버거스 계층의 정확한 해와 일반화된 콜 호프 변환

버거스 계층(Burgers hierarchy)은 비선형 진화 방정식의 잘 알려진 가족입니다. 이 계층은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있습니다:

• n = 1일 때, 방정식 (1)은 버거스 방정식입니다.

방정식 (2)는 [1]에서 처음 소개되었습니다. 버거스 방정식은 Cole-Hopf 변환 [2, 3]을 통해 선형화될 수 있다는 것이 잘 알려져 있습니다. 방정식 (2)의 정확한 해는 여러 논문에서 논의되었습니다 (예: [4], [5], [6], [7]).

n = 2일 경우, 방정식 (1)으로부터 샤르마-타소-올버(STO) 방정식이 도출됩니다. STO 방정식은 [8, 9]에서 유도되었으며, [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16]에서 일부 정확한 해가 얻었습니다.

n = 3 및 n = 4일 경우, 다음과 같은 4차 및 5차 부분 미분 방정식이 나타납니다:

방정식 (4):

u_t + α uxxxx + 10α u_x uxx + 4α uu_xxx + 12α uu^2_x + 6α u^2 uxx + 4α u^3 u_x = 0

본 논문에서는 다양한 유형의 정확한 해를 찾는 데 사용되는 일반화된 콜-호프 변환을 제시합니다. 이 접근법의 장점은 버거스 계층의 모든 해를 정확하게 구할 수 있다는 것입니다. 우리는 여행 파동을 사용하지 않고 해를 구성할 수 있습니다. 이는 다양한 유형의 해를 얻을 수 있게 합니다.

방정식 (1)은 Cole-Hopf 변환 [9, 17, 18]을 통해 선형화될 수 있습니다. 이 변환을 고려하면 다음과 같습니다:

여기서 Ψ_n,x는 Ψ의 n번째 미분입니다. 버거스 방정식의 정확한 해는 콜-호프 변환의 일반화를 사용하여 얻을 수 있습니다 [17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]. 이 변환은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

여기서 F(x, t)는 버거스 방정식 (1)의 해입니다. 변환 (8)이 계층 (1) 전체에 유효함을 보일 것입니다. 먼저 다음 명제를 증명합니다.

명제 1:

다음 식이 성립합니다:

여기서 Ψ_n,x는 Ψ의 n번째 미분입니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…