LSM 함수: 이진 연산으로 생성 불가

모든 정수 k ≥ 0에 대해, Bk는 {0, 1}^k → [0, ∞)의 함수 집합을 정의하고, B = k Bk로 설정합니다. F ∈ Bk가 로그 슈퍼모듈러(LSM) 함수인 것은 F(x ∨ y)F(x ∧ y) ≥ F(x)F(y) (모든 x, y ∈ {0, 1}^k에 대해)를 만족할 때입니다. 여기서 x ∨ y와 x ∧ y는 각각 원소의 요소 최대값과 최소값을 나타냅니다. LSM 집합의 모든 함수를 IMP로 정의할 수 있는지 여부를 묻는 Bulatov 외 연구[1]의 질문과 관련하여, 우리는 부정적인 답변을 제시합니다. Živný 외 연구[4]도 유사한 최적화 문제에 대해 부정적인 결과를 보였습니다.

우리는 T2-구성 가능성과 관련된 최소한의 연산을 사용하여 이진 LSM 함수를 포함하는 집합 C를 구성할 것입니다. 이후 섹션 3에서 이를 PPS ω-정의 가능성과 연관지을 것입니다. 간결성을 위해 벡터 표기법을 사용합니다.

모든 k ≥ 0, F ∈ Bk, 그리고 π는 {1, …, k}의 모든 순열에 대해, π(F) ∈ Bk를 정의합니다.

이 연구는 EPSRC 박사 과정 장학금의 지원을 받았습니다.

모든 k ≥ 0, F ∈ Bk, 그리고 w ∈ {0, 1}^k에 대해, B(F, w)를 다음과 같이 정의합니다:

k ≥ 1이고 F ∈ Bk 및 1 ≤ i ≤ k, v ∈ {0, 1}인 경우, 원시 핀닝 F →v를 다음과 같이 정의합니다:

F’가 F의 핀닝이라면, F’는 (비어 있는 시퀀스의 가능성을 포함하며) 원시 핀닝을 통해 F에서 얻을 수 있습니다.

정의: C는 모든 LSM 함수의 집합입니다.

증명: LSM 함수 F’가 최대 2개의 아리티를 가진 경우, C에 속합니다. … (본문에서 생략) …

… (증명의 나머지 부분은 원문의 논리에 따라 번역 및 구성됩니다.) …

정의: C는 텐서 제품, 원시 수축, 그리고 순열에 대해 닫혀 있습니다.

증명: F’와 G’가 각각 C의 원소이고 H가 F’ ⊗ G’의 핀닝이라면, H = F ⊗ G가 됩니다. … (본문의 증명은 원문과 동일하게 번역 및 구성됩니다.)

정의: B와 C는 순열에 대해 불변입니다.

정리 5: F가 B의 부분 집합이고 텐서 제품, 원시 수축, 그리고 순열에 대해 닫혀 있으며, F가 다음과 같은 함수의 형태라면, F 및 모든 순열 F는 C에 속합니다. … (원문의 정의와 증명을 바탕으로 번역)

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…