소형 점프: 부정 UTM 트램폴린

1. 서론

본 논문은 고정점과 고정점 없는 영역의 개념을 이용하여 복잡성 클래스를 분할합니다. 결정 가능한 결정적 튜링 머신(DTM)은 부정의 조합론을 통해 추가 자원 없이 고정점 없는 특성을 가집니다. 반면, 보편적 튜링 머신(UTM)은 조합론에서 일부 고정점을 만듭니다. 이는 UTM이 더 복잡한 문제를 생성함으로써 고정점 없는 조합론 시스템에서 벗어날 수 있음을 의미합니다.

구체적인 예로, L ≠ P임을 증명합니다. 다항 시간 UTM은 로그 공간 DTM(LDTM)을 모두 에뮬레이션할 수 있으므로, LDTM 집합은 부정에 대해 닫히지 않습니다. (이 정리는 정지 문제와 시간/공간 계층 구조 정리와 유사한 방식으로 증명될 수 있으며, 또한 이 증명을 확장하여 시간/공간 제한이 있는 DTM 집합에도 적용할 수 있습니다.) 마찬가지로, P ≠ NP임을 증명합니다. 이는 UTM과 부정을 활용한 새로운 계층 구조를 나타냅니다.

2. L ≠ P

정의 1. “DTM"은 결정적 결정적 튜링 머신 집합으로 정의됩니다. “LDTM"은 로그 공간 DTM 집합입니다. “pDTM"은 다항 시간 DTM 집합이고, “⃝DTM"은 시간 또는 공간이 제한된 DTM 집합입니다. “UTM"은 보편적 튜링 머신 집합이며, “UTM(C)“는 C의 모든 DTM을 에뮬레이션할 수 있는 최소한의 UTM입니다. ⟨M⟩은 UTM이 M ∈ DTM을 에뮬레이션하는 코드 번호를 나타냅니다. 즉, ∀w [U (⟨M⟩, w) = M(w)] 및 U (⟨M⟩) = M입니다. “부정(C)“는 C를 포함하는 최소한의 부정 시스템으로 정의됩니다. 즉, ∀C [(C ⊂ 부정(C)) ∧ (∀c ∈ 부정(C) [¬c ∈ 부정(C)])].

정리 2. ∀r ∈ ⃝DTM (¬r ∈ ⃝DTM)

증명. DTM의 구조상 명백합니다. 만약 DTM이 M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, q1, q2)라면, 이 이중 머신은 M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, q2, q1)로 표현됩니다. 이는 부정을 추가 자원 없이 계산할 수 있습니다. 따라서 ⃝DTM의 부정은 또한 ⃝DTM에 속합니다.

정리 3. ∃U ∈ UTM(LDTM) [U ∈ pDTM]

증명. 일부 U’ ∈ UTM은 LDTM을 다항 시간 내에 에뮬레이션할 수 있으므로 명백합니다. 따라서 우리는 pDTM에 속하지만 다항 시간 제한을 받는 U ∈ pDTM를 생성할 수 있습니다 (만약 U’가 다항 시간 내에 계산한다면, U는 입력을 거부합니다).

정리 4. L ⊊ P

증명. 정지 문제와 시간/공간 계층 구조 정리와 유사한 방식으로 증명됩니다. 모든 U ∈ UTM(LDTM)에 대해 M ∈ LDTM은 U (⟨M⟩) = M를 만족합니다. 따라서 모든 M ∈ LDTM은 인덱스 ⟨M⟩를 가집니다. 이를 통해 우리는 진단화(diagonalization) H를 생성할 수 있습니다.

H (⟨M⟩) = U (⟨M⟩, ⟨M⟩)

H는 pDTM에 속하며 입력 크기는 U와 동일하거나 그 절반입니다. 위에서 언급한 바와 같이, ∀r ∈ LDTM (¬r ∈ LDTM)를 만족하므로, 우리는 진단화의 부정을 생성할 수 있습니다.

G (⟨M⟩) = ¬H (⟨M⟩) = ¬U (⟨M⟩, ⟨M⟩)

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…