożdż, Paweł Jarosz, Jarosław Kwapień, Maria Skupień, Marcin Wątorek
📝 초록 (Abstract)
복잡계에서의 상관관계는 비정상성, 장기 기억, 그리고 헤비테일 변동성에 의해 가려지는 경우가 많아 전통적인 공분산 기반 분석의 활용도가 제한된다. 이를 극복하기 위해 우리는 다양한 진폭의 변동을 선택적으로 강조하는 다중프랙탈 비정상 교차상관계수 ρ r을 이용해 규모와 변동에 의존하는 상관행렬을 구성한다. 이러한 비정상화된 상관행렬의 스펙트럼 특성을 조사하고, 동일한 방식으로 합성된 가우시안 및 q‑가우시안 신호로부터 얻은 행렬의 스펙트럼과 비교한다. 결과는 비정상화, 헤비테일, 그리고 변동 차수 매개변수 r이 결합될 때, 실제 교차상관이 존재하지 않더라도 무작위 경우와 크게 다른 스펙트럼을 만든다는 것을 보여준다. 이 프레임워크를 2021‑2024년 기간의 1분 단위 140개 주요 암호화폐 수익률에 적용한 결과, 분석 스케일과 변동 차수에 따라 강도가 변하는 지배적인 시장 요인과 여러 섹터 구성요소를 포함한 견고한 집합적 모드가 드러났다. 시장 요인을 제거한 뒤, 경험적 고유값 벌크는 무작위 비정상 교차상관의 한계와 매우 근접하여 구조적으로 의미 있는 이상값을 명확히 식별할 수 있었다. 전반적으로 본 연구는 비정상 교차상관에 대한 정교한 스펙트럼 기준을 제공하고, 복잡하고 비정상이며 헤비테일을 갖는 시스템에서 진정한 상호 의존성을 잡음으로부터 구분하는 유망한 도구를 제시한다.
💡 논문 핵심 해설 (Deep Analysis)
본 논문은 복잡계 분석에서 흔히 마주치는 세 가지 핵심 난제—비정상성, 장기 의존성(롱 메모리), 그리고 헤비테일 분포—를 동시에 고려한 새로운 상관행렬 구축 방법을 제시한다는 점에서 학문적 의의가 크다. 기존의 공분산 행렬은 평균과 분산을 전제로 하여 비정상적인 트렌드나 비선형 변동을 제대로 포착하지 못한다. 저자들은 다중프랙탈 비정상 교차상관계수 ρ r을 도입함으로써, 시계열을 다중스케일로 분해하고 각 스케일에서 특정 진폭 범위의 변동만을 강조하도록 설계하였다. 여기서 r은 변동의 크기를 조절하는 차수 매개변수로, r > 0이면 큰 변동(극단값)에, r < 0이면 작은 변동에 가중치를 부여한다. 이러한 접근은 금융 데이터와 같이 급격한 충격이 빈번히 발생하는 환경에서 특히 유용하다.
스펙트럼 분석 측면에서는, 무작위 행렬 이론(Random Matrix Theory, RMT)과 비교하여 비정상화, 헤비테일, r 파라미터가 어떻게 고유값 분포를 왜곡시키는지를 정량적으로 보여준다. 합성된 가우시안 및 q‑가우시안 신호를 이용한 실험 결과, 교차상관이 전혀 없음에도 불구하고 고유값이 RMT의 마르첸코–포아소(또는 위르카) 경계 밖으로 튀어나오는 현상이 관찰되었다. 이는 기존 RMT 기반의 ‘노이즈와 신호 구분’ 기준이 비정상·헤비테일 데이터에 그대로 적용될 수 없음을 시사한다.
실제 데이터 적용에서는 2021‑2024년 1분 단위 140개 암호화폐 수익률을 분석하였다. 결과는 전통적인 시장 요인 외에도, 특정 스케일(예: 일간·주간)과 변동 차수(r)에 따라 두드러지는 섹터별 모드가 존재함을 밝혀냈다. 특히 r을 크게 설정하면 급격한 가격 변동에 민감한 ‘극단 변동 모드’가 강조되고, r을 음수로 설정하면 일상적인 소규모 변동에 기반한 미세한 구조가 드러난다. 시장 요인을 제거한 뒤 고유값 벌크가 무작위 비정상 교차상관의 이론적 한계와 일치한다는 점은, 이 방법이 실제 ‘노이즈’와 ‘실제 상관관계’를 효과적으로 분리한다는 강력한 증거다.
한계점으로는 ρ r 계산 시 윈도우 길이와 다중프랙탈 차분(order) 선택이 결과에 민감하게 작용한다는 점, 그리고 q‑가우시안 모델이 실제 암호화폐 수익률의 복잡한 비대칭성(예: 스큐)을 완전히 반영하지 못한다는 점을 들 수 있다. 향후 연구에서는 비대칭 α‑스테이블 분포나 비선형 상호작용 모델을 도입해 보다 현실적인 베이스라인을 구축하고, 실시간 포트폴리오 최적화에 적용해 보는 것이 바람직하다.
📄 논문 본문 발췌 (Excerpt)
## 다중프랙탈 비정상 시계열의 차원별 상관행렬 스펙트럼 분석 및 암호화폐 시장 적용 (전문 한국어 번역)
본 연구는 복잡 시스템의 구성 요소 간의 상관관계가 집단 역학의 이해에 핵심적인 역할을 한다는 전제에서 출발한다. 금융 [2][3][4], 기후학 [5][6][7][8], 분자 및 생물학적 시스템 [9, 10]부터 신경과학 [11][12][13]과 물리학 [14]까지 다양한 분야에서 상관 행렬은 간변성을 정량화하기 위한 핵심 도구로 활용된다. 실제 데이터에 비정상성과 장기 의존성이 존재할 경우 허위 상관이 발생하기 쉬워 전통적인 공분산 기반 분석에 한계가 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해, DCCA (Detrended Cross-Correlation Analysis) [18]와 그 일반화 [19][20][21]가 비정상 신호의 전력법 교차 상관관계량을 정량화하는 강력한 방법으로 개발되었다.
