Rapport de recherche sur le probl`eme du plus court chemin contraint

RAPPOR T DE RECHER CHE LIPN Le probl ` eme du plus court c hemin c ontra in t Olivier Lav al 1 , Sophie T oulouse 1 et Anass Nagih 2 1 LIPN, Universit ´ e de Pa ris-Nord 99 a ven u e Jean-Baptiste Cl ´ ement 93430 Villetaneuse, F ra nce {olivier.l aval,sophi e.toulouse }@lipn.uni v-paris13.fr 2 LIT A, Universit ´ e P aul V erla ine Ile du Saulcy 57045 Metz Cedex 01, F rance anass.nagi h@univ-met z.fr 26 d´ ecembre 2006 R ´ esum ´ e Cet article propose un tour d’horizon des m´ etho d es approch ´ ees et exactes, de leur p erformance et de leur complexit´ e th´ eorique, pou r diﬀ´ erentes v ersions du probl` eme de plus court chemin. L’´ etude prop os´ ee est faite d ans l’optique d’am´ eliorer la r´ esolution d’un probl` eme plus g´ en´ eral d e couverture d ans le cadre d ’un sch ´ ema de g´ en´ eration de colonnes, dont le p lus court chemin appara ˆ ıt comme le sous-probl` eme. Abstract This article p rovides an ov erview of the p erformance and th e theoretical com- plexity of approximate and exact metho ds for v arious vers ions of the shortest path p roblem. The prop osed study aims to imp rove the resolution of a more general cov ering problem within a column generation scheme in which the shortest path p roblem is t he su b-problem. 1 In tro duction Un probl ` eme des plus co urants en optimisation co mbinatoire est celui de la recherche de plus co urts chemins dans un gr aphe. Ce probl` eme se pr´ esente comme s uit : ´ eta nt donn´ e un graphe et une fonction co ˆ ut sur les arcs, le probl` eme co nsiste ` a tro uver le chemin le moins co ˆ uteux d’un so mmet choisi ` a un a utre. Il se r´ esoud a is´ ement grˆ ace ` a de nombreux a lg orithmes po lynomiaux (Bellman [Bel58], Dijkstra [Dij59], ...). N´ eanmoins, l’a jout de cont raintes sur le chemin (ess entiellemen t, des co ntraintes de type “sac-` a-dos” ) le rend plus diﬃcile ` a r´ esoudre . Ce rapp ort de recherche pr´ esente donc diﬀ ´ erents algor ithmes ex a cts ou appro ch ´ es p our r ´ esoudre le probl` eme du Plus Court Chemin Contrain t (not ´ e PCCC par la suite). Ce trav ail se place dans le ca dre plus g´ en ´ eral de r´ e s olution d’un probl` eme de c o uverture de tˆ aches par des v´ ehicules qui doiven t res pe c ter certaines c ontrain tes dont le P CCC est, dans une d ´ ecomp osition class iq ue de type Dantzig W olfe, le sous- probl` eme. Aussi, les r´ es ultats propo s´ es sero nt le plus so uven t compar´ es dans le c adre du d´ eroulement de tels s ch ´ emas . Ce do cument est or ganis´ e comme suit : la deuxi` eme sectio n pr´ esent era le probl` eme PC C C de mani` ere tr` es g´ en´ erale, av ec ses diﬀ´ erent es v ariantes. P lusieurs m´ etho des de r´ eductio n des instances, qui constituent une ´ etape pr´ eliminaire ` a la r´ esolution du probl` eme, sont exp o s´ ee s dans la troisi` eme section. La r´ esolution exa cte sera ab ord´ ee dans la quatri` eme section. Enﬁn, puis q ue le probl` e me est NP -diﬃcile, la cinqui` eme section p ortera sur sa r´ esolution a ppro ch ´ ee. 2 Description du probl ` eme 2.1 F ormalisatio n Soit G = ( V , A ) un graphe orient ´ e o ` u V es t l’ensemble des so mmets ( | V | = n ) et A ⊆ V × V l’ensemble des arcs ( | A | = m ) et s oit R un ensemble de resso urces ( | R | = R ). ` A chaque arc ( i, j ) ∈ A so nt asso ci´ es un co ˆ ut c ij et un vecteur de consommation de r e ssource ( t r ij ) r =1 ,...,R po sitif ( ∀ r = 1 , . . . , R, t r ij ≥ 0). Le gra phe ne doit pas co mpo rter de cycle a bs orbant 3 . Un chemin P x → y ent re deux sommets x et y es t une s ´ equence d’arcs : P x → y = p [ i =1 { ( u i , v i ) } tel que ( u i , v i ) ∈ A, u i +1 = v i , u 1 = x et v p = y La longueur de ce chemin est alo r s p . Un chemin P x → y allant du sommet x au sommet y a un co ˆ ut dont la fo r mule est C ( P x → y ) = X ( u,v ) ∈ P x → y c uv . Soient s e t t deux so mmets distincts priv il´ egi´ es du gr aphe, app el´ e s resp ectivemen t sour ce et puits. Le probl` eme du Plus Co urt Chemin Contraint (PCCC) consiste a lors ` a tr ouver un chemin de co ˆ ut minimal entre la s ource et le puits satisfais ant certaines contraintes de ressour c e (ces contrain tes seront d ´ etaill´ ees par la suite). Si l’ensemble R des resso urces est vide ( R = 0), o n est ra men´ e au probl` eme usuel de plus co urt chemin qui est p olynomia l ([Bel58], [Dij59]). En rev anche, la consid´ eration d’une seule resso urce rend d´ ej` a le probl` eme d’optimisa tio n N P -dur, et ce m ˆ eme lorsque le s co ˆ uts et les conso mmations de ress ource sont s uppo s´ es ˆ etre entiers p ositifs [GJ79] [Dro94]. E nﬁn, le probl` eme consistant ` a d´ ecider seulement s’il existe ou no n un chemin r´ ea lisable es t NP -co mplet d` es lo rs que l’on consid` ere deux r essourc es ou plus. 2.2 Con train tes de ressource Les con traintes de ress ource s’expr iment ` a l’aide d’un vecteur cons ommation de ressource T d´ ep endant du chemin c o nsid´ er´ e dont chaque c o ordonn´ ee r epr´ es ente une re ssource du pr obl` eme. Deux types de contraint es de ressource sont usuellement consid ´ er´ es. T out d’ab ord, les contrain tes de r essource dites ﬁ nales , o ` u la somme sur tous les ar cs du chemin de la sour ce au puits des qua n ti- t ´ es de ress ource consomm´ ees do it entrer dans une fenˆ etr e d´ eﬁnie au puits ; ensuite, les co ntrain tes de ressource dites ` a fenˆ etre s de temps o ` u, ` a chaque so mmet i , son t as so ci´ e e s R fen ˆ etres de res- source [ a r i , b r i ], r = 1 , . . . , R , r´ eduisa nt l’in ter v alle des v aleurs p oss ibles po ur la qua ntit ´ e de res- source r p ouv ant ˆ etre utilis´ ee av an t d’atteindre le so mmet i . Pour ce type de contrain te, il existe deux m´ etho des de calcul du vecteur consomma tio n de resso urce sur un chemin de la sour ce ` a un sommet : – sa ns a tten te p ermis e : ∀ ( P s → j = P s → i ∪ ( i, j )) , T r ( P s → j ) = T r ( P s → i ) + t r ij – avec attente : ∀ ( P s → j = P s → i ∪ ( i, j )) , T r ( P s → j ) = max { a r j , T r ( P s → i ) + t r ij } 3 Un cycle absorbant est un cycle dont la somme des val uations des arcs est n´ egative. 2 Un c hemin de la source a u puits est dit r´ ealis a ble si, en chacun de ses sommets, le vecteur consommation de ressour ce sur le sous -chemin de s ` a ce s ommet est da ns la fenˆ etre de ressour ce de ce sommet ; for mellement : le chemin P s → t est r´ ealisa ble ssi ∀ j ∈ P s → t , ∀ r = 1 , . . . , R, a r j ≤ T r ( P s → j ) ≤ b r j De cette in´ egalit´ e d´ ecoule deux propri´ et ´ es g´ en´ e r ales : – dans les deux m´ ethodes (av ec ou sans attente) : ∀ ( i, j ) ∈ A, ∀ r = 1 , . . . , R, a r i + t r ij ≤ b r j – dans la m´ etho de sans attente p ermise : ∀ ( i, j ) ∈ A, ∀ r = 1 , . . . , R, b r i + t r ij ≤ a r j Les arcs ne v´ er iﬁant pas ces in´ ega lit´ es p euven t ˆ etre dir ectement supprim´ es car ils n’a ppa rtiennent ` a aucune solution r´ ealisable du probl` eme. Le premier type de contrainte s e ra m` ene ais´ emen t au second en attribuant ` a tous les sommets du gra phe et p our chaque ressour ce la fenˆ etre [0 , b r t ], o ` u b r t est le ma jorant de conso mma tion d´ eﬁnie a u puits p our ce tte ressource. T outes les instances consid´ er´ e e s dans ce document seront donc, sans mention expresse du contraire, du seco nd type. 2.3 Relation av ec la g´ en´ era tion de col onnes Dans cer taines mo d´ elisations de probl` emes lin´ eaires en nombres entiers dites ` a formulation « chemins » , les v ariables du probl` e me repr´ esenten t des chemins du gra phe. Le nom bre de chemins dans un graphe ´ etant p otentiellemen t exp onentiel, il en est de mˆ eme du no mb re de v ariables . L’utilisation d’un algor ithme de r´ esolution (simplexe par exemple) ne p eut ˆ etre en visag´ ee p our ce mo d` ele puisque ce dernier ne p eut ˆ etr e explicit´ e. En rev a nche, un pro bl` eme av ec un sous- ensemble de v a riables de taille raisonna ble , appel´ e probl` e me ma ˆ ıtre res treint (P MR), peut ˆ etre r´ es olu ; la r´ esolution de ce dernier p ermet de ca lculer les c o ˆ uts r´ eduits a sso ci´ es ` a chaque arc du gra phe, que l’on p eut interpr´ eter comme le co ˆ ut d’opp o rtunit´ e ` a emprunter un a rc donn´ e (par le bia is d’un c he min utilisant cet arc). La v ariable pouv a n t ˆ etre a jout´ ee au PMR est alors trouv´ ee par r´ esolution du sous-pr obl` eme qui co nsiste en la d´ etermination d’un plus court chemin contrain t po ur le crit` er e de co ˆ ut r´ eduit. Par ex emple, dans le cas d’une minimisation, si le co ˆ ut r´ eduit total d’un chemin est n´ egatif, il est p otentiellemen t am´ elio rant po ur le probl` eme ma ˆ ıtre et constitue ainsi un b on ca ndidat ` a ˆ etre int ´ egr´ e a u P MR. Dans cette appro che app el´ ee g´ en´ er ation de c olonnes , l’optimalit´ e est atteinte lorsqu’il n’existe plus de chemin a m ´ eliora nt (chemin de co ˆ ut r´ eduit n´ ega tif si l’on co nsid` er e la r´ esolution con tinu e du probl` eme ma ˆ ıtre). Noto ns q ue , p our la conv er gence, il n’est pa s n´ ecessaire de trouver un c hemin optimal : un c hemin am´ elio rant suﬃt. De plus, ` a chaque it´ eration, plusieurs chemins am´ eliorants p euven t venir enr ichir le PMR. Le pr obl` eme de plus co urt chemin co n traint ´ etant NP - diﬃcile, le temps de r ´ esolution des s ous- probl` emes n’est pas ma ˆ ıtris´ e ; d’o ` u l’int ´ erˆ et d’utiliser des algo rithmes d’approximation, du moins en d´ ebut de sch ´ ema , nous p ermettant de trouver rapidement des chemins am ´ eliorants (la r ´ so lution exacte demeurant in´ evitable en ﬁn de sc h ´ ema p our pr ouver l’optimalit´ e). 3 R´ edu ction du probl` eme a v an t sa r´ esolution Quelques trav aux pr´ ec´ e da nt la r´ es olution p euven t ˆ etre eﬀectu´ es dans le but de r´ e duir e le graphe (suppress ion de so mmets ou d’ar cs, r´ eduction de l’a mplitude des fen ˆ etres de temps). En 3 outre, ces tr aitements p ermettent parfo is de d´ e tecter les instances non r´ ea lisables ( i.e. , instances sur lesquelles tout chemin viole les co nt raintes de r essourc e) et d’exhib er un ma jo rant et un minorant. 