토너먼트 그래프에서 최소 DESC 문제의 고정 매개변수 시간 계산 가능성

강조된 그래프(Strongly Connected Graph)

강조된 그래프 D는 모든 x, y ∈ *V(D)*에 대해 D 내에서 x에서 y로 가는 유향 경로가 존재하는 경우 강하게 연결된다. 특히, 하나의 꼭짓점만 포함하는 그래프는 항상 강하게 연결된다. D의 강한 성분은 D의 유도 부분 그래프 C로, D 내에서 강하게 연결되고 최대이다.

에울러 그래프(Eulerian Graph)

D가 에울러 그래프인 것은 D 내에서 닫힌 경로가 존재하고, 이 경로는 모든 꼭짓점을 한 번씩 방문하며 모든 간선을 한 번씩 사용한다는 것을 의미한다. D가 에울러 그래프인지 여부는 D가 강하게 연결되고 균형 잡혔는지에 따라 결정된다.

설정 및 정의

• 강한 성분(Strong Component): D에서 강하게 연결된 꼭짓점들의 집합.
• DESC 세트(DESC Set): *A’*가 D의 간선 집합일 때, *D - A’*에서 모든 강한 성분이 에울러 그래프인 경우 *A’*를 DESC 세트라고 한다.
• 최소 DESC 크기(desc(D)): D의 최소 DESC 세트의 크기.

Min-DESC 문제

사례: 유향 그래프 D와 비음수 정수 k. 질문: desc(D) ≤ k인지 결정한다. [4]는 주택 시장의 맥락에서 Min-DESC를 소개하고, k로 매개변수화될 때 고정 매개변수 시간 계산 가능성을 질문했다.

Cygan 외 연구원들 [6]은 관련 문제들을 여러 개 다루었는데, 특히 *D - A’*가 균형 잡혔을 때 간선 집합 *A’*를 찾는 문제와 *D - A’*가 에울러 그래프일 때 간선 집합 *A’*를 찾는 문제를 다뤘다. 그들은 첫 번째 문제는 다항 시간 계산 가능하고, 두 번째 문제는 k를 매개변수로 할 때 고정 매개변수 시간 계산 가능함을 증명했다. (Cygan 외 연구원들은 그래프 대신 유향 그래프를 다루거나 꼭짓점 삭제를 다루는 관련 문제들도 연구했다.)

Min-DESC의 복잡성

Min-DESC를 k로 매개변수화할 때의 복잡성은 아직 미해결 상태다. 이 논문에서는 D가 토너먼트인 특수한 경우의 Min-DESC를 다룬다. 이 문제는 [5]에서 증명된 대로 NP-완전하다. 긴 증명은 독자의 관심사와 관련이 적어 논문에 포함하지 않았다. 이 논문은 다음과 같은 정리를 증명한다.

정리 1. 토너먼트에 대한 Min-DESC는 k를 매개변수로 할 때 고정 매개변수 시간 계산 가능하고, 크기가 최대 4k(4k + 2)인 커널을 갖는다.

여기서 f는 오직 k에만 의존하는 함수이다. 주어진 매개변수화된 문제 L에 대한 커널화(Kernelization)는 다항 시간 알고리즘으로, *(x, k)*를 *(y, g(k))*로 매핑한다. 커널의 크기 *g(k)*는 잘 알려져 있듯이, 매개변수화된 문제 L이 고정 매개변수 시간 계산 가능하려면 커널을 가져야 한다. 다항 크기의 커널은 응용 프로그램에서 중요하지만, 불행히도 많은 고정 매개변수 문제들은 coNP ⊆ NP/poly가 아닌 이상 이러한 커널을 갖지 못한다. [2, 3, 8] 참조.

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