On the Kuratowski graph planarity criterion

A SHOR T PR OOF OF THE KURA TO WSKI GRAPH PLANARI TY CRITERION 1 A. Sk op enk o v 2 Abstract. This pap er is purely exp ositional. The statemen t of the Kurato wski graph p lanarity criterion is simple and well- known. Ho w ev er, its classical pro of is not easy . In this pap er we presen t the Mak aryc hev pro of (with fu rther simplifications by Prasolo v, T elishev, Z aslavski and the author) whic h is p ossibly the simplest. The pap er is accessible for students famili ar with the notion of a grap h , and could be an i nteresting easy reading for matur e mathematicians. A graph is called plana r if it can b e dra wn in the plane without self-interse ctions. The Kuratowski Theorem. A gr aph is planar if an d o n ly if it do es no t c ontain a sub gr aph home omo rp hic to K 5 or to K 3 , 3 (fig. 1). K 5 K 3 , 3 Figure 1: The Kuratows ki graphs F or definition of homeomorphic graphs, as w ell as for a short pro of of the ‘only if ’ part of the Kuratows ki theorem see [Pr04]. F or results related to this theorem see either the R ussian v ersion of this text or [Cl34, Cl37, Ep66, GHV79, HJ64, K u00, MS67, MA41, RS9 0, RS99 , Sa91, Sk95 , Sk08, Sk, Wh33]. Here we presen t a simple pro of of the ‘if ’ part o f the Kurato wski Theorem based on [Ma97], cf. [Th81], with further simplifications b y Prasolov, T elishev, Zasla vski and the author. Deletion of an edge: G − e , contraction of an edge: G/e , and deletion of a ve rtex: G − x Clearly , it suffices to prov e t he Kuratowsk i Theorem for graphs without lo ops and m ultiple edges. So w e consider only suc h graphs. By con traction of an edge w e w o uld understand con traction of an edge with r eplacemen t of each obtained edge of multiplic ity greater than 1 b y an edge of m ultiplicit y 1 . 1 This note is based on the author’s lectures at the Kirov Region Summer School, St Petersburg Summer School, the Moscow Olympic School, mathema tica l circles at Ko lmogorov Colleg e and at Moscow Center for Contin uo us Mathematical Educa tion. I would like to a cknowledge B. Mohar , D. Permy ako v, V. V olko v, M. Vyalyi a nd T. Sha ihiev a for useful discussions. 2 ht tp://www.mcc me.r u/˜ skopenkov. Supp or ted by Simons-IUM F oundation. 1 W e prov e the ‘if ’ part of the Kuratowski Theorem in t he followin g equiv alen t form. Prop osition. If a c onne c te d gr a ph G is not isom orphic to K 5 or to K 3 , 3 , and for e ach e dge e o f G b oth gr aphs G − e and G / e ar e pl a nar, then G is pl a nar. x y x y x y Figure 2: ’Uncon traction of an edge’ in t he Kuratows ki graphs Pr o of that Pr op osition implies the ‘if ’ p art of the Kur atowski The o r em. The statemen t ‘ gr aph G c ontains a sub gr aph home omorphic to the g r aph H ’ will b e abbreviated to ’ G ⊃ H ’. The ‘if part’ of the K urato wski Theorem is prov ed b y induction on the n umber of edges in the graph. By Prop osition the inductiv e step follo ws b ecause G ⊃ K 5 or G ⊃ K 3 , 3 if either G − e ⊃ K 5 or G − e ⊃ K 3 , 3 or G/e ⊃ K 5 or G/e ⊃ K 3 , 3 for some e dge e of G . ‘F or G − e ’ the italicized assertion is o bvious. If G/e ⊃ K 3 , 3 then G ⊃ K 3 , 3 , and if G/ e ⊃ K 5 then G ⊃ K 5 or G ⊃ K 3 , 3 (fig. 2). QED Lemma on the Kurat o wski Graphs. F or e a ch gr aph G the fol lowing thr e e c ond i tion s ar e e quivalent: (1) F or e ach e dge xy of G the gr aph G − x − y do es not c ontain θ -gr aphs, and fr om e ach vertex of G − x − y at le ast two e dges ar e issuing. (2) F or e ach e dge xy of the gr a ph G the gr ap h G − x − y is a cycle (c ontainin g n ≥ 3 vertic es). (3) G is isomorphic either to K 5 or to K 3 , 3 . The implications (3) ⇒ (2) ⇒ (1) in the Lemma on the Kurato wski Graphs ar e clear and are not used in the pro o f of the K urato wski t heorem. Figure 3: A ’tree’ of cycles Pr o of of the im plic ation (1) ⇒ (2) in the L emma on the Kur atowski Gr aphs. Condition (1) implies tha t K − x − y is a disjoin t union of ‘trees’ whose ‘vertice s’ are cycles. (fig. 3; formally , eac h blo ck of K is a cycle). Therefore K − x − y con tains a ‘hang ing ’ cycle, i.e. a cycle C ha ving only one common v ertex v with the remaining graph. This cycle C has at most tw o other ve rtices p and q . Since K − x − y do es not contain isolated v ertices, from eac h v ertex of 2 K there issue at least three edges. Hence eac h of these v ertices p and q is joined either with x or with y . Therefore in the union of C a nd the edges of K joining