고레아프 문제에서의 분리 변수 재검토

본 답변은 논문 [1], [2]에 대한 반론을 제시합니다.

1. 변수 u₁, u₂의 비공유성: [1], [2]에서 Tsiganov는 [3]에서 도입된 변수 u₁, u₂가 초기 포아송 브래킷에 대해 비공유하지 않기 때문에 분리 변수가 아니라고 주장합니다. [3]에서 얻은 모든 방정식을 기록하고, Tsiganov의 “Comment"에 명시되지 않은 부분을 살펴봅시다. u₁, u₂를 근으로 하는 이차방정식을 고려합니다:

정리 2. ([3]) u₁, u₂는 분리 변수이며, 그들의 진화는 아벨-자코비 방정식에 의해 기술됩니다:

여기서 M, α는 u₁, u₂에 대한 대수적 표현으로 다음과 같습니다:

(r₁₂r₂₂r₃₁ + r₁₁r₂₁r₃₂), (r₁₂r₂₁r₃₁ + r₁₁r₂₂r₃₂), (r₁₁r₂₂r₃₁ + r₁₂r₂₁r₃₂)

이 정리는 직접 대입을 통해 증명될 수 있으며, 다른 이론은 필요하지 않습니다. 방정식 (2)는 명백히 코왈레프스키 유형의 방정식으로 작성될 수 있습니다:

전문가에게: 이러한 방정식의 변수가 분리 변수인지 여부를 판단하는 것은 어렵지 않습니다. [3]에서는 리-포아송 브래킷이나 해밀턴 형식주의가 언급되지 않았으며, 사용된 유일한 미분방정식 이론은 첫 번째 통합의 개념입니다.

2. Chaplygin 변수와 Goryachev 시스템: Tsiganov는 [1], [2]에서 다음과 같이 지적합니다: “b = 0일 때 이 시스템과 그에 상응하는 분리 변수는 Chaplygin에 의해 연구되었습니다 ([4])”. 또한, 그는 “[7]에서 우리는 b = 0에서 Chaplygin 변수가 Goryachev 사례에서도 분리 변수로 남아 있음을 증명했습니다"라고 썼습니다.

상황을 명확히 하기 위해 몇 가지 공식을 제시합니다. [7]과 [6]는 동일한 논문이며, [7]을 참조하겠습니다.

b = 0일 때 Chaplygin 분리 변수는 다음과 같은 형태를 가집니다 ([4]):

여기서:

Chaplygin 분리 변수는 동역학 변수의 제곱의 함수인 h와 (b = 0일 경우) 첫 번째 통합의 값에 의존합니다.

[7]에서 분리 변수 q₁, q₂는 다음 이차방정식의 근으로 도입됩니다 ([7], 공식 (3.8)):

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…