칼쿠스의 진화와 혁신: 카우치 레베그 시스템의 오류 분석

본 논문은 미적분의 역사를 세 단계로 구분한다. 첫 번째 단계는 1667년 아이작 뉴턴이 초기 미적분 시스템을 확립한 이후부터 1821년 아돌프 루이 카우치가 ‘기하학 강의’를 출판할 때까지의 기간이다. 두 번째 단계는 1821년부터 2010년까지이며, 이 시기에는 미적분 이론이 과학 및 기술 분야에서 적용되지 않아 뉴턴과 고트프리드 빌헬름 레베그가 창안하고 후대의 수학자들이 발전시킨 미적분의 유용성만 입증하는 데 그쳤다. 세 번째 단계는 2010년 이후이다.

두 번째 단계(189년) 동안, 카우치-레베그 시스템의 미적분 이론은 수학 발전에 상당한 제약을 가져왔다는 것이 밝혀졌다. 본 논문에서는 카우치-레베그 시스템의 오류인 카우치의 미분 개념을 심층적으로 분석하고 논의했다. 저자가 수립한 새로운 미적분 이론의 초기 성과는 이미 1번 논문에 발표되었다.

첫 번째 단계(뉴턴-레베그 미적분 이론)의 기본 아이디어는 올바르지만 일관성이 부족하다. 레베그는 뉴턴이 제시한 미분 dx와 dy에 대한 설명은 이해하지 못했다. 레베그는 “미분은 유클리드의 접촉각과 유사하며, 어떤 주어진 양보다 작지만 0과는 동일하지 않다"라고 말했다. 또한 “우리는 무량소(infinitesimal)를 단순히 0이 아닌 상대적 0으로 간주한다"라고 덧붙였다. 문제는 전 세계적으로 미분이 임의의 작은 양으로 간주된다는 점이다. 사실, 레베그는 미분이 0이나 유한한 양이 아니라 ‘어떤 주어진 양보다 작은 상대적 0’임을 시사했다.

이는 현대 숫자의 개념이 레베그가 살았던 시대에는 존재하지 않았지만, 칸토르-데드키нд 이후부터 2010년까지의 모든 숫자 개념에 ‘상대적 0’이라는 개념이 포함되어 있었음을 의미한다. 그러나 카우치는 미적분 시스템에 한계를 도입해야 했는데, 이는 레베그의 아이디어를 이해하지 못했기 때문이다. 한계와 도함수 개념을 사용하여 미분을 정의하는 것은 레베그의 원래 미분 의미와 모순된다.

카우치는 미분을 유한한 양으로 정의했는데, 이는 레베그가 미분을 ‘질적 0’으로 정의했다는 원래 아이디어를 뒤집는 것이다. dx가 x Δ와 동일하지 않다는 점 때문에 근본적인 문제가 발생한다. 미분(d로 시작)은 변화(Δ로 시작)의 선형 주요 부분으로 정의되므로, 미분이 변화와 동일하게 정의될 수 없다. 또한, 도함수가 완벽하게 정의되었고 한계 개념을 사용하여 뉴턴-레베그 방정식이 증명되었지만, dx = x Δ로 정의하는 것은 논리적으로 부적절하며, n이 임의의 유한한 자연수로 설정된 경우 n dx = x Δ [2][3][4] 와 같은 등식은 논리적이지 않다.

논증 측면에서, 카우치는 미분(예: dy 및 dx)을 변화(예: y Δ 및 x Δ)의 선형 주요 부분으로 정의했으므로, 미분이 변화와 동일하게 정의될 수 없다. 또한, 미분 가능한 함수의 가정은 잘못되었기 때문에 다른 가정도 잘못된 것이다.

요약하자면, 두 가지 가정 모두 잘못되었다. 반박 측면에서, 일반적으로 미분 가능한 함수 (f, g, …, h)에 대한 두 가정은 카우치-레베그 미적분 이론에서 가장 대표적이며 과학의 원칙이 위배된다. 그러나

수학적 대상이 단지 형식적 체계일 뿐, 물리적 대상이 아니라는 점에 대해 카우치-레베그 시스템의 옹호자들은 “미분은 복합 함수를 다루지 않기 때문에 카우치-레베그 시스템은 결함이 없다"고 주장했습니다. 그러나 이는 사실이 아닙니다. 미분의 많은 사례는 복합 함수와 관련이 있으며, 미분 표현의 일관성, 복합 함수의 미분 규칙, 암시적 함수, 매개변수 방정식 및 극 좌표 방정식, 두 가지 유형의 치환 규칙, 그리고 미분 방정식의 변수 치환 방법 등이 포함됩니다.

사실, 카우치-레베그 이론을 지지하는 수학자들이 존재하며, 이들은 오류를 발견하고 일부 수정 작업을 수행했습니다. 일부 수학자들은 수정된 체계가 여전히 잘못되었다는 점을 인식하면서도 침묵한 채 수정을 진행했습니다[9][10][11]. 다른 수학자들은 미분과 관련해 다루기를 피했습니다[12].

1. 카우치는 I. 뉴턴이 제시한 미분의 의미를 오해했습니다. 이는 미분에 대한 적절한 설명으로 간주됩니다.
2. 카우치-레베그 시스템의 미분 정의는 논리적이지 않으며, 복합 함수의 미분에서 오류를 초래합니다.