v ertices x, y , p, q w e can find a θ -subgra ph. Hence by (1) eac h edge of K − x − y has a n end on C . Since b y (1 ) the gr a ph K − x − y do es not contain hanging v ertices, this g r aph coincides with C . QED Pr o of of the implic ation (2) ⇒ (3 ) in the L em m a on the Kur atowski Gr aphs. If n = 3 then for eac h tw o ve rtices b and c of the cycle K − x − y the graph K − b − c is a cycle, hence the remaining v ertex of the cycle K − x − y is jo ined (b y an edge o f K ) b o th to x a nd to y . Hence K = K 5 . If n ≥ 4, then ta k e any four consecutiv e v ertices a, b, c, d of the cycle K − x − y . Since K − b − c is a cycle, in the graph K one of the ve rtices a or d is jo ined (by an edge) to x (and not joined to y ), the other is joined to y (and not joined t o x ), whereas the v ertices of the cycle K − x − y differen t f rom a, b, c, d (whic h do not exist when n = 4) are not joined neither to x nor to y . F or n ≥ 5 w e obtain a contradiction. F or n = 4 w e see that the four vertic es of the cycle K − x − y a re joined to x and to y one after the other, hence K = K 3 , 3 . QED Pr o of of Pr op osition. By the implication (1) ⇒ (3 ) of Lemma on the Kuratow ski Graphs there is an edge xy of G suc h that G − x − y con tains either a ve rtex of degree at most 2 (in G − x − y ) or θ - graph. If the degree of some vertex o f G is 1 o r 2, then con traction of o ne of them gives a planar graph, so G is planar. So assume that in G out of eac h v ertex there issues at least three edges. Hence graph G − x − y do es not ha v e isolated v ertices and if it has a hanging v ertex p , then p is joined b oth to x and to y in G . Draw the g r a ph G − ( xy ) in the plane without self-in tersections. Add edge xy along edges px a nd py . W e obtain a draw ing of G in the plane without self-in tersections. xy x y Figure 4: Draw ings of the g r a phs G/xy and G in the plane No w consider the case when G − x − y has an θ -subgraph. Draw gr a ph G / xy in t he plane without self-interse ctions ( fig . 4 left). Drawing of graph G − x − y = G/xy − xy in the plane is obtained b y deleting the edges of G/xy issuing out of the v ertex xy . T ak e the face of (the image of ) G/ xy − xy tha t con tains the v ertex xy of the graph G/xy . Denote by C the b oundary of this fa ce. Observ e that the b oundary of a fac e c annot c ontain a θ - s ub gr aph. (This statemen t could b e deriv ed from the Jordan Curv e Theorem. Another pro o f could b e obtained supp osing the con trary . If the b oundary of a face contains a θ - subgraph, then ta k e a p oin t inside this face and join it b y three edges to three p oin ts on three ‘a rcs’ of the θ - subgra ph. W e obtain a drawing of K 3 , 3 in the plane without self-in tersections. Contradiction.) So G − x − y 6 = C . Th en edges of G − x − y − C 3 are con tained in a face of (the image of ) G/xy − xy not containing the v ertex xy . Hence graph C splits the plane. Therefore there 3 Deletion of a sub gr aph is deletion of all the edges of this subgraph and o f a ll the v ertices whic h are endp oints only of edges of the subgraph. Note that deletion of a vertex is not the sa me as deletion of a subg raph formed by this vertex. 3 is a cycle C ⊂ C such that xy is (without loss of generality) inside C and certain edge of G − x − y − C is outside C . Denote b y R the union of all the edges o f G/xy lying outside C . (P ossibly G − x − y − C 6 = R .) W e ma y assume that R is a subgraph of G . Draw graph G − R in the plane without self- in tersections (fig. 4 right). W e ma y a ssume that in this drawing the edges of G issuing out of x or y a re inside the cycle C . Eac h connected comp onent o f G − x − y − R − C intersec ts C at most by one p oint. (Indeed, otherwise G − x − y − R − C has a path j o ining t w o p oints of C . In the drawing of G/ xy the corresp onding path lies inside C . Hence the path splits the in terior of C into tw o parts, one of the con ta ining xy , a nd the o ther is not con tained in the f a ce b ounded b y C . Hence C 6⊂ C , whic h is a con tradiction.) Therefore w e can shift to the interior of C eac h connected comp o nen t of G − x − y − R − C (see an arrow in fig. 4). Then G − R − C is inside C . Dra w R outside C lik e for the dra wing of G/ xy (fig. 4 left) . W e obtain a drawing of G in the pla ne without self-interse ctions. QED References [Cl34] S. Cla ytor, T op ologica l immersions of p eanian cont inua in a s pherical sur f ace, Ann. of