3.1 R´ eduction des fenˆ etres de temps Les deux types de con traintes de ressour ce forment en fait une seule classe de probl` emes o ` u chaque sommet p oss` ede des fenˆ etres de temps. En chaque sommet, les b ornes des fenˆ etres de temps pour chaque ressour ce do iven t v´ eriﬁer quelques relations d´ ependa nt de ses pr´ ed´ ecesseurs et de ses successeurs . L’ensemble des pr´ ed´ ece s seurs de i se noter a pr ed ( i ), l’ensemble des ses successeurs succ ( i ). Ainsi, p our une ressour ce donn´ ee r , le minorant d’une fen ˆ etre du sommet j ne doit pa s ˆ etre plus p etit que le minor ant d’un pr´ ed´ ecesseur i du sommet auquel le temps de tra jet entre les sommets i et j est a jout ´ e. Cela donne l’´ equation s uiv ante : a r j = max { a r j , min i ∈ pred ( j ) { a r i + t r ij }} Une ´ equation similaire est v ala ble p o ur le s ma jorants : b r j = min { b r j , max i ∈ pred ( j ) { b r i + t r ij }} Maintenan t, en cons id´ era nt les success e urs, le mino rant d’un so mmet j ne doit pas ˆ etre plus petit que le mino rant d’un succes seur i du sommet a uquel le temps de tra jet de j ` a i est soustr ait. Cela donne l’´ equa tion s uiv ante : a r j = max { a r j , m in i ∈ succ ( j ) { a r i − t r j i }} Une nouvelle ´ equation similair e est v a lable p our les ma jorants : b r j = min { b r j , m ax i ∈ succ ( j ) { b r i − t r j i }} Si, p our un so mmet i et une resso urce r , la condition a r i > b r i est r emplie, alor s le sommet i doit ˆ etre supprim´ e du gr aphe (car il est inaccessible), ains i q ue tous ses ar c s incidents. De mˆ eme, dans le cas o ` u l’attente n’est pas p ermise, s’il existe un arc ( i, j ) tel q ue b r i + t r ij < a r j , alor s l’a rc ( i, j ) peut ˆ etre supprim´ e. L’algor ithme 1 v´ eriﬁe donc les ´ e q uations pr´ ec ´ edentes p our chaque sommet. Dans le ca s d’un graphe acyclique, il suﬃt de traiter les sommets dans l’or dr e top ologiq ue p our les ´ equa tions utili- sant les pr´ edecesseur s, puis dans l’ordr e in verse p our les ´ equations co ncernant les succe s seurs. La pro c´ edure r ecommence si et seulement s i un s ommet ou un ar c peut ˆ etr e supprim´ e. La co mplex it ´ e de ce tte pro c ´ edure est do nc en O ( n 3 R ). Dans le cas cyclique, rien ne ga rantit qu’aucune fenˆ etre ne p our ra encore ch anger apr` es l’application de la pro c´ edure , et ce mˆ eme si celle-ci n’induit pas de suppression de s ommets ou d’arcs. La pr o c´ edur e pr´ ec´ eden te est donc r ´ ep´ et´ ee tant qu’une b or ne change ou qu’un so mmet o u un arc es t ´ elimin ´ e. Pour cet a lgorithme, la complexit´ e en temps de la bo ucle r´ ep´ eter est en O ( n 2 R ). Une premi` ere appr oximation na ¨ ıve du nombre de fois o ` u cette b oucle est eﬀectu´ ee dans le cas de fenˆ etre s enti ` eres est O ( n max i ∈ V { b i − a i } ) (r´ eduction d’a u moins une unit´ e de la fenˆ etre p our un sommet ` a chaque it´ e r ation). La complexit´ e totale est donc O ( n 3 R ma x i ∈ V { b i − a i } ). 4 Algorithme 1 : REDU CTION : R´ eduction des fenˆ etres de temps (graphe acyclique) Ent r ´ ees : G = ( V , A ) et ∀ i ∈ V , ∀ r = 1 , . . . , R, [ a r i ; b r i ] la fenˆ etre de la ressource r p our le sommet i ; les sommets son t num ´ erot´ es dans l’ordre t opologique Sorties : G ′ = ( V ′ , A ′ ) un sous-graphe partiel de G av ec les fenˆ et res de ressource r´ eduites V ′ ← V ; A ′ ← A ; r ´ ep´ eter r ecommencer ← f a lse ; pour i al lant de 1 ` a n faire pour r al lant de 1 ` a R faire minp ← ∞ ; maxp ← 0; pour tous les j ∈ pr ed ( i ) fai re minp ← min { minp, a r j + t r j i } ; maxp ← max { maxp, b r j + t r j i } ; si a r i < minp alors a r i ← minp ; si b r i > maxp alors b r i ← maxp ; pour i al lant de n ` a 1 faire pour r al lant de 1 ` a R faire mins ← ∞ ; maxs ← 0; pour tous les j ∈ succ ( i ) faire mins ← min { mins, a r j − t r j i } ; maxs ← max { maxs , b r j − t r j i } ; si a r i < mins alors a r i ← mins ; si b r i > maxs alors b r i ← maxs ; si attente non p ermise et ∃ ( i, j ) ∈ A ′ , ∃ r = 1 , . . . , R, b r i + t r ij < a r j alors A ′ ← A ′ \ { ( i, j ) } ; r ecommencer ← tr ue ; si ∃ i ∈ V ′ , ∃ r = 1 , . . . , R, b r i < a r i alors V ′ ← V ′ \ { i } ; A ′ ← A ′ \ { ( u, v ) ∈ A ′ , u = i ou v = i } ; r ecommencer ← tr ue ; jusqu’` a r ecomm encer = f alse ; 5 3.2 Pr ´ etraitemen t p our con traintes de ressource ﬁnales Le but de cette pro c ´ edure de pr´ e traitement, pr´ esent ´ ee dans [AAN83] et a m´ elio r´ ee dans[DB0 3] est, comme pr´ ec´ edemment , de r´ eduire le graphe mais en plus de fournir un minorant et un ma- jorant p o ur la v aleur du probl` eme. Elle explo ite le fa it suiv a nt : trouver le plus cour t chemin non contrain t e ntre deux so mmets a la m ˆ eme complexit´ e (et pr e nd aussi le mˆ eme temps de calcul) que trouver le plus court chemin entre un sommet et tous les autres (ou tous les autr es et u n sommet). Les plus cour ts chemins suiv ant chaque m´ etrique (co ˆ ut ou ressour ce) so nt donc cal- cul´ es entre la source et tous les sommets, ainsi qu’entre tous les sommets et le puits. E nsuite, en recombinant ces plus courts chemins, certains p eu co ˆ uteux mais no n r´ ealisables p euven t ˆ etre d´ etect´ es, ce qui p ermet d’am´ eliorer le minorant ; inv er sement, de s solutions r´ ealisables p e uven t ˆ etre exhib´ ees, ce qui fo urnit un ma jorant au pro bl` eme. Enﬁn, ce traitement p er met d’´ ela guer le graphe en d´ eterminant des arcs et des sommets qui n’appartiennent ` a aucun chemin r´ ealisable ou qui n’appartiennent ` a a ucun chemin optimal. Le d´ eroulement de l’algor ithme est le suiv a nt : – T out d’ab or d, le s chemins le s moins co ˆ uteux de la source ` a tous le s sommets sont calcul´ es. Cela p ermet ´ even tuellement de d´ etecter des instances non r´ ealisables (absence de chemin de la so urce au puits) o u d’exhib er un c hemin o ptimal (un plus co urt chemin de la source au puits v´ eriﬁe les contraint es de r essource ) ou encore, d’exhib er un chemin no n r´ ealisable de co ˆ ut minimum p er metta nt de mettr e ` a jour le minora n t p our le pr o bl` eme. – Ens uite, p o ur chaque r essourc e , les chemins les moins consomma teur s de cette ressour ce allant de la so urce ` a ch aque sommet sont ca lcul´ es. Ils p ermettent une nouvelle fois de d´ etec- ter la non faisabilit´ e de l’ins ta nce (la v aleur du plus cour t chemin sur une ressour c e d´ epas se le ma jora nt du puits) ou de mettre ` a jour le ma jorant du pr obl` eme par la consid´ eration d’un chemin r´ ealisable p our toutes les res sources. – Enﬁn, les chemins le s moins co ˆ uteux et les moins co nsommateurs en chaque r essource allant de tout sommet au puits so nt ca lcul´ es. D’une par t, l’e nsemble des chemins a ins i g´ en ´ er´ es p ermet d’am´ eliorer le ma jo rant en r ecombinan t les plus cour ts chemins p o ur trouver des chemins r´ ealisables de b on co ˆ ut : le princip e co ns iste tout simplement ` a consid´ e rer, p our chaque a rc ( i, j ) du gra phe, le s chemins r´ es ultant d’une concat´ enation d’un plus court chemin de s ` a i , de l’ar c ( i, j ) et d’un plus cour t chemin de j ` a t . D’autre part, cela p ermet de tes ter l’accessibilit´ e ou la p e rtinence (en incluant l’informa tion app ort´ ee par le ma jorant) de chaque so mmet et de chaque arc po ur les supprimer si p os sible : po ur un sommet i ( r esp. , pour un arc ( i, j )), il suﬃt que, p our une m´ etr ique donn´ ee, la v aleur du plus co urt ch emin de s ` a i a dditionn´ e ` a la v aleur du plus cour t chemin de i ` a t ( r esp. , ` a la v aleur de l’arc ( i, j ) plus la v aleur du plus cour t chemin de j ` a t ) s oit plus grande que le ma jorant en co ˆ ut o u que le ma jor ant pr´ esent sur le puits p our c e tte m ´ etrique p our que ce sommet ( r esp. , cet arc) s o it supprim´ e. Cette pro c´ edure p eut donc renv oyer un cons ta t de non r´ ealisabilit´ e, un chemin optimal ou un minorant et un ma jo rant, ce der nier po uv ant ˆ etre as so ci´ e ` a un chemin. Une descriptio n de ce tr aitement est pr op os´ ee par l’alg o rithme 2 , o ` u l’on supp ose disp os e r de deux pro c´ edures pcc ( s → , f ) et pcc ( → t, f ) qui per metten t de d ´ eterminer resp ectivemen t les plus courts chemins de s ` a tous les sommets et les plus courts chemins de tous les s o mmets ` a t , relativemen t ` a la m´ etrique f . Dans le cadre d’un s ch´ ema de g´ en ´ eration de colo nnes, ce tra itement p ermet de d´ etecter une instance non r´ ealisa ble ma is aus si d’ ´ eliminer des sommets et des arcs n’appa rtenant pas ` a une so lution optimale. De plus, d` es que la v a leur du ma jor ant devient n´ egative, l’´ eliminatio n de sommets et d’arcs non optima ux n’est plus n´ ecessaire men t o ppo rtune si l’ob jectif est de conser ver 6 plusieurs so lutions int eressa ntes (de coˆ ut n´ egatif ). Il suﬃt alor s de rendre stric ts les tests sur le ma jorant dans les blo cs d’´ elimina tion des sommets e t des arcs. 4 R´ esolu tion exacte du PCCC Nous rapp elons que le pro bl ` eme P C CC es t NP -dur, et ce mˆ eme p our une seule resso urce. Le probl` eme de d´ ecis io n as s o ci´ e ` a l’existence d’un chemin de co ˆ ut inf´ erie ur ` a une b orne est lui-mˆ eme NP -complet p our le ca s de deux resso urces ou plus. La r´ esolution exacte de ce pro bl ` eme p e ut ˆ etre men´ ee par la programmation dynamique. 