Descente par eclatements en K-theorie invariante par homotopie

La descente par éclatements pour la K-théorie invariante par homotopie a été prouvée par C. Haesemeyer [7] pour les schémas de caractéristique nulle. Il s'agit de l'un des ingrédients de la preuve de la conjecture de Weibel [23, Question 2.9], d'annulation de la K-théorie négative au delà de la dimension de Krull, pour les schémas de caractéristique nulle ; voir [4]. Nous prouvons ici la descente par éclatements pour la K-théorie invariante par homotopie pour les schémas noethériens de dimension de Krull finie (sans aucune restriction sur la caractéristique). L'argument invoqué ici n'utilise pas de résolution des singularités, mais consiste à démontrer un résultat intéressant en soit, annoncé par V. Voevodsky [20, Théorème 6.9] : la représentabilité de la K-théorie invariante par homotopie dans la catégorie homotopique stable des schémas de Morel et Voevodsky par le S 1 ∧G m -spectre KGL. La descente par éclatements en K-théorie invariante par homotopie est alors un simple corollaire des théorèmes de changement de base lisse et de changement de base propre dans le cadre motivique, démontrés par J. Ayoub [1], et légèrement généralisés dans [3]. Pour terminer ces notes, en utilisant le fait que la K-théorie non-connective est invariante par homotopie modulo la p-torsion pour les schémas de caractéristique p > 0, on en déduit, sous l'hypothèse de l'existence d'une résolution des singularités locale pour les k-schémas de type fini, la conjecture de Weibel en caractéristique positive modulo p-torsion (d'après T. Geisser & L. Hesselholt [5], ainsi que A. Krishna [11], on peut aussi avoir des résultats à coefficients entiers, mais sous l'hypothèse de l'existence d'une résolution des singularités globale). Signalons que, depuis la rédaction de la première version de ces notes, la conjecture de Weibel en caractéristique p > 0 modulo p-torsion a été démontrée inconditionnellement par Shane Kelly [10], en utilisant les résultats de représentabilité et de descente prouvés ici, ainsi que les raffinements apportés par O. Gabber à la théorie des altérations de de Jong. Dans ce qui suit, tous les schémas seront noethériens, de dimension de Krull finie. 1. Spectres invariants par homotopie -Si E est un S 1 -spectre, on notera π n (E) son n-ème groupe d'homotopie stable. Lorsque nous aurons envie d'insister sur le point de vue cohomologique, nous écrirons H n (E) = π -n (E) . 1.2. -Soit S un schéma. On considère la catégorie E(S) des préfaisceaux simpliciaux sur la catégorie des S-schéma lisses, munie de la structure de catégorie de modèles projective (voir par exemple [2,Proposition 4.4.16]). On désigne par E • (S) sa variante pointée. On note Sp S 1 (S) la catégorie de modèles stable des S 1 -spectres (symétriques) dans E • (S) (ou encore, de manière équivalente, la catégorie de modèles projective des préfaisceaux en S 1 -spectres (symétriques) sur la catégorie des S-schémas lisses). La catégorie homotopique correspondante Ho(Sp S 1 (S)) est canoniquement munie d'une structure de catégorie triangulée engendrée par ses objets compacts. Une famille génératrice est donnée par la collection des (suspensions des) objets de la forme Σ ∞ (X + ), où X parcourt la classe des S-schémas lisses. Si E est un S 1 -spectre dans E • (S), on note, pour tout entier n et pour tout S-schéma lisse X, H n (E(X)) ≃ Hom Ho(Sp S 1 (S)) (Σ ∞ (X + ), Σ n E) le n-ème groupe de cohomologie de X à coefficients dans E. Un morphisme E -→ F de Ho(Sp S 1 (S)) est un isomorphisme si et seulement si, pour tout S-schéma lisse X, et pour tout entier n, il induit un isomorphisme de groupes abéliens H n (E(X)) ≃ H n (F (X)). On dispose aussi de la sphère de Tate S 1 ∧ G m (où le groupe multiplicatif G m est considéré