Title: Nonlinear FM Waveform Design to Reduction of sidelobe level in Autocorrelation Function
ArXiv ID: 1612.08023
발행일: 2016-12-26
저자: Roohollah Ghavamirad, Hossein Babashah, Mohammad Ali Sebt
📝 초록 (Abstract)
본 논문에서는 펄스 압축 기술에서 사용되는 비선형 주파수 변조(NLFM) 파형이 제공하는 이점을 분석하고, 네 가지 다른 창 함수(체비셰프, 카이저, 테일러, 리프트 코사인)를 이용하여 자동상관함수(ACF) 내의 사이드로브 수준을 감소시키는 방법에 대해 논의한다. 각 창 함수가 제공하는 성능을 비교하고, 그룹 시간 지연 함수와 파동 스펙트럼 밀도(PSD) 관계를 이용하여 NLFM 신호 설계 과정을 설명한다.
💡 논문 핵심 해설 (Deep Analysis)
본 논문은 펄스 압축 기술에서 사용되는 비선형 주파수 변조(NLFM) 파형의 이점을 분석하고, 네 가지 창 함수를 이용하여 자동상관함수(ACF) 내의 사이드로브 수준을 감소시키는 방법에 대해 심도 있게 논의한다. 펄스 압축 기술은 레이더 시스템에서 주로 사용되며, 신호 대 잡음 비(SNR)를 높이고 탐지 정확도를 개선하는 데 중요한 역할을 한다.
NLFM 파형의 이점
NLFM 파형은 LFM(선형 주파수 변조)에 비해 여러 가지 장점을 제공한다. 특히, 신호 대 잡음 비(SNR)가 높아지고, 전송기 구현이 용이하며, ACF 내의 사이드로브 수준이 감소한다는 점에서 LFM보다 우월하다.
창 함수의 선택 및 성능
본 논문에서는 네 가지 창 함수(체비셰프, 카이저, 테일러, 리프트 코사인)를 이용하여 NLFM 신호 설계 과정을 분석한다. 각 창 함수는 ACF 내의 사이드로브 수준 감소에 영향을 미치며, 이들 중 첫 번째 순서 Taylor 창과 Raised cosine 창이 Chebyshev 및 Kaiser 창보다 더 우수한 성능을 보인다.
체비셰프 창: 최적의 Dolph-Chebyshev 창 변환은 닫힌 형태로 표현되며, 창 길이와 사이드로브 노름(Chebyshev norm)을 결정하는 매개변수를 사용한다.
카이저 창: Bessel 함수를 이용하여 DPSS(분산 프로라트 구형 시퀀스) 창을 근사화하며, 이는 복잡한 수학적 표현을 필요로 한다.
테일러 창: 가중 함수 방정식은 m번째 주문의 테일러 계수를 사용하여 작성되며, 주요 로브와 사이드로브 레벨의 비율 및 동일한 레벨에서의 사이드로브 수를 나타낸다.
리프트 코사인 창: 이 창 함수는 NLFM 신호 설계에 사용되며, 두 번째 순미분 항에 초점을 맞춘 추가적인 작업이 필요하다.
그룹 시간 지연 함수와 PSD 관계
그룹 시간 지연 함수와 파동 스펙트럼 밀도(PSD) 관계는 NLFM 신호 설계 과정에서 중요한 역할을 한다. 이들 관계를 통해 창 함수의 성능을 평가하고, 사이드로브 수준 감소 효과를 분석한다.
그룹 시간 지연 함수: 주파수 영역에서 그룹 시간 지연 함수는 적분과 경계 조건을 적용하여 유도된다. 이 함수는 복잡한 형태를 가지며, 닫힌 형태로 표현되지 않는다.
PSD 관계: 사이드로브 감소 문제는 PSD 관계를 통해 표현되며, 여기서 k는 사이드로브 레벨을 조절하는 상수이고 M은 창 길이를 나타낸다.
시뮬레이션 및 결과 분석
본 논문에서는 다양한 창 함수를 사용한 NLFM 신호의 성능을 비교한다. 특히, 첫 번째 순서 Taylor 창과 Raised cosine 창은 Chebyshev 및 Kaiser 창보다 더 우수한 사이드로브 감소 효과를 보인다.
NLFM vs LFM: NLFM 신호는 LFM 신호에 비해 더욱 높은 사이드로브 수준 감소 효과를 제공한다.
오차 분석: SPC(정역 단계 개념)는 근사 관계를 기반으로 하므로, 오차 최적화 기법을 사용하여 오차 비율을 줄일 수 있다.
결론
본 논문의 결과에 따르면, NLFM 신호의 사이드로브 수준 감소는 주요 로브 너비 확대로 이어지지만, 이는 사이드로브 수준에 비해 미미하다. 첫 번째 순서 Taylor 창과 Raised cosine 창은 Chebyshev 및 Kaiser 창보다 더 우수한 성능을 보이며, SPC의 근사 관계는 낮은 오차 비율을 제공한다.
본 논문은 NLFM 신호 설계에서 창 함수 선택의 중요성을 강조하며, 향후 연구에서는 더욱 정교한 창 함수 설계와 그룹 시간 지연 함수 및 PSD 관계를 이용한 성능 최적화에 대한 추가적인 연구가 필요하다.
