분수 집합에서의 일반화 영 불평등: 양(Yang) 이론을 통한 새로운 관점

고전적인 영 불평등 [1, 2, 3, 4]은 그 자체로도 흥미롭지만, 매우 유용한 성질을 지닙니다. 본 연구의 목적은 분수 집합에서 일반화된 영 불평등을 확립하고, 이를 기반으로 다른 불평등을 도출하는 것입니다. 먼저, 양(Yang) 분수 집합과 양(Yang) 기하학적 표현에 대한 리뷰로 시작합니다.

양(Yang) 분수 집합 이론

1.2 양(Yang) 기하학적 표현: 실수 직번 체계

실수 직번 체계의 실수 번을 분수 집합의 점으로 표현하는 기하학적 표현은 실수 직선 축에 해당합니다. 각 실수 번은 실수 직선 축에서 단 하나의 점과 일대일 대응됩니다 [6].

예를 들어, 1α + 2α = 3α입니다. 즉, 기하학적 표현으로는 칸토어 집합 [0, 3]가 칸토어 집합 [0, 1]과 칸토어 집합 [1, 3]의 합과 동등합니다. 칸토어 집합의 차원은 α로, 0 < α ≤ 1일 때 정의됩니다. 1α, 2α, 3α는 분수 집합에서 실수 번입니다. 만약 aα, bα, cα가 실수 번 집합 Rα에 속하면 다음 연산이 가능합니다:

(1) aα + bα와 aαbα도 Rα에 속합니다.

(2)

만약 aα - bα가 비음수라면, aα는 bα보다 크거나 같고, bα는 aα보다 작거나 같습니다. 각각 aα ≥ bα 또는 bα ≤ aα로 표기합니다. 만약 aα = bα일 가능성이 없다면, aα > bα로 표기합니다.

어떤 실수 번 aα, bα, cα가 주어졌다면, 다음 관계가 성립합니다:

(1) aα > bα, aα = bα 또는 aα < bα (삼분법 법칙)

(2) 만약 aα > bα이고 bα > cα라면, aα > cα (전이 법칙)

(3) α = 1일 때의 공식은 고전적인 영 불평등과 유사합니다. 직접적으로 다음과 같은 불평등이 도출됩니다:

본 절에서는 일반화된 영 불평등의 증명을 제공합니다. 먼저 일반화된 버누이 불평등으로 시작합니다.

레마 2.1 (일반화된 버누이 불평등) y > 0인 경우,

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…