ici comme un préfaisceau pointé par 1). On notera T tout remplacement cofibrant de On note Ho A 1 (Sp S 1 (S)) la sous-catégorie pleine des S 1 -spectres invariants par homotopie. Cette dernière catégorie peut être décrite comme une localisation de la catégorie triangulée Ho(Sp S 1 (S)) comme suit. Désignons par A la sous-catégorie localisante (i.e. stables par petites sommes quelconques, par suspensions et cosuspensions, ainsi que par extensions) de Ho(Sp S 1 (S)) engendrée par les cônes des morphismes Σ ∞ (X × A 1 + ) -→ Σ ∞ (X + ) (induits par les projections X × A 1 -→ X). Alors le foncteur vers le quotient de Verdier correspondant Ho(Sp S 1 (S)) -→ Ho(Sp S 1 (S))/A admet un adjoint à droite pleinement fidèle dont l'image essentielle est précisément la sous-catégorie pleine de Ho(Sp S 1 (S)) formée des S 1 -spectres invariants par homotopie. On peut calculer l'adjoint à gauche du foncteur d'inclusion de la manière suivante. On rappelle que l'on dispose d'un S-schéma cosimplicial ∆ Si E est un préfaisceau de S 1 -spectres sur la catégorie des S-schémas lisses, on note où RHom désigne le hom interne de la catégorie Ho(Sp S 1 (S)), et où la colimite homotopique est indexée par la catégorie opposée de la catégorie des simplexes). On vérifie immédiatement que R A 1 (E) est invariant par homotopie, et que le foncteur R A 1 est l'adjoint à gauche du foncteur d'inclusion ci-dessus. Autrement dit, le morphisme canonique E -→ R A 1 (E) est le morphisme universel de E vers un préfaisceau de S 1 -spectres invariant par homotopie. On dira qu'un morphisme de Ho(Sp S 1 (S)) est une A 1 -équivalence si son image par le foncteur R A 1 est un isomorphisme. On peut donc décrire la catégorie Ho A 1 (Sp S 1 (S)) comme la localisation de la catégorie Ho(Sp S 1 (S)) par la classe des A 1 -équivalences (le foncteur R A 1 étant alors le foncteur de localisation canonique). Lemme 1.4. -Soit C un objet compact de Ho(Sp S 1 (S)). Le foncteur RHom(C, -) : Ho(Sp S 1 (S)) -→ Ho(Sp S 1 (S)) respecte les A 1 -équivalences. En particulier, pour tout préfaisceau de S 1 -spectres E, on a un isomorphisme canonique En effet, le morphisme de multiplication µ : lequel est une A 1 -homotopie de l'identité de E A 1 avec le morphisme composé Désignons par A ′ la sous-catégorie localisante de Ho(Sp S 1 (S)) engendrée par les cônes de morphismes de la forme C -→ C A 1 , pour C un objet compact. La remarque précédente montre que A ′ ⊂ A (où A est la sous-catégorie localisante introduite au numéro 1.3). On a en fait l'égalité A = A ′ . En effet, le morphisme de multiplication ) . Le même type de considérations montre plus généralement que, pour tout entier n ≥ 0, et pour tout objet compact C de Ho(Sp S 1 (S)), le cône du morphisme canonique C -→ C A n S est dans A = A ′ . Étant donné que Σ ∞ (A 1 S + ) est compact, et que les objets compacts de Ho(Sp S 1 (S)) sont stables par produit tensoriel (smash produit), le foncteur E -→ E A 1 S commute aux sommes quelconques, d'où l'on déduit que la classe A ′ contient en fait tous les cônes de morphismes de la forme E -→ E A 1 S pour tout E. Soit C un objet compact de Ho(Sp S 1 (S)). Pour montrer que le foncteur correspondant RHom(C, -) respecte les A 1 -équivalences, il suffit donc à présent de vérifier que ce foncteur envoie A ′ dans A ′ . Soit E un objet de Ho(Sp S 1 (S)). On vérifie aussitôt que S , d'où on déduit la première assertion du lemme. Considérons à présent deux objets C et E de Ho(Sp S 1 (S)), avec C compact. Les A 1 -équivalences étant stables par produit tensoriel, le spectre est invariant par homotopie, ce qui implique que le morphisme canonique induit un morphisme non moins canonique Le fait que ce dernier soit un isomorphisme résulte du fait que le morphisme canonique RHom(C, E) -→ RHom(C, R A 1 (E)) est une A 1 -équivalence, ce qui se voit de la manière suivante : l'objet C étant compact dans une catégorie homotopique stable, le foncteur RHom(C, -) commute aux colimites homotopiques, et donc ce morphisme est une colimite homotopique de morphismes de la forme lesquels sont tous des A 1 -équivalences. 