Title: Verifying Sierpinski and Riesel Numbers in ACL2
ArXiv ID: 1110.4671
발행일: 2011-10-24
저자: John R. Cowles (University of Wyoming), Ruben Gamboa (University of Wyoming)
📝 초록 (Abstract)
이 논문은 시르피니(Sierpiński) 수와 레젤(Riesel) 수를 식별하고 증명하는 방법을 다룹니다. 이들 수는 특정 양의 홀수 정수가 무한 리스트에서 소수가 발견되지 않는 경우에 해당합니다. 논문은 1 ≤ k ≤ 199 범위 내의 첫 100개의 홀수 정수 중 시르피니 수로 배제되는 것들을 분석하고, 이를 통해 이 범위 내에서 시르피니 수가 존재하지 않음을 증명합니다. 또한 레젤 수에 대한 유사한 분석을 제공하며, ACL2라는 컴퓨터 증명 도구를 사용하여 이러한 수들의 성질을 검증하는 방법을 설명합니다.
💡 논문 핵심 해설 (Deep Analysis)
이 논문은 시르피니(Sierpiński) 수와 레젤(Riesel) 수에 대한 심도 있는 분석과 ACL2라는 컴퓨터 증명 도구를 활용한 그들의 성질 검증 방법을 다룹니다. 이들 수는 특정 양의 홀수 정수가 무한 리스트에서 소수가 발견되지 않는 경우에 해당하며, 이를 통해 수학적으로 중요한 위치를 차지하고 있습니다.
시르피니와 레젤 수의 개념
시르피니 수와 레젤 수는 각각 k • 2^n + 1과 k • 2^n - 1 형태의 무한 리스트에서 소수가 발견되지 않는 양의 홀수 정수입니다. 이들 수를 식별하는 것은 어렵지만, 특정 조건을 만족하면 배제할 수 있습니다.
분석 방법
논문은 1 ≤ k ≤ 199 범위 내의 첫 100개의 홀수 정수 중 시르피니 수로 배제되는 것들을 분석합니다. 예를 들어, k = 47, 103, 143, 197는 이 범위에서 유일한 예외입니다. 특히, k = 103과 k = 197는 k² + 16에서 소수가 발견되는 시점에 제거됩니다. 이로 인해 47과 143을 제외한 다른 가능한 시르피니 수를 남깁니다.
레젤 수의 경우에도 유사한 분석이 이루어집니다. W. Sierpiński는 k = 155,113,807,464,625,933,81에 대해 모든 무한 리스트의 원소가 첫 여섯 개의 페르마 수의 소인수분해로 나누어 떨어짐을 증명했습니다. 이는 페르마 수 Fn이 비음수 정수 n에 대해 2^(2^n) + 1로 정의되며, 첫 다섯 개의 페르마 수가 소수임을 의미합니다.
ACL2를 활용한 검증
ACL2는 컴퓨터 증명 도구로, 이 논문에서는 이를 통해 시르피니와 레젤 수의 성질을 검증합니다. 각 k에 대해 ACL2 이벤트가 생성되어 k가 시르피니 또는 레젤 수임을 증명합니다. 예를 들어, 78557이 시르피니 수임을 증명하는 과정에서는 n을 모듈로 36으로 대체하여 소진됨을 보여줍니다.
덮개 없는 수
특히, 알려진 덮개가 없는 정수들에 대해서도 ACL2를 활용한 검증이 이루어집니다. 예를 들어, k = 4008735125781478102999926000625는 시르피니 수지만 알려진 덮개가 없습니다. 이 경우에도 ACL2를 활용하여 증명이 이루어집니다.
결론
이 논문은 시르피니와 레젤 수에 대한 심도 있는 분석과 ACL2를 활용한 검증 방법을 제공합니다. 이를 통해 이러한 특수한 수들의 성질을 더 잘 이해하고, 컴퓨터 증명 도구의 중요성을 강조합니다.
이 논문은 수학적 증명에서 컴퓨터 도구의 역할을 보여주며, 특히 시르피니와 레젤 수에 대한 새로운 이해를 제공합니다. 이는 앞으로의 연구에서도 중요한 기반으로 활용될 것입니다.
📄 논문 본문 발췌 (Excerpt)
## 시르피니 및 레젤 수의 식별 및 증명
시르피니(Sierpiński)수와 레젤(Riesel) 수는 식별하기 어려운 수열입니다. 특정 양의 홀수 정수를 시르피니 또는 레젤수로 배제하려면 해당 무한 리스트에서 소수를 찾으면 됩니다. 4개의 예외, k = 47, 103, 143, 197를 제외하고, 1 ≤ k ≤ 199 범위의 첫 100개의 홀수 정수는 적어도 리스트의 처음 8개 원소에서 하나 이상의 소수를 찾음으로써 시르피니 수로 배제됩니다.[3]
k = 103과 k = 197는 k² + 16에서 소수가 발견되는 시점에 제거됩니다. 이는 47과 143을 제외한 다른 가능한 시르피니 수를 남깁니다. 사실, 143² * 2⁵³ + 1과 47² * 2⁵⁸₃ + 1은 소수이므로[3] 이 두 수는 제외됩니다. 따라서 1 ≤ k ≤ 199 범위에는 시르피니 수가 없습니다. 레젤 수의 경우에도 상황이 유사합니다.
