쿨첸코 다항식을 활용한 템플릿 매칭의 혁신

데이터 세트 내에서 특정 객체를 인식하는 것은 컴퓨터 비전, 필기 문자 인식, 데이터 마이닝 등 다양한 산업에서 잘 알려진 문제입니다. 이러한 기법은 템플릿 매칭이라고 불립니다 [1].

템플릿과 일치시키는 데이터의 문제는 분석할 입력 데이터 세트, 지정된 템플릿, 그리고 때로는 검색 영역을 포함합니다. 입력 데이터를 적절한 형태로 표현하고 매칭 기준을 정의하는 것이 매우 중요합니다.

본 논문에서는 1차원 디지털 신호를 고려합니다. 최근 2차원 이미지를 1차원으로 변환하는 기법이 제안되었기 때문에 이 접근법은 2차원 이미지에도 적용될 수 있습니다 [2].

가용 데이터 세트 내에서 템플릿을 찾는 두 가지 매우 다른 접근 방식이 존재합니다 [3].

첫 번째 방법은 학습 단계를 거친 인공 신경망을 사용하는 것입니다. 수학적으로, 신경망의 학습은 다매개 변수 비선형 최적화 문제입니다. 많은 올바른 답변이 필요하지만 항상 가능한 것은 아닙니다.

두 번째 접근 방식은 템플릿의 특수한 특징과 데이터 세트 비교 (특징 기반 매칭) 또는 템플릿 전체와 데이터 세트의 일부 비교 (템플릿 기반 매칭) [3] 중 하나를 포함합니다. 1변수 함수 분석을 고려할 때, 우리는 특징 기반 템플릿 매칭에 초점을 맞추지 않습니다. 예를 들어, 각도나 이미지 내의 에지 [5,6]와 같은 것들 말입니다. 대신, 입력 데이터 세트 내에서 전체 템플릿 검색 기법에 주목해 보겠습니다. 이 방법은 역사적으로 초기 기법 중 하나입니다. 이러한 유형의 문제에서 템플릿과 신호를 비교할 때 유클리드 거리, 제곱 평균 차이, 교차 상관관계 등이 사용됩니다 [7][8][9]. 그러나 입력 신호를 다항식 템플릿 기반 함수로 근사함으로써 문제를 해결할 수 있습니다. 이 경우, 근사된 신호와 다항식 근사의 교차율이 특정 임계값을 초과하는 영역은 템플릿이 나타난 신호의 영역으로 간주될 수 있습니다.

테일러 다항식은 주어진 지점의 함수 최적의 근사를 제공하는 것으로 잘 알려져 있습니다. 그러나 근사된 함수는 해당 주변에서 적절한 순서의 미분을 가져야 합니다. 푸리에 급수로부터 선형 독립의 직교 함수의 시스템을 사용하여 정의된 내적 공간에서 함수를 근사하는 조건은 훨씬 약하지만, 템플릿 매칭 관점에서 칸첸코 다항식의 사용은 매우 전망적입니다 [11,12]. 이는 이러한 다항식이 구축되는 공간의 특성 때문입니다. 이러한 공간은 유클리드 또는 힐버트 공간의 부분 공간이며, 특별한 원소인 생성 원소를 가집니다. 주어진 템플릿은 생성 원소로 간주될 수 있으며, 그 후 템플릿 매칭 문제는 특정 메트릭을 사용하여 가장 가까운 칸첸코 근사 다항식을 찾는 단순한 문제로 논의될 수 있습니다 [10].

생성 함수 ( ) f(x)를 정의된 간격 [a, d]에서 주어진 함수로 가정합시다. 그 후, 생성된 함수의 집합을 다음과 같이 정의합니다:

( ) φ[( )],

[ , ]

여기서 φ( ) v는 특정 방식으로 적합된 실수 함수입니다.

선형 연산인 덧셈과 숫자 곱하기가 정의될 경우, 모든 생성된 함수의 선형 결합은 선형 공간을 형성합니다.

일부 생성된 함수가 선형 의존적일 수 있으므로, 생성 함수 집합을 구성하는 독립적인 생성 함수의 공간을 정의합시다. 따라서 우리는 이러한 독립적인 생성 함수의 선형 공간을 선형 칸첸코 공간(Linear Kunchenko Space)이라고 부르며, 이를 LFKu로 표시합니다. 이제 LFKu 공간에서 두 원소 ( ) v u x와 ( ) k u x의 내적을 정의하여 이 두 원소의 상관 관계를 고려합시다:

(2)에 따라, LFKu 공간에서 두 원소 ( ) v u x와 ( ) k u x 사이의 거리 ρ vk는 두 함수의 차이의 노름으로 정의됩니다:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…