신호와 잡음 하위 공간 추적 알고리즘 개선

서브스페이스 추적은 센서 배열에서 관찰된 무작위 벡터 시퀀스로부터 공간 또는 그 기저를 추정하는 과정입니다. 이는 통신, 레이더, 소나, 항법과 같은 신호 처리 분야에서 강력한 도구로 활용되며 적응 필터, 도상 위치 추정(DOA 추정), 간섭 감소와 같은 역할을 수행합니다. 서브스페이스 추적 방법론은 두 범주로 나뉩니다: 첫 번째는 신호가 생성된 공간을 추정하는 것이고, 두 번째는 해당 공간의 직교 보완 공간을 찾는 것입니다. 전자는 주된 서브스페이스 추적기(PS, PSA) 또는 신호 서브스페이스 추적기로 알려져 있고, 후자는 부차적 서브스페이스 추적기(MS, MSA) 또는 잡음 서브스페이스 추적기로 불립니다. 이전 MUSIC 관련 연구에서는 신호 서브스페이스 추적 또는 잡음 서브스페이스 추적이라는 용어를 사용해 왔습니다.

N.L. Owsley는 [1]에서 최초의 서브스페이스 추적 알고리즘을 개발했습니다. 문제의 차원이 N이고, 관심 있는 서브스페이스의 랭크가 L이라고 가정합니다. 일반적으로 L « N입니다. 이 솔루션의 복잡도는 N²L 또는 O(N²L)로 비례합니다. 이후 더 계산 효율적인 여러 기법이 개발되었습니다. [20]은 1990년 이전 이 분야의 거의 모든 성과를 요약한 훌륭한 서설 논문입니다. 이 논문들은 O(N²L) 또는 O(NL²) 연산을 필요로 했습니다. 이후 O(NL) 연산을 수행하는 알고리즘이 개발되었습니다. 이러한 새로운 기법은 빠른 서브스페이스 추적 방법이라고 불립니다. [3] (pp. 30-43) 및 [19] (pp. 221-270)에는 빠른 서브스페이스 기법에 대한 설명이 자세히 나와 있습니다.

xₙ는 N차원 센서 배열의 관측 벡터이며, (1)과 같이 표현됩니다:

i는 단위 길이의 N차원 벡터로 서로 독립적입니다. 이는 도착 신호가 동일한 서브스페이스를span하는 만오(manifold)를 나타냅니다. 잡음 서브스페이스 추적의 경우, Wₙ는 직교 보완 공간을 span합니다. 이제 공간 또는 W(n)과 같은 용어를 사용하여 기저를 공간으로 지칭할 수 있습니다.

서브스페이스 문제의 한 가지 기준은 공간 간의 거리입니다. [2][3][4][5][6][7][8][9][10][11]의 대부분의 솔루션은 신호 서브스페이스 추적에 대해 (2), 잡음 서브스페이스 추적에 대해 (3)로 표현되는 투영 오차 제곱을 사용합니다.

DPM [21] 알고리즘 클래스는 입력 벡터의 투영이 서브스페이스 상에서 최적화된 좌표 길이 (5)를 찾는 것으로 시작됩니다. Oja 클래스 기법은 (6)과 같이 투영 이미지 길이를 최적화합니다.

DPM 또는 Oja 유형 접근법의 최종 루틴은 매우 유사합니다. DPM 클래스 기법의 일반적인 루틴은 (7)과 같습니다:

‘⊙‘는 오르토노말라이제이션 연산입니다.

플러스 부호는 신호 서브스페이스 추적을, 마이너스 부호는 잡음 서브스페이스 추적을 나타냅니다.

Oja 기법의 일반적인 루틴은 (7)의 임시 일반 기저 Tₙ 업데이트 부분만 (’)로 대체합니다. DPM의 다양한 버전에는 FDPM, FRANS, HFRANS [6], MFPDM [7], SOOJA의 한 버전 [8]이 포함됩니다. Oja의 분지에는 OOJA [9], OOJAH [9], FOOJA [10], 원래 버전의 SOOJA [11]가 있습니다.

이러한 기법을 적용할 때, 특히 잡음 서브스페이스 추적의 경우, 비합리적인 무작위 스파크가 관찰되었습니다. 이는 DPM 클래스 기법과 모든 Oja 방법에서 발생합니다.

본 논문에서는 x(n), y(n), 이전 추정 공간 W(n-1), 다음 추정 공간 W(n) 간의 기하학적 관계를 업데이트 방정식 분석을 통해 제시합니다. 필요한 경우 기법을 수정하여 각 업데이트 단계에서 스텝사이즈 제한을 적용함으로써 스파크 문제를 해결합니다. 제시된 시뮬레이션은 수정의 유효성을 확인했습니다.

서브스페이스 추적 문제를 고려할 때, 새로운 관측 벡터 x(n)는 이전 추정 공간 W(n-1)에 투영되어 y(n)를 얻습니다. 벡터 t(n)는 y(n)의 x(n)의 직교 보완 공간에서의 투영 이미지입니다. (8)과 같이 표현됩니다.

이 벡터와 이전 추정 공간 W(n-1) 간의 관계는 Fig. 1에 시간 인덱스 k를 생략하여 표시됩니다. 일부 후속 방정식에서는 명확성을 위해 시간 인덱스 k를 생략합니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…