4.1 Cas g´ en´ era l La pr ogramma tion dynamique po ur ce probl` eme p ermet d’´ elab orer un a lg orithme pseudo- po lynomial 4 de r´ esolution ex acte. La pr ogra mmation dy na mique se fonde s ur le princip e d’op- timalit ´ e de Bellma n : toute sous-s´ equence d’une s´ equence optimale est optimale. Cela est di- rectement appliquable au plus court chemin : si P = { ( s, v 1 ) , . . . , ( v q , t ) } est un plus cour t chemin de s ` a t , alor s P ′ = { ( s, v 1 ) , . . . , ( v i − 1 , v i ) } est n´ ecessairement un plus co urt chemin de s ` a v i po ur i ≤ q . Avec l’introduction des co nt raintes de ressour ce, o n ne p eut plus adapter directement ce princip e p our pro pa ger les meilleurs chemins, puisqu’il faut nuancer la notion d’optimalit´ e des so us-s´ equences par la cons id´ eration d’un niveau de consomma tion de ress o urce : si P = { ( s, v 1 ) , . . . , ( v q , t ) } est un plus court chemin de s ` a t co nsommant ( B 1 , . . . , B R ) unit´ es des R resso urces, a lors P ′ = { ( s, v 1 ) , . . . , ( v i − 1 , v i ) } es t un plus court chemin de s ` a v i , parmi les chemins ne co nsommant pas plus de ( B 1 − T 1 ( P i → t ) , . . . , B R − T R ( P i → t )) unit´ es des res- sources. P our g´ erer les niv eaux de consommation de coˆ ut et de ressource des sous-s´ equences, la progra mmation dynamique utilise la notio n d’´ etiquettes. D ´ eﬁnition 1 ´ Etiquette Une ´ etiquette est un ve cteur re pr ´ esentant un chemin et dont les c o or donn ´ ees sont le c oˆ ut et les c onsommations des diﬀ´ er entes r essour c es. E = ( E 0 , E 1 , . . . , E R ) o ` u E 0 est le c o ˆ ut du chemin et E r p our r ∈ { 1 , . . . , R } est la c onsommation de la r essour c e r . Remarque 1 A tout chemin r´ ealisable entr e s et tout sommet c orr esp ond une ´ etiquette. Les diﬀ ´ erents alg orithmes de progra mmation dynamique utilisent ces ´ etiquettes, mais il n’est pas forc´ emen t n´ ecessaire de toutes les garder : conser ver toutes les ´ etiquettes r e viendrait ` a ´ enum ´ erer tous le s chemins du graphe. Pour ´ eliminer les ´ etiquettes inutiles, une relation de dominance est d´ eﬁnie. D ´ eﬁnition 2 R elation de dominanc e : U ne ´ etiq uette E domine une ´ e tiq ue tte E ′ ssi ∀ r ∈ { 0 , . . . , R } , E r ≤ E ′ r ( E ≻ E ′ ) et ∃ r ∈ { 0 , . . . , R } , E r < E ′ r Cette r elation de domina nce induit un o rdre par tiel a pp e l´ e ordre de Pareto. T outes les ´ etiquettes n’´ etant pas forc´ e men t deux ` a deux compara bles, cela p ermet de d´ eﬁnir un e ns emb le de ma jora nt s po ur cet ordr e. 4 La complexit´ e d´ epen d p olynomialement d e la taille des instances ainsi que des donn´ ees num ´ eriques. 7 Algorithme 2 : PRETRAITEMENT : Pro c´ edu re d e pr´ etraitemen t Ent r ´ ees : - G = ( V , A ) graphe, c : A → R fonction de coˆ ut sur les arcs, b ∈ N R vecteur des ressources disp onibles au p uits Sorties : G ′ sous-graphe partiel de G ; U et L ma jorant et minorant du chemin le moins co ˆ uteux et v´ eriﬁan t les contrain tes V ′ ← V ; A ′ ← A ; L ← 0; U ← U 0 = C max × ( | V | − 1) + 1 av ec C max = max ( i,j ) ∈ A { c ij } ; r ´ ep´ eter chg ← f al se ; // Calcul des plus courts chemin s { P s → i , i ∈ V ′ } ← pcc ( s → , c ); { P ′ i → t , i ∈ V ′ } ← pcc ( → t, c ); ∀ r = 1 , . . . , R, { P r s → i , i ∈ V ′ } ← pcc ( s → , t r ); ∀ r = 1 , . . . , R, { P ′ r i → t , i ∈ V ′ } ← pcc ( → t, t r ); // Consid´ eration de P s → t si ∄ P s → t alors L’instance n’est pas r´ ealisable ; EXIT; sinon s i ∀ r = 1 , . . . , R, T r ( P s → t ) ≤ b r t alors P s → t est une solution optimale ; EXIT; sinon L ← C ( P s → t ); // Consid´ eration de P r s → t si ∃ r, T r ( P r s → t ) > b r t alors L’instance n’est pas r´ ealisable ; EXIT; si ∃ r, ∀ q = 1 , . . . , R, T q ( P r s → t ) ≤ b q t et C ( P r s → t ) < U al ors U ← C ( P r s → t ); // Recombinaison des chemins pour tous les ( i, j ) ∈ A ′ faire si ∃ P ∈ { P s → i } ∪ R [ r =1 { P ′ r s → i } , ∃ P ′ ∈ { P ′ j → t } ∪ R [ r =1 { P ′ r j → t } , ∀ r = 1 , . . . , R , T r ( P ) + t r ij + T r ( P ′ ) ≤ b r t et C ( P ) + c ij + C ( P ′ ) < U al ors U ← C ( P ) + c ij + C ( P ′ ); // ´ Eliminatio n de sommets pour tous les i ∈ V ′ \ { s, t } faire si ∃ r = 1 , . . . , R , T r ( P r s → i ) + T r ( P ′ r i → t ) > b r t alors Supprimer le sommet i et tous ses arcs incidents; chg ← tr ue ; si C ( P s → i ) + C ( P ′ i → t ) ≥ U al ors Supprimer le sommet i et tous ses arcs incidents; chg ← tr ue ; // ´ Eliminatio n d’arcs pour tous les ( i, j ) ∈ A ′ faire si ∃ r = 1 , . . . , R , T r ( P r s → i ) + t r ij + T r ( P ′ r j → t ) > b r t alors Supprimer l’arc ( i, j ); chg ← tr ue ; sinon s i C ( P s → i ) + c ij + C ( P ′ j → t ) ≥ U al ors Supprimer l’arc ( i, j ); chg ← tr ue ; jusqu’` a chg = f al s e ; Retourner les b ornes L et U ainsi q ue le chemin correspond ant ` a la b orne U ; 8 D ´ eﬁnition 3 ´ Element Par et o-optimal ou n on domin´ e : E est Par eto-optimal ssi ∄ E ′ , E ′ ≻ E D ´ eﬁnition 4 Ensemble Par eto-optimal : Un ensemble Par eto-optimal est un ensemble d’ ´ el ´ ement s non domin´ es. P ar eto = { E | ∄ E ′ , E ′ ≻ E } Cette r elation de do minance p er met de ne g´ en ´ erer que les chemins Pareto-o ptima ux . Pour k ∈ N , la cons e rv ation de toutes les ´ etiquettes non domin´ ees pa r k autres p ermet de s ’a ssurer de tro uver les k meilleur es solutions et p ermet ainsi, dans notre sch ´ ema de g´ en´ eration de colo nnes, d’ins´ er er plusieurs colonnes lors d’une mˆ eme it´ eration. Deux types d’algo rithmes de prog r ammation dynamique existent : algo rithmes ` a cor rection d’´ etiquettes ([DPS8 3]) et a lg orithmes ` a ﬁxation d’´ etiquettes ([DS88]). Algorithme ` a correction d’´ etiquettes [DPS83] Cet alg orithme s e nomme a insi ca r, ` a chaque it´ eration, il v a essay er d’am´ eliorer les ´ etiquettes d´ ej` a existantes. En eﬀet, une liste de so mmets sur lesquels il ex iste des ´ etiquettes non encore trait´ ee s est mainten ue. ` A chaque ´ eta pe , un sommet de cette lis te es t choisi et les ´ etiquettes de ce sommet s ont propag´ ees aux successe ur s de ce sommet. Pour chacune des ´ etiquettes ainsi cr´ e´ ees, un test de do minance est eﬀectu´ e po ur ´ eliminer les ´ etiquettes do min ´ ees ou d´ ej` a obtenues. Si une nouvelle ´ etiquette a ppara ˆ ıt, le sommet sur leq uel cette ´ e tiq uette est pr´ e sente est a jout´ e ` a la lis te des sommets ` a tr a iter. Algorithme 3 : CORR ECTION : Algorithme ` a correction d’´ etiq uettes Ent r ´ ees : - G = ( V , A ) : graphe ave c R contrain t es de ressource - P ar e t o ( E ) renv oie l’ensemble des ´ etiquettes non domin´ es d e E Sorties : Chemin contrain t de coˆ ut opt imal // E T I Q ( i ) est l’ensemble des ´ etiquettes du sommet i , les ´ etiquettes ´ etant des vecteurs de taille (1 + R ) pour tous les i ∈ V faire E T I Q ( i ) ← ∅ ; LI S T ← { s } ; E T I Q ( s ) ← { 0 } tan t que LI S T 6 = ∅ fa i re Choisir i ∈ LI S T ; LI S T ← LI S T \ { i } ; pour tous les j ∈ succ ( i ) faire pour tous les E ∈ E T I Q ( i ) faire si ∀ r ∈ { 1 , . . . , R } , E r + t r ij ≤ b r j alors E ′ ← ( E 0 + c ij , E r + t r ij , ∀ r ∈ { 1 , . . . , R } ); E T I Q ( j ) ← P ar eto ( E T I Q ( j ) ∪ { E ′ } ); si E ′ ∈ E T I Q ( j ) al ors LI S T ← LI S T ∪ { j } ; Retourner le chemin ay an t le p lus p etit co ˆ ut en t ; 9 Algorithme ` a ﬁxation d’´ etiquettes [DPS83] Cet algo rithme se nomme ainsi car ` a chaque it´ er ation, il v a ﬁxer une ´ etiquette q ui ne p ourra plus ˆ etre mo diﬁ´ ee. En eﬀet, une lis te d’´ etiquettes non e nc o re trait´ ees est ma in tenue. ` A chaque ´ etap e, une ´ etiquette (une des non domin´ ees de la liste) es t choisie p o ur ˆ etre pro pa g´ e e. Les nouvelles ´ etiquettes cr´ e ´ ees, si elles ne sont pas domin´ e e s s ur leur sommet, sont ra jout´ ees ` a la lis te. Algorithme 4 : FIXA TION : Algorithme ` a ﬁxation d’´ etiquettes Ent r ´ ees : - G = ( V , A ) : graphe ave c R contraintes de ressource - P ar e t o ( E ) renv oie l’ensem ble d es ´ etiquettes non domin´ es d e E - S om met ( E ) renv oie le sommet d’´ etiqu ette E - min or dr e lex ( E ) renv oie un ´ el ´ ement d e l’ensemble E minimum p our l’ordre lexicographique Sorties : Chemin contrain t d e co ˆ ut optimal // Les ´ etiquettes sont des vecteurs de taille (1 + R ) . // E T I Q ( i ) est l’ensemble des ´ etiquettes du sommet i . // D E F _ E T I Q ( i ) est l’ensemble des ´ etiquettes d´ efinitives du sommet i . pour tous les i ∈ V faire E T I Q ( i ) ← ∅ ; D E F E T I Q ( i ) ← ∅ ; E T I Q ( s ) ← { (0 , . . . , 0) } tan t que [ i ∈ V ( E T I Q ( i ) \ D E F E T I Q ( i )) 6 = ∅ faire E ← min or d r e lex ( [ i ∈ V ( E T I Q ( i ) \ D E F E T I Q ( i ))); i ← somme t ( E ); pour tous les j ∈ succ ( i ) faire si ∀ ℓ ∈ { 1 , . . . , R } , E ℓ + t ℓ ij ≤ b ℓ j alors E ′ ← ( E 0 + c ij , E 1 + t 1 ij , . . . , E R + t R ij ); E T I Q ( j ) ← P a r eto ( E T I Q ( j ) ∪ { E ′ } ); DE F E T I Q ( i ) ← DE F E T I Q ( i ) ∪ { E } ; Retourner le chemin ay an t le p lus p etit co ˆ ut en t ; 4.2 Cas d’un graphe acyclique Dans le cas d’un g r aphe acyclique, un or dre topo logique sur les so mmets p eut ˆ etre calcul´ e. L’ensemble des s ommets p eut alors ˆ e tr e num ´ erot´ e de 1 ` a n de so rte que le sommet 1 soit la source, le sommet n le puits et que les sommets de tout ar c ( i, j ) v´ eriﬁe la relation i < j . Cet algorithme de prog rammation dy namique pour les gr aphes acycliques v a a ppliquer l’alg orithme ` a cor rection d’´ etiquettes vu pr´ ec´ edemmen t en pa rcoura n t les sommets dans l’ordre top olo gique. Ainsi, lors du traitement d’un sommet, tous les sommets qui le pr´ ec` edent dans l’ordr e top olo g ique ont leurs ´ etiquettes d´ eﬁnitives. Le ca lcul des ´ etiquettes de ce s o mmet ne se fait donc q u’une seule fois. Etude de complexit´ e Pour calculer la c o mplexit´ e en espace, il suﬃt de calculer le nombre maximum d’´ etiquettes que peut g´ en´ erer cet algor ithme. En supp osant que chaque sommet est reli´ e ` a tous les sommets le 10 Algorithme 5 : ACYCLIQUE : Algorithme p our les graphes acycliques Ent r ´ ees : - G = ( V , A ) : graphe acycliqu e av ec R contrain tes de ressource, V = { 1 . . . n } - P ar e t o ( E ) renv oie l’ensemble des ´ etiquettes non domin´ es d e E Sorties : Chemin contrain t de coˆ ut opt imal // E T I Q ( i ) est l’ensemble des ´ etiquettes du sommet i , les ´ etiquettes sont des vecteur s de taille 1 + R E T I Q (1) ← { (0 , . . . , 0) } ; pour tous les i al lant de 2 ` a n fai re E T I Q ( i ) ← ∅ ; pour tous les j ∈ p r ed ( i ) faire pour tous les E ∈ E T I Q ( j ) faire si ∀ ℓ ∈ { 1 , . . . , R } , E ℓ + t ℓ j i ≤ b ℓ j alors E ′ ← ( E 0 + c ij , E 1 + t 1 ij , . . . , E R + t R ij ); E T I Q ( i ) ← E T I Q ( i ) ∪ { E ′ } ); E T I Q ( i ) ← P ar et o ( E T I Q ( i )); Retourner le chemin ay an t le p lus p etit coˆ ut au sommet n ; pr´ ec´ edant dans l’o r dre top olo gique, le nombre maximum d’´ etiquettes p our le s ommet i ( N i ) est ´ egal au nombre de toutes les ´ etiquettes des s ommets de plus p etit indice ; la source n’ayan t qu’une seule ´ etiquette (nulle) : N 1 = 1 e t N i = i − 1 X j =1 N j , i > 1 soit , N 1 = 1 e t N i = 2 i − 2 , i > 1 Pour trouver le nombre d’´ e tique