The optimal control and its multiple applications
In this work we refer to motivations, applications, and relations of control theory with other areas of mathematics. We present a brief historical review of optimal control theory, from its roots in the calculus of variations and the classical theory…
Authors: ** - **Cristiana J. Silva** – Control Theory Group, Centro de Estudos em Optimização e Controlo (CEOC), Universidade de Aveiro
O on trolo óptimo e as suas m últiplas apliaçõ es ∗ Cristiana J. Silv a 1 , 2 joaosilvaua.pt Delm F. M. T orres 1 delfimua.pt Emman uel T rélat 2 emmanuel.trelatuniv- orl eans .fr 1 Con trol theory group (otg) Cen tro de Estudos em Optimização e Con trolo (CEOC) Departamen to de Matemátia, Univ ersidade de A v eiro 3810-193 A v eiro, P ortugal 2 Univ ersité d'Orléans, UFR Sienes Fédération Denis P oisson Mathématiques, Lab oratoire MAPMO, UMR 6628 45067 Orléans Cedex 2, F rane Resumo Neste trabalho são referidas motiv açõ es, apliaçõ es e relaçõ es da teoria do on trolo om outras áreas da matemátia. Apresen tamos uma brev e resenha história sobre o on trolo óptimo, desde as suas origens no álulo das v ariaçõ es e na teoria lássia do on trolo aos dias de ho je, dando esp eial destaque ao prinípio do máximo de P on try agin. P ala vras ha v e: on trolo óptimo, prinípio do máximo de P on try agin, apliaçõ es da teoria matemátia dos sistemas de on trolo. Abstrat In this w ork w e refer to motiv ations, appliations, and relations of on trol theory with other areas of mathematis. W e presen t a brief his- torial review of optimal on trol theory , from its ro ots in the alulus of v ariations and the lassial theory of on trol to the presen t time, giving partiular emphasis to the P on try agin maxim um priniple. Keyw ords: optimal on trol, P on try agin maxim um priniple, appliations of the mathematial theory of on trol. 2000 Mathematis Sub jet Classiation: 49-01. ∗ Dediado a F ranis Clark e e a Ri hard Vin ter p or o asião da elebração do sexagésimo aniv ersário de am b os os matemátios, W orkshop in Contr ol, Nonsmo oth A nalysis and Opti- mization , P orto, 4 a 8 de Maio de 2009 . 1 1 In tro dução T o dos nós já ten támos, n uma ou outra o asião, man ter em equilíbrio uma v ara sobre o dedo indiador (i.e., resolv er o problema do p êndulo in v ertido). P or outro lado é m uito mais difíil, sobretudo se fe harmos os olhos, man ter em equilíbrio um p êndulo in v ertido duplo. A teoria do on trolo p ermite fazê-lo sob a ondição de disp ormos de um b om mo delo matemátio. Um sistema de on trolo é um sistema dinâmio, que ev olui no temp o, so- bre o qual p o demos agir atra v és de uma função de omando ou on trolo. Um omputador, que p ermite a um utilizador efetuar uma série de omandos, um eossistema sobre o qual p o demos agir fa v oreendo esta ou aquela esp éie, os teidos nerv osos que formam uma rede on trolada p elo érebro e realizam a transformação de estím ulos pro v enien tes do exterior em açõ es do organismo, um rob ot que dev e efetuar uma tarefa b em preisa, uma viatura sobre a qual agimos p or in termédio de um p edal de aeleração, de tra v agem e em braiagem e que onduzimos om a a juda de um v olan te, um satélite ou uma na v e espaial, são to dos eles exemplos de sistemas de on trolo, os quais p o dem ser mo delados e estudados p ela teoria dos sistemas de on trolo. A teoria do on trolo analisa as propriedades de tais sistemas, om o in tuito de os onduzir de um determinado estado iniial a um dado estado nal, resp ei- tando ev en tualmen te ertas restriçõ es. A origem de tais sistemas p o de ser m uito div ersa: meânia, elétria, biológia, químia, eonómia, et. O ob jetiv o p o de ser o de estabilizar o sistema tornando-o insensív el a ertas p erturbaçõ es (problema de estabilização ) ou ainda determinar as soluçõ es óptimas relativ a- men te a um determinado ritério de optimização (problema do ontr olo óptimo ). P ara mo delar os sistemas de on trolo p o demos reorrer a equaçõ es difereniais, in tegrais, funionais, de diferenças nitas, às deriv adas pariais, determinístias ou esto ástias, et. P or esta razão a teoria do on trolo v ai b eb er e on tribui em n umerosos domínios da matemátia (vide, e.g., [4, 11 , 12 , 21 , 23 , 27 ℄). A estrutura de um sistema de on trolo é represen tada p ela in teronexão de ertos elemen tos mais simples que formam sub-sistemas. Neles transita infor- mação . A dinâmia de um sistema de on trolo dene as transformaçõ es p ossív eis do sistema, que o orrem no temp o de maneira determinista ou aleatória. Os exemplos já dados mostram que a estrutura e a dinâmia de um sistema de on trolo p o dem ter signiados m uito diferen tes. Em partiular, o oneito de sistema de on trolo p o de desrev er transformaçõ es disretas, on tín uas, híbridas ou, de um mo do mais geral, n uma time s ale ou me asur e hain [ 13 , 14 , 22 ℄. Um sistema de on trolo diz-se ontr olável se o p o demos onduzir (em temp o nito) de um determinado estado iniial até um estado nal presrito. Em relação ao problema da on trolabilidade, Kalman demonstrou em 1949 um resultado imp ortan te que arateriza os sistemas lineares on trolá v eis de dimen- são nita (T eorema 7). P ara sistemas não lineares o problema matemátio da on trolabilidade é m uito mais difíil e onstitui um domínio de in v estigação ainda ativ o nos dias de ho je. Assegurada a propriedade de on trolabilidade, p o demos desejar passar de um estado iniial