샤프 비율은 헤지 펀드 및 기타 기관 투자자의 성과를 측정하는 중요한 지표로, 단위 위험당 수익률을 나타냅니다. 이 논문에서는 샤프 비율이 높음에도 불구하고 포트폴리오가 손실을 볼 수 있는 상황을 분석합니다. 특히, 특정 수익률 시퀀스에서 초기 투자금 1이 주어졌을 때, 수익률의 합계가 1보다 작아지는 경우를 살펴봅니다. 이를 통해 샤프 비율의 한계와 실제 포트폴리오 관리에 있어 고려해야 할 사항들을 논의합니다.
💡 논문 핵심 해설 (Deep Analysis)
이 논문은 투자 성과 측정 지표인 샤프 비율의 한계를 탐색하고, 높은 샤프 비율에도 불구하고 포트폴리오가 손실을 볼 수 있는 상황을 분석합니다. 이는 투자자들이 단순히 샤프 비율만으로 성과를 판단하지 않고, 실제 자본의 변화와 같은 다른 요소들을 함께 고려해야 함을 강조하는 중요한 연구입니다.
1. 샤프 비율의 기본 이해
샤프 비율은 투자 포트폴리오의 수익률이 위험에 대한 보상으로 얼마나 높게 나타나는지를 측정합니다. 이는 단위 위험당 수익률을 의미하며, 일반적으로 무위험 금리를 벤치마크로 사용합니다. 논문에서는 벤치마크를 0으로 가정하여 분석의 간결성을 유지하고 있습니다.
2. 샤프 비율과 손실 가능성
논문은 높은 샤프 비율에도 불구하고 포트폴리오가 손실을 볼 수 있는 상황에 대해 논의합니다. 예를 들어, k-1 기간 동안 5%의 수익률이 발생한 후 k번째 기간에 -100%의 손실이 발생하는 경우, 샤프 비율은 높아질 수 있지만 전체 자본은 손실을 보게 됩니다. 이는 샤프 비율이 단순히 평균 수익률과 위험(표준 편차)만을 고려하기 때문에, 특정 기간 동안의 극단적인 손실을 반영하지 못함을 의미합니다.
3. Sortino 비율에 대한 분석
논문은 샤프 비율 대신 Sortino 비율을 사용할 경우에도 같은 문제점이 발생한다는 것을 보여줍니다. Sortino 비율은 하방 위험만을 고려하므로, 극단적인 손실이 발생하는 시퀀스에서도 높은 값을 나타낼 수 있습니다.
4. F₁(B)와 G1(B), G2(B)의 분석
논문에서는 B라는 상한선을 설정하여 수익률의 범위를 제한하고, 이에 따른 최적 샤프 비율(F₁(B))과 Sortino 비율(G1(B), G2(B))을 계산합니다. 이를 통해 특정 손실 가능성이 있는 포트폴리오에서도 높은 성과 지표가 나올 수 있음을 보여줍니다.
5. 실제 적용 시 고려사항
이 연구는 투자자들이 단순히 샤프 비율이나 Sortino 비율만을 신뢰하지 않고, 포트폴리오의 전체적인 위험 관리를 위해 다양한 요소를 함께 고려해야 함을 강조합니다. 특히 극단적인 수익률 변동성이 있는 경우, 이러한 지표들이 실제 투자 성과와 크게 다를 수 있음을 주의해야 합니다.
결론
이 논문은 샤프 비율과 Sortino 비율이 포트폴리오 관리에서 중요한 역할을 하지만, 이들만으로는 포트폴리오의 전체적인 위험과 성과를 완전히 반영하지 못함을 보여줍니다. 따라서 투자자는 이러한 지표들을 사용하면서도 실제 자본 변화와 같은 다른 요소들도 함께 고려해야 함을 강조합니다.
이 연구는 투자자들이 포트폴리오 관리를 더욱 체계적으로 수행할 수 있도록 하는 중요한 통찰력을 제공하며, 향후 연구에서는 이러한 지표들의 한계를 극복하기 위한 새로운 방법론에 대한 탐구가 필요함을 시사합니다.
📄 논문 본문 발췌 (Excerpt)
## 샤프 비율과 손실 가능성: 중간 분석
샤프 비율 [2,3]은 헤지 펀드 및 기타 기관 투자자(본 노트에서는 일반 포트폴리오라고 지칭)의 성과를 측정하는 데 있어 “금기 표준"으로 자리 잡았습니다. 때때로 샤프 비율이 독립 및 동일 분포(i.i.d.) 가우시안 수익률에만 적용 가능하다고 주장하지만, 일반적인 관행에 따라 이러한 가정을 무시하겠습니다. 단순화를 위해 벤치마크 수익률(예: 무위험 금리)을 0으로 가정합니다.
(후속 분석에서 결과가 영향을 받지 않도록, N ≥ 2인 경우 1/N을 1/(N-1)로 대체하는 방법도 고려할 수 있습니다. 이는 [3], (6)에 제시된 방법과 동일합니다.)