W. 시르피니(W. Sierpiński)는 1960년에 k = 155,113,807,464,625,933,81에 대해 모든 무한 리스트의 원소가 (1)에서 주어진 식으로 하나 이상의 첫 여섯 개의 페르마 수의 소인수분해로 나누어 떨어짐을 증명했습니다. 비음수 정수 n에 대한 페르마 수 Fn은 다음과 같이 정의됩니다:
첫 다섯 개의 페르마 수는 소수이며, F5는 두 개의 소수의 곱입니다.[5] 509,203은 [5]에서 3⁵ * 7 * 13 * 17 * 241로 나타난 Riesel 수임을 보였습니다. 같은 홀수 정수가 시르피니 수와 레젤 수 둘 다일 수 있습니다. 예를 들어, k = 143,665,583,045,350,793,098,657이 [1]에 제시된 예시입니다.
홀수 정수 k에 대한 시르피니 커버 C가 주어졌을 때, k가 시르피니 수인지 확인하는 과정은 다음과 같습니다: 이는 레젤 수의 경우에도 유사한 과정을 통해 수행됩니다. 기저 사례인 i = 0는 위에서 언급한 1b로부터 직접 도출됩니다. 귀납 단계는 i = j에서 i = j + 1로 넘어가는 것으로, 1a로부터 도출됩니다:
식 (2)의 왼쪽 항과 오른쪽 항 모두 d가 인자로 포함됨을 1a에서 보였습니다.
모든 양의 n에 대해 이러한 d와 i가 존재함을 보장하기 위해, 고려해야 할 경우의 수는 유한합니다. ℓ을 C에 있는 모든 bd의 최소 공배수로 정의하면, 각 n ∈ {0, 1, 2, …, ℓ - 1}에 대해 C에 있는 d가 다음 식을 만족하는지 확인합니다:
이 과정은 ACL2에서 공식적으로 검증되지 않았습니다. 예를 들어, 우리는 C의 모든 원소가 홀수 소수인지 확인하지 않습니다. 대신, 각 개별 k와 C에 대해 ACL2 이벤트가 생성되어 k가 시르피니 수임을 증명하면 모든 이벤트가 성공합니다. 일부 이벤트가 실패하면, ACL2를 사용할 때 일반적으로 수행되는 것처럼, 실패 원인을 파악하고 필요한 경우 수정 조치를 취해야 합니다. 이러한 이벤트 생성은 verify-sierpinski와 verify-riesel이라는 매크로를 통해 제어됩니다. 이 매크로들은 증명을 위한 계획에서 설명한 대로 k² + n ± 1에 대한 인자를 찾는 데 사용되는 증인 함수를 생성합니다.
각 d에 대해 bd와 cd를 계산하여 증인 함수를 정의하고, 1c에서 언급된 정리들을 명시하고 증명합니다. 예를 들어, 78557이 시르피니 수임을 증명하는 과정에서는 이러한 사례가 n을 모듈로 36으로 대체했을 때 소진됨을 보여줍니다 (36은 위의 모든 모듈의 최소 공배수입니다). 이는 기본적으로 계산으로 확인할 수 있습니다. 실제로 증명해야 하는 모듈 등식은 78557과 그 커버에 따라 달라집니다. 증명이 명백히 참임에도 불구하고, ACL2에서 한 번에 영구적으로 증명하기는 어려운 것으로 보입니다. 대신, 각 다른 시르피니 또는 레젤 수와 그 커버에 대해 새로운 정리 쌍을 증명해야 합니다. 경험이 풍부한 ACL2 사용자로서, 우리는 ACL2가 특정 조합의 숫자와 커버에 대해 이 정리를 증명하는 데 실패할 수도 있다는 우려를 가지고 있습니다. 그러나 이러한 매크로들을 사용하여 각 시르피니 및 레젤 수와 그 커버에 대한 증명을 생성했습니다.
부록에 첨부된 증명서
모든 증명은 자동으로 검토를 마쳤습니다. 부록에는 본인이 아는 모든 시에르피니(Sierpiński)와 리셀(Riesel) 수가 포함되어 있습니다.
특정 양의 정수 중 시에르피니(또는 리셀) 수이지만 알려진 덮개가 없는 정수들이 존재합니다. ACL2 증명은 이러한 수들에 대해 구축되었습니다. 예를 들어, [1]에서 k = 4008735125781478102999926000625는 시에르피니 수이지만 알려진 덮개가 없습니다. 모든 양의 정수 n에 대해, n이 4로 나눈 나머지가 2인 경우, k • 2n + 1은 (3, 17, 97, 241, 257, 673) 중 하나의 요소에 대한 약수를 가집니다. k가 시에르피니 수임을 증명하기 위해서는 n이 4로 나눈 나머지가 2인 모든 양의 정수에 대해 k • 2n + 1의 약수를 찾아야 합니다. 이러한 사실들을 이용하여 약수를 구성할 수 있습니다:
