병렬 머신에서의 지연 최소화: Kravchenko와 Werner 논문 분석

Kravchenko와 Werner [2010]의 저자들은 ‘파티션(Partition)’ 문제에서 유래한 두 복잡도 클래스인 P |pmtn| T j 와 P |r j , p j = p, pmtn| T j 의 감소를 제시합니다. 주어진 양의 정수 집합 a1, …, ak 및 b에 대해, k = 2b로 표현되는 ai를 포함하는 부분집합 I ⊂ {1, …, k}가 존재하여 i ∈ I인 경우 ai = b가 성립하는지 묻는 문제입니다.

저자들은 특정 파티션 인스턴스의 감소를 자세히 설명하는데 중점을 두지 않고, P |pmtn| T j의 감소만 상세히 다룹니다. 이는 P |r j , p j = p, pmtn| T j의 NP-완전성 증명의 일부로 사용되기 때문입니다. P |pmtn| T j 인스턴스는 2k² + k + 1개의 작업과 k개의 머신으로 구성되며, 상수 L = 4kb³ + 2bk가 사용됩니다.

저자들은 세 가지 유형의 작업을 정의합니다:

• a-작업: p_i = a_i이고 d_i = L인 k개의 작업 a_i (i ∈ {1, …, k})로 구성됩니다.
• ba-작업: 2k²개의 동등한 작업 ba_i로 구성되며, p_i = b²a_i입니다. 그리고 한 개의 긴 작업 b³가 있으며, 처리 시간은 b³이고 마감일은 b³입니다.

저자들은 파티션이 해결 가능하려면 T_j ≤ b³ + b인 스케줄이 존재해야 한다고 주장합니다. 이는 명백히 필요한 부분입니다. 충분한 부분은 더 복잡하며, 저자들은 T_j ≤ b³ + b인 스케줄이 존재하면 ba-작업 집합이 L 시간 이후 완료되면 파티션의 해결책이 된다고 주장합니다. 다음 섹션에서 이 충분한 부분이 성립하지 않는다는 것을 보일 것입니다. 즉, T_j ≤ b³ + b인 스케줄로 시작하더라도 파티션의 해결책으로 이어지지 않을 수 있습니다.

반례:

반례를 위해, k = 3인 파티션 인스턴스를 고려합니다: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3. 이에 상응하는 P |pmtn| T j 인스턴스는 2² 작업과 3개의 머신으로 구성되며, L은 110입니다. 작업의 특성은 다음과 같습니다:

• a-작업: a1, a2, a3의 처리 시간은 각각 1, 2, 3이며, 공통 마감일은 L = 110입니다.
• ba-작업: 6개의 ba1 작업이 처리 시간 9에 마감일 109를 가지며, 6개의 ba2 작업이 처리 시간 18에 마감일 108을 가지며, 6개의 ba3 작업이 처리 시간 27에 마감일 107을 가집니다.
• 긴 작업 b³: 처리 시간 27에 마감일 27입니다.

T_j ≤ b³ + b = 30인 스케줄은 그림 1에 제안되어 있습니다. 이 스케줄에서 단 3개의 지연 작업만 존재하며, 모두 ba1 유형으로 각 작업이 마감일 이후 10 단위 시간 후에 완료됩니다. Kravchenko와 Werner [2010]에 따르면, 이에 상응하는 파티션의 해결책은 I = {a1}이지만 이는 명백히 잘못되었습니다.

따라서, P |pmtn|sumT j에서 제안된 감소는 유효하지 않으며, 동일한 구조에 기반한 P |r j , p j = p, pmtn| T j의 감소도 잘못되었습니다. 따라서 P |pmtn|sumT j와 P |r j , p j = p, pmtn| T j가 NP-완전 문제인지 여부는 여전히 미해결 문제로 남아 있습니다.