랜덤 아폴로니 네트워크의 정밀한 정도 분포

1. 서론

1.1. 결과

랜덤 아폴로니 네트워크(RANs)는 강법 특성을 가진 평면 그래프 모델로서 [11]에서 소개되었습니다. 본 노트에서는 RANs의 정도 시퀀스를 분석합니다. 이전 연구 결과는 [10, 11]를 참조하십시오. 본 논문의 주요 결과는 정리가 1입니다.

정리 1. Z_k(t)를 시간 t에 k ≥ 3인 정도가 k인 정점 수로 정의합니다. k ≥ 3에 대해, 모든 t가 충분히 크면 |E[Z_k(t)] - b_k t| ≤ K (K = 3.6)를 만족하는 상수 b_k가 존재합니다. 또한 λ > 0을 주어진 조건으로, 모든 k ≥ 3에 대해 이 성질이 성립합니다.

1.2. 관련 연구

Bollobás 외 연구진 [3]은 바바라시-알버트 모델 [2]의 강법 분포를 엄밀히 증명했습니다. 랜덤 아폴로니 네트워크는 [11]에서 처음 소개되었습니다. 해당 네트워크의 정도 시퀀스는 [11]에서 부정확하게 분석되었으며, 이후 물리학자의 방법론을 사용하여 [10]에서 재분석되었습니다. Cooper 및 Uehara [4], Gao [8]는 랜덤 k 트리, RANs와 밀접한 관련 모델의 정도 분포를 분석했습니다. RANs의 특징은 각 단계에서 선택되는 무작위 k 클릭이 이전에 선택된 적이 없다는 점입니다. 예를 들어 2차원 경우, 선택된 삼각면의 내부 정점을 연결하여 새로운 세 개의 삼각면을 생성합니다. Darrasse와 Soria는 [6]에서 랜덤 아폴로니 네트워크 구조의 정도 분포를 분석했습니다.

1.3. 모델

편의를 위해 RAN 모델을 간략히 요약합니다. (자세한 내용은 [11] 참조). RAN은 삼각면을 시작점으로 하여 다음 단계를 반복하여 원하는 크기의 네트워크를 생성합니다: 무작위로 삼각면을 선택하고 내부 정점을 삽입한 후, 이 정점을 경계 정점과 연결합니다.

1.4. 전제 조건

섹션 2에서는 다음과 같은 함수를 사용합니다.

레마 1 (Lemma 3.1, [5]) a_t 시퀀스가 t ≥ t₀부터 다음 재귀식을 만족하고, lim t→∞ b_t = b > 0, lim t→∞ c_t = c를 만족한다면, a_t의 t → ∞에 대한 한계는 존재하며 a_t = lim t→∞ a_t t + o(t)로 표현됩니다.

또한 섹션 2에서는 Azuma-Hoeffding 부등식 [1, 9]을 사용합니다.

레마 2 (Azuma-Hoeffding 부등식) n개 단계로 구성된 마르팅게일 시퀀스 {X_t}에 대해 |X_{t+1} - X_t| ≤ c가 t = 0, …, n - 1에 대해 성립하고 λ > 0이라면:

여기서 d_v(t)는 시간 t에 정점 v의 정도이고, 1(d_v(t) = k)는 d_v(t)이 k일 경우 1, 그렇지 않으면 0인 이진 변수입니다. 그러면 모든 k ≥ 3에 대해 예상 수 N_k(t)를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…