직관적으로 샤프 비율은 단위 위험당 수익률을 나타냅니다.
포트폴리오의 수익률 시퀀스 x₁, …, xₙ를 고려할 때, 해당 포트폴리오의 성과를 다른 방법으로 측정하는 방법도 있습니다. 이는 초기 투자금 1을 가정하고, 이후 자본 유입 또는 유출 없이 이 수익률 시퀀스가 어떻게 영향을 미쳤는지 분석하는 것입니다. 이러한 수익률 시퀀스에서 얻은 최종 자본은 n=1부터 n=N까지의 합으로 계산됩니다: N∑(1 + xₙ). 우리는 다음 조건 하에서 발생하는 이상 현상에 관심이 있습니다: 샤프 비율 Sh(x₁, …, xₙ)이 큰 반면, N∑(1 + xₙ) < 1입니다. (더 일반적으로, 제로 벤치마크 수익률을 가정하지 않는다면, N∑(1 + xₙ) < 1을 조건으로 하여, 자본 유입 또는 유출 없이 수익률 x₁, …, xₙ가 벤치마크 포트폴리오보다 저조한 성과를 내는 경우를 고려할 수 있습니다.)
만약 수익률이 k-1 기간 동안 5%였다가 k번째 기간에는 -100%인 경우, k가 무한대로 갈수록 μₖ는 0.05로 수렴하고 σₖ는 0으로 수렴합니다. 따라서 충분히 큰 k를 선택하면, 모든 돈을 k 기간 동안 잃음에도 불구하고 샤프 비율 Shₖ를 원하는 대로 높일 수 있습니다.
만약 수익률 시퀀스가 i.i.d.라면, 각 기간 n=1, 2, …에 대해 5%의 확률로 (k-1)/k이고, -100%의 확률로 1/k로 설정합니다. 충분히 큰 k를 선택하면, 확률적으로 샤프 비율 Shₙ는 무한대로 수렴하지만, 모든 자본이 정기적으로 손실됩니다. 물론, 이 예시에서 수익률은 가우시안과는 거리가 멉니다(엄밀히 말해, 수익률이 상한선이 -1을 초과하지 않는 한 가우시안일 수 없습니다).
우리 예시는 샤프 비율이 Sortino 비율 [5,4]로 대체되어도 동일한 결론에 도달함을 보여줍니다.
전절의 예시는 포트폴리오가 거의 모든 자본을 잃는 기간이 있다는 점에서 다소 비현실적입니다. 이 절에서는 높은 샤프 비율이 손실을 동반할 수 있는 유일한 방법임을 보일 것입니다.
각 B ∈ (0, 1]에 대해 다음과 같이 정의합니다:
여기서 N은 양의 정수이고, (x₁, …, xₙ)는 -B ≤ xₙ ≤ ∞인 시퀀스입니다. 즉, F₁(B)는 손실을 보는 시퀀스의 최적의 샤프 비율로, -B 이하의 수익률은 발생하지 않는다고 가정할 때 달성 가능한 최고값입니다. F₁(0+) = 0임을 쉽게 증명할 수 있으며, 전절에서 F₁(1) = ∞임을 보였습니다. 이 절에서는 B ∈ (0, 1)의 중간 값에 대한 F₁(B)의 행동을 살펴보겠습니다.
그림 1은 B ∈ (0, 0.9] 및 B ∈ [0.9, 0.999]에 대한 F₁(B)의 그래프를 보여줍니다. B ∈ (0, 0.9]에서 F₁의 기울기는 대략 1입니다. 그림에서 볼 수 있듯이, 심지어 B = 0.5와 같이 상대적으로 큰 값에서도 손실 포트폴리오의 샤프 비율은 0.5를 초과하지 않습니다(표 1에 따르면, F₁(0.5) = 0.424로, 일반적인 샤프 비율 우수 기준인 1보다 훨씬 낮음). 표 1은 선택된 B에 대한 F₁(B)의 대략적인 수치와 해당 값을 달성하기 위한 수익률 수준 c 및 α(c가 동일한 수익률인 수익률의 비율)를 제공합니다.
표 1에서 눈에 띄는 점은 c의 값입니다. 심지어 B = 0.999999에도 c는 1을 초과합니다. 표 1에서 B = 0.2에 대한 c = 10.00은 포트폴리오가 한 기간 동안 가치를 11배로 증가시키는 것을 의미합니다. 그림 2는 F₁(B)의 그래프와 유사하지만, 더 많은 데이터 포인트를 포함합니다.
요약 번역:
2번에서 1번과 동일하게 상한선 B를 일기회귀의 절대값에 적용합니다. 즉, F2 함수의 그래프는 같은 공식(1)을 사용하여 정의되지만, (x1, …, xN)은 [-B, B]N 범위를 갖습니다. 간략화된 테이블 1의 대체본인 테이블 2는 모든 항목에서 c 값이 B와 동일하므로 이를 명시하지 않습니다. 예상대로 α는 특히 B가 작은 경우 1/2에 크게 다르지 않습니다.