a um estado nal minimizando ou maximizando um determi- 2 nado ritério. T emos en tão um problema de on trolo óptimo. P or exemplo, um ondutor que efetue o tra jeto Lisb oa-P orto p o de querer via jar em temp o mín- imo. Nesse aso esolhe o tra jeto p ela auto-estrada A1. Uma onsequênia de tal esolha será o pagamen to de p ortagem. Outro problema de on trolo óptimo é obtido se tiv ermos omo ritério de minimização os ustos da viagem. A solução de tal problema en v olv erá a esolha de estradas naionais, gratuitas, mas que lev am m uito mais temp o a hegar ao destino (segundo a informação do sítio da in ternet http://www.goog le .pt /m ap s o tra jeto p ela auto-estrada dura 3h e p ela estrada naional dura 6h45m). Um problema de on trolo óptimo p o de ser form ulado do seguin te mo do. Consideremos um sistema de on trolo, ujo estado n um determinado instan te é represen tado p or um v etor. Os on trolos são funçõ es ou parâmetros, habitualmen te sujeitos a restriçõ es, que agem sobre o sistema sob a forma de forças exteriores, de p oteniais térmios ou elétrios, de programas de in v estimen to, et. e afetam a dinâmia. Uma equação é dada, ou tipiamen te um sistema de equaçõ es difereniais, relaionando as v ariá v eis e mo delando a dinâmia do sistema. É dep ois neessário utilizar a informação presen te e as araterístias do problema para onstruir os on trolos adequa- dos que v ão p ermitir realizar um ob jetiv o preiso. P or exemplo, quando nos deslo amos na nossa viatura agimos de aordo om o ó digo da estrada (p elo menos é aonselhá v el) e onretizamos um plano de viagem para hegar ao nosso destino. São imp ostas restriçõ es sobre a tra jetória ou sobre os on trolos, que é impresindív el ter em onsideração. Fixamos um ritério p ermitindo medir a qualidade do pro esso esolhido. Este apresen ta-se normalmen te sob a forma de uma funional que dep ende do estado do sistema e dos on trolos. P ara além das ondiçõ es an teriores pro uramos ainda minimizar (ou maximizar) esta quan- tidade. Um exemplo já dado an teriormen te é o de deslo armo-nos em temp o mínimo de um p on to a outro. Notemos que a forma das tra jetórias óptimas dep ende fortemen te do ritério de optimização. P or exemplo, para estaionar o nosso arro é fáil v eriar que a tra jetória seguida difere se queremos realizar a op eração em temp o mínimo (o que é arrisado) ou minimizando a quan tidade de om bustív el gasta na op eração. A teoria do on trolo óptimo tem uma grande imp ortânia no domínio aero es- paial, nomeadamen te em problemas de ondução, transferênia de órbitas aero- assistidas, desen v olvimen to de lançadores de satélites reup erá v eis (o asp eto naneiro é aqui m uito imp ortan te) e problemas da reen trada atmosféria, omo seja o famoso pro jeto Mars Sample R eturn da Agênia Espaial Eu- rop eia (ESA), que onsiste em en viar uma na v e espaial ao planeta Marte om o ob jetiv o de trazer amostras marianas (Figura 1). 2 Brev e resenha história O álulo das v ariaçõ es naseu no séulo dezassete om o on tributo de Bernoulli, F ermat, Leibniz e Newton. Alguns matemátios omo H.J. Sussmann e J.C. Willems defendem a origem do on trolo óptimo oiniden te om o nasimen to do ál- ulo das v ariaçõ es, em 1697, data de publiação da solução do problema da 3 Figura 1: a teoria do on trolo óptimo tem um pap el imp ortan te na engenharia aero espaial. braquistó rona p elo matemátio Johann Bernoulli [28 ℄. Outros v ão ainda mais longe, hamando a atenção para o fato do problema da resistênia aero dinâmia de Newton, olo ado e resolvido p or Isaa Newton em 1686, no seu Prinipia Mathemati a , ser um v erdadeiro problema de Con trolo Óptimo [25, 30 ℄. Em 1638 Galileu estudou o seguin te problema: determinar a urv a sobre a qual uma p equena esfera rola sob a ação da gra vidade, sem v elo idade iniial e sem atrito, de um p on to A até um p on to B om um temp o de p erurso mínimo (esorrega de temp o mínimo, v er Figura 2). Figura 2: problema da braquistó rona. T rata-se do problema da braquistó rona (do grego br akhistos , o mais brev e, e hr onos , temp o). Galileu p ensou (erradamen te) que a urv a pro urada era um aro de írulo. Observ ou no en tan to, orretamen te, que o segmen to de linha reta não é o aminho de temp o mais urto. Em 1696, Jean Bernoulli olo ou este problema omo um desao aos melhores matemátios da sua ép o a. Ele próprio enon trou a solução, assim omo o seu irmão Jaques Bernoulli, Newton, Leibniz e o marquês de l'Hopital. A solução é um aro de ilóide omeçando om uma tangen te v ertial [ 20 , 28 ℄. As rampas de sk ate assim omo as desidas mais rápidas dos aqua-p ar ques , têm a forma de ilóide (Figura 3). 