Math. 35 (1934 ), 809–835. [Cl37] S. C la ytor, Peanian cont inua not embedd able in a spherical surface, Ann . o f Math. 38 (1937 ) 631–6 46. [Ep66] D. B. A. Epstein, Cu rv es on 2-manifolds and isotopies, Acta Math. 115 (1966 ) 83–107. [GHW79] H. H. Glo ver, J . P . Hun ek e and C. S . W ang, 103 graphs that are irreducible for the pro jectiv e plane, J. Comb. Th., 27:3 (1979) 332–370 . [HJ64] R. Halin and H. A. Jung, Karakterisierung d er k omplexe der Eb ene und der 2-Sph ¨ are, Arc h. Math. 15 (1964) 466–46 9. [Ku00] V. A. Kurlin, Basic em b edd in gs int o pro ducts of graph s, T op ol. Appl. 102 (2000) 113– 137. [Ma97] Y u. Mak aryc hev, A sh ort pr o of of Ku rato w ski’s graph planarit y criterion, J. of Graph Theory , 25 (1997) 129–1 31. [MS67] S. Mard e ˇ si ´ c and J. Segal, ε -mappings and generalized manifolds, Michiga n Math. J. 14 (1967 ) 171–1 82. [MA41] S. McLane and V. W. Adkisson, Extensions of homeomorphisms on the spheres, Mic hig. Lect. T op ol., Ann Arb or, (1941) 223–23 0. [Pr04] V. Prasolo v , Elemen ts of com binatoril and d ifferen tial top ology , AMS translations. [RS99] D. Rep o vs and A. Skopenko v, New resu lts on em b edd ings of p olyhedr a and manifolds in to Euclidean s p aces (in Russian), Usp ekhi Mat. Nauk, 54:6 (199 9) 61–109. English transl.: Ru ss. Math. Surv. 54:6 (1999) , 1149–1 196. [RS90] N. Rob ertson and P . D. S eymour, Graph minors VI I I, A Ku rato w ski graph theorem for general s urfaces, J. Com b. Th eory , 48B (1990) 255–28 8. [Sa91] K. S. Sark aria, Ku rato w ski complexes, T op ology , 30 (1991) 67–76. [Sk95] A.Sk op enko v, A description of con tin ua b asically emb eddable in R 2 , T op ol. Appl. 65 (1995 ) 29–48 . [Sk08] A. Sk op enko v, Emb edding and knotting of manifolds in E uclidean s p aces, in: Surve ys in Con temp orary Mathematics, Ed. N. Y oung and Y. Ch oi L ondon Math. So c. Lect. Notes, 347 (2008 ) 248–3 42. arxiv:math/0604045 [Sk] A. Sko p enk o v, Algebraic top ology from an elementa ry viewp oin t, in Russian, MCCME, Mosco w, to app ear. arXiv:0808. 1395 [Th81] C. Thomassen, Ku rato w ski’s theorem, J. Graph . Theory , 5 (1981) 225– 242. [Wh33] H. Whitney , Planar graphs, F und. Math. 21 (1933) 73–8 4. 4 ВОКРУГ КРИТЕРИЯ КУР А ТОВСКОГ О ПЛАНАРНОСТИ ГР А ФОВ 1 А.Б. Ск опенк ов 2 Аннот ация. Форму лировк а критерия Куратовск ого планарности графов х орошо известна (все необ хо димые понятия и эт а форму лировк а напомнены в тек сте). Однак о его классич еск ое док азательство сло жно и привод итс я не во всех книг ах по теории графов. Здесь приво дитс я до- к азательство Макары чева (с упрощениями, сделан ными Заславским, Прасоло вым, Т елишевым и автором); по-видимому , оно являетс я наиболее простым. Перед док азательством критери я Кура- товск ого приво дятся необ хо димые определения, а после — близкие резу ль т аты. Планарные графы Граф называетс я п ланарным , если его можно без самопересечений нарисовать на плос- к ости. Например, любое дерево и любой граф, обра зов а нный вершинами и ребрами нек о- торого выпуклого многогранник а — планарные. А графы K 5 и K 3 , 3 (см. рис.) не являются планарными. Это мо жно доказать путем небольшого перебора с использованием следую- щей теоремы [Pr04, §1, Т еорема 1.3]. (Док азательство непланарности графа K 5 , основанное на понятии коэффицие нта пересечения, см. в [BE82, Sk05, Pr04, §1].) K 5 K 3 , 3 Рис. 1: Графы Куратов ск о го Т еорема Жор дана. Замкну тая нес амопересекающаяся кривая (т.е. цикл) де лит плоскость ровно на две части. (При этом одна часть огр аничена, другая неогр аничена, приче м две точки плоско сти, не принадлежащие кривой, лежат в о дной части тогда и тол ько тогда, когда и х можно соединить ло маной, не пересекающей кривой). Обсуждение и доказательство этой теоремы см., например, в [An03]. Плоским гр афом называетс я изображ ение графа на плоскости без самопересечений. Иног да т ак ое изображ ение называют просто графом, но это неточно, поскольку планар- ный граф можно изобразить (без само пересечений) на плоск ости разными способами. Р азличные изображени я графа на плоск о сти Грубо говоря, подгр аф данного графа — это его часть. Формально, граф G называется подгр афо м графа H , если мно ж ество вершин графа G со дер житс я в мно ж естве вершин графа H и к аждое ребро графа G я в ляетс я ребром графа H . При этом две вершины графа G , соединенные ребром в графе H , не об язательно соединены ребром в графе G . 