2. Représentabilité de la K-théorie invariante par homotopie (avec K n (X) = 0 si n < 0). Le spectre de K-théorie est un spectre en anneaux (un monoïde commutatif dans Ho(Sp S 1 (S))) via le produit tensoriel (dérivé) des complexes parfaits. On définit la K-théorie invariante par homotopie naïve IK par la formule La structure de spectre en anneaux sur K induit canoniquement une telle structure sur IK, de telle façon que le morphisme canonique K -→ IK soit un morphisme de spectres en anneaux. On choisit une présentation du groupe multiplicatif et on note b ∈ K 1 (G m ) la classe associée à la section inversible t, laquelle correspond à un morphisme b : On dispose alors du cup produit par la classe b en K-théorie et en K-théorie invariante par homotopie naïve. -Comme on le voit, on aura donc à considérer des couples (E, w), où E est un préfaisceau de S 1 -spectres, et où w : T ∧ L E -→ E est un morphisme de Ho(Sp S 1 (S)). On peut toujours supposer que E est à la fois fibrant et cofibrant. Cela implique alors que les propriétés suivantes sont vérifiées (on rappelle qu'on a rendu T cofibrant dans la catégorie E • (S) des préfaisceaux simpliciaux pointés) : (a) le morphisme canonique T ∧ L E -→ T ∧ E est un isomorphisme dans Ho(Sp S 1 (S)) (puisque E est cofibrant) ; (b) le morphisme w se relève en un morphisme w : T ∧ E -→ E (car T ∧ E est cofibrant et E est fibrant). Dans la pratique, on notera par abus w = w, ce qui est justifé par la proposition 2.3 et la remarque 2.4 ci-dessous. Si E et E ′ sont deux préfaisceaux de S 1 -spectres chacun munis de morphismes w : -Soit E un préfaisceau de S 1 -spectres à la fois fibrant et cofibrant, et soient w i : T ∧ E -→ E, i = 0, 1, deux morphismes de préfaisceaux de S 1 -spectres tels que w 0 = w 1 dans Ho(Sp S 1 (S)). Alors il existe un préfaisceau de Démonstration. -Notons ∆ 1 l'intervalle simplicial (vu comme un préfaisceau constant), et posons I = Σ ∞ (∆ 1 + ). La diagonale de ∆ 1 et le morphisme ∆ 1 -→ ∆ 0 induisent une structure d'algèbre de Hopf sur I ; on notera ici ∆ : I -→ I ∧ I la comultiplication, et η : I -→ Σ ∞ (S + ) la co-unité. Les inclusions {i} ⊂ ∆ 1 , i = 0, 1, induisent des cofibrations triviales d i : Σ ∞ (S + ) -→ I, i = 0, 1, de sorte que ηd i = 1 I . En particulier, comme E est cofibrant, T ∧ E ∧ I est un objet cylindre de T ∧ E au sens des catégories de modèles. Comme E est aussi fibrant, on en déduit qu'il existe un morphisme On définit enfin toujours une cofibration triviale, on peut toujours trouver w ′ : T ∧ E ′ -→ E ′ de sorte que i soit un morphisme T -équivariant. En particulier, dans la conclusion de la proposition 2.3, on peut toujours imposer que E ′ soit aussi fibrant. Une variation de l'argument précédent s'applique à la catégorie de modèles obtenue comme la localisation de Bousfield à gauche L A 1 Sp S 1 (S) de Sp S 1 (S) par les morphismes de la forme pour X lisse sur S et n un entier (les équivalences faibles correspondantes sont alors les morphismes induisant un isomorphisme dans Ho A 1 (Sp S 1 (S))). On en déduit que, pour tout préfaisceau de S 1 -spectres E muni d'un morphisme w : T ∧ E -→ E, le morphisme canonique E -→ R A 1 (E) peut être réalisé comme une cofibration triviale de but fibrant dans L A 1 Sp S 1 (S), de sorte qu'il existe un morphisme w A 1 : De même, pour toute fibration triviale p : E ′ -→ E de source cofibrante, comme T ∧ E ′ est encore cofibrant, on voit qu'il existe un morphisme w ′ : T ∧ E ′ -→ E ′ tel que le morphisme p soit T -équivariant. -Considérons à présent un objet E dans Sp S 1 (S), muni d'un morphisme w : T ∧ E -→ E. On notera par abus encore w : T ∧ L E -→ E le morphisme induit par le morphisme canonique T ∧ L E -→ T ∧E. À une telle donnée, nous allons associer deux nouveaux spectres, notés respectivement E B et E ♯ , et nous verrons ensuite qu'ils sont A 1 -équivalents ; voir le corollaire 2.11. Ces constructions ont lieu dans la catégorie de modèles des préfaisceaux de S 1 -spectres (en particulier, on utilisera un certain nombre de fois des remplacements fibrants et des remplacements cofibrants). On n'exprimera cependant ces constructions que dans le language des foncteurs dérivés laissant au lecteur le soin de vérifier qu'une utilisation répétée de la remarque 2.4 donne bien un sens aux objets considérés. On commence par la construction de Bass-Thomason-Trobaugh E B . Nous allons construire par récurrence une famille de morphismes Pour un objet C de Ho(Sp S 1 (S)), on note V (C) l'objet défini par le carré homotopiquement cocartésien suivant. et par là, un morphisme canonique On note U (C) la fibre homotopique de ce dernier, ce qui donne, par définition, un triangle distingué canonique Si en outre on dispose d'un morphisme w : T ∧ L C -→ C, alors, pour tout objet A de Ho(Sp S 1 (S)), on a un morphisme canonique Cette construction étant fonctorielle en A (et le smash produit par T commutant aux colimites homotopiques), on en déduit alors des morphismes naturels Le morphisme w permet en outre de produire un morphisme canonique ) est obtenu par transposition de w, et où l'inclusion désigne le morphisme induit par la décomposition de Σ ∞ (G m+ ) en facteurs directs Σ ∞ (G m+ ) = Σ ∞ (S + ) ∨ Σ -1 (T ), obtenue via la section unité de G m ). Nous pouvons alors définir On définit enfin la construction de Bass-Thomason-Trobaugh E B par la formule On a alors, par construction, un morphisme canonique La construction de E ♯ est plus directe. Le foncteur T ∧ (-) induit des morphismes canoniques RHom(T ∧n , E) -→ RHom(T ∧n+1 , T ∧ L E) , et le morphisme w induit des morphismes évidents On obtient donc une suite de morphismes RHom(T ∧n , E) . On dispose aussi, par construction, d'un morphisme canonique 2.8. -Le spectre de K-théorie invariante par homotopie (au sens de Weibel [24,19]) est, par définition : On a donc, pour tout S-schéma lisse X, et tout entier n, un isomorphisme de groupes Afin de comprendre la K-théorie invariante par homotopie au sein de la théorie de l'homotopie des schémas, nous allons comparer le spectre KH et le spectre IK ♯ . Proposition 2.9. -Soient E et F deux objet de Sp S 1 (S), munis de morphismes w : Démonstration. -Cela résulte immédiatement du lemme 1.4. Proposition 2.10. -Sous les hypothèses de 2.5, si E est invariant par homotopie, alors il en est de même de E B et de E ♯ , et on a alors un isomorphisme canonique Démonstration. -Les spectres invariants par homotopie forment une sous-catégorie localisante de Ho(Sp S 1 (S)), et, si un spectre F est invariant par homotopie, il en est de même de RHom(C, F ) pour tout objet C de Ho(Sp S 1 (S)). On en déduit aussitôt, par examen des constructions de E B et de E ♯ , que ces derniers sont invariants par homotopie dès que c'est le cas pour E. Si C est invariant par homotopie, on voit immédiatement que l'objet V (C) construit au numéro 2.5 est canoniquement isomorphe à C, de sorte que le triangle distingué Corollaire 2.11. -Sous les hypothèses de 2.5, on a des isomorphismes canoniques dans Ho(Sp S 1 (S)) : Démonstration. -En vertu de la propositions 2.9 et de la première assertion de la proposition 2.10, le morphisme équivalence dont le but est invariant par homotopie, et donc son image par le foncteur R A 1 est un isomorphisme de même but (à isomorphisme canonique près). Ce corollaire résulte donc de l'identification de R A 1 (E) B et de R A 1 (E) ♯ , donnée par la seconde assertion de la proposition 2.10. Corollaire 2.12. -Il existe des isomorphismes canoniques KH ≃ IK B ≃ IK ♯ . 