모노크롬 아레트릭 진행의 램지 이론적 분석: 거의 분리된 집합을 통한 접근

램지 이론의 초기 결과 중 하나인 반더와르덴 정리는 모든 양의 정수 k에 대해, W(k)라는 정수가 존재하여, {1, 2, …, W(k)}의 2색 분류에서 k항 아레트릭 진행이 반드시 모노크롬으로 나타난다는 것을 보장한다는 것입니다. W(k)의 정확한 값은 k ≤ 6일 때만 알려져 있습니다. Berlekamp [2]는 p가 소인 경우 W(p + 1) ≥ p^2p임을 보였고, Gowers [4]는 W(k)가 유한 높이의 탑 형태로 상한선이 존재함을 보여주었습니다.

W(k)의 상하 한계가 뚜렷하게 차이가 나기 때문에, 원래 문제의 다양한 변형이 많은 연구 대상이 되었습니다. 확률적 관점에서 자연스러운 질문은 N+(k)와 같은 가장 느리게 증가하는 함수에 대한 상한선을 찾는 것입니다. 이 함수는 {1, 2, …, N+(k)}의 2색 분류에서 k항 아레트릭 진행이 포함될 확률이 k가 무한대로 갈수록 1에 가까워지는 것을 의미합니다. 마찬가지로, N-(k)와 같은 가장 빠르게 증가하는 함수에 대한 하한선을 찾는 것도 가능하며, 이는 k항 아레트릭 진행이 포함될 확률이 k가 무한대로 갈수록 0에 가까워지는 것을 의미합니다. Brown [3]는 N+(k)에 대한 상한선을 확립했습니다.

거의 분리된 집합:

F = {S1, S2, …, Sm}과 같은 집합 군은 두 가지 조건을 만족할 때 거의 분리되어 있다고 합니다:

1. F 내의 서로 다른 두 원소가 최대 한 개의 원소를 공유한다.
2. 각 k항 아레트릭 진행은 공통 차이를 d로 가지는 F의 원소들 내에서 n개의 항으로 완전히 포함될 수 있다.

각 정수 k ≥ 3에 대해, c_k는 다음과 같이 정의됩니다: k ≥ 3에 대한 상수 c_k는 [1, n] 내에 포함된 가장 큰 거의 분리된 k항 아레트릭 진행 군의 크기가 c_k * n^2/(2k-2)로 수렴하는 것을 나타냅니다. 위에서 언급한 레마로부터 c_k ≥ 1/k^2가 도출됩니다. 또한, λ/k^2와 같은 절대 상수가 존재할 가능성도 있습니다. Ardal, Brown 및 Pleasants [1]는 0.476 ≤ c_3 ≤ 0.485임을 보였습니다.

증명:

우리의 접근 방식은 Brown [3]의 방법과 유사하지만, 조합형 선(combinatorial line)이 아닌 큰 공차 k항 아레트릭 진행 군을 다룹니다. 이는 거의 분리된 군의 크기가 O(n)이 아닌 θ(n^2/k^3)로 증가하기 때문입니다 (이전 섹션 참조).

증명을 위해, B1, B2, …, Bq와 같은 블록과 각 블록의 길이 s 및 r로 구성된 부분 블록 Bq+1를 고려합니다. Lemma에 따르면 F1 내의 원소는 거의 분리되어 있으며, 큰 k에 대해 |F1| = θ(s^2/k^3)입니다.

각 아레트릭 진행 P ∈ F1에 대해 C_P는 B1에서 P가 모노크롬인 2색 분류의 집합입니다. 그러면 |C_P| = 2s-k+1 입니다. 또한, 각 블록 Bi (i = 2, 3, …, q)와 그에 상응하는 거의 분리된 군 Fi를 고려할 수 있습니다. p0는 F1 내의 어떤 아레트릭 진행도 모노크롬이 아닌 무작위 2색 분류의 확률로 정의됩니다.

그러면 다음과 같이 p0가 큰 k에 대해 0으로 수렴함을 보일 수 있습니다. 이는 모노크롬 아레트릭 진행이 나타날 확률이 1에 가까워짐을 의미합니다.

하한선 증명:

n = N-(k)이고, E를 {1, 2, …, n}의 무작위 2색 분류에서 모노크롬 k항 아레트릭 진행의 예상 개수로 정의합니다. n^2(1 + o(1))/(2k-2)개의 k항 아레트릭 진행이 [1, n] 내에 존재하며, 각 진행은 모노크롬으로 나타날 확률이 2^(1-k)입니다. 기대값 선형성에 의해 E < k[g(k)]^2/(k-2)가 성립합니다 (g(k)는 k가 무한대로 갈수록 0으로 수렴하는 느리게 증가하는 함수). r ≥ 0에 대해, pr은 무작위 2색 분류에서 정확히 r개의 모노크롬 k항 아레트릭 진행이 나타나는 확률입니다. 그러면 E = p1 + 2p2 + 3p3 + … > 1 - p0이며, 이는 p0 < (k-2 - k[g(k)]^2)/(k-2)를 도출합니다. 따라서 모노크롬 아레트릭 진행이 나타날 확률은 k가 무한대로 갈수록 0에 가까워집니다.