ttes tota l, il suﬃt de faire la so mme sur tous les sommets : n X i =1 N i = 1 + n X i =2 2 i − 2 = 2 n − 1 = N n +1 Sachan t que chaque ´ etiquette e s t un vecteur de taille 1 + R , la complexit´ e en es pa ce est do nc en O ( R e n ). La complexit´ e en temps de l’alg orithme pr´ ec ´ edent s e calcule en pre nant le cas du sommet 2 ` a part ca r il n’y a qu’une seule ´ etiquette cr ´ e´ e e et donc pas de dominance ( i it ` ere les sommets, j les pr´ ed´ ecesseurs, k les ´ etiquettes, ℓ et m sont deux it ´ erateurs p our faire les comparaiso ns deux 11 ` a deux lor s de la dominance) : R + n X i =2   i − 1 X j =1 N j R + C 2 N i R   = R + N 2 R + C 2 N 2 R + R n X i =3   i − 1 X j =1 N j + C 2 N i   en sa chan t que N 1 = 1 , N 2 = 1 et N j = 2 j − 2 , j ≤ 2 , on obtient : = 2 R + R n X i =3  N i + N i ( N i − 1) 2  = 2 R + R n X i =3  N 2 i 2 + N i 2  = 2 R + R n X i =3  2 2 i − 5 + 2 i − 3  = R  2 + 2 4 n − 2 3 − 2 3 + 2 n − 2 − 1  = R  4 n 24 + 2 n 4 + 1 3  R + n X i =3   i − 1 X j =1 N j X k =1 R + N i − 1 X ℓ =1 N i X m = ℓ +1 R   = O ( R e n ) L’algor ithme de pro grammation dynamique pro p o s´ e p our les gra phes acy cliques n’est pas po lynomial. Le s a lgorithmes p our les gra phes g´ en´ eraux ne le sont a fortiori pas non plus. Au vu de ce s r´ esultats de complexit´ e, l’´ elag age du graphe a prior i en supprimant des sommets ou des ar c s est pr imordial p our r´ eduire le nombre de chemins p ossibles ; de mˆ eme, diminuer l’amplitude des fen ˆ etres de temps et trouver un b on ma jorant p ermet aussi de dimin uer le nom bre d’´ etiquettes calcul´ e e s. 4.3 k Plus Courts Chemi ns Des a lgorithmes p olynomiaux exacts ont ´ eg alement ´ et´ e d´ ev elopp´ e s po ur d´ eterminer, non plus un plus co urt chemin, mais le s k plus co urts chemins de s ` a t (ou de s ` a tout autre so mmet). Le meilleur alg orithme connu ` a ce jour est celui de Eppstein, [E pp98], de complexit´ e O ( m + n lo g( n ) + k ). Il consiste ` a fabriquer un tas des chemins du graphe sto ck ´ es sous forme implicite et tri´ e selon un cer tain crit` er e. L’explicitation d’un chemin du tas se fait ensuite en O ( p ) o ` u p est la longueur du c hemin ` a ´ en um ´ erer. Dans le cas du PCCC, cet a lgorithme p eut ca lculer les cons o mmations de ress o urce s’addi- tionnant le long de tous les chemins lo rs de la c o nstruction du ta s av ec une co mplexit´ e d’ordr e O ( m + Rn log ( n )). La r´ ecup ´ eration de la v a leur d’une conso mmations se fait en temps constant. Ainsi, il est p ossible de tester la r´ ealisabilit´ e d’un chemin en temps O ( R ). Pour r´ esoudre le probl` eme par cet algorithme, il faudrait g´ en´ erer le tas de tous les chemins du gr aphe selon le crit` er e de co ˆ ut initial, puis d´ epiler les chemins (dont le nombre tota l es t exp onentiel) jusqu’` a trouver un chemin r´ ealisable, le premier c hemin tro uv´ e ´ eta nt le chemin optimal. Une telle pr o c´ e dur e, de complexit´ e au pire des cas d’or dr e exp onentiel en temps, p our r ait n´ eanmo ins co nsituter une a lternative ` a la r´ esolution exa c te par pro g rammation dynamique. 5 R´ esolu tion appro c h ´ ee du PCC C Le probl` eme du P CCC ´ e ta nt N P -diﬃcile, la recherc he s ’est dir ig´ ee vers la r´ esolution ap- pro ch ´ ee du probl` eme. Q uelques heuristiques existent : agg r´ e g ation de co nt raintes de r essourc e 12 [NS05], recherche de solutions ε -r´ ealisa ble [ABS02]. Cette s ection pr´ esen tera un sch ´ ema d’ap- proximation p our le cas d’une ressource ﬁna le puis une g´ en´ eralisation de ce s ch´ ema dans le c as de plusieurs ressour ces. 5.1 Sc h´ ema d’appro ximation totaleme n t p olynom i al Un FP T AS ( F ul ly Polynomial Time Appr oximation Scheme o u sch ´ ema d’approximation tota- lement p oly no mial en temps) a tout d’ab ord ´ et ´ e pr´ esent ´ e par Hassin [Has92] et ensuite am´ elior´ e par diﬀ´ erents a uteur s [Phi93,LR01,ESZ02]. Ce FPT AS se base sur la progr ammation dynamique av ec la technique d’´ echelonnage et d’a rr ondis po ur trouver une approximation de la solution. Ce FPT AS es t utilisable dans le cas de gra phes acycliques, avec une seule contrain te de r essource ﬁnale. Un or dre top olo gique sur les sommets est calcul´ e ; l’e ns emble des sommets est do nc do r´ e - nav an t n um ´ erot´ e de 1 ` a n sachant q ue le s ommet 1 est la s ource, le sommet n le puits et tout arc ( i, j ) v´ eriﬁe la relatio n i < j . Sc h´ ema ini tial La pro c´ edure de pro g rammation dynamique so us-jacente es t bas ´ ee sur le coˆ ut et non sur la resso urce, comme c’est le cas habituellement : on cherche ` a d´ eterminer p our c = 1 , 2 , . . . , g j ( c ) la plus p etite conso mmation de r essourc e des chemins a llant de 1 ` a j en au plus c unit ´ es de co ˆ ut ; la r echerc he p orte alors sur g n ( c ), c ´ etant optimal d ` es lors que g n ( c ) ≤ b n (i.e., la v aleur optimale est le plus petit c p our lequel la co nsommation de resso urce est inf´ er ie ure ` a la bo rne du puits). L’utilisation de cette pr o c´ edur e induit donc q ue les co ˆ uts sur les a rcs so nt des ent iers strictement p ositifs. Algorithme 6 : EXACT : Programmation dynamique bas´ ee sur le coˆ ut Ent r ´ ees : U n graphe G acyclique Sorties : Un chemin contrain t de co ˆ ut opt imal ( O P T ) c ← 0; g 1 ( c ) ← 0; pour tous les j ∈ { 2 , . . . , n } faire g j ( c ) ← ∞ ; tan t que g n ( c ) > b n faire c ← c + 1; pour tous les j ∈ { 2 , . . . , n } faire g j ( c ) ← g j ( c − 1); pour tous les i | ( i, j ) ∈ A faire si c ij ≤ c alors g j ( c ) ← min { g j ( c ) , g i ( c − c ij ) + t ij } ; Retourner le chemin de co ˆ ut c corresp ondant ` a la consommation de ressource g n ( c ) La complex it´ e de l’algorithme EXA CT est O ( m O P T ) av ec n ≪ m . Il s ’agit donc d’un algorithme pseudop oly nomial, i.e., dont la complexit´ e est p olynomia le en la ta ille de l’instance prise au sens du nom bre d’´ el´ ements de la structure ` a co der , mais ex po nentielle en le logar ithme de ses donn´ ees num ´ eriques. Une mani` ere usuelle de se ramener ` a un ordre p olyno mial de complex it´ e cons is te ` a diminuer consid´ e rablement l’o rdre de gra ndeur des donn´ ees num ´ eriq ues ; c’est la technique d’ ´ echelonnage et d’arr ondis . Bien s ˆ ur, la po lynomialit´ e de l’algorithme appliqu´ e ` a l’instanc e transform´ ee se gagne au prix de l’optimalit´ e : les so lutions obtenues ne sont plus optimale s, mais seule ment appro ch ´ ees, p our l’instance initiale. 13 Pour le probl` eme qui no us concer ne, on utilise l’algor ithme SCALING qui, ´ etant donn´ es une bo rne B ∈ N et un rationnel δ ∈ ]0 , n ], remplace chaque co ˆ ut c ij par le coˆ ut  c ij ( n − 1) δ B  . Algorithme 7 : SCALING : Proc´ edure d ’ ´ echelonnage et d ’arrondis Ent r ´ ees : I = ( G = ( V , A ) , c : A → N ) graphe arc-v alu ´ e, B ∈ N , δ ∈ ]0 , n ] Sorties : ˜ I ( B , δ ) graph e arc-va lu´ e ˜ V ← V ; ˜ A ← ∅ ; pour tous les ( i, j ) ∈ A fai re si c ij ≤ B al ors ˜ c ij ← — c ij ( n − 1) δ B  ; ˜ A ← ˜ A ∪ ( i, j ); La c o mplexit´ e de la pro c´ edure SCALING est en O  m lo g  n δ  (po ur chaque arc, une re- cherc he dichotomique dans l’espa ce [0 , n δ ]). De plus, la pro c´ edure E XACT appliqu´ ee ` a l’ins tance ˜ I ( B , δ ) n´ ecessiterait un temps O ( m ] OP T ), o ` u ] OP T d´ es igne la v aleur optimale sur ˜ I ( B , δ ). Or, les v aleurs de toute solutio n P s → t sur les insta nces I et ˜ I ( B , δ ) so nt li´ ees par les relatio ns suiv a nt es : C ( P s → t ) ≤ B δ n − 1 ˜ C ( P s → t ) + B δ ˜ C ( P s → t ) ≤ n − 1 B δ C ( P s → t ) En particulier , si les chemins ˜ P s → t et P ∗ s → t sont resp ectivemen t optimaux p our les instance s ˜ I ( B , δ ) et I , a lo rs : ] OP T ≤ ˜ C ( P ∗ s → t ) ≤ n − 1 B δ OP T C ( ˜ P s → t ) ≤ B δ n − 1 ] OP T + B δ ≤ O P T + B δ On d´ eduit de ces r e lations : d’une part, s i OP T est ` a r app ort po lynomial ρ de B (i.e., OP T ≤ ρB o ` u ρ est b orn´ e par un po lynˆ o me en n ), alors le d´ er oulement de l’a lgorithme EXACT sur ˜ I ( B , δ ) devient p olyno mial ; d’autre pa rt, si B est un minorant de O P T (i.e., B ≤ O P T ), la solution r e n vo y´ ee est (1 + δ )-appro ch´ ee p our le pro bl` eme initia l. Il rev ient donc ` a d´ eterminer en temps p olynomial une b orne B v´ eriﬁant B ≤ O P T ≤ ρB . La d´ eterminatio n de B s’eﬀectue par recherc he dichotomique dans l’interv alle [ L B , U B ], o` u LB et U B d´ esig nent r esp ectivemen t un mino rant et un ma jorant de O P T (par exemple, consid´ e- rer LB = 1 et U B = ( n − 1) × max ( i,j ) ∈ A { c ij } ). Cette recherche est elle-mˆ eme fond´ ee sur la pro c´ e dure TEST qui, p o ur une instance I et une bor ne B donn´ ees, r env oie : T E S T ( B , δ ) =  OU I si O P T ≥ B N O N si O P T < (1 + δ ) B Une mise en œuvr e de cette pr o c´ edur e consis te ` a appliq ue r la progr ammation dynamique EXA CT sur l’instance ˜ I ( B , δ ), en limitan t le coˆ ut maximum ` a tester ` a n − 1 δ . 