적응 제어에서 투영 알고리즘의 역할과 특성

이 노트는 [2]에서 유진(Eugene)이 적응 제어 분야의 동료들과 공유한 개인적인 소통에서 시작되어, [5, 3, 1, 4]의 결과를 요약한다. 다음 섹션에서는 투영 연산자의 속성에 대해 자세히 탐구한다.

주석: 기본적으로, 이산 집합은 다음과 같은 성질을 갖는다. 집합 E 내 두 점 x, y에 대해, 이 두 점을 연결하는 선분 위의 모든 점도 E에 속한다.

경계점 θb를 선택하여 f(θb) = δ가 되도록 하면 다음이 성립한다:

여기서 ∇f는 f의 기울기이다.

모든 0 < λ ≤ 1에 대해:

그리고 λ가 0으로 접근함에 따라 (1)로 수렴한다.

3. 투영 정의 5. R^k 내 두 벡터 θ, y에 대한 투영 연산자는 다음과 같이 정의된다:

여기서

주의할 점은, (7)의 투영 연산자 정의는 정확히 구조가 중요하지 않은 경우 Proj(θ, y) = Proj(θ, y, f)로 표기될 수 있다는 것이다.

주석: (2)의 기하학적 해석을 살펴보자. Ω0를 다음과 같이 정의한다:

그리고 Ω1은 다음과 같은 다른 이산 집합이다:

(3)와 (4)로부터, θ가 Ω0에 속할 때 θ는 변하지 않는다. ΩA로 나타내어지는 안녕 영역에서 투영 알고리즘은 y의 정규화된 성분을 θ|f(θ) = λ에 수직하게 뺀다. λ = 0일 때는 정규화된 성분이 0이고, λ = 1일 때는 y의 Ω1에 수직한 성분 전체가 y에서 빼진다. 따라서 Proj(θ, y, f)는 θ|f(θ) = 1에 닿는다. 이 논의는 그림 1에 시각적으로 표현되어 있다.

주석: 또한 (∇f(θ))^T * Proj(θ, y) = 0를 모든 θ에 대해 만족한다. f(θ) = 1일 때이고, 알고리즘의 일반적인 구조는 다음과 같다:

어떤 시간 변하는 α로, 수정 트리거가 발생할 때 이 식의 좌변을 (∇f(θ))^T로 곱하고 α를 구하면 다음이 얻어진다:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…