산술진행렬 필터링을 통한 언어 분석: 유한성과 무한성을 탐구

본 노트에서는 Berstel 외 연구자 [1]가 제시한 필터링 개념을 새로운 관점에서 살펴본다.

배경:

Berstel 외 연구자들은 필터링에 관한 여러 정리를 증명하고, 정규성과 문법적 자유성을 보존하는 시퀀스 s를 특성화했다. 주어진 유한 단어 w에 대해, w[s] 는 s를 통해 필터링된 결과를 나타낸다.

문제 제기:

본 연구에서는 무한 필터 집합 S = {s1, s2, …} 에 대한 질문을 던진다. 주어진 언어 L에 대해, 모든 필터링된 언어의 집합 {L[si] : i ≥ 1}은 유한한가?

연구 방향:

우리는 산술진행렬을 나타내는 필터 s에 초점을 맞춘다. 특히, 다음 네 가지 유형의 필터 집합을 고려한다:

1. 정규 언어의 경우: 강한 산술진행렬 필터링은 유한한 수의 고유한 언어를 생성한다. 약한 산술진행렬 필터링과 평이한 진행렬 필터링, 그리고 이동도 동일한 결과를 갖는다.
2. 문법적 자유 언어의 경우: 약한 산술진행렬 필터링 또는 이동만으로 필터링할 경우 무한한 수의 고유한 언어를 생성하는 문법적 자유 언어가 존재한다. 다른 유형의 진행렬 필터링 또한 무한한 결과를 가져온다.

새로운 연산:

제4절에서는 Berstel 외 연구자들의 결과와 관련성이 있는 새로운 형식언어 연산을 소개한다. 이 연산은 정규성을 보존하지만 문법적 자유성은 보존하지 않는다.

증명:

정리 2: (정규 언어의 경우) 강한 산술진행렬 필터링은 유한한 수의 고유한 언어를 생성한다.

• 증명: DFA A = (Q, Σ, δ, q0, F) 가 주어진 정규 언어 L를 받아들인다고 가정한다. 우리는 보울 행렬 해석을 사용하여 증명을 진행한다 [3].

• 각 기호 c ∈ Σ 에 대해, Mc 는 이진 그래프에서 c에 대한 전이 행렬을 나타낸다. 즉, Q = {q0, q1, …, qn-1} 인 경우, M는 i번째 행과 j번째 열에 길이 n 경로가 존재하는지 여부를 나타내는 2차원 이진 행렬이다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…