14 Algorithme 8 : TEST : Pro c´ edure de test appro ch ´ ee Ent r ´ ees : I instance, B borne sur le co ˆ ut ob jectif, δ ∈ ]0 , n ] erreur Sorties : OUI si O P T ≥ B ou chemin P s → t de v aleur C ( P s → t ) < (1 + δ ) B ˜ I ( B , δ ) ← SCALING( I , B , δ ); ˜ B ← — n − 1 δ  ; pour tous les c de 1 ` a ˜ B faire g s ( c ) ← 0; pour tous les j ∈ { 2 , . . . , n } faire g j (0) ← ∞ ; pour c de 1 ` a ˜ B faire pour tous les j ∈ { 2 , . . . , n } faire g j ( c ) ← g j ( c − 1); pour tous les i/ ( i, j ) ∈ A faire si ˜ c ij ≤ c alors g j ( c ) ← min { g j ( c ) , g i ( c − ˜ c ij ) + t ij } ; si g n ( c ) ≤ b n alors Retourner NON et le chemin trouv´ e; Retourner OUI La complexit´ e de la pr o c´ edur e TEST est domin´ ee par l’´ etap e de pro grammatio n dy na mique, qui s’eﬀectue en temps O ( m n δ ). Lorsque la pro c´ edur e TE ST r´ epo nd NON, le chemin renvo y´ e, de v aleur au plus  n − 1 δ  dans l’instance ˜ I ( B , δ ), est de v ale ur au plus B (1 + δ ) dans le graphe initial. Si, en rev a nche, elle r´ epo nd O UI, c’est que tout chemin r´ ealisable est de v aleur au moins n − 1 δ + 1 sur ˜ I ( B , δ ), et donc, de v aleur au moins B sur I . Autrement dit, la d´ ecis ion exa c te sur ˜ I se tr a nsforme en d ´ ecision δ -appro ch ´ ee sur I . ˜ I ( OUI ⇔ ] OP T > ˜ B NON ⇔ ] OP T ≤ ˜ B ⇒ I  OP T > B OP T ≤ (1 + δ ) B La recherche dichotomique DICHO consiste alors , pa rtant d’un interv alle initial [ LB , U B ], ` a app eler it´ er ativemen t la pr o c´ e dur e TEST, jusqu’` a o btenir un encadr ement suﬃs a mment ﬁn de la v aleur de OP T ( U B < ρLB ). Si l’on p ose f ( LB , U B ) = δ ∈ ]0 , n ] et g ( LB , U B , δ ) = √ LB × U B , la complexit´ e de la pro c´ edure DICHO est en O  log  log ( U B /LB ) log( ρ )   m n δ + log (log ( U B /LB ))   o ` u O  log  log( U B /LB ) log( ρ )  estime le nombre de tests n ´ ecessair es (recherche dic hotomique entre LB et U B dans l’espace logar ithmique) et O (log log ( U B /LB )) le temps de calcul d’une v aleur appro ch ´ ee (ma is suﬃsante) de g ( LB , U B , δ ). Cette v aleur appr o ch ´ ee est tro uv´ ee en cherc han t le premier indice i tel que 2 2 i > U B LB ; on prend alor s g ( LB , U B , δ ) = LB 2 2 i − 2 . Le sch ´ ema d’appr oximation to ta lement p olynomial p eut maintenan t ˆ etre ´ enonc´ e. Pour une instance I e t une e r reur ε ∈ ]0 , 1 [ do nn ´ ees, le sch ´ ema se d´ ecomp ose en trois ´ eta p es : – T out d’ab or d, il calcule un minora nt L B et un ma jora nt U B de la v a le ur du probl` eme. – Ens uite, il raﬃne ` a l’aide de DICHO l’encadr ement de l’optimum jusq’` a optenir LB ≤ OP T ≤ U B ≤ ρLB , ρ ∈ R – Enﬁn, il d´ etermine le chemin optimal dans l’instance ˜ I ( L B , ε ) grˆ ace ` a EXACT. 15 Algorithme 9 : DICHO : Recherc h e d e la b orne B Ent r ´ ees : LB et U B bornes inf´ erieure et sup´ erieure de O P T , ρ p aram ` etre Sorties : Une b orne LB telle q u e LB ≤ OP T ≤ ρLB tan t que U B > ρ LB faire δ ← f ( LB , U B ); B ← g ( LB , U B , δ ); si T E S T ( B , δ ) r´ ep ond O UI alors LB ← B ; sinon U B ← B (1 + δ ); Algorithme 10 : SCHEMA : Sch ´ ema d ’approxima tion totalement p olynomial Ent r ´ ees : ε l’erreur d ’appro ximation, ρ param` etre Sorties : Un plus court chemin contrain t ( 1 + ε )-app roch´ e (1) D´ eterminer LB et U B b ornes inf´ erieure et sup´ erieure d e O P T ; (2) LB ← DICHO( LB , U B , ρ ); (3) P s → t ← EXACT( ˜ I ( LB , ε )); La complexit´ e des ´ etape s (2 ) et (3 ) de cet algo rithme est donc de O  log  log( U B /LB ) log( ρ )   m n δ + log log  U B LB  + O  m  ρ n ε  Hassin [Has92] utilise les par am` e tr es constants δ = ε et ρ = 2 p our la pro c´ edure de r´ eduction de l’interv alle [ LB , U B ] ; il initialise par ailleur s les b ornes LB et U B resp ectivemen t ` a 1 et ( n − 1) C max . La complexit´ e ﬁnale du s ch ´ ema qu’il pro p o se est ainsi d’ordre : O  log log  U B LB   m n ǫ + log log  U B LB  qui es t bien p o lynomiale en ( n, m, log( C max ) , 1 / ǫ ). Am´ eliorations Lor enz et Raz [LR01] o nt pro po s´ e un algo rithme p olynomial pour trouver des bo rnes inf ´ erieure e t s up ´ erieure dont le rapp ort est n . E n consid´ erant le graphe r´ eduit G i = ( V , A i ) o ` u A i est l’ensemble des a rcs dont le co ˆ ut est parmi les i plus faibles, il suﬃt de tro uver le i tel que G i admet un chemin r´ ealisable en consommation de res source et G i − 1 n’en a dmet pas. La b orne inf ´ erieure est donc le plus gra nd co ˆ ut, not´ e c LR + , sur G i (tout chemin r´ ealisable emprunte au moins un arc de co ˆ ut c LR + , sino n il existe un chemin r´ ealisable sur G i − 1 ) et la borne sup´ e r ieure est n c LR + (le plus cour t c hemin en consomma tio n de res s ource sur G i est r´ ealisa ble , de v aleur au plus n c LR + ). Cette pro c´ edure est e n O ( n lo g 2 ( n ) + m lo g( n )) (en simpliﬁant av e c O (log m ) = O (log n )). De plus, les auteurs mettent en œ uvre le sch ´ ema av ec la v aleur f ( LB , U B ) = δ = 1 et ρ = 2. La complexit´ e tota le o bten ue es t de : O  m n log log ( n ) + m n ǫ  Ergun et al., [E SZ 02] exploitent plus ﬁnement la qualit´ e de ces bo rnes initia les p our a m´ elior er encore la pr o c´ edur e de recherc he dichotomique, en r endant dynamique la mise ` a jour des par a - m ` etres δ et B de cette pro c´ edure. Ainsi, ils d´ emontren t que si l’o n disp o se en entr ´ ee de DICHO 16 Algorithme 11 : BORNE : Pro c´ edure Bornes Ent r ´ ees : U n graphe G Sorties : Deux b ornes LB et U B t elles que LB ≤ O P T ≤ U B ≤ n LB LR − ← 0; LR + ← m ; tan t que LR − < LR + − 1 fai re ℓ ← — LR + + LR − 2  ; Calculer P ℓ s → t plus court chemin de 1 ` a n en consommation de ressource dans G ℓ = ( V ℓ , A ℓ ) o ` u A ℓ = { ( i, j ) ∈ A | c ij ≤ c ℓ } ; si C ( P ℓ 1 → n ) ≤ b n alors LR + ← ℓ ; sinon LR − ← ℓ ; LB ← c LR + ; U B ← C ( P LR + s → t ); de b ornes LB et U B v´ e r iﬁant U B LB ≤ n , alors, en p osa nt : δ = f ( L B , U B ) = r U B LB − 1 B = g ( LB , U B , δ ) = r U B LB 1 + δ La co mplexit´ e de DICHO devient O ( m n ) ; par cons´ equen t, le sch ´ ema dans sa globa lit´ e se d´ eroule en temps : O  m n ε  ´ Etude de la com p l exit´ e Ergun et al. [ESZ0 2] eﬀectuent le calcul de complexit´ e de leur sch ´ ema en utilisant les v a leurs exactes p our δ et B . Hassin [Has9 2] utilise une m ´ etho de do nt la complexit´ e est connue p our trouver une v aleur a ppro ch ´ ee des rac ine s car r´ ee s . Ici, l’´ etude commence par choisir de b onnes v a leurs a ppro ch ´ ees des pa ram` etres du sc h ´ ema suiv ant cette m´ etho de av an t de faire l’´ etude de la complexit´ e. La re cherc he des v aleur s appro ch ´ ees des rac ines carr´ ees se fait comme suit : – tro uver le premier i tel que a i = 2 2 i > U B LB . – 1 + δ = a i − 2 d’o ` u  U B LB  1 4 < 1 + δ ≤  U B LB  1 2 – B = LB a i − 3 d’o ` u U B 1 8 LB 7 8 < B ≤ U B 1 4 LB 3 4 D’apr` es le r´ esultat de la pro c´ edure TE ST, le s b o r nes sont mises ` a jo ur : – TEST r´ ep ond OUI : LB + = B et U B + = U B Cela donne donc  U B LB  3 4 ≤ U B + LB + <  U B LB  7 8 17 – TEST r ´ ep ond NON : LB + = LB et U B + = (1 + δ ) B Cela donne donc  U B LB  3 8 ≤ U B + LB + <  U B LB  3 4 Donc au pir e, la plus p etite diminution du ra ppo rt donne U B + LB + <  U B LB  7 8 . On note k le no mbre de passa g es dans la b oucle tant que de la pro c´ edure DICHO. Av an t l’ex´ e cution de la pro c´ edure DICHO, le rapp ort du ma jor a nt sur le mino rant est born´ e par n et a pr` e s cette pro c´ edure, il est de 2 donc la v aleur de k es t b or n´ ee comme suit : n “ ( 7 8 ) k ” ≤ 2  7 8  k log( n ) ≤ lo g(2) k log  7 8  + log log( n ) ≤ log log(2) k ≥ log log ( n ) − log log(2) log  8 7  Donc k ≤       log log( n ) − lo g log(2) log  8 7        En p osant resp ectivement δ i , U B i et L B i les v aleurs de δ , du ma jora nt et du minorant de l’´ etape i , la complexit´ e de la pro c´ edure DICHO s’ ´ ecrit donc : r X i =1 O  m n δ i  = O ( m n ) r X i =1 O  1 δ i  On a aussi :  LB i U B i  1 2 ≤ 1 U B 1 2 i LB − 1 2 i − 1 ≤ 1 δ i < 1 U B 1 4 i LB − 1 4 i − 1 Donc : 1 δ i < LB 1 4 i U B 1 4 i − LB 1 4 i <  LB i U B i  1 4 1 1 − LB 1 4 i U B 1 4 i <  LB i U B i  1 4 1 1 −  1 2  1 4 car p our i ≤ k , o n a U B i LB i > 2 donc LB i U B i < 1 2 1 δ i <  LB i U B i  1 4  2 + 2 1 4 + 2 1 2 + 2 3 4  r X i =1 O  1 δ i  < r X i =1 O  LB i U B i  1 4 ! et o n rapp elle que U B i LB i <  U B i − 1 LB i − 1  7 8 18 Finalement, ce la donne : r X i =1  LB i U B i  1 4 < k − 1 X j =0  LB k U B k  1 4 ( 8 7 ) j < k − 1 X j =0 2 − 1 4 ( 8 7 ) j car U B k ≤ 2 LB k en faisant tendre k vers ∞ , on obtient r X i =1  LB i U B i  1 4 < 2 − 1 4 1 1 − 2 − 1 28 < 35 La complexit ´ e de la pro c´ edure DICHO est bien en O ( m n ), ce qui p ermet d’a rriver ` a une com- plexit´ e totale p our le sch ´ ema de O  m n ǫ  . 5.2 Appro c he multicrit ` ere Si le cas d’une ressource se r´ eso ud eﬃcacement pa r la pr ogra mma tion dynamique, en rev anche, que p eut-o n dire du cas de deux r e ssources o u plus ? Bien s ˆ ur, puisque d´ ecider m ˆ eme s’il existe un chemin r´ ealis able est NP -complet, o n ne p eut g arantir de trouver des solutions appro ch ´ ees en temps p olynomial. N´ eanmoins, une mani` ere de g´ en ´ eralise r l’appro che pr´ ec ´ edente consis te ` a se placer dans le cadr e multicrit ` ere. il s’ag it d’une relaxa tion du probl` eme (on r elˆ a che les contrain tes de consommation de r essource), mais le fait de conserver la na tur e multicrit ` ere (les consommations de resso urce so nt vues comme des cr it` ere s ` a optimiser) per met p eut-ˆ etr e de mieux par courir l’ensemble des s o lutions ou, ` a d´ efaut, d’en dessiner les c o ntours. D` es le d´ ebut des ann´ ees 8 0 , Hansen s’est in t ´ ress´ e a u probl` eme de plus cour t chemin bicr it` ere en en donnant un FPT AS [Ha n8 0]. Pour des probl` emes plus g´ en ´ eraux, Papadimitriou et Y a nnak akis, [PY00], ont pr op os´ e une d´ emons tration g ´ eom´ etrique de l’existence d’une fro nti ` ere de Pareto appro ch ´ ee de taille p oly nomiale. Les a uteurs ont ´ e galement donn´ e des th ´ eor` emes d’existence de pro c´ edures po lynomiales per mettant de construire de telles fro nti ` ere s, qui s’appliquent notamment ` a notre probl` eme (ces th´ eo r` emes s ont d’ailleurs une for me de g´ en´ er alisation des r´ esultats obtenus par Hassin p our le cas d’une ress ource, que l’on p eut consid´ erer comme pr obl` eme bicrit` er e ). Nous d´ eﬁnisso ns da ns un premier temps le probl` eme de plus co ur t chemin dans un c a dre multicrit ` er e aﬁn d’int ro duire la notio n de fronti ` e re de P areto appro ch ´ e e. Nous propo sons ensuite un algorithme per mettant de d´ eterminer une telle fronti ` er e, puis concluo ns en repla ¸ cant ce s r´ esultats dans le cadre sp´ eciﬁque de la r´ esolution de PCCC . Dans cette section, on se restre int de no uveau aux contrain tes de ress ource a u puits ; de plus, les gr aphes sont supp os´ es sans circuit et les donn´ ees nu m´ eriq ues r ationnelles strictement p o sitives. Plus court chemin multicrit ` ere Dans l’appr o che multicrit ` ere, les pr o bl` emes co nsid´ er´ es so nt la g´ en´ eralisa tio n ` a plusieurs ob jectifs des probl` emes d’o ptimisation classique. Pour le pro bl` eme de plus court chemin, il s’agit donc de d´ eter miner , dans un graphe orient ´ e G = ( V , A ), un chemin de s ` a t qui optimise, non pas une fo nc tio n de co ˆ ut C , mais un ensemble de fonctions C 1 , . . . , C R . Cette version du probl` eme est no t´ ee PCC-M . Les fonctions ` a optimiser sont toutes suppo s´ ee s ` a v a leur dans