1 Эта за метка яв ляется допо лненно й версией заметки [Sk05]. Она о снована на занятиях, проведенных в А. Скопенк овым в Кировской ЛМШ, Моск овс кой ОВШ и на кружк ах ‘Ма тематический семинар’, ‘Олим- пиады и математика’. Благ одарю В. Во лкова, М. Вяло го, Д. Пермякова и Т . Шайхиев у за полезные замечания и обсуждения, М. Вялого и издат ельство МЦ Н МО за подгото вку рисунков, а также Б. Мо хара и С. Матвеев а за предоставленные сс ы лки. 2 h ttp://www.mccme.r u/ ˜ skopenko v. Поддер ж ан грант ом ф онда Са ймонса. 1 Ясно, что любой подграф планарного графа планарен. Грубо говоря, графы изоморфны, если они одинак овы (при этом их изображ ения на плоск о сти могут быть разными). Формально , графы G 1 и G 2 (без петель и краьных ребер) называютс я изомор фными , если существу ет взаимно- однозна чное о тображ ение f : V 1 → V 2 мно ж ества V 1 вершин графа G 1 на мно жес тво V 2 вершин графа G 2 , у довлетвор яющее ус ло- вию: вершины A, B ∈ V 1 соединены ребром в том и т о лько в то м с лучае, есл и вершины f ( A ) , f ( B ) ∈ V 2 соединены ребро м . Операция подр азделения реб р а графа показ ана на рисунк е. По дразделение ребра Два графа называются го мео мор фными , если от одного мо жно перейти к другому при помощи операций по дразделения ребра и обратных к ним. Или, эквивалентно, если суще- ству ет граф G , полученный из обо их данных графов операциями подразде ления ребра. Ясно, что гомеоморфные графы являютс я или не являются планарными од новременно. Т еорема Куратовск ого. Гр аф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подгр аф а, го меомо р фного гр афу K 5 или K 3 , 3 (рис. k5k33). Эт а т еорема о бъявлена такж е замечательным советским математиком Львом Семе- новичем Понт рягины м (доказательство не опубликовано), а т акж е Фринк ом и Смитом. Поэтому иногд а ее называют теоремой Понтр ягина-Куратовского. В 192 0 -е годы Карл Менгер объявил, что гр аф, ст епень каждой вершины которого р авна 3, является плос- ким тогда и тол ько тогда, когда он не содержит подгр аф а, го меомор фного гр афу K 3 , 3 . Чит атель мо ж ет попыт атьс я самостоятельно доказать этот факт ( в ытек ающ ий из тео- ремы Куратовск ого). Кроме теоремы Куратовск ого, существу ет много друг их критериев планарности графов [Th81]. Огромный интерес к поиску критерия планарности графов объясняетс я, в частности, наличием о дной из величайших мат ематических гипотез — ги- потезы четырех красок [Pr04, §1]. Она утвер ждает , что вершины любого плоског о графа мо жно правильно раскрасить в 4 цвет а. Р аскраск а вершин (граней) плоск ого графа назы- ваетс я п р авильной , если любые две соседние вершины (грани) окраш ены в разные цвета. Простое док азательство дост аточности в теореме Куратовск ого Приво димое доказательство в основном принадлежите Ю. Макарычеву (он придумал свое доказ ательство, еще бу дучи шк ольник ом!), ср. [Th81, §5 ]. Рис. 2: У даление ребра G − e , ст ягивание ребра G/e и у даление вершины G − x Т ак к ак достаточность в теореме Куратовского достаточно до к азать для графов без 2 петель и кратных ребер, то бу дем ра ссматриват ь т о льк о т акие графы. По д ст ягиванием ребра б у дем понимать ст я гивание ребра вместе с заменой к аждого получившегос я ребра кратности больш е 1 на ребро кратности 1. Утвер ждение. Если связный гр аф G не изомор фен ни K 5 , ни K 3 , 3 , и для любого ребр а e гр аф а G об а гр аф а G − e и G/e планарны, то G п ланарен. x y x y x y Рис. 3: ’Раст ягивание ребра’ в графа х Куратовск ого Доказательство достаточности в т еоре ме Кур атовского с использование м Утвер- ждения. Свойство ‘ гр аф G содержит п одгр аф, го меомор фный гр афу H ’ бу дем сокращенно записывать в виде ‘ G ⊃ H ’. Дост аточность в теореме Куратовск ого док азываетс я индукцией по количес тву ребер в графе. Шаг инду кции следу ет из Утвер ждения, поск о льку ес ли G − e ⊃ K 5 или G − e ⊃ K 3 , 3 или G/e ⊃ K 5 или G/e ⊃ K 3 , 3 для некоторого ребр а e гр аф а G , то G ⊃ K 5 или G ⊃ K 3 , 3 . ‘Для G − e ’ выделенное курсивом утвержд ение очевидно. Если G/xy ⊃ K 3 , 3 , то G ⊃ K 3 , 3 , а если G/ xy ⊃ K 5 , то G ⊃ K 5 или G ⊃ K 3 , 3 (рис. 3). QED Лемма о графах Куратовск ого. Для произвол ьного гр аф а K следующие три усло- вия р авносильны: (1) Для любого ребр а xy гр аф а K гр аф K − x − y не содержит θ -гр аф а, и из каждой вершины гр аф а K − x − y выходит не менее двух ребер. (2) Для любого ребр а xy гр аф а K гр аф K − x − y является ц иклом (содержащим n ≥ 3 вершин). (3) K из о мор фен K 5 или K 3 , 3 . Имплик а ции (3) ⇒ (2 ) ⇒ (1) в лемме о графах Куратов ского очевидны и не использу- ютс я в док азательстве теоремы Куратовск ого. Рис. 4: ’Дерево’ из циклов Доказательство импликации (1) ⇒ (2) в лемме о гр аф ах Кур ат овского. Ввиду (1) в графе K − x − y существу ет ‘висячи й’ цикл, т .