4 Figura 3: aros de ilóide onduzem às desidas mais rápidas e à adrenalina máxima. A teoria do on trolo óptimo surge dep ois da segunda guerra m undial, re- sp ondendo a neessidades prátias de engenharia, nomeadamen te no domínio da aeronáutia e da dinâmia de v o o. A formalização desta teoria olo ou v árias questõ es no v as. P or exemplo, a teoria do on trolo óptimo motiv ou a in tro dução de no v os oneitos de soluçõ es generalizadas na teoria das equaçõ es difereniais e originou no v os resultados de existênia de tra jetórias. Regra geral, onsidera- se que a teoria do on trolo óptimo surgiu em nais dos anos inquen ta na an tiga União So viétia, em 1956, om a form ulação e demonstração do Prinípio do Máximo de P on try agin p or L.S. P on try agin (Figura 4) e p elo seu grup o de olab oradores: V.G. Bolt y anskii, R.V. Gamkrelidze e E.F. Mish henk o [24℄. Figura 4: Lev Semeno vi h P on try agin (3/Set/1908 3/Maio/1988) P on try agin e os seus ompanheiros in tro duziram um asp eto de imp ortânia primordial: generalizaram a teoria do álulo das v ariaçõ es a urv as que tomam v alores em onjun tos fe hados (om fron teira). A teoria do on trolo óptimo 5 está m uito ligada à meânia lássia, em partiular aos prinípios v ariaionais (prinípio de F ermat, equaçõ es de Euler-Lagrange, et.) Na v erdade o priní- pio do máximo de P on try agin é uma generalização das ondiçõ es neessárias de Euler-Lagrange e de W eierstrass. Alguns p on tos fortes da no v a teoria foram a desob erta do méto do de programação dinâmia, a in tro dução da análise fun- ional na teoria dos sistemas óptimos e a desob erta de ligaçõ es en tre as soluçõ es de um problema de on trolo óptimo e os resultados da teoria de estabilidade de Ly apuno v [31 , 32 ℄. Mais tarde apareeram as fundaçõ es da teria do on trolo esto ástio e da ltragem em sistemas dinâmios, a teoria dos jogos, o on trolo de equaçõ es om deriv adas pariais e os sistemas de on trolo híbrido algumas de en tre as m uitas áreas de in v estigação atual [ 1 , 19 , 27 ℄. 3 Con trolo óptimo linear A teoria do on trolo óptimo é m uito mais simples quando o sistema de on- trolo sob onsideração é linear. O on trolo óptimo não linear será ab ordado na Seção 4. A teoria linear ainda é, nos dias de ho je, a mais usada e onheida nas áreas de engenharia e suas apliaçõ es. 3.1 Questõ es en trais Seja A ∈ M n ( R ) (denotamos p or M n ( R ) o onjun to das matrizes n × n de en tradas reais); B , X 0 ∈ M n, 1 ( R ) ≃ R n ; I um in terv alo de R ; e u : R → R uma função mensurá v el ( u ∈ L 1 ) tal que u ( t ) ∈ I ∀ t . 1 O teorema de existênia de solução para equaçõ es difereniais assegura a existênia de uma únia apliação R ∋ t 7→ X ( t ) ∈ R n absolutamen te on tín ua ( X ∈ AC ) tal que ˙ X ( t ) = AX ( t ) + B u ( t ) ∀ t , X (0) = X 0 . (1) Esta apliação dep ende do on trolo u . A o m udarmos a função u obtemos uma outra tra jetória t 7→ X ( t ) em R n (Figura 5 ). Neste on texto, surgem naturalmen te duas questõ es: (i) Dado um p on to X 1 ∈ R n , existirá um on trolo u tal que a tra jetória asso iada a esse on trolo liga X 0 a X 1 em temp o nito T ? (Figura 6) É este o pr oblema da ontr olabilidade . (ii) Assegurada a on trolabilidade (questão an terior), existirá um on trolo que minimiza o temp o de p er urso de X 0 até X 1 ? (Figura 7) T emos en tão um problema de on trolo óptimo (de temp o mínimo). Os teoremas que se seguem resp ondem a estas questõ es. As resp etiv as demonstraçõ es são b em onheidas e p o dem failmen te ser enon tradas na lit- eratura (vide, e.g., [18 , 21 , 33 ℄). 1 Nas apliaçõ es onsidera-se normalmen te omo lasse dos on trolos admissív eis o onjun to dos on trolos seionalmen te on tín uos ou mesmo seionalmen te onstan tes. Mostra-se que a família de tra jetórias orresp onden tes aos on trolos seionalmen te onstan tes é densa no onjun to de to das as soluçõ es om on trolos mensurá v eis (vide, e.g., [3℄). 6 X 0 Figura 5: a tra jetória solução do sistema de on trolo (1) dep ende da esolha onreta do on trolo u . X ( t ) X 1 = X ( T ) X 0 Figura 6: problema da on trolabilidade. X 1 = X ( T ) X 0 Figura 7: problema do temp o mínimo. 3.2 Conjun to aessív el Considerando o sistema linear de on trolo (1) omeçamos p or in tro duzir um onjun to de grande imp ortânia: o onjunto a essível . Denição 1. O onjun to dos p on tos aessív eis a partir de X 0 em temp o T > 0 é denotado e denido p or A ( X 0 , T ) = { X 1 ∈ R n | ∃ u ∈ L 1 ([0 , T ] , I ) , ∃ X : R → R n ∈ AC om X (0) = X 0 , ∀ t ∈ [0 , T ] ˙ X ( t ) = AX ( t ) + B u ( t ) , X ( T ) = X 1 } . P or pala vras, A ( X 0 , T ) é o onjun to das extremidades das soluçõ es de (1) em temp o T , quando fazemos v ariar o on trolo u (Figura 8). 7 X 0 A ( X 0 , T ) Figura 8: onjun to aessív el. T eorema 2. Sejam T > 0 , I omp ato e X 0 ∈ R n . Então p ar a to do o t ∈ [0 , T ] , A ( X 0 , t ) é omp ato, onvexo e varia ontinuamente om t em [0 , T ] . A solução de ( ˙ X = AX + B u X (0) = X 0 (2) é X ( t ) = e tA + e tA Z t 0 e − sA B u ( s ) ds . Constatamos que se X 0 = 0 , i.e., se partirmos da origem, en tão a expressão de X ( t ) é simpliada: X ( t ) = e tA R t 0 e − sA B u ( s ) ds é linear em u . Esta observ ação lev a-nos à seguin te prop osição. Prop osição 3. Sup onhamos que X 0 = 0 e I = R . Então, 1. ∀ T > 0 A (0 , T ) é um sub-esp aço ve torial de R n . A lém disso, 2. 0 < T 1 < T 2 ⇒ A (0 , T 1 ) ⊂ A (0 , T 2 ) . Denição 4. O onjun to A (0) = ∪ t ≥ 0 A (0 , T ) é o onjun to dos p on tos aessív eis (n um temp o qualquer) a partir da origem. Corolário 5. O onjunto A (0) é um sub-esp aço ve torial de R n . 3.3 Con trolabilidade O sistema de on trolo ˙ X = AX + B u diz-se on trolá v el se para to do o X 0 , X 1 ∈ R n existe um on trolo u tal que a tra jetória asso iada une X 0 a X 1 em temp o nito T (Figura 9 ). De mo do mais formal temos: Denição 6. O sistema de on trolo ˙ X = AX + B u diz-se on trolá v el se ∀ X 0 , X 1 ∈ R n ∃ T > 0 ∃ u : [0 , T ] → I ∈ L 1 8 ∃ X : [0 , T ] → R n | ˙ X = AX + B u , X (0) = X 0 , X ( T ) = X 1 . X 1 X 0 Figura 9: on trolabilidade. O teorema seguin te dá-nos uma ondição neessária e suien te de on tro- labilidade hamada ondição de Kalman . T eorema 7 (Condição de Kalman) . O sistema ˙ X = AX + B u é ontr olável se e somente se a matriz C = ( B | AB | · · · | A n − 1 B ) tiver ar aterísti a ompleta (i.e., rank ( C ) = n ). 