Q ∗ + . De plus, les cr it` eres p euvent ˆ etre ` a minimiser ou ` a maximiser (par exemple, un crit` ere souven t pris en co nsid´ era tion po ur la construction de chemins est celui de la longueur des chemins, que l’o n cherc he ` a maximis e r). Ainsi, par la suite, on consid` erera R fonctions C 1 , . . . , C R ` a o ptimiser, sans pr´ esupp os er de leur sens d’optimisation (max imis er o u minimiser), ni dans un premier temps de leur interpr ´ etation (crit` ere origina l du probl` eme ou 19 relaxatio n d’une co nt rainte de r essource ). Les ensembles des indice s des crit` eres ` a maximiser e t ` a minimiser seront r esp ectivemen t not´ es R max et R min . Pour tout vecteur w de R R , w | R max (resp., w | R min ) d´ esig ne sa re s triction aux indices de R max (resp., de R min ). La m ultiplicit ´ e des fonctions ` a optimiser fait q u’elles n’induisen t plus a pr iori un ordr e complet sur l’ensemble des s olutions r´ ealisa ble s : (1 , 2) et (2 , 1) sont pa r exemple incompara bles dans R 2 . ´ Evidemment, il est to ujours po ssible de d´ eﬁnir ma lgr´ e tout un ordre complet, par exemple, en consid´ er ant l’ordr e lex icogra phiq ue , ou enco r e, en co nsid´ era nt, lo rsque cela es t poss ible, une combinaison lin ´ eaire des cr it ` eres ` a optimiser ; auquel cas on se ram` ene ` a un probl` eme mono crit` ere. N ´ eanmoins, si l’o n souhaite cons erver la nature m ulticrit ` ere du probl` eme (et c’est notre ca s : la ressour ce 1 ne doit pas plus exc´ eder sa b or ne que ne le doit la resso urce 2 ), a lors il fa ut trav ailler sur l’or dre partiel induit par la relation de dominance, d ´ ej` a pr´ esent ´ ee en section 4.1. On ne cherc he plus d` e s lors ` a d´ eterminer une s olution o ptimale, mais un ensemble de so lutions eﬃc ac es , ou non do min´ ees, app el´ e fronti ` ere de Pareto. D ´ eﬁnition 5 F r onti` er e de Par eto p our PCC-M : Soit I =  G = ( V , A ); s, t ∈ V ; C 1 , . . . , C R : P → Q  une instanc e de PCC-M , o ` u P d ´ esigne l’ensemble des chemins sur G . L a fr ont i ` er e de Par eto de I , not´ ee P ( I ) , est l’ensemble des solutions non domin ´ ees de I . F ormel lement, P ( I ) est l’ensemble des chemins P s → t qui v ´ eriﬁent p our tout chemin P ′ s → t ∈ P : S i ∃ r ∈ 1 , . . . , R , t.q .  ( r ∈ R max ) ∧ ( C r ( P ′ s → t ) > C r ( P s → t )) ou  r ∈ R min  ∧ ( C r ( P ′ s → t ) < C r ( P s → t )) Alor s ∃ ℓ ∈ 1 , . . . , R , t.q .  ( ℓ ∈ R max ) ∧  C ℓ ( P s → t ) > C ℓ ( P ′ s → t )  ou  ℓ ∈ R min  ∧  C ℓ ( P s → t ) < C ℓ ( P ′ s → t )  F ron ti` ere de P areto ε -appro c h´ ee Poten tiellement (mais pas n´ eces s airement), q ue l’o n se situe dans l’es pace des solutio ns ou dans celui des v aleurs, la fronti ` e r e de Pareto est de taille exp onentielle : d ´ eterminer ce tte fronti ` ere n’est donc pas envisageable. En outre, p our certains probl` emes (et c’est notamment le cas du plus court chemin), d´ ecider mˆ eme si un p oint do nn ´ e est ou non Pareto o ptimal e st d´ ej` a NP -co mplet. Aussi, ` a d´ efaut de manipuler l’ensemble des p oints Pareto-optimaux, il po urrait ˆ e tre int ´ er e ssant d’exhib er un sous- ensemble de taille r aisonnable de p oints qui p ermettent de repr´ esenter, de fa¸ con appro ch´ ee mais ma ˆ ıtr is´ ee, tous les p oints de l’ensemble. C’est l` a la vo cation de la fronti ` ere de Pareto ε -a ppro ch ´ ee. D ´ eﬁnition 6 F r onti` er e de Par eto ε -appr o ch ´ ee p our PCC-M : Soit I =  G = ( V , A ); s, t ∈ V ; C 1 , . . . , C R : P → Q  une instanc e de PCC-M , o ` u P d ´ esigne l’ensemble des chemins sur G . U n sous-ensemble P ε ( I ) de solutions r´ ealisables de I est une fr onti` er e de Par eto ε -appr o ch´ ee si : ∀ P ′ s → t ∈ P , ∃ P s → t ∈ P ε ( I ) t.q . : ∀ r = 1 , . . . , R , ( C r ( P ′ s → t ) < (1 + ε ) C r ( P s → t ) si r ∈ R max C r ( P ′ s → t ) > (1 − ε ) C r ( P s → t ) si r ∈ R min Cette d´ eﬁniton signiﬁe q ue tout chemin P ′ s → t a un t´ emoin P s → t dans P ε ( I ) dont le v ecteur de pefo r mance r´ ea lise au moins 1 / (1 + ε ) C r ( P ′ s → t ) si r ∈ | R max , au plus 1 / (1 − ε ) C r ( P ′ s → t ) si r ∈ | R min . Les auteurs dans [P Y00] d ´ emontren t que tout probl` eme multicrit ` ere admet une fronti ` ere de Pareto ε -appr o ch ´ ee de taille po lynomiale en | I | et en 1 /ε (mais exp onentielle en R ). Ce 20 r´ es ultat po urrait sembler surpr enant, la taille d’une fronti ` ere de Pareto ´ eta nt p otentiellemen t exp onentielle ; p ourtant, la preuve es t re la tivemen t simple ; nous la pr´ esent ons ici dans le ca dre de PCC-M . Si C r min et C r maj d´ esig ne nt r esp ectivemen t un minorant et un ma jorant de C r ( P s → t ) (on r app elle que la v aleur C r ( P s → t ) est supp os´ ee ˆ etre ratio nnelle strictement p ositive) p our tout r , o n d´ ecoup e tout d’abo rd l’interv alle [ C r min , C r maj ] en une suite  [ c r i , c r i +1 ]  i de H r int erv alles, o ` u c r i +1 = (1 + ε ) c r i si r ∈ R max , c r i +1 = (1 − ε ) c r i si r ∈ R min , p our un param` etre d’erreur ε . Cette pro c´ edure de quadrilla ge de l’espace des v aleurs es t pr´ ecis ´ ement d´ ecr ite dans l’a lgorithme QUADRILLA GE. Si l’on d´ eﬁnit la quantit ´ e M AJ comme M AJ = max R r =1 { C r maj /C r min } , la complexit´ e de cet alg orithme est d’ordr e O  R min { ε M ,ε m } log( M AJ )  . Si la description pro p os´ e e diﬀ ´ eriencie les para m ` etres d’er reur ε M et ε m po ur les crit` er es ` a ma ximiser et ` a minimiser, on suppo se p our l’instant : ε M = ε m = ε . Algorithme 12 : QUADR ILLAGE : q uadrillage de l’espace des v aleurs Ent r ´ ees : I instance, ε M , ε m ∈ ]0 , 1[ erreurs p our les crit` eres ` a maximiser / minimiser Sorties : ∪ R r =1 { ( c r 0 , . . . , c r H r ) } d iscr´ etisation de l’espace ⊗ R r =1 [ C r min , C r maj ] pour tous les r ∈ R max faire H r = ⌈ log (1+ ε M ) ` C r maj /C r min ´ ⌉ ; pour tous les i ∈ { 0 , . . . , H r } faire c r i = (1 + ε M ) i C r min ; pour tous les r ∈ R min faire H r = ⌈ log (1 − ε m ) ` C r min /C r maj ´ ⌉ ; pour tous les i ∈ { 0 , . . . , H r } faire c r i = (1 − ε m ) i C r maj ; Une fois le quadrilla ge eﬀectu´ e, on consid` ere c hacun des h yp ercub es [ c 1 i 1 , c 1 i 1 +1 ] × . . . × [ c R i R , c R i R +1 ] po ur ( i 1 , . . . , i R ) ∈ { 0 , . . . , H 1 − 1 } × . . . × { 0 , . . . , H R − 1 } . Il suﬃt alor s de choisir, lors qu’un tel po int existe, un p oint de P ε ( I ) pa r hypercub e. L’ens emble P ε ( I ) ainsi construit es t bien une fronti ` er e de Pareto ε - a ppro ch ´ ee, de taille b or n´ ee par : O  1 ε log( M AJ )  R ! En eﬀet, soit P ′ s → t un c hemin de s ` a t ; son ´ etiquette  C 1 ( P ′ s → t ) , . . . , C R ( P ′ s → t )  appartient ` a un hyper cub e H r epr´ e s ent ´ e par le point  c 1 i 1 , . . . , c R i R  dont les c o ordonn´ ees sont d´ eﬁnies par : ( c r i r ≤ C r ( P ′ s → t ) < c r i r +1 si r ∈ R max c r i r ≥ C r ( P ′ s → t ) > c r i r +1 si r ∈ R min L’hypercub e H c o nsid´ er´ e co nsiste alors en le pr o duit cart´ esien des int erv alles [ c r i r , c r i r +1 [ p our les indices corr esp ondant ` a un crit ` ere ` a max imiser et ] c r i r +1 , c r i r ] p our les indices corres po ndant ` a un crit` ere ` a minimiser. Il exis te n´ ec e ssairement une ´ etiquette E corres po ndant ` a un chemin de P ε ( I ) da ns H (cette ´ e tique tte pouv a nt ˆ etre ce lle de P ′ s → t ) ; a lors, pa r co ns truction : c r i r ≤ E r et C r ( P ′ s → t ) < (1 + ε ) c r i r ⇒ C r ( P ′ s → t ) < (1 + ε ) E r si r ∈ R max c r i r ≥ E r et C r ( P ′ s → t ) > (1 − ε ) c r i r ⇒ C r ( P ′ s → t ) > (1 − ε ) E r si r ∈ R min 21 La pro c ´ edure de r echerc he d’une fro nt i` ere de Pareto ε - appro ch ´ ee que nous venons de discuter est fo rmellement d´ ecr ite dans l’algo rithme P ARETO-EPSIL O N. Cet a lgorithme n’est ce p enda nt pas p olynomia l, puisqu’on ne sait a priori pas d´ ecider de l’exis tence d’un chemin dans un hy- per cub e do nn ´ e. Notons pour ﬁnir que cette c o nstruction reste v alide si l’on choisit p our chaque po int ( c 1 i 1 , . . . , c R i R ) un chemin P ′ s → t dont l’´ etiquette se situe dans l’hypercub e plus la rge : ⊗ r ∈ R max [ c r i r , c r H r ] ⊗ r ∈ R min [ c r H r , c r i r ] Algorithme 13 : P ARETO-EPSILON : F ronti ` ere de Pareto ε -appro ch ´ ee Ent r ´ ees : I instance, ε ∈ ]0 , 1[ erreur Sorties : P ε ( I ) F ronti ` ere de Par eto ε -appro ch ´ ee P ε ( I ) ← ∅ ; ∪ R r =1 { ( c r 0 , . . . , c r H r ) } ← QUA D RILLAGE( ε, ε ) ; pour tous les ( i 1 , . . . , i R ) ∈ { 0 , . . . , H 1 − 1 } × . . . × { 0 , . . . , H R − 1 } faire si ∃ un chemin P s → t ` a valeur dans ⊗ r ∈ R max [ c r i r , c r i r +1 ] ⊗ r ∈ R min [ c r i r +1 , c r i r ] alors P ε ( I ) ← P ε ( I ) ∪ { P s → t } ; Sc h´ ema com plet d’approx imation de la fron ti` ere de Par eto Dans [P Y0 0] sont ´ enonc´ es des th ´ eor` emes de ca r act´ erisation de la construc tibilit´ e en temps p olynomial de fro nti ` er e s de Pareto ε -appro ch ´ ees (o ` u, par po lynomial, on entend p olynomia l en | I | et 1 /ε , e x po nentiel en R ) ; c e s constructions so nt qualiﬁ´ e e s de sch´ emas c omplets d’appr oximation po ur le pr obl` eme multicrit ` ere. La version multicrit ` ere d’un pro bl` eme d’optimisation admet un sch ´ ema complet d’approximation de s a fronti ` ere de Pareto ssi l’on p eut d´ ecider en temps p olynomia l la version d´ e c is ion appr o ch ´ ee (de t yp e GAP) du probl` eme multicrit ` ere. En particulier, si les fonctions ` a o ptimiser so nt lin ´ eaires, discr` etes e t que la version mo no crit` er e ex acte est d´ ecidable en temps pseudop olyno mial, a lors le probl` eme multicrit ` ere a dmet un sch ´ ema complet d’approximation. S’a gissant du pro bl` eme de plus cour t chemin, on sa it par la pro g rammation dynamique d´ ecider en temps pseudop oly nomial, po ur une instance I et une v aleur B , s’il existe sur I un chemin de v aleur B ; on en d´ eduit donc que PCC-M a dmet un sch´ ema complet d’a pproximation de sa fro nt i` er e de Pareto. Nous prop oso ns ici un tel sch´ ema, qui est une forme de g´ en ´ eralisa tion au c adre multicrit ` ere des a lgorithmes pr op os´ es dans la section pr´ ec ´ edente. Princip e. Dans le cadr e mono cr it ` ere ` a une ressource, p our une