е. цикл C , имеющий с ост а льным графом 3 тольк о одну общую в ершину v (ибо граф K − x − y предст ав ляет собой о дно или неск ольк о ‘деревьев’, ‘вершинами’ к оторых слу ж ат циклы, ри с. 4; фо рмально говоря, к аждым блок ом графа K − x − y является цикл). В этом цикле C есть еще по крайней мере дв е вершины p и q . Т ак как в графе K нет вершин, из к о торых вых од ит менее трех ребер, то к аждая из этих вершин p и q соединена либо с x , либо с y . По это му в объ единении цикла C и ребер графа K , соединяющих вершины x, y , p, q , мо жно выделить θ -подграф. Значит , по (1) к аждое ребро графа K − x − y имеет к онец на цикле C . Поскольку по (1) граф K − x − y не со дер жит висячих вершин, то K − x − y = C . QED Доказательство импликации (2) ⇒ (3) в ле мме о гр аф ах Кур атовского. При n = 3 для любых двух вершин b и c цикла K − x − y граф K − b − c является циклом, поэтому ост авшаяся вершина цикла K − x − y соединена (ребром) в K и с x , и с y . Поэтому K = K 5 . При n ≥ 4 возьмем любые четыре соседние вершины a, b, c, d цикла K − x − y . Поск ольку граф K − b − c являетс я циклом, то в K одна из вершин a и d соединена с x (и не соединена с y ), друг ая соединена с y (и не соединена с x ), а от личные от a, b, c, d вершины цикла K − x − y (к оторых нет при n = 4 ) не соединены ни с x , ни с y . При n ≥ 5 получаем противоречие. При n = 4 получаем, что четыре в ершины цикла K − x − y соединены с x и y попеременно, отку да K = K 3 , 3 . QED Доказательство ут верждения. Т ак к ак G не изоморфен ни K 5 , ни K 3 , 3 , то по лемме о графах Куратовского существу ет ребро e = ( xy ) графа G , для к оторого в графе G − x − y найдетс я либо вершина степени меньше 2 (в G − x − y ), либо θ -подграф. Если в графе G из нек оторой вершины вых одит одно или два его ребра, то при ст я- гивании о дного из них получаетс я планарный граф, значит , и граф G планарен. Поэто му далее бу дем счит ать, что из каждой в ершины графа G вых одит не менее трех его ребер. Поэтому в графе G − x − y нет изолированных вершин, и если есть вис ячая вершина p , то она соединена и с x , и с y в графе G . Нарису ем граф G − ( xy ) на плоск ости без самопересече ний. Т ак к ак в графе G из p вых одит три ребра, т о ‘с о дной стороны’ от пути xpy из p не вых оди т ребер. ’По дрису ем’ ребро xy вдоль пути xpy ‘с этой стороны’ от него. Получим изображен ие графа G на плоск ости без самопересечений. Р ассмотрим теперь случай, к ог да в графе G − x − y найдетс я θ - по дграф. Из теоремы Жорд ана следу ет , что любой плоский гр аф р азбивает плоскость н а конеч- ное чис ло связны х частей. Эти части называютс я гр анями плоск о го графа. xy x y Рис. 5: Изобра жение на плоск ости графов G/xy и G Нарису ем без самопересечен ий на плоск ости граф G/xy (рис. 5 слева). Изображ ение графа G − x − y = G/xy − xy на плоск ости получаетс я стиранием ребер графа G/xy , вых одящих из вершины xy . Обозна чим через C границу той грани (изображ ения) графа G/xy − xy , к оторая содер жит вершину xy графа G/xy . Заметим, что гр аница гр ани не может содержать θ -подгр аф а. (Это утвер ждение можно вывести из теоремы Жор дана. Другое доказательство полу- чаетс я от противного: если граница грани со дер жит θ -подграф, то возьмем точку внутри 4 этой грани и соединим ее тремя ребрами с тремя точками на трех ’дуг а х’ θ - по дграфа. Получим изображен ие графа K 3 , 3 на плоск ости без самопересечений. Противо речие.) Поэтому G − x − y 6 = C . Т огд а ребра графа G − x − y − C 3 нах о дятс я в грани (изображ е- ния) графа G − x − y = G/xy − xy , не со дер ж ащей вершины xy . Значит , граф C разбивает плоск о сть. Поэтому найдетс я цикл C ⊂ C , относительно к оторого вершина xy лежит ( не уменьшая общ ности) внутри, а нек оторое ребро графа G − x − y − C — в не. Обозна чим через R объ единение всех ребер графа G/xy , леж ащих вне цикла C . (Воз- мо жно, G − x − y − C 6 = R .) Мо жно счит ат ь, что R — подграф в G (а не только в G − x − y ). Граф G − R можно нарисовать на плоскости без самопересечений (рис. 5 справа). Мо жно счит ать, что ребра графа G , вых о дящие из x или y , на изображении графа G − R леж ат внутри цикла C . Каждая компоне нта связности графа G − x − y − R − C пересек ается с C не более чем по одной точк