3.4 Prinípio do Máximo de P on try agin para o problema de temp o mínimo Começamos p or formalizar, om a a juda do onjun to aessív el A ( X 0 , t ) , a no ção de temp o mínimo. Sejam X 0 , X 1 ∈ R n . Sup onhamos que X 1 é aessív el a partir de X 0 , i.e., sup onhamos que existe p elo menos uma tra jetória unindo X 0 a X 1 . De en tre to das as tra jetórias que unem X 0 a X 1 gostaríamos de araterizar aquela que o faz em temp o mínimo T (Figura 10 ). X 1 = X ( T ) X 0 Figura 10: qual a tra jetória X para a qual T é mínimo? Se T for o temp o mínimo, en tão para to do o t < T , X 1 6∈ A ( X 0 , T ) (om efeito, se assim não fosse X 1 seria aessív el a partir de X 0 n um temp o inferior a T e T não seria o temp o mínimo). Consequen temen te, T = inf { t > 0 | X 1 ∈ A ( X 0 , t ) } . (3) O v alor de T está b em denido p ois, a partir do T eorema 2 , A ( X 0 , t ) v aria on- tin uamen te om t , logo { t > 0 | X 1 ∈ A ( X 0 , t ) } é fe hado em R . Em partiular 9 X 0 X 1 A ( X 0 , T ) A ( X 0 , t ) Figura 11: o temp o mínimo T orresp onde ao primeiro instan te t para o qual A ( X 0 , t ) ∩ { X 1 } 6 = ∅ . o ínmo em (3) é mínimo. O temp o t = T é o primeiro instan te para o qual A ( X 0 , t ) on tém X 1 (Figura 11 ). P or outro lado, temos neessariamen te: X 1 ∈ F r A ( X 0 , T ) \ in t A ( X 0 , T ) . Com efeito, se X 1 p ertenesse ao in terior de A ( X 0 , T ) , en tão para t < T pró ximo de T , X 1 p erteneria ainda a A ( X 0 , t ) p ois A ( X 0 , t ) v aria on tin uamen te om t . Isto on tradiz o fato de T ser o temp o mínimo. Estas observ açõ es dão uma visão geométria à no ção de temp o mínimo e onduzem-nos à seguin te denição: Denição 8. Seja u ∈ L 1 ([0 , T ] , I ) . O on trolo u diz-se óptimo para o sistema (1) se a orresp onden te tra jetória X v eria X ( T ) ∈ F r A ( X 0 , T ) . Dizer que u é óptimo é dizer que a tra jetória asso iada a u une X 0 a X 1 em temp o mínimo. O ob jetiv o é en tão o de determinar os on trolos óptimos. O teorema que se segue dá-nos uma ondição neessária e suien te de optimal- idade. T eorema 9 (Prinípio do Máximo de P on try agin (aso linear)) . Consider e-se o sistema de ontr olo ( ˙ X = AX + B u , X (0) = X 0 . Seja T > 0 . O ontr olo u ∈ L 1 ([0 , T ] , I = [ − 1 , 1]) é óptimo se e somente se u ( t ) = sinal h η ( t ) , B i onde h· , ·i é o pr o duto interno em R n e η ( t ) ∈ R n é solução da e quação ˙ η T = − η T A . A ondição iniial η (0) dep ende de X 1 . Como ela não é diretamen te on- heida, a utilização do T eorema 9 é maioritariamen te indireta. V ejamos um exemplo. 10 3.5 Exemplo: on trolo óptimo de um osilador harmónio (aso linear) Consideremos uma massa p on tual m ligada a uma mola ujo mo vimen to está restrito a um eixo Ox (Figura 12 ). x m ~ ι O Figura 12: sistema massa-mola. A massa p on tual sai da origem p or uma força que sup omos igual a − k 1 ( x − l ) − k 2 ( x − l ) 3 onde l é o omprimen to da mola em rep ouso. Apliamos a essa massa p on tual uma força exterior horizon tal u ( t ) ~ l . A segunda Lei de Newton diz-nos que a força resultan te apliada é diretamen te prop orional ao pro duto en tre a massa inerial e a aeleração adquirida p ela mesma, ou seja m ¨ x ( t ) + k 1 ( x ( t ) − l ) + k 2 ( x ( t ) − l ) 3 = u ( t ) . (4) As leis básias da Físia dizem-nos tam b ém que to das as forças são limitadas. Imp omos a seguin te r estrição à força exterior: | u ( t ) | ≤ 1 ∀ t . Isto signia que a força ap enas p o de tomar v alores no in terv alo fe hado [ − 1 , 1] . Sup onhamos que a p osição e a v elo idade iniiais do ob jeto são, resp etiv a- men te, x (0) = x 0 e ˙ x (0) = y 0 . O problema onsiste em trazer, em temp o mínimo , a massa p on tual à p osição de equilíbrio x = l p or esolha adequada da força externa u ( t ) e tendo em on ta a r estrição | u ( t ) | ≤ 1 . A força u é aqui o nosso ontr olo . Pr oblema. Dadas as ondiçõ es iniiais x (0) = x 0 e ˙ x (0) = y 0 , enon trar a função u que p ermite transp ortar a massa para a sua p osição de equilíbrio em temp o mínimo. 3.5.1 Mo delação matemátia P ara simpliar a apresen tação, v amos sup or m = 1 k g , k 1 = 1 N .m − 1 e l = 0 m (passamos a l = 0 p or translação). A equação de mo vimen to ( 4) é en tão 11 equiv alen te ao sistema diferenial de on trolo ( ˙ x ( t ) = y ( t ) ˙ y ( t ) = − x ( t ) − k 2 x ( t ) 3 + u ( t ) x (0) = x 0 , ˙ x (0) = y 0 . (5) Esrev emos failmen te (5) na notação matriial ˙ X = AX + f ( X ) + B u , X (0) = X 0 , (6) tomando A = 0 1 − 1 0 , B = 0 1 , X = x y , X 0 = x 0 y 0 , f ( X ) = 0 − k 2 x 3 . T endo em men te que estamos na seção de on trolo linear xamos k 2 = 0 , desprezando efeitos onserv ativ os não lineares (na Seção 4, onde ab ordamos o on trolo óptimo não linear, onsideraremos o aso k 2 6 = 0 ). P ara k 2 = 0 temos f ( X ) ≡ 0 e obtemos o sistema de on trolo (6) na forma (2) (sistema de on trolo linear). Pretendemos resp onder a duas questõ es: 1. Existirá sempre, para to da e qualquer ondição iniial x (0) = x 0 e ˙ x (0) = y 0 , uma força exterior horizon tal (um on trolo) que p ermite transp ortar em temp o nito T a massa p on tual para sua p osição de equilíbrio x ( T ) = 0 e ˙ x ( T ) = 0 ? 2. Se a primeira p ergun ta for resp ondida p ositiv amen te, qual a força (qual o on trolo) que minimiza o temp o de transp orte da massa p on tual à sua p osição de equilíbrio? 