instance I et une b o r ne B donn´ ee s, on ne sait pas d´ ecider e n temps p olynomial s’il exis te un chemin de c o ˆ ut au plus B tout en consommant a u plus b n quantit ´ e de resso ur ce. En rev anche, o n p eut p our une erre ur ε donn´ e e d´ ecider en temps p olyno mia l (en I et en 1 /ε ) s ’il existe un chemin de co ˆ ut au plus (1 + ε ) B et de consommation au plus b n , ou si tout chemin, soit co ˆ ute a u mo ins B , s oit co nsomme str ic temen t plus que b n . Cette notion de test a ppro ch ´ e se g´ en´ er alise naturellement ` a plusieurs fonctions : o n ne sait pas, p o ur un p oint ( c 1 i 1 , . . . , c R i R ) donn´ e, d´ ecider s’il existe un chemin P s → t dont l’´ etiquette ( C 1 ( P s → t ) , . . . , C R ( P s → t )) v´ eriﬁe p our tout crit` e r e C r ( P s → t ) ≥ c r i r si r ∈ R max , C r ( P s → t ) ≤ c r i r si r ∈ R min , o u si tout chemin n’atteint pas ou exc` ede strictement l’une a u moins des bo rnes c r i r . En rev anche, on peut d´ ec ide r en temps p olynomial p our des erreurs ε M et ε m donn´ ees s ’il existe un chemin r esp ectant ces b o r nes, o u si tout chemin es t en-de¸ ca de (1 + ε M ) c r i r po ur un cer tain cr it ` ere ` a maximiser ou au-del` a de (1 − ε m ) c r i r po ur un certain crit` er e ` a minimiser. De no uveau, ce test 22 appro ch ´ e est o btenu en trav aillant sur une instance ˜ I mo diﬁ´ ee : on r am` ene les donn´ ees n um ´ eriques de l’instance I initiale ` a un or dre p oly nomial par une pr o c´ edur e d’´ ec helonnage et d’arr ondis d´ ep endant du p oint ( c 1 i 1 , . . . , c r i r ) et des de g r´ es de pr´ ecision ε M , ε m ; au prix de l’erreur introduite, on gagne le d´ eroulement polyno mia l sur ˜ I des algo r ithmes exacts q ui sont de complexit´ e th´ eorique pseudop olynomiale. Algo rithme de d´ ecision exacte. Nous pr´ e sentons ici l’a lgorithme ACYCLIQUE-M qui est une adaptation au cadr e m ulticrit` er e de l’algo rithme ` a ﬁxation d’´ etiquette 5. Cet a lgorithme renvoie, po ur une instance I de PCC-M et un vecteur B de Q R , l’ensemble E des ´ etiquettes E ∈ Q R non domin´ ees v´ eriﬁant : E | R max ≥ B | R max et E | R min ≤ B | R min A CYCLIQUE-M renv o ie ´ egalement les chemins asso ci´ es aux ´ etiquettes de E , en ne conserv ant toutefois qu’un chemin par ´ e tique tte. Selo n l’analyse faite en section 4.2 , la complexit´ e de cet algorithme est d’ordr e : R + n X i =2   i − 1 X j =1 N j R + C 2 N i R   + N n R Or, si les donn´ ees s ont enti ` e r es, si M d´ es igne un ma jor ant du no m bre de v ale ur s p o ssibles (consid´ er er par exemple, si l’on note C maj = ma x R r =1 { C r maj } et C min = min R r =1 { C r min } , M = ( n − 1)( C maj − C min + 1) ≤ O ( nC maj )), le nombre N j d’´ etiquettes en tout sommet j est b orn´ e par M R . Si l’o n ne cons erve qu’un chemin pa r ´ etiquette en chaque sommet, la complexit´ e de A CYCLIQUE-M est alors d’ordr e au plus : O  R M R  n 2 + nM R  = O  R n 2 R +1 C 2 R maj  L’algor ithme ACYCLIQUE-M p ermet ainsi de d´ ecider en temps ps e udop olynomial, p our une instance I de P P C-M aux donn´ ees num ´ eriq ues enti ` eres et un vecteur B , s’il existe un chemin dans l’h yp e respace ⊗ r ∈ R max [ B r , + ∞ [ ⊗ r ∈ R min [0 , B r ], o u si tout chemin exc` ede B r po ur un cer tain crit` er e r ∈ R min , o u n’attein t pas B r po ur un certain crit` e r e r ∈ R max . Pr o c´ edur es d’´ echelonnage et d’arr ondis et de test appr o ch´ ee. Pour se ramener d’un ordre pseu- dop olynomial ` a un ordre po lynomial, on ´ echelonne les donn´ e e s num ´ eriques de l’instance I par l’algorithme SCALING-M dont la complexit´ e est d’ordre : O  mR log  n ε  = O  n 2 R log  n ε  L’arro ndi eﬀectu ´ e po ur obtenir des donn´ ees enti ` eres sur ˜ I a p our cons´ equence que la d´ ecision n’est plus exac te, mais se ule ment appro ch´ ee, sur l’instance initiale (algorithme TEST-M). Consid´ erons l’instance ˜ I o btenu e ` a partir de I a pr` es l’app el ` a la pr o c´ edure SCALING-M po ur les par am` etr es B = ( c 1 i 1 , . . . , c R i R ), ε M et ε m . O n voit facilement q ue l’on a les relatio ns suiv antes entre les ´ etiquettes sur les instanc e s ˜ I et I d’un c hemin P s → t : ( ˜ C r ( P s → t ) ≥ ˜ B M ∀ r ∈ R max ˜ C r ( P s → t ) ≤ ˜ B m ∀ r ∈ R min ⇒ ( C ( P s → t ) | R max ≥ B | R max C ( P s → t ) | R min ≤ B | R max ( ∃ r ∈ R max , ˜ C r ( P s → t ) < ˜ B M ∃ r ∈ R min , ˜ C r ( P s → t ) > ˜ B m ⇒ ( ∃ r ∈ R max , C r ( P s → t ) < (1 + ε M ) B r ∃ r ∈ R min , C r ( P s → t ) > (1 − ε m ) B r 23 Algorithme 14 : ACYCLIQUE-M : Algorithme p our les graphes acy cliqu es Ent r ´ ees : I = ` G = ( V , A ); c 1 , . . . , c R : A → Q ´ instance de PPC-M, B = ( B 1 , . . . , B R ) vecteur b orne Sorties : Ensemble des ´ etiqu ettes ( E 1 , . . . , E R ) non domin´ ees v´ eriﬁan t  E r ≥ B r ∀ r ∈ R max E r ≤ B r ∀ r ∈ R min // E T I Q ( i ) est l’ensemble des ´ etiquettes du sommet i E T I Q (1) ← (0) pour tous les i al lant de 2 ` a n − 1 faire E T I Q ( i ) ← ∅ ; pour tous les j ∈ pr ede cesseur ( i ) faire pour tous les E ∈ E T I Q ( j ) faire si ∀ r ∈ R min , E r + c r j i ≤ B r alors E ′ ← ( E r + c r j i , ∀ r ∈ { 1 , . . . , R } ); E T I Q ( i ) ← E T I Q ( i ) ∪ { E ′ } ; E T I Q ( i ) ← P ar eto ( E T I Q ( i )); E T I Q ( n ) ← ∅ ; pour tous les j ∈ pr ede cesseur ( n ) faire pour tous les E ∈ E T I Q ( j ) faire si ∀ r ∈ R min , E r + c r j n ≤ B r et ∀ r ∈ R max , E r + c r j n ≥ B r alors E ′ ← ( E r + c r j n , ∀ r ∈ { 1 , . . . , R } ); E T I Q ( n ) ← E T I Q ( n ) ∪ { E ′ } ; E T I Q ( n ) ← P ar et o ( E T I Q ( n )); Retourner E T I Q ( n ) ; Algorithme 15 : SCALING-M : Proc´ edure d ’ ´ echelonnage et d ’arrondis multicri t` ere Ent r ´ ees : I = ` G = ( V , A ); c 1 , . . . , c R : A → Q ´ instance de PPC-M, B ∈ ( Q ∗ + ) R , ε M , ε m ∈ ]0 , 1[ erreurs Sorties : ˜ I ( B , ε M , ε m ) in stance de PPC-M pour tous les les ( i, j ) ∈ A faire ˜ B M ← ⌈ n ε M ⌉ ; pour tous les r ∈ R max faire ˜ c r ij ← min — c r ij n ε M B r  , ˜ B M ﬀ ; ˜ B m ← ⌊ n ε m ⌋ ; pour tous les r ∈ R min faire ˜ c r ij ← min ‰ c r ij n ε m B r ı , ˜ B m ﬀ ; 24 Par ailleurs , puisque les v ale ur s num ´ er iques sur ˜ I so nt bor n´ ees par max { ˜ B M , ˜ B m } = O ( n/ min { ε M , ε m } ), le d´ eroulement de la pro c´ edure ACY CLIQUE-M s ur ˜ I p o ur le para m ` etre B d´ eﬁni par B | R max ≡ ˜ B M et B | R min ≡ ˜ B m devient p o lynomial en n et 1 / ε M , 1 / ε m , d’o r dre : O  R n 4 R +1 min { ε M , ε m } 2 R  En cons´ equence de ce s deux de r ni` er es observ a tions, on p eut d´ ecider , p our une instance I d’ordre n , un p oint ( c 1 i 1 , . . . , c R i R ) et de ux pa ram` etres d’e r reur ε M , ε m , en temps p olynomia l en n et en max { 1 / ε M , 1 / ε m } :  S i ∃ P s → t d’´ etiquette da ns l’hype r espace ⊗ r ∈ R max [ c r i r , + ∞ [ ⊗ r ∈ R min [0 , c r i r ] Ou si l’hyperes pace ⊗ r ∈ R max [(1 + ε M ) c r i r , + ∞ [ ⊗ r ∈ R min [0 , (1 − ε m ) , c r i r ] est vide. Algorithme 16 : TEST-M : Pro c´ edure de test appro ch ´ ee sur PCC-M Ent r ´ ees : I instance, B = ( B 1 , . . . , B R ) vecteur, ε M , ε m ∈ ]0 , 1[ erreurs Sorties : • OUI et un chemin P s → t v´ eriﬁan t  C r ( P s → t ) ≥ B r ∀ r ∈ R max C r ( P s → t ) ≤ B r ∀ r ∈ R min • NON si tout chemin P s → t v´ eriﬁe C r ( P s → t ) < (1 + ε M ) B r p our u n certain crit` ere r ` a maximiser ou C r ( P s → t ) > (1 − ε m ) B r p our un certain crit` ere r ` a minimiser. ˜ I ( B , ε M , ε m ) ← SCALING-M( I , B , ε M , ε m ); ˜ B M ← ‰ n ε M ı ; ˜ B m ← — n ε m  ; B ′ ← ( B r = B M , ∀ r ∈ R max ; B r = B m , ∀ r ∈ R min ); E T I Q ← AC YCLIQUE-M( ˜ I , B ′ ); si E T I Q 6 = ∅ alors Retourner OUI et un chemin d’´ etiquette dans E T I Q sinon Retourner NON Sch ´ ema c omplet d’appr oximation Le sch ´ ema con¸ cu consis te ` a op´ erer un quadrillage de l’es pa ce des v aleurs, puis ` a app eler la pr o c´ edur e de test appro ch ´ e e n le coin de chaque hyper cub e is su de ce quadrillag e . P r´ e cis´ ement, l’alg orithme P ARETO-PCC-M sollicite la pro c´ edure QUADRILLAGE po ur les erreur s ε M = √ 1 + ε − 1 et ε m = 1 − √ 1 − ε (on ne fait plus le quadr illage sur ε , puisque le test en chaque hyperc ub e n’est pas exact, mais appro ch ´ e). Il appe lle ensuite la pro c´ edure TEST-M sur chaque c oin ( c 1 i 1 , . . . , c R i R ), en invoquant les mˆ emes par am` etr e s d’er reur ε M et ε m . Les chemins tr ouv´ es par les app els succes sifs ` a TE ST-M co nstituen t la fronti ` e r e de Pareto ε - appro ch ´ ee. Soit P ′ s → t un chemin de s ` a t et soit  C 1 ( P ′ s → t ) , . . . , C R ( P ′ s → t )  son ´ etiquette, o n consid` er e le p oint B =  c 1 i 1 , . . . , c R i R  caract´ eris´ e par : ( c r i r ≤ C r ( P ′ s → t ) < (1 + ε M ) c r i r si r ∈ R max c r i r ≥ C r ( P ′ s → t ) > (1 − ε m ) c r i r si r ∈ R min 25 Algorithme 17 : P ARETO-PCC-M : F ronti ` ere de Pa reto ε - approch´ ee en temps p olynomial Ent r ´ ees : I instance, ε ∈ ]0 , 1[ erreur Sorties : P ε ( I ) F ronti ` ere de Par eto ε -appro ch ´ ee P ε ( I ) ← ∅ ; ε M ← √ 1 + ε − 1; ε m ← 1 − √ 1 − ε ; ∪ R r =1 { ( c r 0 , . . . , c r H r ) } ← QUA D RILLAGE( I , ε M , ε m ); pour tous les ( i 1 , . . . , i R ) ∈ { 0 , . . . , H 1 − 1 } × . . . × { 0 , . . . , H R − 1 } faire B ← ( c 1 i 1 , . . . , c R i R ); si TEST-M( I , B , ε M , ε m ) r envoie un chemin P s → t alors P ε ( I ) ← P ε ( I ) ∪ { P s → t } ; Si TEST-M( I , B , ε M , ε m ) a renv oy´ e un chemin P s → t , alor s ce chemin v´ er iﬁe : ( C r ( P s → t ) ≥ c r i r ⇒ C r ( P ′ s → t ) < (1 + ε M ) c r i r ≤ (1 + ε ) C r ( P s → t ) s i r ∈ R max C r ( P s → t ) ≤ c r i r ⇒ C r ( P ′ s → t ) > (1 − ε m ) c r i r ≥ (1 − ε ) C r ( P s → t ) si r ∈ R min Sinon, l’existence de P ′ s → t assure que TE ST-M a n´ ec e ssairement renv oy ´ e un chemin P s → t po ur le p o int B − d´ eﬁni par : B r − = c r i r − 1 ∀ r = 1 , . . . , R Ce chemin v´ e r iﬁe bie n de nouveau : ( C r ( P s → t ) ≥ 1 1+ ε M c r i r ⇒ C r ( P ′ s → t ) < (1 + ε M ) 2 C r ( P s → t ) = (1 + ε ) C r ( P s → t ) s i r ∈ R max C r ( P s → t ) ≤ 1 1 − ε m c r i r ⇒ C r ( P ′ s → t ) > (1 − ε m ) 2 C r ( P s → t ) = (1 − ε ) C r ( P s → t ) si r ∈ R min La complexit´ e de l’algorithme P ARETO- P CC-M est domin´ ee par celle des appels succes s ifs ` a TEST- M. Le no mbre de ces app els est de l’o rdre de O  ((1 /ε ) lo g( M AJ )) R  (consid´ er er que √ 1 + ε − 1 ∼ 1 / 2 ε , 1 − √ 1 − ε ∼ 1 / 2 ε ). Or, la co mplexit´ e de TE ST- M somme la co mplex it ´ e tempo relle de SCALING-M a ppliq u´ ee ` a I et celle de ACYCLIQUE-M appliqu´ ee ` a ˜ I . On obtient au total une complexit´ e d’or dre : O  log( M AJ ) ε  R  Rm lo g  n ε  + Rn 4 R +1 ε 2 R  ! = O  log( M AJ ) ε  R Rn 4 R +1 ε 2 R ! F ron ti` ere de P areto e t PCCC La vision multicrit` ere du probl` eme de plus co urt chemin contrain t ` a R resso urces p eut s’´ enoncer comme le probl` eme co ns istant ` a trouver un chemin P s → t qui minimise chaque comp osa nte du vecteur  C ( P s → t ) , T 1 ( P s → t ) , . . . , T R ( P s → t )  . Si l’on disp o se d’une fronti ` ere de Pareto ε -appr o ch ´ e e P ε , ce la signiﬁe q ue tout chemin P ′ s → t de s ` a t es t re pr´ esent ´ e pa r un chemin P s → t de la fronti ` ere P ε qui conso mme au plus 1 / (1 − ε ) la consommation de P ′ s → t sur chaque cr it ` ere. En particulier , si P ′ s → t est r´ ealisable, on d ´ eduit que P s → t est 1 / (1 − ε )-r´ ealisable. 