이 논문은 컴퓨터 과학 분야에서 중요한 역할을 하는 그래프 파라미터인 밴드와 경로 너비에 대해 연구한다. 이 두 파라미터는 정의 영역은 다르지만 밀접한 관련이 있으며, 특히 2차원 또는 3차원 그리드 형태의 그래프에서는 이러한 파라미터들의 동일성을 보여준다. 논문은 비입방형 3차원 그리드와 4차원 이상 그리드에 대한 닫힌 공식을 제시하며, 특히 3차원 그리드의 밴드 너비를 결정하는 방법과 그 결과를 상세히 설명한다.
밴드 너비와 경로 너비는 그래프 이론에서 중요한 개념으로, 각각 그래프의 구조를 측정하는 데 사용된다. 밴드 너비는 그래프의 정점 집합을 일렬로 배열했을 때 최대 간선 길이를 나타내며, 경로 너비는 그래프를 경로 분해한 후 각 부분집합에서 가장 큰 집합의 크기를 측정한다. 이 두 파라미터는 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 특히 그래프의 정점 경계 너비와 관련하여 다음과 같은 관계가 성립한다: vbw(G) ≤ pw(G) ≤ bw(G).
본 논문은 특히 3차원 그리드에 대해 밴드 너비와 경로 너비를 결정하는 방법을 제시하며, 이는 이전 연구들에서 다루어지지 않았던 비입방형 3차원 그리드의 경우에도 적용된다. FitzGerald
## 그래프 파라미터 연구: 밴드와 경로 너비
본 논문에서는 컴퓨터 과학의 다양한 분야에서 활용되는 두 가지 잘 알려진 그래프 파라미터, 즉 밴드와 경로 너비에 대해 연구합니다. 이 두 파라미터는 정의 영역은 다르지만 밀접한 관련이 있습니다. 실제로, 그래프의 밴드는 그 경로 너비 이상으로 알려져 있습니다. 또한, 본 논문에서는 이러한 두 파라미터가 그리드에 대해서는 동일하다는 사실을 보여줄 것입니다. 그리드 형태의 그래프는 특히 2차원 또는 3차원 그리드가 실제 상황에 많이 나타나는 점을 고려할 때, 이러한 그리드의 여러 그래프 파라미터에 대한 연구가 활발히 진행되어 왔습니다 [24, 25, 26, 5, 17, 1, 21]. 특히, 그리드 및 토리의 밴드와 경로 너비에 대한 연구는 여러 연구자들에 의해 수행되었습니다 [12, 8, 20, 11]. 그러나 이전에는 비입방형 3차원 그리드와 4차원 이상 그리드의 닫힌 공식이 알려지지 않았습니다. 본 논문에서는 이러한 그리드에 대해 연구하고 일부 경우에 대한 닫힌 공식을 제시합니다.
본 논문의 나머지 부분은 다음과 같이 구성됩니다. 제2장에서는 몇 가지 정의와 알려진 결과를 제공합니다. 제3장에서는 상대적으로 큰 최대 요소를 가진 다차원 그리드의 두 파라미터를 결정하는 방법을 설명합니다. 일반적으로 차원이 클수록 다루기가 어려우나, 최대 요소가 상대적으로 크면 두 파라미터를 쉽게 결정할 수 있음을 보여줍니다. 제4장에서는 3차원 그리드의 두 파라미터를 결정합니다. FitzGerald [12]는 입방형 그리드 P_n의 밴드를 결정했습니다. 본 논문에서는 이러한 결과를 적절히 확장하여 비입방형 경우 P_n^1, P_n^2, P_n^3에 적용합니다. 마지막 장에서는 논문의 결론을 제시하고 4차원 경우에 대한 가설을 제시합니다.
본 섹션에서는 그래프 파라미터와 그래프 연산을 정의하며, 그리드와 토리도 정의합니다. 정의 후 몇 가지 알려진 결과와 유용한 관찰을 제공합니다. 본 논문에서 다루는 모든 그래프는 유한하고 단순하며 연결된 것입니다. 그래프 G의 정점 집합과 간선 집합은 각각 V(G)와 E(G)로 표시합니다.
그래프의 밴드는 Harper [13]에 의해 정의되었습니다. 그래프 G에 대한 순서는 G의 정점 집합 V(G) 사이의 전이 관계입니다. 밴드 문제는 VLSI 레이아웃과 병렬 컴퓨팅 등 컴퓨터 과학의 여러 분야에서 나타납니다 [7, 9].
그래프의 경로 너비는 Robertson과 Seymour [23]가 그래프 소수 이론에서 도입한 개념입니다. 주어진 그래프 G에 대한 순열 X_1, …, X_r은 G의 경로 분해라고 합니다. 다음 조건을 만족해야 합니다:
- 각 X_i는 V(G)의 부분 집합입니다.
- 모든 X_i가 서로소입니다.
- |X_i| - 1이 경로 분해의 너비입니다.
- G의 경로 너비는 모든 경로 분해에 대한 최소 너비입니다.
G의 적절한 경로 너비, ppw(G)는 모든 적절한 경로 분해에 대한 최소 너비입니다. 명백히, pw(G) ≤ ppw(G) 모든 그래프 G에 대해 성립합니다. 비트러스트한 관계 pw(G) ≤ bw(G)는 다음 사실로부터 도출됩니다:
그래프의 정점 경계 너비, vbw(G)는 최대 1 ≤ k ≤ |V(G)|에 대해 β_G(k)로 정의됩니다. 필요에 따라 G의 ∂G와 β_G를 생략할 수 있습니다. 다음 정리는 vbw(G) ≤ pw(G) 모든 그래프 G에 대해 성립함을 보여줍니다:
위 관찰에서 파생된 다음 부록은 다음과 같은 부등식을 제공합니다: vbw(G) ≤ pw(G) ≤ bw(G). Harper [13, 14]는 일부 그래프에 대해서는 이 등식이 성립함을 보여주었습니다. 순서 (u_1, …, u_d)가 모든 k에 대해 I_k = {u_1, …, u_d}의 첫 번째 k 정점 집합을 포함하는 경우, 이러한 순서는 G의 밴드를 만족합니다.
본 섹션의 관찰은 다음 부록을 도출합니다:
카르테시안 곱 G와 H의 그래프는 V(G) × V(H)로 정의되며, (g, h)와 (g’, h’)가 인접한 경우 g = g’이고 {h, h’} ∈ E(H), 또는 h = h’이고 {g, g’} ∈ E(G)입니다. 이는 카르테시안 곱 연산이 동형까지 연관성과 교환성을 갖는다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.
… (원문에서 생략) …
전문 한국어 번역: 그리드 및 토리의 경계 너비와 경로 너비 분석
…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…
이 글은 ArXiv의 공개 자료를 바탕으로 AI가 자동 번역 및 요약한 내용입니다.
저작권은 원저자에게 있으며, 인류 지식 발전에 기여한 연구자분들께 감사드립니다.
