무한 서버 시스템에서 고객 처리의 수학적 탐구

우리는 독립적으로 지수 분포를 따르는 간격이 있는 고객 흐름을 고려합니다. 이 고객들은 무한한 서버 시퀀스 S1, S2, … 에 λ 속도로 도착하며, 각 도착하는 고객은 현재 비어있는 서버 중 가장 낮은 인덱스를 가진 서버 Sl에 할당되고, 해당 서버는 평균 1인 독립적으로 지수 분포를 따르는 서비스 시간으로 점유됩니다. 이 확률적 서비스 시스템 M/M/∞로 알려져 있으며, λ → ∞의 한계 상황에 대해 광범위하게 연구되었습니다 (Newell [N] 참조). 우리는 Newell이 간략히 언급한 질문에 초점을 맞출 것입니다: 균형 상태에서 새로운 고객을 처리하는 서버 Sl의 인덱스 분포는 어떠한가? Newell [N, p. 9]은 L이 “[1, λ] 구간에 거의 균일하게 분포한다"고 주장하며, 이는 다음과 같은 근사식을 기반으로 합니다.

(1.1)

그러나 이러한 근사식이나 Newell이 제시한 다른 근사식에 대한 오차 범위는 제공되지 않았으며, 심지어 균일 분포 하에서 1차 순간의 수렴 특성이 엄밀하게 증명되지도 않았습니다. 이 논문의 목표는 (1.1)의 엄밀한 버전을 제공하여, (1.2)뿐만 아니라 더 높은 차수인

을 포함한 분포를 확립하는 것입니다. 특히, 우리는 다음과 같은 변분을 고려합니다:

간격 [0, 1]이 유한하기 때문에, (1.4)는 λ → ∞에 대해 모든 m ≥ 1에 대해 m번째 순간의 L/λ이 1/(m+1)에 수렴함을 보여줍니다. 이는 L/λ의 분포가 [0, 1] 구간에서 균일 분포로 수렴함을 증명하는 데 충분합니다. 우리는 이러한 문제의 이중적인 측면(느린 서버의 인덱스 찾기 대신 가장 빠른 서버의 인덱스 찾기)을 다루는 기존 연구 (Coffman, Kadota 및 다른 저자 참조)를 주목합니다.

우리의 결과의 핵심은 확률 Pr[L > l]입니다. 이는 첫 번째 l개의 서버 S1, …, Sl이 모두 점유되어 있는 확률에 해당합니다. 잘 알려진 사실처럼, 이 확률은 에러랑그 손실 공식으로 주어집니다:

(1.5) (Newell [N, p. 3] 참조). Dl은 적분 표현으로 나타낼 수 있습니다 (Newell [N, p. 7] 참조), 그러나 우리는 Dl을 (1.5)의 합으로 직접 다루는 것을 선호합니다.

(1.5)의 합 범위를 두 부분으로 나눌 것입니다. 첫 번째는 “분포의 몸통"이라고 부르며 0에서 l0 = λ - √λ까지이며, 두 번째는 “꼬리"라고 부르며 l > l0입니다. 2장에서 우리는 Pr[L > l]의 몸통에 대한 추정치를 제공하고, 3장에서는 꼬리에 대한 추정치를 제공할 것입니다. 4장에서는 이러한 추정치를 결합하여 (1.4)를 확립할 것입니다.

이 섹션에서 우리는 l ≤ l0 = λ - √λ일 때의 추정치

를 확립합니다. 포함-배제 원리를 사용하여 Dl의 하한을 먼저 구합니다.

하한을 위해,

가 주어지므로

첫 번째 합에 대해,

주어진 조건으로 (l/λ)l은 l ≥ 1에 대해 비음수 두 번째 도함수를 가집니다. 따라서 (l/λ)l은 l = 0, l = 1 또는 l = l0에서 최대값을 취하며, 각각 0, 1/λ, (1 - λ/l0)의 값을 가집니다. λ → ∞로 감에 따라 이러한 값 중 가장 큰 값은 1/λ이 됩니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…