е. (Если это не т ак, то в G − x − y − R − C есть путь, соединяющий две точки на C . На изображе нии графа G/ xy соответствующий путь лежит внутри цикла C . Зна чит , этот путь разбивает внутреннюю часть цикла C на две части, одна из которых со дер жит xy , a друг ая не лежит в грани, ограниченной C . Поэтому C 6⊂ C — противоречие.) Поэтому можно перекинуть внутрь цикла C каждую к омпоненту связности графа G − x − y − R − C (см. стрелочку на рис. 5 справа). Зна чит , граф G − R − C мо жно нарисовать внутри цикла C . Нарису ем R вне C , как для изображ ения графа G/xy (рис. 5 слева). Получим изображен ие графа G на плоск ости без самопересечений. Q ED Запрещенные по дсистем ы Если нек о торая по дсистема системы N не реализу ема в дру гой системе M , то и N не реализу ема в M . Естественная идея — попыт аться найти список ’запрещенных’ систем N 1 , . . . , N k , не реализу емых в M , со следующим свойством: для того, чтобы систе ма N была ре ализу е ма в M необходимо и достаточно, чтобы N не содержал ни одной из этих ’зап рещенных’ подсисте м. Классический пример теоремы так ого рода — теорема Куратовск ого. Т ак можно опи- сать графы, вло жимые в любую данную поверхн ость [RS90], а такж е много других классов графов или более о бщих обьектов (например, графы и даж е пеановские к онтинуумы, б а- зисно в ло жимые в плоск ость [Sk95, Ku00]). Заметим, что список запрещенных по дграфов для вло жимости графа в лист Мебиу са соде р жит целых 103 графа [GHW79]. Даже суще- ствование т акого конечн ого списк а для произвольной повер хности доказыветс я сложно [AH89, RS90]. Список запрещенных полиэ дров беск онечен для вло жимости двумерных по- лиэ дров в R 3 или n -мерных полиэ дров в R 2n , г де n ≥ 2 [Sa91]. Поэтому интересны другие препятствия к вложимос ти. Заметим, что одно из самых полезных препятствий строится с помощью конфигур ационного простр анства упор ядоченных пар различных точек данного пространства [RS99, Sk08]. Приведем форму лировки нек оторых резу льт атов (доказ ательства оставляем читате- лю в ка честве зада ч). Т е форму лировки, в к оторых встречаютс я неизвестные чит ателю объекты, он мож ет игнорировать. Т еорема Шартрана-Харари . Гр аф G можно нарисовать на плоскости без с амо- пересечений так, чтобы он был гр аницей некоторой о дной гр ан и тогда и то лько тогда, когда G н е содер жит θ -подгр аф а. Назовем несамопересек ающийс я цикл C в связном графе G гр ан ичным , если суще- ству ет изображ ение без самопересечений графа G на плоск ости, при к отором цикл C 3 У даление подграфа — у даление всех его ребер и всех вершин, из которых выхо дят только ребра этого подграфа. За метим, что у даление вершины — не то ж е само е, что у даление подграфа из этой вершины. 5 изображ аетс я границей нек оторой грани. Следующий резу ль тат можно вывести из теоре- мы Куратовск ого, ср. [Cl34]. C C Рис. 6: Цикл C не мо ж ет быть границей внешней грани Относительная версия теоремы Куратовског о. Ци кл C является гр аничным то- гда и только тогда, когда гр аф G планарен и цикл C не содержится в под гр афе гр аф а G , как на рис. 6. А в от следующий резу льт ат проще док азывать, не использу я тео рему К урато в ск о го (по дробнее см. [Sk, г лава 1]). Т еорема о 8 и θ . Гр аф G с заданны ми циклами ребер, выходящих из каждой вершины, можно так изобр азить без с амопересечений на плоскости, чтобы указанные циклы шли по ч асовой стре лке, тогда и то лько тогда, когда G не содержит ’вось мерки’ или ’буквы θ ’ с циклами, изобр аженными на рис. 7. Рис. 7: Графы с циклическими порядк ами, не реализу емыми на плоскости Два вло ж ения (т .е. изображе ния без самопересечений) f , g одного и того ж е графа в плоск о сть называютс я изотопными , если о дно мо жно т ак непреры вно про деформировать в другое, что бы в процессе деформации мы все время имели бы влож ение (фо рмаль ное определение см., например, в [Ma07]). Т еорема Маклейна-Эдкиссона. Два вложения связного гр аф а в плоскость изотоп- ны тогда и только тогда, когда их сужения на любой триод T и на любой нес амопере- секающийся цикл S 1 изотопны (т.е. не таковы, как на рис. 8) [MA41]. 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 3 2 Рис. 8: Разли чные вло ж ения трио да и окружности в плоск о сть Эту теорему у добно сна чала док азать для деревьев, а потом св ести общий случай к случаю деревьев путем выделения макс имального дерева. Т еорема Маклейна-Эдкиссона справедлива т акже для по лиэдр а или даже пе ановского континуума [M A41]. Т еорема Маклейна-Эдкиссона (без утвержде ния в скобк ах) справедлива для вло ж ений в сферу , тор и другие сферы с ручк ами (док азательство аналогично). Заметим, что любая изотопия графа на повер хности объемлема [С. В. Матвеев, частное сообщение]. 