3.5.2 Con trolabilidade do sistema O nosso sistema esrev e-se na forma ( ˙ X = AX + B u X (0) = X 0 om A = 0 1 − 1 0 e B = 0 1 . T emos en tão rank ( B | AB ) = r ank 0 1 1 0 = 2 e o T eorema 7 garan te-nos que o sistema é on trolá v el (se u ( t ) ∈ R ). Isto signia que existem on trolos para os quais as tra jetórias asso iadas unem X 0 a 0 . T emos assim resp osta armativ a à nossa primeira questão, admitindo que 12 o sistema man tém-se on trolá v el om on trolos que v eriam a restrição | u | ≤ 1 (o que será v eriado a p osteriori ). Esta resp osta é esp erada em termos físios. Se não apliarmos uma força exterior, i.e., se u = 0 , a equação do mo vimen to é ¨ x + x = 0 e a massa p on tual osila sem n una parar, n una v oltando à sua p osição de equilíbrio em temp o nito. P or outro lado, ao apliarmos determinadas forças exteriores, temos tendênia a amorteer as osilaçõ es. A teoria do on trolo prev ê que onseguimos realmen te parar a massa em temp o nito. 3.5.3 Determinação do on trolo óptimo Sab emos que existem on trolos que p ermitem onduzir o sistema de X 0 a 0 . Agora queremos determinar, em onreto, qual desses on trolos o faz em temp o mínimo. P ara isso apliamos o T eorema 9: u ( t ) = sinal h η ( t ) , B i , onde η ( t ) ∈ R 2 é solução de ˙ η T = − η T A . Seja η ( t ) = η 1 ( t ) η 2 ( t ) . En tão, u ( t ) = sinal η 2 ( t ) e ˙ η 1 = η 2 , ˙ η 2 = − η 1 , ou seja, ¨ η 2 + η 2 = 0 . Logo η 2 ( t ) = λ cos t + µ sin t . Consequen temen te, o on trolo óptimo é seionalmen te onstan te em in terv alos de omprimen to π e toma v alores alternadamen te ± 1 . • Se u = − 1 , obtemos o sistema diferenial ( ˙ x = y , ˙ y = − x − 1 . (7) • Se u = +1 , obtemos ( ˙ x = y , ˙ y = − x + 1 . (8) A tra jetória óptima unindo X 0 a 0 é onstituída p or p edaços de soluçõ es de (7) e (8) onatenadas. As soluçõ es de ( 7) e (8) são failmen te obtidas: ˙ x = y , ˙ y = − x − 1 ⇒ d dx (( x + 1) 2 + y 2 ) = 0 ⇒ ( x + 1) 2 + y 2 = const = R 2 e onluímos que as urv as soluçõ es de ( 7) são írulos en trados em x = − 1 e y = 0 de p erío do 2 π (om efeito, x ( t ) = − 1 + R co s t e y ( t ) = R sin t ); omo soluçõ es de (8) obtemos x ( t ) = 1 + R cos t e y ( t ) = R sin t , i.e., as soluçõ es de (8) são írulos en trados em x = 1 e y = 0 de p erío do 2 π . A tra jetória óptima de X 0 até 0 segue alternadamen te um aro de írulo en trado em x = − 1 e y = 0 e um aro de írulo en trado em x = 1 e y = 0 . O estudo detalhado da tra jetória óptima e a sua implemen tação n uméria, para to do e qualquer X 0 , p o dem ser enon trados em [ 33 ℄. 13 4 Con trolo óptimo não linear Apresen tamos agora algumas ténias para a análise de problemas de on trolo óptimo não lineares. Em partiular, form ulamos o Prinípio do Máximo de P on try agin n uma forma mais geral do que aquela que vimos na Seção 3. O exemplo não linear da massa-mola será tratado omo exemplo de apliação. 4.1 Problemátia geral De um p on to de vista global, o problema dev e se form ulado n uma v ariedade M , mas o nosso p on to de vista v ai ser lo al e trabalhamos sobre um ab erto V de R n suien temen te p equeno. A problemátia geral do on trolo óptimo é a seguin te. Consideremos um sistema de on trolo ˙ x ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t )) (9) sobre V onde f : R n × R m → R n é sua v e 2 e o onjun to dos on trolos admissív eis U é omp osto p or apliaçõ es u : [0 , T ( u )] → Ω ⊆ R m mensurá v eis limitadas. Dada uma apliação f 0 : R n × R m → R , denotamos p or C ( u ) = Z T ′ 0 f 0 ( x ( t ) , u ( t )) dt o usto de uma tra jetória x : t 7→ x ( t ) asso iada a u ( · ) e denido sobre [0 , T ′ ( u )] , T ′ ( u ) ≤ T ( u ) . Sejam M 0 e M 1 duas sub-v ariedades regulares de V . O problema do on trolo óptimo onsiste em enon trar, de en tre to das as tra jetórias que unem M 0 a M 1 , aquelas ujo usto é mínimo. Começamos p or restringir-nos ao aso em que M 0 e M 1 são p on tos x 0 e x 1 de V . Sendo o nosso p on to de vista lo al, p o demos sempre sup or que x 0 = 0 . 4.2 Apliação en trada-saída Consideremos para o sistema (9) o seguin te problema de ontr olo : dado um p on to x 1 ∈ V , enon trar um temp o T e um on trolo u sobre [0 , T ] tal que a tra jetória x u asso iada a u , solução de (9), v eria x u (0) = 0 , x u ( T ) = x 1 . Isto lev a-nos a denir: Denição 10. Seja T > 0 . A apliação en trada-saída em temp o T do sistema de on trolo (9) iniializado em 0 é a apliação: E T : U → V u 7→ x u ( T ) 2 F.H. Clark e riou nos anos seten ta a hamada Análise Não-Sua v e ( Nonsmo oth A nalysis ) que p ermite o estudo de problemas de on trolo óptimo mais gerais, em que as funçõ es en v olvi- das não são neessariamen te difereniá v eis no sen tido lássio. Dado o aráter in tro dutório do nosso texto, restringimo-nos ao aso sua v e no sen tido C ∞ : to dos os ob jetos manipula- dos são aqui, salv o asos partiulares menionados, C ∞ . Remetemos o leitor in teressado na Análise Não-Sua v e para [5, 6 , 7, 8 ℄. 