2.13. -On rappelle qu'un préfaisceau de S 1 -spectres E sur la catégorie des Sschémas lisses a la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich si E(∅) ≃ 0, et si, pour tout carré cartésien de S-schémas lisses est homotopiquement cartésien (on rappelle que cette condition est équivalente à la propriété de descente cohomologique formulée en terme d'hyper-recouvrements de Nisnevich ; voir [21,22]). On vérifie facilement que si E vérifie la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich, alors il en est de même de RHom(C, E) pour tout préfaisceau de S 1 -spectres C (il suffit de le vérifier dans le cas où C = Σ ∞ (X + ) pour X lisse sur S). En outre, les préfaisceaux de S 1 -spectres vérifiant la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich forment une sous-catégorie localisante de Ho(Sp S 1 (S)). Cela implique que, si E vérifie la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich, il en est de même de R A 1 (E), ainsi que, lorsque cela a un sens, de E B et de E ♯ . Corollaire 2.14. -Le spectre IK ♯ vérifie la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich. Démonstration. -En vertu des théorèmes d'excision et de localisation [19, 7.1 et 7.4], on sait déjà que le spectre K B (et donc aussi, d'après ce qui précède, KH ) vérifie la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich (on pourrait aussi invoquer directement [19,Théorème 10.8]). Le corollaire résulte donc de l'identification de IK ♯ avec KH . -Soit Sp T Sp S 1 (S) la catégorie des T -spectres dans la catégorie des préfaisceaux de S 1 -spectres Sp S 1 (S). Les objets de Sp T Sp S 1 (S) sont des collections E = (E n , σ n ) n≥0 , où, pour n ≥ 0, E n est un objet de Sp S 1 (S), et σ n : T ∧E n -→ E n+1 est un morphisme de S 1 -spectres. On définit, à partir de la structure de catégorie de modèles stable sur Sp S 1 (S), une structure de catégorie de modèles T -stable sur Sp T Sp S 1 (S), de sorte la catégorie homotopique Ho(Sp T Sp S 1 (S)) est canoniquement munie d'une structure de catégorie triangulée ; voir [8,2]. On note Ω ∞ T : Sp T Sp S 1 (S) -→ Sp S 1 (S) le foncteur d'évaluation en zéro E -→ E 0 . C'est un foncteur de Quillen à droite, et donc, sont adjoint à gauche, Σ ∞ T : Sp S 1 (S) -→ Sp T Sp S 1 (S) est un foncteur de Quillen à gauche. On a donc une adjonction dérivée : Par construction de Ho(Sp T Sp S 1 (S)), le smash produit par T est une équivalence de catégories, ce qui donne un sens à l'expression T ∧n ∧ L E pour tout entier n < 0. Étant donnée une propriété P portant sur les objets de Ho(Sp S 1 (S)), on dira qu'un objet E de Ho(Sp T Sp S 1 (S)) a la propriété P si, pour tout entier n, le préfaisceau en S 1 -spectres RΩ ∞ T (T ∧n ∧ L E) a la propriété P dans Ho(Sp S 1 (S)). On désigne par SH(S) la sous-catégorie pleine de Ho(Sp T Sp S 1 (S)) formée des objets vérifiant la propriété d'invariance par homotopie ainsi que la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich. Le foncteur d'inclusion SH(S) -→ Ho(Sp T Sp S 1 (S)) admet un adjoint à gauche que nous noterons γ : Ho(Sp T Sp S 1 (S)) -→ SH(S) . On vérifie aisément (par comparaison des propriétés universelles) que la catégorie SH(S) est canoniquement équivalente à la catégorie homotopique stable des schémas construite en termes de T -spectres ou encore de P 1 -spectres dans la littérature [9,14,2]. -Soit E un préfaisceau de S 1 -spectres sur la catégorie des S-schémas lisses, muni d'un morphisme w : T ∧ E -→ E. On lui associe un T -spectre en posant E n = E et σ n = w pour tout n ≥ 0. Le morphisme w induit un morphisme dans Ho(Sp T Sp S 1 (S)), lequel s'avère être un isomorphisme. En outre, on a alors un isomorphisme canonique E ♯ ≃ RΩ ∞ T (E) dans la catégorie Ho(Sp S 1 (S)) (cela résulte par exemple de [8,Propositions 4.6 et 4.7], ou bien encore de [2, Théorème 4.3.61]). Il en découle que, étant donnée une propriété raisonnable P des objets de Ho(Sp S 1 (S)) (par exemple, la propriété de descente pour une topologie t, ou bien la propriété d'invariance par homotopie), pour que E vérifie la propriété P en tant qu'objet de Ho(Sp T Sp S 1 (S)), il faut et il suffit que E ♯ vérifie la propriété P en tant qu'objet de Ho(Sp S 1 (S)). En considérant le spectre de K-théorie (resp. le spectre de K-théorie invariante par homotopie naïve) muni du cup produit par la classe b (cf. 2.1), on obtient donc un objet K (resp. IK) dans Ho(Sp T Sp S 1 (S)). On a ainsi des isomorphismes : . On remarque que, en vertu des corollaires 2.11 et 2.14, le T -spectre IK vérifie les propriétés de descente relativement à la topologie de Nisnevich et d'invariance par homotopie, et qu'il représente la K-théorie invariante par homotopie dans SH(S). On définit par ailleurs le T -spectre de K-théorie KGL par la formule Remarque 2.17. -Lorsqu'on applique le foncteur d'espace de lacets infini au préfaisceau de K-théorie, on obtient un préfaisceau de complexes de Kan pointé RΩ ∞ (K) sur la catégorie des S-schémas lisses, lequel est le foncteur de K-théorie à valeurs dans les espaces pointés (par opposition aux S 1 -spectres). Le préfaisceau RΩ ∞ (K) associe à un un S-schéma X le complexe de Kan pointé RΩ(wS Perf (X)), correspondant à l'espace des lacets de la construction de Waldhausen appliquée à la catégorie des complexes parfaits sur X. Il résulte du théorème de Gillet-Waldhausen [19,Théorème 1.11.7] que, pour tout S-schéma lisse de type fini X, le morphisme canonique de iS Vect(X) (la construction de Waldhausen appliquée à la catégorie exacte des fibrés vectoriels sur X) vers wS Perf (X) est une équivalence faible simpliciale localement pour la topologie de Zariski (et donc de Nisnevich) : pour avoir une équivalence faible globalement, il suffit que X admette une famille ample de fibrés en droites, puisqu'alors les complexes parfaits sur X s'identifient aux complexes bornés de O X -modules localement libres de rang fini ; cf. [19,Corollaire 3.9]. D'autre part, le morphisme canonique de B(∐ n≥0 BGL n ) vers le préfaisceau simplicial iS Vect (correspondant à l'inclusion de la catégorie des fibrés vectoriels triviaux dans Vect) est lui aussi une équivalence faible simpliciale localement pour la topologie de Zariski. Enfin, en vertu de [12, Proposition 3.10, page 139], on a une dans la catégorie homotopique (instable) de Morel et Voevodsky. Ce qui est désigné habituellement comme le P 1 -spectre de K-théorie en théorie de l'homotopie des schémas [15,16,13,17] admet la description suivante (1) . La classe de Bott β = [O P 1 ] -[O P 1 (-1)] dans le groupe K 0 (P 1 ) = π 0 (RΩ ∞ (K)(P 1 )) définit un morphisme β : P 1 -→ RΩ ∞ (K) dans Ho(E • (S)), et induit donc un morphisme la catégorie homotopique instable pointée H • (S). Le P 1 -spectre de K-théorie usuel, que nous noterons ici K, est le P 1 -spectre périodique déterminé par le cup produit par la classe β, c'est-à-dire le P 1 -spectre déterminé par la collection de préfaisceaux simpliciaux avec β∪ : P 1 ∧(Z×BGL ∞ ) -→ Z×BGL ∞ pour morphismes structuraux (où on a pris implicitement un remplacement fibrant de Z × BGL ∞ et un remplacement cofibrant de P 1 dans E • (S)). Lorsqu'on travaille localement pour la topologie de Nisnevich (en fait, Zariski suffit) et modulo A 1 -équivalence, on a l'identification S 1 ∧ G m ≃ P 1 (où P 1 est considéré comme un espace pointé). Cela permet de décrire la catégorie SH(S) en termes de P 1 -spectres ; cf. [2, Théorème 