6 Т еорема Б аэра-Эпштейна . Две замкнутые нес амопересекающиеся кривые на дву- мерно м многообр азии го мотопны тогда и только тогда, когда о ни из отопны [Ep66]. Т еорема Эпштейна сводит вопрос о классифик а ции вло ж ений окружности в двумерное многообразие N (и, тем самым, произвольного графа в сферу с ручк ами и дырк ами) к вопросу о реализу емости элементов фундамент альной группы π 1 ( N ) влож енными окруж- ност ями. Но последний во прос очень сло ж ен. Зада ча. Граф называетс я (вершинно) k -связным , если он остае тся связным после у да- ления любо й k − 1 вершины и распадаетс я после у даления нек ото рых k вершин. Выведите из теоремы Маклейна-Эдкисс она следующие утвер ждения. Любое влож ение произвольного трех связного графа в сферу мож ет быть получено из любого другого композиц ией изотопии и осевых симметрий. Любое влож ение дву связного графа в сферу мо ж ет быть получено из любого другого к омпозицией изотопии и ’перевора чиваний блок ов’ (рис. 9). Рис. 9: Переворачивание блок а Определите операции, при помощи к оторых мо жно получить любое вло же ние 1-связного ( ⇔ связного) графа в сферу из любого другого. Сд елайте то ж е и для 0-связного ( ⇔ произ- вольного) графа. Т аким образом получитс я другое описание в ло ж ений графо в в плоск ость с точностью до изотопии [Wh33]. Прило ж ение: планарность полиэ дров и к онтинуумов Полиэ др (синоним: тело симплициального комплек са) — это многомерный аналог гра- фа. Определение см., на пример, в [Pr04, §8, Ma07]. Уж е двумерные полиэ дры — интерес- ные и сло жные объ екты, про к оторые имеетс я неск о льк о знаменитых и тру дных нерешен- ных проблем [Ma07 ]. Поэтому у дивительно, что имеетс я следующий резу ль тат . Т еорема Х алина- Юнга . Связный п о лиэдр вложим в S 2 тогда и только тогда, когда он не содержит гр афов K 5 , K 3 , 3 или ’зонтика’ U 2 (рис. 10) [H J64, MS67]. Рис. 10: З онтик В этом резу ль тате интересна лишь ча сть ’тог да’ и лишь для двумерных полиэ дров. Следующее доказ ательство (видимо, являющеес я фо льклорным) проще предст а в ленного в [HJ64] и тем более в [MS67]. Набросок доказательства части ’тогда’. Пу сть связный 2-полиэ др N 6 ∼ = S 2 не со дер- жит ни графов K 5 , K 3 , 3 , ни зонтик а U . Т ак к ак N не со держ ит зонтика, то окрестность любой точки в N является объединени ем дисков и отрезк ов, склеенных за одну точку (рис. 11 слева). Если этих диск ов бо ль ш е одного, т о заменим эту окрестность на изображ енную на рис. 11 справа. При этом преобразовании не появитс я по дграфов K 5 и K 3 , 3 ; Об ра т ное преобразование являетс я ст ягиванием ’звезды с неск оль кими лучами’ и поэтому сох раняет планарность. 7 Рис. 11: П реобразов а ние о крестности точки Зна чит , дост аточно доказать теорему для полученного 2 - полиэ дра. Рас смотрим объеди- нение ¯ N его двумерных граней. Т огда окрестность любой то чки в ¯ N являетс я диск ом. Зна чит , по теореме классифик а ции пов ер хностей ¯ N являетс я сферой с ручк ами, пленк ами Мебиу са и дырк ами. Поск ольку к аждый из графов K 5 и K 3 , 3 вло жим и в тор с дыр кой, и в лист Мебиу са, то ¯ N есть несвязное объ единение диск о в с дырк ами. Заменим каждый из этих диск ов с дырк а ми на граф с рис. 12. Полученн ый граф планарен. По вло же нию этого графа в плоск ость легк о построить вло же ние полиэ дра N в плоскость. QED Рис. 12: П реобразов а ние диска с дырк ами В терминах запрещенных по дсистем мо жно такж е описать ’к омпактно беск онечные графы’ (т .е. локально связные к онтинуумы), в ло жимые в плоскость. Континуум — к ом- пактное связное метрическ ое пространство. К о нтинуумы естественно по являются при изу - чении динамических систем (даже г ладких!). К о нтинуум называетс я локально связным (или контину умом Пеано), если для любой его то чки x и ее окрестности U существу ет т а- к ая меньшая окрестность V точки x , что любые две точки из V соединяютс я нек оторым путем, целик ом лежащим в U (или, эквивалентно, если он являетс я непрерывным обра- зом дуги). Ло к ально связные контину умы могут быть очень сло жно устроен ы. Поэтому у дивительно, что имеетс я следующий резу льт ат . Т еорема Клэйтора. Пе ановский континуум вложим в S 2 тогда и тол ько тогда, когда он не содержит континуумов K 5 , K 3 , 3 , C K 5 и C K 3 , 3 (рис. 13) [C l34, Cl37]. Построение континуу мов C K 5 и C K 3 , 3 . Возьмем ребро ab графа K 5 и отметим на нем новую вершину a ′ . Пу сть P = K 5 − ( aa ′ ) . Пу сть P n к опия графа P . Обознач им через a n и a ′ n вершины графа P n , соответствующие a и a ′ . Поло жим C K 5 := ( P 1 [ a ′ 1 = a 2 P 2 [ a ′ 2 = a 3 P 3 . . . ) [ x =0 I , г де { P n } — последовательность гр афов на плоск ости со стремящимис я к ну лю ди аметрами, с х о дящаяся к точке x / ∈ ⊔ ∞ n =1 P n . Т очно т ак ж е можн о определить контину ум C K 3 , 3 , взяв в на чале K 3 , 3 вместо K 5 . 