확률 공간에서의 무작위 변수 시퀀스와 그 기대값

확률 공간 (Ω, F, P) 와 무작위 변수 시퀀스 Xₙ = Xₙ(ω), (n=1, 2, 3, …) 를 고려합니다. 각 Xₙ(ω) ≥ 0 인 모든 ω ∈ Ω 에 대해 기대값 E[Xₙ] 은 다음과 같이 정의됩니다:

자연수 시퀀스 {Kₘ} 를 Kₘ < Kₙ+1 와 Kₘ → ∞ (m → ∞) 로 정의합니다.

증명:

이 정리의 결론은 다음 두 명제 중 하나와 동등합니다:

(2) P{A} > 0 (3) ∃l N, P{D(l)} > 0

먼저, 이 결론을 부정하는 가정을 합니다. 즉,

(4) P{A} = 0 을 가정합니다.

이 경우 다음이 성립합니다:

… (계속적인 증명 과정) …

결국, 충분히 큰 N에 대해 ∩ₙ₊₁ D(l) ⊆ D(l) 이 성립하고, 이는 모순을 일으킵니다. 따라서 (4) 또는 (5)는 성립할 수 없으며, 이는 정리의 결론인 (2) 또는 (3)의 부정으로 이어집니다.

따라서 우리는 P{A} > 0 과 ∃l N, P{D(l)} > 0 이 둘 중 하나가 반드시 참임을 증명했습니다. 이는 정리의 완전한 증명입니다.