금융 시장에서는 상관 분석 방법이 널리 사용된다. 이러한 방법은 주식 시장 [22][23][24][25][26][27][28][29], 외환 [30][31][32][33][34], 암호화폐 [35][36][37][38][39][40][41][42][43][44], 심지어 NFT 토큰 [45]에도 성공적으로 적용되었다. 이러한 방법은 거래, 위험 관리 및 포트폴리오 최적화에 유용하다 [40, 41].
본 연구에서는 DCCA에서 사용되는 상관 계수 행렬의 스펙트럼 특성을 연구한다. 전통적인 상관 행렬 이론에서, Marčenko-Pastur 분포는 독립 및 동일 분포된 무작위 변수의 고유값 밀도를 위한 가설로 제공된다. 그러나 행렬 요소가 DCCA에서 계산된 교차 상관 계수로 구성될 경우 통계 구조가 M-P 프레임워크의 가정과 크게 다를 수 있다.
따라서, 우리는 DCCA에서 유도된 행렬의 고유값 스펙트럼을 조사한다. 일반적인 상관 행렬 이론에서, Marčenko-Pastur 분포는 무작위 행렬의 고유값 밀도를 위한 null 가설로 제공된다. 그러나 DCCA를 통해 계산된 행렬 요소는 독립적인 무작위 변수와는 다른 통계적 구조를 가질 수 있다. 이러한 행렬의 통계적 구조는 고전적인 무작위 행렬의 한계를 직접적으로 적용하기 어렵게 만든다.
따라서, 우리는 DCCA에서 생성된 상관 행렬의 고유값 스펙트럼을 분석하기 위해 합성 시계열 데이터를 사용하여 eigenvalue 스펙트럼의 적절한 null 가설을 확립하고 복잡한 시스템의 집단 역학에 대한 정보 흐름을 정량화하는 정교한 프레임워크를 제공한다.
실제 암호화폐 시장 데이터를 분석하기 위해, 우리는 가장 유동성이 높은 140개의 암호화폐를 Binance 거래소에서 수집한다 [55]. 암호화폐 시장은 비정상성, 강한 상관관계, 그리고 다양한 거래 활동과 자본금 규모로 인해 독특한 분석 대상이다. 가격 변동은 변동성 클러스터링 [57][58][59][60][61][62][63][64], 프랙탈 스케일링 [65][66][67][68][69][70][71][72]과 같은 복잡한 시간 구조를 보인다. 또한, 암호화폐의 가격 변동은 다른 금융 시장과의 외부 영향 [58], 그리고 정치적 충격 [81][82][83][84]이나 소셜 미디어 영향 [85, 86]에 민감하게 반응한다.
DCCA를 사용하여 여러 시간 규모 s에 걸쳐 시계열 데이터를 분할하고 각 창에서 최적의 다항식 P(m)ν로 각 창을 디트렌드한 후, 각 디트렌드된 시계열에 대해 상관 행렬 ρ r(s)를 계산한다. 이 과정을 모든 시계열에 대해 반복하여 DCCA 상관 행렬 ρ r(s)를 생성한다. 스펙트럼 특성을 분석하기 위해, 고유값 문제를 해결하여 고유값 λi를 정렬한다.
행렬의 대칭성과 공분산 행렬의 특성 덕분에, 상관 계수 ρij r(s)는 -1 ≤ ρij r(s) ≤ 1의 범위 내에서 해석이 용이하다. 이러한 상관 계수는 Pearson 상관 계수와 유사한 특성을 가지지만, r > 0일 경우에만 유효하다. r을 조정함으로써 특정 범위의 변동성 기여도를 강조할 수 있다. r > 2인 경우 큰 변동성 기여도가 강조되고, r < 2인 경우 작은 변동성 기여도가 강조된다.
상관 행렬 ρr(s)는 다음과 같이 구성된다:
전체 절차는 다양한 시간 규모 s에 대해 이 과정을 반복하여 상관 행렬을 생성하는 것으로 마무리된다.
스펙트럼 특성을 결정하기 위해, 고유값 문제의 해를 찾는다:
고유값 λi의 순서는 λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λN으로 정렬된다. 상관 행렬 ρr은 실수 값을 가지지만, 이 행렬은 반드시 양의 반정방 행렬이 아니다. 먼저, r = 2인 단순한 경우를 고려해보자:
위 식에서 Xν는 데이터 행렬로, 각 창 ν에 대해 생성된 시계열 데이터의 집합이며, X는 전체 시계열 데이터 (간단히 말해 길이 T가 여러 s의 배수인 경우)에 해당하는 데이터 행렬이다. X의 스케일 의존성은 디트렌드된 신호의 더 큰 추세를 반영한다. 따라서, [•] •n은 n개의 행렬의 요소 지능을 의미하며, 이 연산은 양의 반정방 특성을 보존한다 (Schur 정리 [88]).
r = 2n인 경우 (n ∈ N), 이러한 연산은 양의 반정방 특성을 유지하지만, r이 2보다 큰 다른 값일 경우 양의 반정방 특성을 보장하기 위해 조건 r/2 ≥ N - 2를 충족해야 한다 (Fitzgerald-Horn 정리 [89]). 그렇지 않으면, 이 행렬은 일부 음의 고유값을 가질 수 있으며, 이러한 고유값이 비음수인 경우에도 스펙트럼이 비양성일 수 있다.