6 Syn th` ese Le tableau 1 r´ esume les complexit´ es th´ eo riques des alg o rithmes de plus cour t chemin les plus connus ainsi que des algor ithmes exacts ou appr o ch ´ e s p o ur le PCCC vus dans ce ra ppo rt. 26 T ab. 1. Diﬀ´ erents algorithmes et leur complexit´ e Nombre Hyp oth` ese Auteur de sur ou Complexit ´ e en temps ressources le graphe Nom de l’algorithme 0 c ij ∈ Q Bellman[Bel5 8 ] O ( mn ) 0 c ij ∈ Q Bellman O ( m + n ) G acyclique 0 c ij ∈ Q + Dijkstra[Dij59] O ( ( m + n ) log ( n )) 0 c ij ∈ Q + Dijkstra (tas de Fib onacci) O ( m + n log ( n )) 1 c ij ∈ Q + ∗ Programmation dynamique[DB03] O ( m b 1 ) R ∈ N + ∗ c ij ∈ Q Programmation dynamique O ( e n ) R ∈ N + ∗ c ij ∈ Q k p lu s courts c hemins[Epp98] O ( m + R n log n + k ) , k = O ( e n ) 1 c ij ∈ Q + FPT A S[Phi93] O „ mn (1 + 1 ε ) + n 2 (1 + 1 ε )(log( n ) + log(1 + 1 ε )) « 1 c ij ∈ Q + FPT A S multicri t` ere[Han80 ] O „ m 2 n 2 ε log „ n 2 ε «« 1 c ij ∈ Q + FPT A S[Has92] [LR01] [ESZ02] O “ mn ε ” R ∈ N + ∗ c ij ∈ Q + F ron t i ` ere Pareto ε -ap p roch´ ee[PY00] O „ log( M AJ ) ε « R Rn 4 R +1 ε 2 R ! 27 Le but de cette ´ etude est d’´ etudier la p ossibilit´ e de g´ en´ e rer des chemins contraint s en temps ma ˆ ıtr is´ e, dans l’o ptique d’acc´ el´ ere r cer ta ins sch ´ emas de g´ en´ er ation de colonnes impliquant le PCCC comme sous-pr obl` eme. Deux av an tages p our raient ˆ etre tir´ es d’une telle d´ ema rche : d’une part, ˆ etre en mesur e de g´ en´ er er une p opulation diversiﬁ´ ee de chemins lor s de la phase d’initialisa- tion ; d’autre pa rt, acc´ el´ er er le s premi` eres it´ e r ations du sch ´ ema. Les m´ ethode s les plus r´ epandues ` a ce jo ur p o ur r´ esoudr e le PCCC, nota mmen t dans ce cadre sp´ eciﬁque, s o nt celle s de t y pe pro - grammation dyna miq ue , qui oﬀr e nt des solutions exa c tes, en temps et en espace exp onentiel (ce sont encore ces mˆ emes m´ ethodes qui ont inspir´ e les a lgorithmes appro ch ´ es). Si no us avons ´ evoqu´ e quelques m´ etho des de simpliﬁcation des instanc e s (section 3 ), celles -ci ne g arantissen t pa s po ur autant la diminution de la complexit´ e th´ eo rique. Quelle alterna tive av ons-nous donc, quitte ` a s’aﬀranchir de l’optimalit ´ e, voire, de la r´ ealisabilit´ e ? La recherche de plus cour ts chemins dans le cadre sp´ eciﬁque du d´ eroulement d’un sch ´ ema de g´ en´ eration de co lonnes p os e deux probl` emes de nature diﬀ ´ erente. D’une part, celle de la diﬃcult´ e int rins` eque du probl` eme contrain t, ` a pa rtir de 2 resso urces : si l’on s ouhaite r ester dans un or dre po lynomial de co mplexit´ e, il fa ut s’a ﬀranchir de l’exactitude en termes d’optimalit´ e et en termes de r´ ealis abilit´ e. D’autre part, les co ˆ uts manipul´ es sur les arcs ne s ont plus les co ˆ uts initiaux de l’instance, mais des co ˆ uts r´ eduits issus de la r´ esolution du (PMR), qui p euven t ˆ etre n´ egatifs : les hypoth` ese s faites sur la s tr ucture de co ˆ ut de l’instance initiale ne tiennent do nc plus a u cours des it´ e r ations. O r, ces hypoth` eses interviennent conjointemen t dans les calculs de complexit´ e et des facteurs d’approximation. De sorte ` a exploiter les r´ es ultats d’approximation, il faudr ait donc ˆ etre en mesure de les ´ e tendre ` a un cadr e plus g ´ en´ er al (notammen t, coˆ uts rationnels n´ eg a tifs et po sitifs) ; en outr e, il faudrait utiliser, voire, d´ eﬁnir, un cadre p er tinen t p our l’approximation, l’approximation c la ssique s upp o s ant des v aleurs p ositives. La diversiﬁcation des c hemins (nota mmen t, dans la phase d’initialisa tion) sous-entend un certain balayage de l’espa c e des solutio ns. Parmi les appro ches que nous av ons pr´ esent ´ ees, la recherc he des k plus co urts chemins d’une part (section 4 .3), d’une fro nti ` ere de Pareto ε -appro ch ´ ee d’autre part (section 5.2), von t da ns le sens d’une telle explor ation. Dans le premier cas, on cherc he int ensivemen t les meilleurs c hemins contraints en ter me de co ˆ ut, tandis que dans le se cond cas, on balay e sp oradiquement tout l’espace . Pour un nombre de r essource s R donn´ e, l’alg orithme d’Eppstein p er met de trier en temps O ( m + R n lo g( n )) tous les chemins du graphe suiv ant le co ˆ ut (initial, ou r´ e duits dans le ca dre de la g´ en´ eration de colonnes). Une fois le tas constitu´ e, il suﬃt p our trouver le chemin contrain t optimal de d ´ epiler les chemins jusqu’` a trouver un chemin r´ ealisable (ou, dans le cadr e d’un sch ´ ema de g´ en ´ eration de c o lonnes, quand le crit` er e de co ˆ ut choisi p our la co nstruction du tas est le co ˆ ut r´ e duit, l’optimalit´ e est pro uv´ ee s’il n’existe pa s de chemin r´ ealisable de co ˆ ut n´ eg atif ). Rien n’assure n´ ea nmo ins que les k plus cour ts chemins, po ur k = O ( p ( n )) o ` u p p oly nˆ ome, contiennen t ne s erait-ce qu’un chemin r´ ea lisable po ur les r e ssources (ni un chemin de co ˆ ut po sitif po ur d´ emo ntrer l’optimalit´ e du sch ´ ema). Par ailleurs, en triant sur le seul crit` er e de co ˆ ut, on ris q ue de g´ en´ erer des chemins p eu diversiﬁ´ es. Ainsi, en s e limita nt ` a chercher un nombre p olynomia l de chemins, on ne gar antit pas l’obtention de chemins pertinents ; en prenant au contraire k = O ( e n ), la co nstruction du tas reste p olynomiale en temps e t en e s pace, et l’ ´ enum ´ er ation des chemins devient e x po nentielle en temps ma is pas espace : on n’obtient alors une alterna tive ` a la r´ es olution exacte par progra mmation dynamique qui est exp onentielle en temps et en espace. ` A par tir de 2 r essourc e s, l’obtention de solutions r´ ealisa bles n’´ etant plus ga rantie, l’a ppro che m ulticrit` er e semble prometteuse. Bien plus q ue la recherche de la fronti ` ere de Pareto ε -appr o ch ´ ee elle-mˆ eme, c’est le quadrillag e de l’espa ce des v aleur s et l’utilisation de la pr ogra mma tion dyna- mique sur les ins ta nces modiﬁ´ ees qu’il faudra chercher ` a explo iter : balay er l’e space des v ale urs po ssibles et chercher une solution da ns chaque hypercub e semble ˆ etre une b onne stra t´ egie en vue de la diversiﬁcation des chemins d` es l’initialisa tion. 28 R´ ef ´ erences [AAN83] Y ach P . An eja, Vija y Aggarw al, and Kunh iraman P .K. Nair. S hortest chain sub ject to side constrain ts. Networks , 13 :295–302 , 1983. [ABS02] Pasquale Avella, Maurizio Boccia, and Antonio Sforza. A p enalty function heuristic for the resource constrained shortest path problem. Eur op e an Journal of Op er ational R ese ar ch , 142(2) :221–230, 2002. [Bel58] Richard Bellman. On a Rout ing Problem. Quarterly of Appli e d Mathematics , 16(1) :87–90, 1958. [DB03] Irina Dumitrescu and Natashia Boland. Improved Preprocessing, Lab eling and Scaling Algo- rithms for the W eigh t Constrained Shortest Path Problem. Networks , 42(3) :135–153, 2003. [Dij59] Edsger W. Dijkstra. A note on tw o problems in connexion with graph s. Numerische Mathematik , 1 :269–271 , 1959. [DPS83] Jacques Desrosiers, Paul Pelletier, and F ran¸ cois Soumis. Plus court chemin av ec contrain tes d’horaire. RAIRO , 17(4) :357–377, nov emb er 1983. [Dro94] Moshe D ror. N ote on the Complexit y of the Shortest Pa th Mo dels for Column Generation in VRPTW. Op er ations R ese ar ch , 42(5) :977–978 , Sep. - Oct. 1994. [DS88] Martin Desrochers and F ran¸ cois Soumis. A generalized p ermanent lab elling algorithm for t h e shortest path p roblem with time windows . Information Systems and Op er ations R ese ar ch , 26(3) :191–212, 1988. [Epp98] David Eppstein. Find ing th e k shortest p aths. SIAM J. Computing , 28(2) :652–673, 1998. [ESZ02] F und a Erg ¨ un, Rakes h Sinh a, and Lisa Zang. A n Imp ro ved FPT AS for Restricted Shortest P ath. Information Pr o c essing L etters , sep 2002. [GJ79] Michael R. Garey and David S. Johnson. Computers and I ntr actability . F reeman, 1979. [Han80] Pierre Hansen. Bicriterion path problems. In G. F andel and T. Gal, ed itors, Mul tiple Crite- ria De cision Making : T he ory and Applic ations, LNEMS 177 , pages 109–127. Springer-V erlag, Berlin, 1980. [Has92] Refael Hassin. A pproximation schemes for the restricted shortest path problem. M athematics of O p er ations R ese ar ch , 17(1) :36–42, feb 1992. [LR01] Dean H. Lorenz and D anny Raz. A Simple Eﬃcient Approximation Scheme for th e Restricted Shortest P ath Problem. Op er ations R ese ar ch L etters , 28(5) :213–219, 2001. [NS05] Anass Nagih an d F ran¸ cois Soumis. No dal A ggregation of Resource Constrain ts in a Shortest P ath Problem. Eur op e an Journal of Op er ational R ese ar ch , 2005. [Phi93] Cynthia A. Phillips. The netw ork inh ibition problem. In STOC ’93 : Pr o c e e dings of the twenty- ﬁfth annual ACM symp osium on The ory of c omputing , pages 776– 785, New Y ork, NY, USA, 1993. ACM Press. [PY00] Christos H. Pa padimitriou and Mihalis Y annaka kis. On th e approximabilit y of trade-oﬀs and optimal access of W eb sources. In IEEE Symp osium on F oundations of Computer Scienc e , pages 86–92. IEEE Computer So ciety , 2000. 29

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