14 onde U é o onjun to dos on trolos admissív eis. P or outras pala vras, a apliação en trada-saída em temp o T asso ia a um on trolo u o p on to nal da tra jetória asso iada a u . Uma questão imp ortan te na teoria do on trolo é estudar esta apliação E T , desrev endo a sua imagem, as suas singularidades, a sua regularidade, et. A resp osta a estas questõ es dep ende, ob viamen te, do espaço U de partida e da forma do sistema (da função f ). Com to da a generalidade temos o seguin te resultado (vide, e.g., [17 , 27 ℄). Prop osição 11. Consider emos o sistema (9) onde f é suave e U ⊂ L ∞ ([0 , T ]) . Então E T é suave no sentido L ∞ . Seja u ∈ U um on trolo de referênia. Exprimamos a difereniabilidade (no sen tido de F ré het) de E T no p on to u . Consideremos A ( t ) = ∂ f ∂ x ( x u ( t ) , u ( t )) e B ( t ) = ∂ f ∂ u ( x u ( t ) , u ( t )) . O sistema ˙ y v ( t ) = A ( t ) y v ( t ) + B ( t ) v ( t ) y v (0) = 0 é hamado sistema line arizado ao longo de ( x u , u ) . O diferenial de F ré het de E T em u é a apliação dE T ( u ) · v = y v ( T ) = Z T 0 M ( T ) M − 1 ( s ) B ( s ) v ( s ) ds onde M é a solução matriial de ˙ M = AM , M (0) = I d . 4.3 Con trolos singulares Seja u um on trolo denido sobre [0 , T ] tal que a tra jetória partindo de x (0) = x 0 é denida sobre [0 , T ] . Dizemos que o on trolo u (ou a tra jetória x u ) é singular sobre [0 , T ] se o diferenial de F ré het dE T ( u ) da apliação en trada- saída no p on to u não é sobrejetiv a. Caso on trário dizemos que u é regular. Prop osição 12. Sejam x 0 e T xos. Se u é um ontr olo r e gular, então E T é uma apli ação ab erta numa vizinhança de u . 4.4 Conjun to aessív el e on trolabilidade O onjun to aessív el em temp o T para o sistema (9 ) , denotado p or A ( T ) , é o onjun to das extremidades em temp o T das soluçõ es do sistema partindo de 0 . P or outras pala vras, é a imagem da apliação en trada-saída em temp o T . Denição 13. O sistema (9) diz-se on trolá v el se ∪ T ≥ 0 A ( T ) = R n . 15 Argumen tos do tip o do teorema da função implíita p ermitem deduzir os resultados de ontr olabilidade lo al do sistema de partida a partir do estudo da on trolabilidade do sistema linearizado (vide, e.g., [ 18 ℄). P or exemplo, deduzi- mos do teorema de on trolabilidade no aso linear a prop osição seguin te. Prop osição 14. Consider emos o sistema de ontr olo (9) onde f (0 , 0) = 0 . Seja A = ∂ f ∂ x (0 , 0) e B = ∂ f ∂ u (0 , 0) . Se rank ( B | AB | · · · | A n − 1 B ) = n então o sistema não line ar ( 9) é lo almente ontr olável em 0 . Em geral o problema da on trolabilidade é difíil. Diferen tes ab ordagens são p ossív eis. Umas fazem uso da Análise, outras da Geometria, outras ainda da Álgebra. O problema da on trolabilidade está ligado, p or exemplo, à questão de sab er quando um determinado semi-grup o op era transitiv amen te. Existem tam b ém ténias para mostrar, em ertos asos, que a on trolabilidade é global. Uma delas, imp ortan te, é a hamada ténia de alargamen to (vide [ 17 ℄). 4.5 Existênia de on trolos óptimos P ara além de um problema de on trolo, onsideramos tam b ém um problema de optimização: de en tre to das as soluçõ es do sistema (9) unindo 0 a x 1 , enon trar uma tra jetória que minimiza (ou maximiza) uma erta função usto C ( T , u ) . Uma tal tra jetória, se existir, diz-se óptima para esse usto. A existênia de tra jetórias óptimas dep ende da regularidade do sistema e do usto. P ara um en uniado geral de existênia vide, e.g., [17, 18 ℄. P o de tam b ém aon teer que um on trolo óptimo não exista na lasse de on trolos onsiderada, mas exista n um espaço mais abrangen te. Esta questão remete-nos para outra área imp ortan te: o estudo da regularidade das tra jetórias óptimas. F ranis Clark e e Ri hard Vin ter deram um on tributo imp ortan tíssimo nesta área, in tro duzindo o estudo sistemátio da regularidade lips hitziana dos minimizan tes no on trolo óptimo linear [9 , 10 , 34 ℄. Resultados gerais de regularidade lips hitziana das tra jetórias minimizan tes para sistemas de on trolo não lineares p o dem ser enon trados em [29 ℄. 4.6 Prinípio do Máximo de P on try agin Dado um problema de on trolo óptimo para o qual estão garan tidas as ondiçõ es de existênia e regularidade da solução óptima, omo determinar os pro essos optimais? A resp osta a esta questão é dada p elo élebre Prinípio do Máx- imo de Pontryagin . P ara um estudo aprofundado das ondiçõ es neessárias de optimalidade sugerimos [5 , 26 , 33 ℄. Começamos p or mostrar que uma tra jetória singular p o de ser parametrizada omo a pro jeção de uma solução de um sistema hamiltoniano sujeito a uma e quação de r estrição . Consideremos o hamiltoniano do sistema (9): H : R n × R n \{ 0 } × R m → R ( x, p , u ) 7→ H ( x, p, u ) = h p, f ( x, u ) i 16 onde h , i denota o pro duto esalar usual de R n . Prop osição 15. Seja u um ontr olo singular e x a tr aje tória singular asso iada a esse ontr olo em [0 , T ] . Então, existe um ve tor linha ontínuo p : [0 , T ] → R n \{ 0 } tal que as e quaçõ es se guintes são veri adas p ar a quase to do o t ∈ [0 , T ] : ˙ x ( t ) = ∂ H ∂ p ( x ( t ) , p ( t ) , u ( t )) , ˙ p ( t ) = − ∂ H ∂ x ( x ( t ) , p ( t ) , u ( t )) ∂ H ∂ u ( x ( t ) , p ( t ) , u ( t )) = 0 (e quação de r estrição) onde H é o hamiltoniano do sistema. Demonstr ação. P or denição, o par ( x, u ) é singular sobre [0 , T ] se dE T ( u ) não é sobrejetiv a. Logo existe um v etor linha ¯ p ∈ R n \{ 0 } tal que ∀ v ( · ) ∈ L ∞ ([0 , T ]) h ¯ p, dE T ( u ) · v i = ¯ p Z T 0 M ( T ) M − 1 ( s ) B ( s ) v ( s ) ds = 0 . Consequen temen te, ¯ pM ( T ) M − 1 ( s ) B ( s ) = 0 em q.t.p. de [0 , T ] . Seja p ( t ) = ¯ pM ( T ) M − 1 ( t ) , t ∈ [0 , T ] . T emos que p é um v etor linha de R n \{ 0 } e p ( T ) = ¯ p . Difereniando, obtemos ˙ p ( t ) = − p ( t ) ∂ f ∂ x ( x ( t ) , u ( t )) . In tro duzindo o hamiltoniano H ( x, p, u ) = h p, f ( x, u ) i onluímos que ˙ x ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t )) = ∂ H ∂ p ( x ( t ) , p ( t ) , u ( t )) e ˙ p ( t ) = − p ( t ) ∂ f ∂ x ( x ( t ) , u ( t )) = − ∂ H ∂ x ( x ( t ) , p ( t ) , u ( t )) . A equação de restrição v em de p ( t ) B ( t ) = 0 p ois B ( t ) = ∂ f ∂ u ( x ( t ) , u ( t )) . Denição 16. A o v etor linha p : [0 , T ] → R n \{ 0 } da Prop osição 15 hamamos ve tor adjunto do sistema (9) . 