논문은 다변수 다항식 반환의 제로 차원 이상적과 그로브너 기저에 초점을 맞추고 있다. 특히, 3개 변수 x, y, z를 사용하는 다항식 반환 *R
## 제로 차원 이상적과 그로브너 기저에 대한 연구
서론:
이 논문은 다변수 다항식 반환의 제로 차원 이상적과 그로브너 기저에 초점을 맞춥니다. 특히, 우리는 3개의 변수 x, y, z를 사용하는 다항식 반환 *R[x, y, z]*에서 제로 차원 이상적 I의 최소 및 모닉 그로브너 기저에 대한 성질을 연구합니다.
기본 정의:
- 이상적 I: 다항식 반환 *R[x, y, z]*의 부분 반환으로 정의됩니다.
- 레크시코그 순서 (lex(x, y, z)): x > y > z 순서로 정렬하는 순서입니다.
- 선두 모노마 (lm(p)): 다항식 p에서 가장 큰 레크시코그 순서에서의 모노마를 의미합니다.
- 선두 계수 (lc(p)): 선두 모노마에 앞선 계수입니다.
- 선두 항 (lt(p)): 선두 계수와 선두 모노마의 곱입니다.
그로브너 기저:
이상적 I의 그로브너 기저는 *R[x, y, z]*에서 I를 생성하는 선두 항들의 유한 집합입니다. 이 기저는 *lt(I)*로 표시됩니다. Noetherian 반환인 R의 특성상, I의 선두 항들을 생성하는 유한 개의 생성원이 존재합니다.
그로브너 기저의 성질:
- 최소 그로브너 기저: 선두 항들의 순서가 *lex(x, y, z)*에 따라 증가하는 기저입니다.
- 모닉 그로브너 기저: 모든 선두 계수가 1인 기저입니다.
본 논문에서는 레크시코그 순서를 *lex(x, y, z)*로 가정하고, 기호 ≺를 생략하여 표현을 간소화합니다.
주요 결과:
제로 차원 이상적과 선두 모노마: 제로 차원 이상적 I의 경우, 선두 모노마 *lm(I)*는 단순히 z의 순수한 힘입니다.
최소 및 모닉 그로브너 기저의 존재: 제로 차원 이상적 I에 대한 최소 및 모닉 그로브너 기저 *G = {g1, …, gs}*가 존재하며, lm(g1) ≺ lm(g2) ≺ … ≺ lm(gs) 순서로 정렬됩니다.
…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…
이 글은 ArXiv의 공개 자료를 바탕으로 AI가 자동 번역 및 요약한 내용입니다.
저작권은 원저자에게 있으며, 인류 지식 발전에 기여한 연구자분들께 감사드립니다.