4.3.40]. C'est ce qui donne un sens à l'énoncé suivant. Proposition 2.18. -L'équivalence de catégories entre la catégorie homotopique stable des T -spectres et la catégorie homotopique stable des P 1 -spectres envoie KGL sur K. Démonstration. -La catégorie homotopique stable des P 1 -spectres de préfaisceaux simpliciaux est canoniquement équivalente à celle des P 1 -spectres de S 1 -spectres. Comme Z × BGL ∞ et RΩ ∞ (K) sont A 1 -équivalents, cette équivalence de catégories identifie le P 1 -spectre K introduit au numéro 2.17 avec le P 1 -spectre donné par la collection de S 1 -spectres (K, K, . . . , K, . . .) munie des morphismes structuraux β∪ : Nous insistons sur le fait que ce P 1 -spectre de K-théorie n'est pas défini en tant qu'il représente quoi que ce soit dans la catégorie homotopique stable des schémas : il faut plutôt le voir comme un analogue purement formel du spectre de K-théorie topologique en théorie de l'homotopie des schémas. On verra plus loin que ce spectre représente en fait la K-théorie invariante par homotopie ; cf. proposition 2.18 et théorème 2.20. suffit donc de voir que l'identification P 1 ≃ S 1 ∧ G m identifie (au signe près) la classe β ci-dessus avec la classe b introduite au numéro 2.1. En outre, il suffit de traiter le cas où S = Spec Z (par fonctorialité de la K-théorie, puisque les deux classes b et β sont bien définie sur Z). Or, dans ce cas, la classe b correspond au choix d'un générateur de la partie libre du groupe abélien En outre, il est bien connu que le Bockstein ∂ dans la suite exacte fondamentale admet une section induite par la classe b. Comme la suite exacte de Mayer-Vietoris ) avec βK 0 (Z), on en déduit aussitôt la proposition. Remarque 2.21. -Ce théorème de représentabilité permet de décrire la K-théorie invariante par homotopie comme la théorie cohomologique orientée universelle avec loi de groupe formelle multiplicative ; voir [17,13]. Il permet aussi de décrire la Kthéorie invariante par homotopie comme la théorie cohomologique représentée par le T -spectre de Snaith Σ ∞ T (P ∞ + )[β -1 ] dans SH ; voir [17,6]. Remarque 2.22. -Bien que le théorème 2.20 montre que le T -spectre de K-théorie KGL représente la K-théorie invariante par homotopie dans SH(S), lorsque S n'est pas régulier, nous ne savons rien de ce que l'objet Z × BGL ∞ représente dans la catégorie homotopique instable H(S) (on s'attend cependant à ce que cela ait un rapport avec la K-théorie de Karoubi-Villamayor). Corollaire 2.23. -Si q ≥ 1 est nilpotent dans O S , alors, pour tout S-schéma lisse X, et pour tout entier n, on a un isomorphisme de groupes . Lorsque f est en outre lisse, le foncteur Lf * a aussi un adjoint à gauche essentiellement déterminé par le fait que, pour tout S ′ -schéma lisse X, on a . Nous utiliserons de manière essentielle les faits suivants. Démonstration. -Cela résulte immédiatement du théorème précédent, puisque l'ouvert complémentaire de l'immersion fermée i est vide (sachant que SH(∅) ≃ 0). Théorème 3.4 (Changement de base lisse). -Pour tout carré cartésien dans la catégorie des schémas, 3.6. -On rappelle qu'un morphisme de schémas p : X ′ -→ X est un éclatement abstrait de centre Z si p est propre, et si Z est un sous-schéma fermé tel que le morphisme induit p -1 (X -Z) réd -→ (X -Z) réd soit un isomorphisme. La topologie cdh est la topologie de Grothendieck sur la catégorie des schémas engendrée par les recouvrements de Nisnevich et par les recouvrements de la forme Z ∐ X ′ -→ X pour tout éclatement abstrait X ′ -→ X de centre Z. Nous renvoyons le lecteur à [18, Lemme 5.8 et Proposition 5.9] (dont les énoncés et les preuves sont tout-à-fait valables en inégales caractéristiques) pour une description civilisée des recouvrement cdh (à raffinement près). Un préfaisceau de S 1 -spectres