4.6.1 Prinípio do Máximo frao (T eorema de Hestenes) Pro uramos ondiçõ es neessárias de optimalidade. Consideremos o sistema ( 9). Os on trolos u ( · ) ∈ U são denidos em [0 , T ] e tomam v alores em Ω = R m (não existem restriçõ es aos v alores dos on trolos). As tra jetórias asso iadas dev em v eriar x (0) = x 0 e x ( T ) = x 1 . O problema onsiste em minimizar um usto da forma C ( u ) = Z T 0 f 0 ( x ( t ) , u ( t )) dt , (10) 17 onde f 0 : R n × R m → R é uma apliação C ∞ e T está xo. Asso iamos ao sistema (9) o sistema aumentado ˙ x ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t )) ˙ x 0 ( t ) = f 0 ( x ( t ) , u ( t )) (11) e usamos a notação ˜ x = ( x, x 0 ) e ˜ f = ( f , f 0 ) . O problema reduz-se en tão à pro ura de uma tra jetória solução de (11) om ˜ x 0 = ( x 0 , 0) e ˜ x 1 = ( x 1 , x 0 ( T )) de tal mo do que a última o ordenada x 0 ( T ) seja minimizada. Seja ˜ x 0 = ( x 0 , 0) xo. O onjun to dos estados aessív eis a partir de ˜ x 0 para o sistema (11 ) é ˜ A ( ˜ x 0 , T ) = ∪ u ( · ) ˜ x ( T , ˜ x 0 , u ) . Seja, agora, u ∗ um on trolo e ˜ x ∗ a tra jetória asso iada, solução do sistema aumen tado (11 ) saindo de ˜ x 0 = ( x 0 , 0) . Se u ∗ é óptimo para o ritério (10 ), en tão o p on to ˜ x ∗ ( T ) p ertene à fron teira do onjun to ˜ A ( ˜ x 0 , T ) . Com efeito, se assim não fosse existiria uma vizinhança do p on to ˜ x ( T ) = ( x 1 , x 0 ( T )) em ˜ A ( ˜ x 0 , T ) on tendo um p on to ˜ y ∗ ( T ) solução do sistema (11 ) e tal que y 0 ( T ) < x 0 ( T ) , o que on tradiz a optimalidade do on trolo u ∗ (Figura 13 ). Consequen temen te, o on trolo ˜ u ∗ é, p ela Prop osição 12 , um on trolo singular para o sistema aumen tado ( 11 ). x x 0 x 1 x 0 ( T ) ˜ A ( ˜ x 0 , T ) Figura 13: se u ∗ é óptimo, en tão ˜ x ∗ ( T ) ∈ F r ˜ A ( ˜ x 0 , T ) . Usando a Prop osição 15 obtemos o seguin te teorema. T eorema 17 (Prinípio do Máximo frao T eorema de Hestenes [16 ℄) . Se u ∗ é um ontr olo óptimo, então existe uma apli ação ˜ p ∗ : [0 , T ] → R n +1 \{ 0 } tal que ( ˜ x ∗ , ˜ p ∗ , ˜ u ∗ ) satisfaz o sistema hamiltoniano ˙ ˜ x ∗ ( t ) = ∂ ˜ H ∂ ˜ p ( ˜ x ∗ ( t ) , ˜ p ∗ ( t ) , ˜ u ∗ ( t )) , ˙ ˜ p ∗ ( t ) = − ∂ ˜ H ∂ ˜ x ( ˜ x ∗ ( t ) , ˜ p ∗ ( t ) , ˜ u ∗ ( t )) (12) e a ondição de estaionaridade ∂ ˜ H ∂ ˜ u ( ˜ x ∗ ( t ) , ˜ p ∗ ( t ) , ˜ u ∗ ( t )) = 0 , (13) onde ˜ H ( ˜ x, ˜ p , u ) = h ˜ p, ˜ f ( ˜ x, u ) i . 18 O T eorema 17 tem a sua génese nos trabalhos de Gra v es de 1933, tendo sido obtido primeiramen te p or Hestenes em 1950 [ 16 ℄. T rata-se de um aso partiular do Prinípio do Máximo de P on try agin, onde não são onsideradas restriçõ es aos v alores dos on trolos (i.e., u ( t ) ∈ Ω om Ω = R m ). Esrev endo ˜ p ∗ = ( ˜ p 1 , . . . , ˜ p n , p 0 ) = ( ˜ p, p 0 ) ∈ ( R n × R ) \{ 0 } , onde p 0 é a v ariá v el dual do usto e ˙ ˜ p ∗ ( t ) = − ˜ p ∗ ( t ) ˜ f ˜ x ( ˜ x ∗ , u ∗ ( t )) , temos que ( ˜ p, p 0 ) satisfaz o sistema ( ˙ p, ˙ p 0 ) = − ( p, p 0 ) ∂ f ∂ x 0 ∂ f 0 ∂ x 0 ! e ∂ ˜ H ∂ u = 0 = p ∂ f ∂ u + p 0 ∂ f 0 ∂ u onde ˜ H = h ˜ p, ˜ f ( x, u ) i = p · f + p 0 f 0 . Repare-se que ˙ p 0 ( t ) = 0 , isto é, p 0 ( t ) é onstan te em [0 , T ] . Como o v etor p ∗ ( t ) é denido a menos de uma onstan te m ultipliativ a, esolhe-se normalmen te p 0 ≤ 0 . Denição 18. Uma extr emal do problema de on trolo óptimo é um terno or- denado ( x, p , u ) solução das equaçõ es (12 ) e (13). Se p 0 = 0 , dizemos que a extremal é anormal. Nesse aso ela não dep ende do usto e ( x ( t ) , u ( t )) é uma tra jetória singular do sistema (9). A designação anormal é história. Sab e-se ho je que os minimizan tes anor- mais são frequen tes e normais em m uitos e v ariadíssimos problemas de opti- mização. A o leitor in teressado no estudo de extremais anormais sugerimos o livro [2℄. 4.6.2 Prinípio do Máximo de P on try agin O prinípio do máximo de P on try agin é uma v ersão forte do T eorema 17 onde são admitidas restriçõ es sobre os v alores dos on trolos. A existênia de tais restriçõ es é imp osta p elas apliaçõ es e altera p or ompleto a natureza das soluçõ es. O prinípio do máximo de P on try agin é m uito mais difíil de demonstrar do que o T eorema de Hestenes (vide, e.g., [ 18 , 24 ℄). P ara uma ab ordagem simples ao prinípio do máximo de P on try agin sugerimos dois livros exelen tes esritos em língua P ortuguesa: [19 , 26 ℄. O en uniado geral é o seguin te. T eorema 19 (Prinípio do Máximo de P on try agin) . Consider e-se o sistema de ontr olo em R n ˙ x ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t )) , onde f : R n × R m → R n é de lasse C 1 e onde os ontr olos são apli açõ es mensur áveis e limitadas, denidos no intervalo [0 , t ( u )] de R . Denotemos p or U o onjunto dos ontr olos admissíveis ujas tr aje tórias asso iadas unem um p onto iniial de M 0 a um p onto nal de M 1 . Par a um tal ontr olo denimos o usto C ( u ) = Z t ( u ) 0 f 0 ( x ( t ) , u ( t )) dt , 19 onde f 0 : R n × R m → R é de lasse C 1 . Se o ontr olo u ∈ U é óptimo em [0 , t ∗ ] , então existe uma apli ação não trivial (i.e., não identi amente nula) ( p ( · ) , p 0 ) : [0 , t ∗ ] → R n × R absolutamente ontínua, hamada ve tor adjunto, onde p 0 é uma onstante ne gativa ou nula, tal que a tr aje tória óptima x asso iada ao ontr olo u veri a, em quase to dos os p ontos de [0 , t ∗ ] , o sistema hamiltoniano ˙ x = ∂ H ∂ p ( x, p , p 0 , u ) , ˙ p = − ∂ H ∂ x ( x, p , p 0 , u ) e a ondição do máximo H ( x ( t ) , p ( t ) , p 0 , u ( t )) = max v ∈ Ω H ( x ( t ) , p ( t ) , p 0 , v ) , q.t.p. t ∈ [0 , t ∗ ] , onde o hamiltoniano H é dado p or H ( x, p, p 0 , u ) = h p, f ( x, u ) i + p 0 f 0 ( x, u ) . A lém disso, tem-se p ar a to do o t ∈ [0 , t ∗ ] que max v ∈ Ω H ( x ( t ) , p ( t ) , p 0 , v ) = 0 . (14) Se M 0 e/ou M 1 são varie dades de R n om esp aços tangentes T x (0) M 0 em x (0) ∈ M 0 e T x ( t ∗ ) M 1 em x ( t ∗ ) ∈ M 1 , então o ve tor adjunto satisfaz as se guintes ondiçõ es de tr ansversalidade: p (0) ⊥ T x (0) M 0 e p ( t ∗ ) ⊥ T x ( t ∗ ) M 1 . Observação 20 . No T eorema 19 o temp o nal é livre. Se impusermos um temp o nal xo igual a T , isto é, se pro uramos, partindo de M 0 , atingir o alv o M 1 em temp o T e minimizando o usto C ( u ) em [0 , T ] (problema a temp o xo), en tão o teorema on tin ua v erdadeiro, salv o a ondição (14) que dev e ser substituída p or max v ∈ Ω H ( x ( t ) , p ( t ) , p 0 , v ) = onst ∀ t ∈ [0 , T ] (om onstan te não neessariamen te n ula). Observação 21 . O problema de temp o mínimo orresp onde ao aso em que f 0 = 1 . Observação 22 . Se o onjun to alv o M 1 é igual a to do o R n (problema om extremidade nal livre), en tão a ondição de transv ersalidade no instan te nal diz-nos que p ( t ∗ ) = 0 . O prinípio do máximo de P on try agin é um resultado profundo e imp ortan te da Matemátia on temp orânea, om in úmeras apliaçõ es na Físia, Biologia, Gestão, Eonomia, Ciênias So iais, Engenharia, et. (vide, e.g., [4 ℄). 4.7 Exemplo: on trolo óptimo de um osilador harmónio (aso não linear) Reonsideremos o exemplo (não linear) da mola, mo delado p elo sistema de on- trolo ˙ x ( t ) = y ( t ) , ˙ y ( t ) = − x ( t ) − 2 x ( t ) 3 + u ( t ) , 20 onde admitimos omo on trolos to das as funçõ es u ( · ) seionalmen te on tín uas tais que | u ( t ) | ≤ 1 . O ob jetiv o onsiste em lev ar a mola de uma p osição iniial qualquer ( x 0 , y 0 = ˙ x 0 ) à sua p osição de equilíbrio (0 , 0) em temp o mínimo t ∗ . Apliquemos o Prinípio do Máximo de P on try agin a este problema. O hamil- toniano tem a forma H ( x, y , p x , p y , p 0 , u ) = p x y + p y ( − x − 2 x 3 + u ) + p 0 . Se ( x, y , p x , p y , p 0 , u ) é uma extremal, en tão ˙ p x = − ∂ H ∂ x = p y (1 + 6 x 2 ) e ˙ p y = − ∂ H ∂ y = − p x . Notemos que uma v ez que o v etor adjun to ( p x , p y , p 0 ) dev e ser não trivial, p y não p o de an ular-se n um in terv alo (senão teríamos igualmen te p x = − ˙ p y = 0 e, p or an ulação do hamiltoniano, teríamos tam b ém p 0 = 0 ). P or outro lado, a ondição do máximo dá-nos p y u = max | v |≤ 1 p y ( t ) . Em partiular, os on trolo óptimos são suessiv amen te iguais a ± 1 , isto é, v eria-se o prinípio b ang-b ang (vide, e.g., [ 18 , 21 ℄). Conretamen te, p o de- mos armar que u ( t ) = sinal ( p y ( t )) onde p y é a solução de ( ¨ p y ( t ) + p y ( t )(1 + 6 x ( t ) 2 ) = 0 p y ( t ∗ ) = cos α, ˙ p y ( t ∗ ) = − sin α , α ∈ [0 , 2 π [ . In v ertendo o temp o ( t 7→ − t ) o nosso problema é equiv alen te ao problema de temp o mínimo para o sistema ˙ x ( t ) = − y ( t ) ˙ y ( t ) = x ( t ) + 2 x ( t ) 3 − sin al ( p y ( t )) ˙ p y ( t ) = p x ( t ) ˙ p x ( t ) = − p y ( t )(1 + 6 x ( t ) 2 ) . Dadas as ondiçõ es iniiais x 0 e ˙ x 0 (p osição e v elo idade iniial da massa), o problema é failmen te resolvido. O leitor in teressado enon tra em [ 33 ℄ uma resolução efetuada om o sistema de omputação algébria Maple. Sobre o uso do Maple no álulo das v ariaçõ es e on trolo óptimo v eja-se [15 , 20 ℄. Nota nal A T eoria Matemátia dos Sistemas e Con trolo é ensinada nas instituiçõ es dos autores, nos Departamen tos de Matemátia da Univ ersidade de A v eiro e da Uni- v ersidade de Orléans, F rança. Em A v eiro no âm bito do Mestrado Matemáti a e Apli açõ es , esp eialização em Matemáti a Empr esarial e T e noló gi a [ 35 ℄, e no 21 âm bito do Pr o gr ama Doutor al em Matemáti a e Apli açõ es este último uma asso iação en tre os Departamen tos de Matemátia da Univ ersidade de A v eiro e da Univ ersidade do Minho [36 ℄; em Orléans na op ção Con trolo Automátio do Mestrado P ASSION [37 ℄. O primeiro autor foi aluno de Mestrado em A v eiro e faz atualmen te um doutoramen to em A v eiro e Orléans na área do Con trolo Óptimo, om o ap oio naneiro da F CT, b olsa SFRH/BD/27272/2006. Agradeemos a um revisor anónimo a apreiação uidada e as n umerosas e p ertinen tes observ açõ es, omen tários e sugestõ es. Referênias [1℄ A. A. Agra hev, Y. L. Sa hk o v. Contr ol the ory fr om the ge ometri view- p oint , Enylopaedia Math. Si., 87, Springer, Berlin, 2004. [2℄ A. V. Arut yuno v, Optimality onditions A bnormal and de gener ate pr ob- lems , Klu w er A ad. Publ., Dordre h t, 2000. [3℄ A. Bressan and B. Pioli, Intr o dution to the mathemati al the ory of on- tr ol , Amerian Institute of Mathematial Sienes (AIMS), Springeld, MO, 2007. [4℄ A. E. Bryson Jr. Optimal on trol 1950 to 1985, IEEE Con trol Syst. Mag 16 (1996), no. 3, 2633. [5℄ F. H. Clark e. Optimization and nonsmo oth analysis , Wiley , New Y ork, 1983. [6℄ F. H. Clark e. 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