8 a 1 a 2 = a ′ 1 C K 5 a 1 a 2 = a ′ 1 C K 3 , 3 Рис. 13: Континуумы К уратов ск о го Доказательство невложимости в т еоре ме Клэйтор а. Докаж ем невло жимость C K 5 (док азательство невло жимости C K 3 , 3 аналогично). П усть, напротив, f : C K 5 → R 2 — вло- ж ение. Обозначи м через S := P − a − a ′ окружность в P , сост авленную из ребер, не со дер ж ащих вершин a и a ′ . Аналогично определим S n ⊂ P n . Т ак как S n с х о дитс я к x = 0 , то f 1 лежит вне f S n для дост аточно больш ого n . Т ак как f I — путь между f 0 и f 1 , леж а щ ий вне f S n , то f 0 лежит вне f S n . Т ак к ак S n с х о дитс я к x = 0 , то f S m лежит вне f S n и f S l лежит вне f S m для дост ато чно больших m < l . Но тогда f a m и f a ′ m леж ат вне f S m . Это противоречит то му , что для любого в лож ения g : P → R 2 точки g a и g a ′ леж ат по разные стороны о т образа g S . QED Отметим, чт о в теореме Куратовск о го мо жно заменить плоск ость R 2 на сферу S 2 . В теоремах Халина-Юнг а и Клэйтора мо жно заменить S 2 на R 2 , то льк о добавив запрещен- ный подполиэ др или по дк онтинуум S 2 . Литература [An03] Д. В. Аносов, Отображ ения окружности, векторные поля и их применения, МЦНМО, Москва, 2003. [AH89] D. Arc hdeacon and P . H unek e, A Kurato wski theorem for non-orien table surfaces, J. Com b. Th., Ser. B, 46 (1989) 173–231. [BE82] В. Г . Болтян ский и В. А . Ефремович, Наг лядная топология, На ук а, Москва, 1982. [Cl34] S. Cla ytor, T op ological immersions of p eanian con tinua in a s pherical surface, Ann. of Math. 35 (1934), 809–835. [Cl37] S. Cla ytor, Pean ian con tinu a not em b eddable in a spherical surface, Ann. of Math. 38 (1937) 631–646. [Ep66] D. B. A. Epstein, Curves on 2-manifolds and isotopies, A cta Math. 115 (1966) 83–107. [GHW79] H. H. Glov er, J. P . Huneke and C. S. W ang, 103 graphs that are irreducibl e for the pro j ectiv e plane, J. Com b. Th., 27:3 (1979) 332–370. [HJ64] R. Halin and H. A. Jung, Karakterisierung der komple x e der Eb ene und der 2-Sph¨ are, Arch. Math. 15 (1964) 466–469. [Ku00] V. A. Kurlin, Basic embeddings in to pro ducts of graphs, T op ol. Appl. 102 (2000) 113–137. [Ma07] С. В. Матвеев, Алгоритмическ ая топологи я и классиф икация трехмерных многообр а- зий, МЦНМО, Москва, 2007. [Ma97] Y u. Mak aryc hev, A short pro of of Kurato wsk i’s graph planarit y criterion, J. of Graph Theory , 25 (1997) 129–131. [MS67] S. Marde ˇ si´ c and J. Segal, ε -mappin gs and generalized manifolds, Mic higan Math. J. 14 (1967) 171–182. [MA41] S. McLane and V. W. Adkisson, Extensions of homeomorphisms on the spheres, Mic hig. Lect. T op ol., Ann A rb or, (1941) 223–230. 9 [Pr04] В. В. Прасолов, Элементы к омбинаторной и дифференциальной топологии, М ЦНМО, Москва, 2004. [RS99] Д. Р еповш и А. Скоп енк ов, Новые резу льт аты о вло жен иях полиэ дров и многообразий в евклидовы пространств , УМН 54:6 (1999) 61–109. [RS90] N. R ob ertson and P . D. Seymour, G raph minors VI I I, A Kurato wski graph theorem f or general surfaces, J. Com b. Theory , 48B (1990) 255–288. [Sa91] K. S. Sark aria, Kurato wski complexes, T op ology , 30 (1991) 67–76. [Sk95] A.Sk op enk ov, A description of con tin ua basically em b eddable in R 2 , T opol. Appl. 65 (1995) 29–48. [Sk05] А. Ск опенк ов, Вокруг критерия Куратовск ого планарности графов, Мат . Просвещение, 9 (2005), 116–128 и 10 (2006), 276–277. h ttp://www.mc cme.ru/free-b o oks/matprosa.h tml [Sk08] A. Skopenko v, Em b edding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surv eys in Con temp orary Mathematics, Ed. N . Y oung and Y . Choi London Ma th. So c. Lect. N otes, 347 (2008) 248–342. arXiv:math/0604045 [Sk] А. Ск опенк ов, Алгебраическ ая топологи я с элемент арной точки зрения, МЦНМО, Москва, в печати, arXiv:math/080 8.1395 [Th81] C. Thomassen, Kurato wsk i’s theorem, J. Graph. Theory , 5 (1981) 225–242. [Wh33] H. Whitney , Planar graphs, F und. Math. 21 (1933) 73–84. 10