진화 네트워크의 만델브로트 법칙: 선형 선호 부착을 통한 엄밀 증명

[arXiv:1106.3740v2 [물리학.데이터-분석] - 2011년 6월 21일]

일부 진화 네트워크의 만델브로트 법칙에 대한 엄밀 증명

Li Li, 2018년 11월 8일

요약 본 서한에서는 선형 선호 부착을 통해 성장하는 일부 진화 네트워크를 연구합니다. 최근 퀴오트 감마 함수에 대한 결과에 기반하여, 우리는 특정 조건에서 만델브로트 법칙에 대한 엄밀 증명을 제공하고, 스케일링 지수 γ와 이동 계수 c의 최적 적합값을 분석적으로 유도합니다.

복잡한 네트워크는 현재 다양한 연구 분야의 공동 관심사가 되었습니다[1-3]. 특히, 일부 네트워크의 규모 자유 특성은 그 중요성과 보편성으로 인해 지속적인 관심을 받고 있습니다[4-6]. 간략히 말해, 이 특성은 네트워크의 정수 분포가 P(k) ∝ k^(-γ)에 따라 결정된다는 것을 의미하며, k는 정수이고 P(k)는 그에 상응하는 확률 밀도입니다. 그리고 스케일링 지수 γ는 상수입니다. 바바라시(Barabási)와 알버트(Albert)가 제시한 선형 선호 부착 모델은 이러한 유형의 정수 분포를 생성하는 선구적인 모델입니다[4].

최근 연구에 따르면, 교통 네트워크[7]와 사회 협업 네트워크[8]와 같은 일부 복잡 네트워크는 ‘이동된 전력법’이라고 불리는 P(k) ∝ (k + c)^(-γ)의 정수 분포를 따릅니다. 이 특성을 만델브로트 법칙이라고 부릅니다[10].

만델브로트 법칙이 발생하는 원인을 이해하기 위해, Ren, Yang 및 Wang은 선형 선호 부착을 통해 생성되는 흥미로운 성장 네트워크를 제안했습니다. 이러한 네트워크에서 각 두 연속 정수 간의 재귀적 의존성 관계가 존재합니다:

p(k) ≤ k + 2 + 2mβ (1 - β)^(-1)

여기서 p(k)는 k번째 노드의 정수 분포, m은 양의 정수 상수, β는 [0, 1] 범위의 상수입니다.

a = 2mβ (1 - β)^(-1) 및 b = 2 + 2mβ (1 - β)로 정의하면, 방정식 (1)을 다음과 같이 간소화할 수 있습니다:

p(k) [k + b] = p(k-1) [k + a] (2)

정수 분포의 극한을 유도하기 위해, Ren, Yang 및 Wang은 세 가지 유형의 근사치를 고려했습니다:

1. 전방 차분 근사: dp(k)/dk ≈ p(k) - p(k-1) = p(k) - k + b를 가정하면, 다음과 같은 전력법 추정치가 얻됩니다:

p(k) ∝ (k + a)^(-(b - a)) (4)

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