금융시장의 이상파: 복잡한 변동성과 옵션가격 모델을 통한 분석

프리크 파도, 즉 이상파라는 용어는 드레이퍼 [1, 2]에 의해 과학계에 처음 소개되었습니다. 프리크 파도는 비선형성과 산란이 파동의 전파 과정에서 상호작용하여 발생하는 거대한 파도, 괴물 파도, 살인 파도, 극한 파도, 이상 파도, 거대한 파도 등으로 불리며, 특정 임계값을 초과하는 파동 높이로 정의됩니다. 일반적으로 프리크 파도로 간주되려면 파고 H (파저에서 정점까지의 거리) 또는 정점 높이 ηc (평균 해수면에서 정점까지의 거리)가 의미파 높이 Hs의 2배 이상이거나 1.5배 이상이어야 합니다 [2].

프리크 파도는 비선형 과학 분야의 여러 영역에서 특별한 관심의 대상이 되어왔습니다. 예를 들어, 해양학 [2][3][4][5][6][7], 비선형 광학 [8][9][10][11][12][13][14][15][16], 보스-아인슈타인 응집 [17, 18], 대기과학 [19], 심지어 금융 [20] 분야에서 연구가 이루어졌습니다. 퍼기레그 네르(Nonlinear Schrödinger, NLS) 방정식의 1차 이성질 해는 페레그린 [21]에 의해 발견되어 프리크 파도 현상을 설명하는데 사용되었습니다. 이 해는 마 브레이더의 한계 사례로 볼 수 있으며, 호메디예브 브레이더로 간주될 수도 있습니다 [22, 24].

최근에는 다중 프리크 파도 해가 변형된 Darboux 변환을 기반으로 NLS 방정식에 대해서도 발견되었습니다 [11, 12]. 또한 비자율적인 프리크 파도 해는 변계 계수가 있는 일반화된 NLS 방정식에 대해 1차원 공간 [15, 16] 및 3차원 공간 [18]에서 유사성 분석 아이디어를 기반으로 발견되었습니다. ‘프리크 (이상) 파도’가 상호작용 후 크기와 형태에 거의 영향을 받지 않고 재현될 경우 ‘로곤 (이상파)‘이라고 불립니다 [15]. 비선형 광학에서는 두 가지 비선형 광학 모델, 즉 고차 NLS 방정식 [9] 및 NLS 방정식 [10]을 기반으로 광학적 프리크 파도가 관찰되었습니다. 또한 연구자들은 광학적 프리크 파도가 비선형 시스템에 대한 최적의 제어를 최소한의 노력으로 가능하게 하며, 초안정적인 슈퍼컨티뉴엄을 생성할 수 있음을 확인했습니다 [9].

유명한 블랙-쇼לס (Black-Scholes-Merton) 옵션 가격 모델 [25, 26]는 주식 가격 S에 대한 지수형 콜 옵션의 가치를 계산하기 위해 기하 브라운 운동 (확률 미분 방정식) dS = μSdt + σdW(t) 및 이토 정리를 기반으로 개발되었습니다. 여기서 C(S, t)는 시간 t에서의 자산 가격 S에 대한 유럽식 콜 옵션 가치, μ는 즉시 반환율, σ는 주식 변동성, W는 위너 과정, r은 무위험 이자율입니다. 이 모델은 금융 수학 또는 금융 공학 분야에서 많은 관심을 받았으며 새로운 연구 영역을 개척했습니다. 블랙-쇼לס 모델은 유럽식 옵션 가격 책정에 널리 사용될 수 있지만, 미국식 옵션이나 아시아식 옵션의 가격 책정에는 사용할 수 없습니다. 이는 행사 조건이나 경로 의존성을 포함하지 못하기 때문입니다 [28][29][30].

최근에는 현대적 적응 시장 가설, 엘리엇 파동 시장 이론 및 양자 신경 계산 접근 방식을 기반으로 이반체비치가 효율적이고 행동하는 시장을 만족시키며 그들의 본질적인 비선형 복잡성을 포착하기 위한 새로운 비선형 옵션 가격 모델 (이반체비치 옵션 가격 모델)을 제시했습니다 [36]. 여기서 ψ(S, t)는 옵션 가격 파동 함수이며, 산란 주파수 계수 σ는 변동성 (상수 또는 자체적으로 확률 과정일 수 있음)을 나타내고, 랜드코 효율 시장 계수 β = β(r, w)는 적응 시장 잠재력을 나타냅니다.

금융 로그파일(Rogue Wave)에 대한 연구: 적응형 모델의 다중 로그파일 솔루션

본문은 Ivancevic 옵션 가격 책정 모델의 적응형 특성을 활용하여 금융 시장의 로그파일 현상을 설명하는 연구를 제시합니다. 먼저, 주기적인 파동 해가 존재하는 방정식 (2)에 대한 연구 결과를 언급하며, 최근 두 개의 금융 로그파일 솔루션을 도출하고 그 역학을 시각화했습니다 [20]. 이러한 솔루션은 1997년 아시아 금융 위기와 현재 글로벌 금융 위기와 같은 실제 금융 위기/폭풍을 설명하는 데 도움이 될 수 있습니다.

또한, 제어된 이산성을 포함하는 적응형 Ivancevic 옵션 가격 책정 모델 (2)를 개발하기 위해, 적응형, 대칭적으로 결합된 변동성과 옵션 가격 책정 모델 (이자율 r과 헤비안 학습률 c를 포함)이 제안되었습니다 [36, 37]. 이 모델은 양방향 공간-시간 연관 기억을 나타냅니다.

본 연구에서는 결합된 비선형 모델의 금융 로그파일을 탐구하고자 합니다. 제어된 이산성을 적응형 파동 모델 (2)에 도입함으로써, Ivancevic은 결합된 비선형 변동성과 옵션 가격 책정 모델을 제시했습니다 [36, 37]:

i ∂σ(S, t) ∂t = -1/2 σ(S, t)² + … (3a) ii ∂ψ(S, t) ∂t = … (3b)

여기서 ψ(S, t)는 옵션 가격 파동 함수로, 변동성 모델 (3a)에서 비선형 계수를 나타내고, σ(S, t)는 변동성 파동 함수로, 옵션 가격 책정 모델 (3b)에서 비선형 계수를 나타냅니다. 두 과정은 공통의 자기 조직화 시장 열 잠재력에 따라 진화하므로, 가상 금융 시장의 적응 제어 브라운 행동으로 효과적으로 표현됩니다.

(3a)와 (3b)에 w-학습이 내장되지 않은 경우 (즉, 상수 β = r로 설정), 단독 파동 해가 존재함을 보였습니다 [36].

저희는 (3a)와 (3b)의 분석적 금융 로그파일에 대한 이전 보고가 없음을 확인했습니다. 따라서, 저희는 (3a)와 (3b)에 w-학습이 내장되지 않은 두 구성 요소의 금융 로그파일 솔루션을 탐구하고자 합니다. 이러한 솔루션은 1997년 아시아 금융 위기와 현재 글로벌 금융 위기와 같은 발생한 금융 위/폭풍의 메커니즘 설명을 위한 중요한 역할을 할 수 있습니다.

복잡한 분석 및 접근법을 [11, 12, 15, 18, 20]에 따라, (3a)와 (3b)에 w-학습이 내장되지 않은 결합된 비선형 변동성과 옵션 가격 책정 모델도 로그파일 현상을 보이는 다중 로그파일 솔루션을 가집니다. 아래는 (3a)와 (3b)에 w-학습이 내장되지 않은 두 가지 대표적인 금융 로그파일 솔루션입니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…