E sur la catégorie des schémas vérifie la propriété de descente relativement à la topologie cdh si et seulement s'il vérifie la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich (2.13) et si, pour tout éclatement abstrait p : X ′ -→ X de centre Z, en posant est homotopiquement (co)cartésien ; voir [21,22]. Proposition 3.7. -Soit p : X ′ -→ X un éclatement abstrait de centre Z. On considère le carré cartésien de schémas correspondant ci-dessous. Démonstration. -On a un isomorphisme canonique dans la catégorie homotopique instable H(S ′ ) (car Z × BGL ∞ est une colimite homotopique de schémas lisses de la forme GL n1 × • • • × GL nr ). La proposition résulte donc aussitôt de la description de KGL comme le P 1 -spectre périodique associé au morphisme de Bott P 1 -→ Z × BGL ∞ ; voir la remarque 2.17 et la proposition 2.18. Théorème 3.9. -La K-théorie invariante par homotopie vérifie la propriété de descente relativement à la topologie cdh. Démonstration. -On sait que KH vérifie la propriété de descente relativement à la topologie de Nisnevich. Pour vérifier la descente cdh, il suffit donc de montrer la propriété de Mayer-Vietoris relativement aux éclatements abstraits ; or, en vertu de la proposition précédente et du théorème 2.20, cela résulte de l'évaluation en X du carré homotopiquement (co)cartésien de la proposition 3.7 appliquée à E = KGL. Corollaire 3.10. -Pour tout entier q > 0, la K-théorie de Bass-Thomason Trobaugh à coefficients dans Z[1/q] (resp. dans Z/qZ) vérifie la propriété de descente relativement à la topologie cdh pour les Z/qZ-schémas (resp. les Z[1/q]-schémas). Démonstration. -Cela résulte du théorème 3.9 et de [19,Théorème 9.6]. En guise d'application, on en déduit la forme faible suivante de la conjecture de Weibel en caractéristique positive, sous l'hypothèse de l'existence locale de résolutions des singularités (on rappelle que cela n'est connu qu'en caractéristique nulle). Théorème 3.11. -Soit k un corps. On suppose que k admet une résolution locale des singularités dans le sens où, pour tout k-schéma de type fini X, il existe un recouvrement cdh X ′ -→ X avec X ′ régulier. Alors, pour tout k-schéma S de dimension de Krull ≤ d, et pour tout S-schéma lisse X, on a KH i (X) = 0 pour tout i < -d. Si, sous les mêmes hypothèses, le corps k est de caractéristique p > 0, on a donc : -Notons E le préfaisceau de S 1 -spectres sur la catégorie des Sschémas de type fini défini par U -→ KH (U × S X) . On déduit du théorème 3.9 que, pour tout k-schéma de type fini U , on a, pour tout entier n, un isomorphisme canonique H n cdh (U, E) = KH -n (U × S X) , où H * cdh (U, E) désigne l'hyper-cohomologie cdh de U à coefficients dans le faisceau cdh de S 1 -spectres associé à E. On dispose donc de la suite spectrale ci-dessous E p,q 2 = H p cdh (S, H q (E)) ⇒ KH -p-q (X) , où H q (E) désigne le préfaisceau de groupes abéliens U -→ KH -q (U × S X), et où H * cdh (S, F ) désigne la cohomologie de S à coefficients dans le faisceau cdh associé à F . La dimension cohomologique cdh étant majorée par la dimension de Krull (voir l'appendice de [18]), on a E p,q 2 = 0 dès que p > d, et la suite spectrale ci-dessus converge fortement. Or, pour q > 0, le faisceau cdh associé à H q (E) est isomorphe à zéro : comme on a supposé que k admet une résolution des singularités locale, il suffit de vérifier que KH -q (Y ) = 0 pour Y régulier, ce qui est bien connu. Cela implique que E p,q 2 = 0 dès que p + q > d, et achève donc la démonstration de la première assertion. Dans le cas très hypothétique où k est un corps de caractéristique p > 0 qui admet une résolution des singularité locale au sens ci-dessus, on obtient la seconde assertion à partir de la première grâce à [19,Théorème 9.6]. = Rq * Lq * Li * E = Li * E / / Rq * Lq * Li * E .