O(N) 성능 보장 포아송 디스크 패턴 생성 알고리즘

포아송 디스크 패턴은 그래픽 커뮤니티에서 샘플링 용도로 오랜 관심사였습니다. [Yel83, Coo86, Mit87] 등의 연구에서 다양한 생성 알고리즘이 제시되었습니다. “다트 던지기"의 직접 구현 [Mit87, MF92]는 진정한 포아송 디스크 패턴을 생성하지만 수렴 속도가 느립니다. 이완 [Llo83] 또는 타일링 [ODJ04, HDK01] 기반 근사치는 효율적으로 유사한 포아송 디스크 패턴을 생성할 수 있습니다. 최근에는 로그 선형 시간 복잡도 (O(N log N)에서 N은 전체 점의 개수)를 갖는 정확한 방법 [DH06, Jon06]과 경험적으로 O(N) 속도를 가지지만 엄밀한 증명이 부족한 방법 [WCE07]이 소개되었습니다.

본 논문에서는 증명 가능한 O(N) 성능을 보장하는 알고리즘을 제시합니다. 이 알고리즘은 두 가지 데이터 구조를 유지합니다: 점이 추가될 수 있는 영역 그리드 및 새로운 점이 생성될 영역 집합 (그리드의 하위 집합). 알고리즘의 각 단계에서, 버킷에서 한 영역을 선택하고, 그 영역에 새로운 점을 삽입하며, 인접한 영역들을 업데이트하고 필요에 따라 버킷에 추가합니다. 버킷이 비어 있을 때, 더 이상 점이 추가될 수 없음을 의미하며 이는 패턴이 최대화된 상태입니다. 각 반복의 작업 복잡도는 O(1)이며, 총 비용은 O(N)입니다.

본 논문에는 Python 소스 코드가 부록 자료로 포함되어 있습니다.

포아송 디스크 분포는 2차원 균일 포아송 과정의 한계로 정의될 수 있으며, 최소 거리 거부 기준을 사용합니다. 각 점은 [0, 1]²에서 독립적으로 균일 분포로 추출되며, 새로운 점이 기존 점과 최소 거리 R 이상일 경우 받아들여집니다. 그렇지 않으면 거부됩니다. 이를 순진한 알고리즘이라고 부릅니다. R의 선택은 점들 간의 최소 거리를 제어합니다 (단위 정사각형에 N개의 점이 있을 때, πR²N/4 ≈ 0.548로 R이 0에 가까워질수록 [DWJ91]).

효율적인 포아송 디스크 패턴 알고리즘은 새로운 점을 보장하거나 매우 가능성이 높은 영역에서 생성합니다 [DH06, Jon06, WCE07]. 순진한 알고리즘과 동일한 결과를 보장하기 위해 이러한 방법들은 O(log N)의 영역 가중 이분 검색 [DH06, Jon06] 또는 이론상 O(log N)이지만 경험상 O(1)의 비용을 갖는 가중 공간 색인 [WCE07]을 사용합니다.

본 알고리즘은 순진한 알고리즘을 최적화한 것으로, 공간 데이터 구조를 활용합니다. 그림 1: 점 p와 그 인접 그리드 사각형이 회색으로 표시되었습니다. 만약 p의 도착 시간이 인접점들 중 가장 빠르다면, p는 받아들여지고 출력 목록에 추가됩니다. p의 인접점의 자유 영역은 어두운 회색 영역으로 업데이트되며, 이는 점 q가 무효화될 수 있음을 의미합니다. q의 경우, 새로운 자유 영역 Aq에서 대체점이 생성되고, q의 도착 시간은 tq + τ로 설정됩니다. 여기서 τ는 그리드 사각형의 크기에 따라 결정되는 지수 분포에서 무작위로 추출된 값입니다.

우리는 R/√2 이하의 간격을 가진 그리드를 저장하여 최종 패턴에서 한 그리드 사각형에 최대 한 점만 포함되도록 합니다. 우리는 [0, 1]²에서 균일한 2차원 포아송 과정을 암시적으로 모델링하고, 각 그리드 사각형의 초기 자유 영역은 전체 사각형이며, 점은 사각형 내에서 균일하게 선택되고, 도착 시간은 A0e^(-A0t)로 설정됩니다. 여기서 A0는 그리드 사각형의 면적입니다.

또한, 점과 그리드 사각형 간의 이웃 관계를 정의합니다. 각 점의 이웃은 R 거리 내에 있는 모든 그리드 사각형입니다 (그림 1 참조).

본 논문의 핵심 통찰력은 어떤 점도 자유 영역에 접근할 수 없도록 함으로써 포아송 디스크 패턴을 생성할 수 있다는 것입니다.

전문 한국어 번역:

t p가 인접한 모든 지점보다 도착 시간이 더 빠르면, p는 즉시 출력 목록에 추가될 수 있습니다. 이는 p가 다른 지점에 의해 거부될 수 있는 모든 도착 시간 이전에 도착함을 의미합니다. p가 받아들여지면, p의 인접 지점의 자유 영역이 업데이트됩니다 (그림 1 참조).

p를 받아들이는 과정에서, ||p - q||₂ < R이고 tq > tp인 다른 그리드 스퀘어의 점 q가 무효화될 수 있습니다. 이 경우, q는 그리드에서 제거되고, 업데이트된 자유 영역에서 새로운 점 q가 생성되며, 새로운 도착 시간 tq는 tq + τ로 설정됩니다 (τ는 Aq에 대한 지수 분포에서 무작위로 추출된 값). 이는 다음과 같은 논리에 기반합니다. p와 q는 각각 자신의 그리드 스퀘어에서 첫 번째 도착 지점이며, 시간은 tp와 tq입니다 (순진한 알고리즘). q가 p에 의해 무효화되면, 다른 점이 도착할 때까지의 시간은 Aq를 매개변수로 하는 지수 과정으로 모델링됩니다.

접수 가능한 후보 지점을 추적하기 위해, 우리는 그리드를 순회하며 모든 지점이 인접 지점보다 도착 시간이 빠르면 (이미 접수된 지점은 제외) 이를 로컬 조기 지점으로 식별하고 버킷(무순위 집합)에 추가합니다. 각 반복에서, 우리는 버킷에서 임의의 지점을 선택하여 출력 패턴에 추가할 수 있습니다.

p를 받아들이면 새로운 지점이 로컬 조기 지점이 될 수 있으며, 이는 버킷에 추가됩니다. 마찬가지로, p의 수용으로 인해 q가 무효화되면, q의 인접 그리드 스퀘어에 있는 지점들은 q의 대체 지점인 q보다 도착 시간이 더 빠를 수 있기 때문에 로컬 조기 지점이 될 수 있습니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…