Sur la conjecture de Zagier pour n=4. II

SUR LA CONJEC T URE DE ZA GIER POUR n = 4 . I I NICUSOR DAN Abstra ct. W e express a general m ultiple p olylogarithm of weigh t n as an explicit linear com bination of multiple polylogarithms of w eight n in n − 2 v ariables. W e express a general multiple polylogarithm of w eight 4 as an explicit linear combination of multiple p olylogarithms of type ( 3 , 1). W e deduce a 4 parameters fun ctional equation expressing a certain linear combination of multiple p olylogarithms of type (3 , 1) as a linear com b ination of p olylogarithms of w eight 4. R ´ ESUM ´ E. On exprime un p olylogarithme multiple d e p oids n g´ en´ eral comme combinaison lin´ eaire explicite de p olylogarithmes multiples de p oids n en n − 2 v ariables. On exprime un p olylogarithme multiple de p oids 4 g´ en´ eral comme combinaison lin´ eaire explicite de p olyloga- rithmes multiples de type (3 , 1). On d´ eduit u ne ´ equation fonctionelle ` a 4 param` etres qui exp rime une certaine combinaiso n lin´ eaire des p oly- logarithmes multiples d e typ e (3 , 1) comme combinaison lin´ eaire des p olylogarithmes de p oids 4. 1. Introduction Soit n un en tier p ositif. Si a et b sont d eux p oin ts sur une v ari ´ et ´ e complexe X et ω 1 , · · · , ω n son t des formes holomorphes de d´ eg r´ e 1 sur X , l’in t´ egrale it ´ er´ ee se d ´ eﬁnit par induction s ur n par la form ule Z b a ω 1 ◦ · · · ◦ ω n = Z b a ( Z t a ω 1 ◦ · · · ◦ ω n − 1 ) ω n ( t ) . Les p olylogarithmes m u ltiples son t d´ eﬁnis comme les int ´ egrales it ´ er´ ees H ( a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ) = Z a n +1 a 0 dt t − a 1 ◦ dt t − a 2 ◦ · · · ◦ dt t − a n . C’est une fonction complexe m u ltiv alu ´ ee sur l’ensemble des ( n + 2) − ulp es complexes ( a 0 , · · · , a n +1 ) v ´ eriﬁ an t a 0 6 = a 1 , a n 6 = a n +1 (p our que l’in t´ egrale con ve rge). Elle est inv a rian te par la transform´ ee aﬃne ( a i ) i → ( αa i + β ) i , p our des nom bres complexes α 6 = 0 et β . Le p olyloga rithme classique de p oids n est la fonction complexe multi- v alu ´ ee su r C \ { 0 , 1 } qui s’ ´ ecrit Li n ( z ) = P ∞ k =1 z k k n sur le disque un it´ e | z | ≤ 1. On p eut prouv er que Li n ( z ) = − H (0 | 1 , 0 , · · · , 0 | z ), donc le p olylogarithme classique est le p olylog arithme m ultiple r ´ eduit ` a une seule v ariable. Soit E u n corps. On v a d´ eﬁnir les p olylog arithmes m ultiples ”a v aleurs on E ”. On note E n +2 × l’ensem ble des ( n + 2) − uples ( a 0 , · · · , a n +1 ) de E satisfaisan t a 0 6 = a 1 et a n 6 = a n +1 . On note E n +2 × / ( E × × E ) le quotien t de T ra v ail r´ ealis´ e av ec le sup p ort du CNCSIS- UEFISCU, p ar le contrat de recherc he PN- I I-ID-2228/2008. 1 2 NICUSOR DAN E n +2 × par les transformations aﬃnes ( a i ) i → ( αa i + β ) i . On note A n ( E ) l’espace ve ctoriel sur Q ay an t comme base les sym b oles [ a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ] p our ( a 0 , · · · , a n +1 ) ∈ E n +2 × / ( E × × E ). On d´ eﬁnit A 0 ( E ) = Q . L’espace v ectoriel gradu´ e A ( E ) = ⊕ n ≥ 0 A n ( E ) admet u ne structure de b ialg ` ebre. La m u ltiplicatio n est donn´ ee par la formule (1) [ a 0 | a 1 , · · · , a k | a k + l +1 ] · [ a 0 | a k +1 , · · · , a k + l | a k + l +1 ] = X σ [ a 0 | a σ (1) , · · · , a σ ( k + l ) | a k + l +1 ] , o ` u σ parcour t les p ermutati ons de l’ensem ble { 1 , · · · , k + l } qu i pr ´ eserven t l’ordre dans les sous-ensembles { 1 , · · · , k } et { k + 1 , · · · , k + l } . La com ul- tiplication est d onn´ ee par u ne form ule plus compliqu ´ ee ([3]). On consid ` ere la coalg ` ebre de Lie B ( E ) = A ( E ) / A > 0 ( E ) · A > 0 ( E ) des ´ el´ emen ts primitifs. On note δ = ⊕ n δ n : B ( E ) → B ( E ) ⊗B ( E ) la co d´ eriv ation. Suiv an t Z agier, on d´ eﬁnit par induction l’espace ve ctoriel R n ( E ) ⊂ B n ( E ) des ”r´ elations ent re p olylogarithmes multi ples on E ” et on p ose H n ( E ) := B n ( E ) / R n ( E ). On note toujours [ a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ] la classe d e l’ ´ el ´ emen t [ a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ] mo d ulo R n ( E ). Le sous-espace v ectoriel R 1 ( E ) est p ar d ´ eﬁn ition engendr´ e par [ a | z | b ] + [ b | z | c ] = [ a | z | c ] p our z , a, b, c ∈ E v ´ eriﬁ an t z 6 = a, b, c . On calc ule H 1 ( E ) = E × ⊗ Z Q . On note K n ( E ) le no y au de l’aplicatio n ( pr ⊗ pr ) ◦ δ n : B n ( E ) → ( H ( E ) ⊗H ( E )) n , o ` u pr : B k ( E ) → H k ( E ) a ´ et ´ e d ´ ej` a d´ eﬁn i p our k < n . Soit t u ne v ariable. On d ´ eﬁnit R n ( E ) comme le s ous-espace v ectoriel engend r ´ e par α (1) − α (0) p our tous les ´ el´ emen ts α de K n ( E ( t )) p our lesquels α (1) et α (0) son t b ien d ´ eﬁnies. L’application ( pr ⊗ pr ) ◦ δ n se fac torise ` a une application δ n : H n ( E ) → ( H ( E ) ⊗ H ( E )) n qui fait d e H u ne coa lg ` ebre de Lie gradu´ ee. La conjecture d e Zagier ([4]) aﬃrme que la v aleur en s = n de la fonc- tion z ˆ eta de Dedekind d’un corps de nom br e est le d´ eterminant d’u ne m a- trice don t les termes sont des p olylogarithmes de p oids n ´ ev alu ´ ees dans d es ´ el´ emen ts du corps en qu estion. Ap r ` es d es tra v aux d e Gonc harov et Zagier, la conjecture se r ´ ed uit ` a une conjecture q u i aﬃrm e que le r´ egulateur de Beilin- son est com binaison lin ´ eaire des p olyloga rithmes. On p eut pr ouv er qu e le r ´ egulateur d e Be ilins on est com binaison lin´ eaire des p olylogarithmes m u lti- ples. Il reste ` a trouv er des formules exp riman t les p olylogarithmes multiples (en n v ariables) comme com binaisons lin ´ eaires d e p olylog arithmes (p oly- logarithmes multiples en 1 v ariable). L’article [1] d onne une pr´ esent ation syn thetique de ces redu ctions. Dans le pr´ esen t article on p arcourt les pre- miers deux pas de la strateg ie: passer d e n v ariables ` a n − 2 v ariables. 