프랙탈 오르네스트 울헨백 과정 매개변수 추정: 이론과 소프트웨어 구현

통계적 추론에 대한 연구는 에르고딕 확산 과정의 매개변수를 추정하는 데 집중해 왔으며, 특히 격자 상의 관찰된 과정에 적용되었습니다. [10]에서는 타원형 에르고딕 확산의 로그 확률 분포의 국부 수렴 정규성을 보였습니다. 이 결과는 적절한 드리프트와 확산 계수에 대한 조건과 샘플 크기 N이 무한대로 증가할 때 ΔN → 0 및 NΔN → +∞를 만족하는 격자를 가정합니다. 많은 저자들이 추정 절차에 대해 연구했습니다. 주로 일차원 경우에 초점을 맞추었지만 [8, 14], [26]에서는 다차원 설정도 다루었습니다. 이전 연구의 모든 추정자는 대조 프레임워크([9])를 기반으로 하며, 일반적으로 p > 1인 경우 n → +∞일 때 NΔpN → 0로 가정합니다. 특히, 오르네스트-울헨백 과정의 전이 밀도는 알려져 있으며 [13]에서 언급한 바와 같이 모든 경우에 처리되었습니다.

프랙탈 경우, 우리는 프랙탈 오르네스트-울헨백 과정 (fOU)을 고려합니다. 이 과정은 dYt = -λYt dt + σdWHt로 정의되며, WHt는 0 평균 가우스 프로세스인 정규화된 프랙탈 브라운 운동 (fBM)입니다. fBM의 공분산 함수는 다음과 같습니다:

H는 허스트 지수이며 0 < H < 1입니다. fOU 과정은 H = 1/2일 때 마코브나 반마코브도 아니며 세미마르팅지도 아니지만 가우스적이고 에르고딕한 성질을 유지합니다 ([5] 참조). H > 1/2일 때는 장거리 의존성이 나타나 다양한 생물학, 물리학, 이더넷 트래픽 또는 금융 분야에서 유용하게 활용될 수 있습니다. 연속 관찰의 경우 최대 우도 추정자의 통계적 대표 성질은 [1, 4, 6, 15]에서 다룬 바 있습니다. 또한, 최소 제곱 추정자의 근사 성질은 [11]에서 연구되었습니다.

격자와 프랙탈 경우, 이 주제에 대한 연구는 제한적입니다. 최근 연구들은 대조 절차를 통해 드리프트 λ을 추정하는 방법([17, 20]) 또는 격차 절차를 통해 드리프트 λ과 확산 계수 σ를 동시에 추정하는 방법([25])을 제시했습니다. 이러한 논문들은 허스트 지수가 알려져 있다고 가정하고 일관성만 증명합니다. [3]에서는 고전적인 2차 변분 필터링 방법을 사용하여 허스트 지수 H와 확산 계수를 추정합니다.

우리의 연구는 다음과 같은 공백을 메웁니다: 현재까지 모든 허스트 지수, 확산 계수 및 드리프트 매개변수를 동시에 추정하는 완전한 절차가 없었습니다. 또한, 이 논문에서 제시한 H, σ, λ의 추정치는 이전 연구와 약간 다릅니다.

2장: 이 장에서는 프랙탈 브라운 운동에 기반한 이분법적 확률 미분 방정식에 대한 기본 사실들을 살펴보고, 필요한 표기법과 가정을 소개합니다.

3장: 이 장에서는 격차 관찰에서 fOU 과정의 매개변수에 대해 일관성 있고 근사적으로 가우스적인 추정자를 제시합니다.

4장: R 통계 환경을 위한 사용자 친화적인 소프트웨어를 제공하여 fOU 과정의 매개변수를 시뮬레이션하고 추정할 수 있도록 합니다. 또한, 다양한 샘플링 조건에서 추정자의 성능을 평가하기 위해 몬테카를로 실험을 수행합니다.

X = (Yt, t ≥ 0)를 프랙탈 오르네스트-울헨백 과정 (fOU)으로 정의하며, 이는 다음과 같은 미분 방정식의 해입니다:

매개변수 θ = (λ, σ, H)는 (0, Λ) × [σ, σ] × (0, 1)의 열린 부분 집합에 속하며, WHt는 표준 프랙탈 브라운 운동으로 허스트 매개변수 H ∈ (0, 1)를 가진 가우스 중심 프로세스입니다. 이는 코바스 함수로 정의됩니다:

특히, H = 1/2일 경우 고전적인 위너 프로세스가 됩니다. fOU 과정은 H = 1/2에서는 마코브나 반마코브도 아니며 세미마르팅지도 아니지만 가우스적이고 에르고딕한 성질을 유지합니다. H > 1/2일 때는 장거리 의존성이 나타나 다양한 분야에서 활용될 수 있습니다.

분산 추정: 분자 경로 표본의 오르네-울헨백 과정

이 논문에서는 모든 매개변수가 알려지지 않은 상태에서 디스크리트 오르네-울헨백(Fractional Ornstein-Uhlenbeck) 과정으로부터 얻은 분산 표본을 이용하여 H, σ 및 λ을 추정하는 문제를 다룹니다. 기존 연구와 달리, 우리의 접근 방식은 H와 σ를 추정하기 전에 λ을 추정할 필요가 없도록 설계되었습니다.

기호 정의:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…