📄 논문 본문 발췌 (Excerpt)
## 펄스 압축과 NLFM 파형의 장점 및 창 함수 분석
펄스 압축 기술에서 NLFM (비선형 주파수 변조) 파형은 다음과 같은 여러 이점을 제공합니다: 높은 신호 대 잡음 비, 상수 주파수 편집을 가진 전송기의 용이한 구현 가능성, 그리고 LFM (선형 주파수 변조) 방법에 비해 자동상관함수(ACF) 내 사이드로브 수준의 더 큰 감소 [1][2][3][4][5][6][7].
본 논문에서는 네 가지 다른 창 함수에 따른 피크 사이드로브 수준의 변화에 대해 분석합니다. 사이드로브 수준을 줄이기 위해, 자동상관함수의 역 푸리에 변환인 권위 스펙트럼 밀도(PSD)를 형성하는 것이 가능합니다 [8][9]. 이를 달성하기 위해, 체비셰프, 카이저, 테일러 및 리프트 코사인 창 함수가 네 가지 원하는 PSD로 고려되었습니다. 이후 스테이션리 단계 개념(SPC)을 사용하여 주파수 영역에서 그룹 시간 지연 함수를 계산했습니다. 이는 PSD 함수의 적분과 경계 조건 적용을 통해 이루어졌습니다 [10]. 그룹 시간 지연의 역 함수를 계산하여 시간 영역에서의 주파수 함수를 얻었습니다. 시뮬레이션을 통해 얻은 자동상관함수 결과는 모든 창 함수에 대해 제시되었으며, 사이드로브 수준과 메인로브 폭 간의 비교가 이루어졌습니다.
사이드로브 수준이 감소함에 따라 메인로브 폭은 증가하는 경향이 있습니다 [11][12]. 이는 대상 탐지 정확도에 부정적인 영향을 미칠 수 있습니다. 따라서 본 논문에서는 이러한 정확도를 유지하기 위한 최적 조건을 논의합니다. 또한, 결과 PSD 플롯과 원하는 PSD 플롯의 비교를 통해 오차 백분율을 계산했습니다. SPC가 이 오류의 잠재적 원인이라는 점을 언급해야 합니다. 이는 SPC가 근사 관계를 기반으로 하기 때문입니다.
본 논문의 나머지 부분은 다음과 같이 구성됩니다: NLFM 신호는 네 가지 다른 창 함수를 사용하여 제2절에서 설계됩니다. 제3절에서는 시뮬레이션 결과를 논의하고, 제4절에서 결론을 내립니다.
SPC를 NLFM에 적용한 초기 연구는 1964년 포울(Fowle) [8]에 의해 수행되었습니다. NLFM 신호를 설계하기 위해, 저주파 신호인 𝑥(𝑡)를 고려합니다:
(1) 𝑥(𝑡) = 𝑎(𝑡)exp(𝑗𝜑(𝑡))
여기서 𝑎(𝑡)와 𝜑(𝑡)는 신호의 진폭과 위상입니다. 시간에 따른 즉시 주파수 𝑓ₘ은 위상의 시간 미분으로 정의됩니다:
(2) 𝑓ₘ = 1/2π
Fourier 변환 𝑋(𝑓)를 𝑥(𝑡)에 적용합니다. SPC에 따르면, 특정 주파수에서의 PSD는 해당 시점의 주파수 변화율이 상대적으로 작을 때 크기가 큽니다. 따라서 PSD와 주파수 변화의 관계는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
식 (3)에서 PSD가 위상의 두 번째 시간 미분에 반비례하고 진폭에 직접 비례한다는 것이 명확해집니다. LFM 신호에서는 주파수가 시간에 대해 선형적으로 변하므로, 위상의 두 번째 시간 미분은 상수이며 PSD는 진폭에 의존합니다. NLFM 접근 방식에서는 신호의 진폭이 상수 (𝑎(𝑡) = 𝐴, A는 상수)로 가정되고, PSD는 위상의 두 번째 순미분에 의존합니다. 𝑋²(𝑓)를 원하는 PSD 𝑍²(𝑓)로 설정하면, 𝑍²(𝑓)는 오직 위상 𝑥(𝑡)의 두 번째 미분에만 의존하게 됩니다. 식 (3)은 주파수 영역에서 다음과 같이 재표현됩니다:
밴드폭 𝐵로 나누면, 위상의 첫 번째 미분 𝛷’(𝑓)는 두 번째 미분 𝛷’’(𝑓)의 적분을 통해 얻을 수 있으며, 이는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
그룹 시간 지연 함수 𝑇𝑔(𝑓)는 다음과 같이 정의됩니다:
식 (6)을 식 (5)에 대입하면:
여기서 𝑘₁과 𝑘₂는 그룹 시간 지연 함수의 경계 조건을 만족하기 위해 결정되는 상수입니다. 신호 펄스 폭이 T일 경우, 그룹 시간 지연 함수의 경계 조건은 다음과 같이 작성됩니다:
