비커뮤니티 변분 포슨 기하학: 새로운 물리적 시스템 진화의 도구

[이전 부분에서 이어짐]

1. 비커뮤니티 제트:

   • n차원 유향 R-다중변 곡면 M^n 위의 점 x ∈ M^n을 고려합니다.
   • 차원 m의 비커뮤니티 연관 대칭 대수 A를 정의하고, A의 기저 a에 대한 연산자 (a•)와 (•a)를 도입합니다.
   • 무한 제트 공간 J^∞(M^n → A) = J^∞(π^nC)를 구성하며, 이는 매개변수 p에 대한 총 미분 연산에 대한 Noether 비커뮤니티 선형 행렬 연산자 A를 포함합니다.
   • A의 공역 A†는 p₁, A(p₂) = p₂, A†(p₁)의 등식을 통해 정의됩니다.

2. 비커뮤니티 다중벡터:

   • 코벡터 px, [a]는 짝수였습니다. 이를 피하여 Π : p → bx, [a]를 정의하고, 미분 함수의 새로운 환 구조를 부여합니다.
   • 비커뮤니티 변분 코탄젠트 공간 [3, 4]와 [5]를 고려하여, k 벡터 ξ가 k 개의 코벡터 p₁, …, pₙ에 대한 값을 정의합니다: ξ(p₁, …, pₙ) = ∫ s ∈ Sₙ (-) |s| pₗ(1) A(pₘ(2), …, pₙ(k!)) / k!.
   • 인자 순서는 유지하지만 위치는 교환하지 않습니다.

3. 비커뮤니티 슈텐 브래킷:

   • 두 다중벡터의 밀도 곱은 H^n Π^nC^π에서 정의되지 않는 비가변적 제품입니다. 이를 해결하기 위해 비커뮤니티 안티브래킷을 사용합니다.
   • 각 x에 대해 δa ∧ δb를 J^∞(Π^nC^π) → M^n에 정의하여 디라크 순서를 부여합니다.
   • 두 다중벡터 ξ과 η의 비커뮤니티 변분 슈텐 브래킷은 다음과 같이 계산됩니다: (1) 각 미분항이 δa와 δb에서 분리됩니다. (2) 문자 a_σ, b_τ, δa, δb가 두 원환 δξ와 δη에 걸쳐 회전하며 모든 가능한 조합에서 δa와 δb가 일치합니다. (3) δa와 δb가 원환에서 분리되고 결합하며, 두 남은 열린 끈의 끝부분이 새로운 원환을 형성합니다.

슈텐 브래킷은 시프트 등급에 대한 비대칭 항등식입니다. ξ이 k 벡터이고 η가 … (문단이 끊어짐)

비커널 성질과 해밀턴 연산자

상호작용을 나타내는 해밀턴 연산자 A: p → ȧ = ϕ에 대해, 다음과 같은 조건이 충족될 때 비커널(skew-adjoint)이고 비선형적인 선형 행렬 연산자가 해밀턴 연산자로 간주됩니다.

1. 비커널성: [im A, im A] ⊆ im A

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…