2. Le th ´ eor ` eme pour n g ´ en ´ eral Soit n un entier p ositif. On in tro du it u ne g´ en ´ eralisation l ´ eg ` ere de la n otion de p olylog arithme multiple. S oient a 0 , a 1 , · · · , a n +1 , x des ´ el ´ ements de P 1 ( C ) v ´ eriﬁant a 0 6 = a 1 , a 0 6 = x, a n 6 = a n +1 , x 6 = a n +1 . On choisit ω ( a i , x ) l’unique forme diﬀ ´ erentie lle de d ´ egr´ e 1 holomorphe sur P 1 ( C ) − { a i , x } qui est n u lle si a i = x et qui a un pˆ ole d’ordre 1 de r ´ esidu +1 en a i et un pˆ ole d’ordre 1 de r ´ esidu − 1 en x si a i 6 = x . On d´ eﬁnit H ( a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ) = Z a n +1 a 0 ω ( a 1 , x ) ◦ · · · ◦ ω ( a n , x ) SUR LA CONJECTURE DE ZA GIER POUR n = 4. II 3 Est un e fonction inv a rian te p our l’action de P GL (2 , C ) sur (( a i ) i , x ). Le passage en tre cette fonctio n et la fonction a n t ´ erieure est clair: (2) H ( a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ) = H ( a 0 | a 1 , · · · , a n // ∞| a n +1 ) , H ( a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ) = H (( a 0 − x ) − 1 | ( a 1 − x ) − 1 , · · · , ( a n − x ) − 1 | ( a n +1 − x ) − 1 ) si x 6 = ∞ . Soit y un autre ´ el ´ emen t de P 1 ( C ). En ´ ecriv an t ω ( a i , x ) = ω ( a i , y ) − ω ( x, y ) p our tout 0 ≤ i ≤ n et en d ´ ev ´ elopant de mani ` ere multilin ´ eaire on p eut ´ ecrire le p olylogarithme m ultiple H ( a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ) comme somme altern ´ ee d es p olylogarithmes m u ltiples H ( a 0 | · · · //y | a n +1 ). On v a exploiter cet te r´ elation. Soit E un corps . On transp ose les consid´ erations ci-dessus aux ´ el ´ ements de H ( E ). Soien t a 0 , a 1 , · · · , a n +1 , x des ´ el ´ ements d istincts de P 1 ( E ). En analo- gie a vec (2), on d´ eﬁnit l’ ´ el´ emen t [ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] dans H n ( E ) comme ´ etant [ a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ] si x = ∞ et [( a 0 − x ) − 1 | ( a 1 − x ) − 1 , · · · , ( a n − x ) − 1 | ( a n +1 − x ) − 1 ] si x 6 = ∞ . P ou r 1 ≤ i ≤ n et p our I un sous-ensemble de l’ensem ble { 1 , · · · , n } con t´ enan t i , on d´ eﬁnit A ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ) comme le symbole [ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] d ans lequel on remplace a j par a i dans toutes le s p ositions j ∈ I . On d´ eﬁnit B ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) = X I ( − 1) | I | A ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ) , la somme ´ etan t prise sur toutes les sous-ensembles I de l’ensem ble { 1 , · · · , n } con t ´ enan t i et a ya nt le cardinal | I | ≥ 2. Les consid´ erations du paragraphe pr´ ec ´ edent apliqu ´ ees ` a y = a i sug ´ erent la r´ elation d ans H n ( E ): (3) [ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] + [ a 0 | a 1 , · · · , a i − 1 , x, a i +1 , · · · , a n //a i | a n +1 ] = B ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) C’est une r´ elation dans H n ( E ) qu’on v ´ eriﬁe facilemen t par induction sur n . On consid ` ere un ent ier 0 ≤ s ≤ n . P ar in duction sur s , en u tilisan t d es r ´ elations (1), on p eut prouv er facilemen t [ a 0 | y , · · · , y , b s +1 , b s +2 , · · · , b n //x | a n +1 ] = ( − 1) s X J C J , o ` u J p arcour t les sous-ensembles d e cardinal s d e l’ensemble { 2 , · · · , n } et C J d ´ esigne le symb ole [ a 0 | b s +1 , · · · //x | a n +1 ] dans lequel les p ositions J son t ocu p ´ ees par les y et les p ositions restan tes par b s +2 , · · · , b n dans cette ordr e. On aplique cela ` a A ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ), ` a y = a i et ` a s le plus p etit entier p our lequel { 1 , · · · , s } ⊂ I . On obtien t une pr´ esen tation de A ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ) comme somme altern ´ ee ex- plicite d e [ a 0 | b 1 , · · · , b n //x | a n +1 ] o ` u les ( b j ) j son t parmi les ( a j ) j , il y a au moins deux a i parmi les ( b j ) j et aucun d ’en tre eux su r la premi` ere p osition. Il est facile de prouv er que, dans ces notations [ a 0 | b 1 , · · · , b n //x | a n +1 ] = [ a i | b 1 , · · · , b n //x | a n +1 ] − [ a i | b 1 , · · · , b n //x | a 0 ] . On p eut donc ´ ecrire A ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i, I ) comme somme alt ern ´ ee explicite des p olyloga rithmes multiples en ≤ n − 2 v ariables. On remp lace dans (3) et on obtien t [ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] + [ a 0 | a 1 , · · · , a i − 1 , x, a i +1 , · · · , a n //a i | a n +1 ] 4 NICUSOR DAN = D ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) , o ` u D ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) est un e somme altern ´ ee explicite des p oly- logarithmes m ultiples en ≤ n − 2 v ariables. Soien t 1 ≤ i < j ≤ n d eux entie rs. En appliquan t trois fois la r ´ elation pr´ ec ´ edent e p our les subs titutions x → a i , a i → a j , a j → x , on obtien t (4) [ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ]+[ a 0 | a 1 , · · · , a i − 1 , a j , a i +1 , · · · , a j − 1 , a i , a j +1 , · · · , a n //x | a n +1 ] = D ([ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] , i ) − D ([ a 0 | a 1 , · · · , a i − 1 , x, a i +1 , · · · , a n //a i | a n +1 ] , j ) + D ([ a 0 | a 1 , · · · , a i − 1 , x, a i +1 , · · · , a j − 1 , a i , a j +1 , · · · , a n //a j | a n +1 ] , i ) . On d ´ eduit que, p our to u te p ermutatio n σ d e l’e nsem b le { 1 , · · · , n } , [ a 0 | a σ (1) , · · · , a σ ( n ) //x | a n +1 ] − s ig n ( σ )[ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] est un e somme altern´ ee explicite d es p olylogarithmes m u ltiples en ≤ n − 2 v ariables. On su pp ose main tenan t n ≥ 3. La r ´ elation (1) p our k = 2, l = n − 2 dans H n ( E ) donne (5) X σ ∈ S [ a 0 | a σ (1) , · · · , a σ ( n ) | a n +1 ] = 0 , o ` u S est l’ensem ble des p ermutatio ns de l’ensem ble { 1 , · · · , n } qui pr´ eserv en t l’ordre dans les sous-ensem bles { 1 , 2 } et { 3 , · · · , n } . Comme P σ ∈ S s ig n ( σ ) = [ n/ 2] 6 = 0, o ` u [ x ] d ´ enote la partie enti ` ere du nom b re r ´ eel x , on p eut trouver une com binaison lin´ eaire d es r ´ elations (4) qu i, adition ´ ee ` a la r´ elation (5), exprime [ n/ 2][ a 0 | a 1 , · · · , a n //x | a n +1 ] co m me com binaison lin ´ eaire des p oly- logarithmes m u ltiples en ≤ n − 2 v ariables. On p eut faire cela de maniere explicite. On note, p our 1 ≤ i < j ≤ n , A i,j = [ a 0 | a σ (1) , · · · , a σ ( n ) | a n +1 ] p our la p erm u tation σ qui met 1 sur la p osition i et 2 sur la p osition j . On note R ( i − 1 , j | i, j ) la r ´ elation (4) p our A i − 1 ,j + A i,j et d e mˆ eme p our R ( i, j | i, j + 1). On doit consid ´ erer la somme de la r ´ elation (5) a vec la com binaison lin´ eaire P 1

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