Sur les formules locales de lindice

Univ ersit ´ e Claude Bernard - Ly on 1 HABILIT A TION A DIRIGER DES RECHE R CHE S Disciplin e: Math´ emati ques Sur les form ules lo cales de l’indice Denis PERR OT No v em bre 2008 Con ten ts In tro duction 5 1 Caract` ere de Chern biv arian t 9 1.1 Alg ` ebres born ologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Bimo dules non b orn´ e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Bimo dules b orn´ e s p -sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Th´ eor ` eme de l’indice ´ equiv arian t 19 2.1 Actions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Le bimo dule asso ci ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Th ´ eor ` eme de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Images directes 27 3.1 In v ariant s primaires et seco n daires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Quasihomomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Grothendiec k-Riemann-Ro c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 F orm ule locale d’anomalie 37 4.1 Le princip e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Renormalisation z ˆ eta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 T r ip lets sp ectraux et anomali es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Group o ¨ ıdes conformes et lo calisation 49 5.1 Quasihomomorphisme de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Renormalisation conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Th ´ eor ` eme de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Bibliographie 57 4 CONTEN T S In tro duction Ce m ´ emoire d’habilita tion est la s yn th` ese d e tra v aux eﬀectu ´ es en th ´ eorie de l’indice non-comm utativ e [38]-[47]. Notre ob jectif est de fourn ir d es formules lo c ales et d’ ´ etudier leurs relatio n s a v ec les anoma lies de la th´ e orie qu an tique des c h amps. On se place d ans le cadre de la g´ e om´ et r ie d iﬀ ´ eren tielle non-comm u tativ e et de l’homologie cyclique d´ e velopp ´ ees p ar Connes [9, 11]. Un espace non-comm u tatif y est repr´ ese n t´ e par une alg ` ebre asso ciativ e. En pratique il s’agit d’une al g` e b re de Banac h, ou de F r´ e chet, ou m ˆ eme plus g ´ en ´ eralement d’un e alg ` ebre b ornologique [35]. La K -th ´ eorie et l’homologie cyclique d ´ ecrive nt les in v ariant s de top ologie alg ´ ebrique d’un tel es- pace. De fa¸ con g ´ en ´ erale on p eut dire que la th´ eo r ie de l’indice non-comm utativ e con- siste ` a ´ etudier l’image de ces in v ariant s sous l’action d’u n bimo d ule de Kasparov [5] (ou d’u n quasihomomorphisme [18]) su ﬃsammen t “lisse”. Plus pr´ ecis ´ emen t la situa- tion qui nous int ´ eresse est la suiv an te. D ´ esignons par I = ℓ p l’id ´ eal de Sc h atten des op ´ erateurs p -sommables su r u n esp ace de Hilb ert. Un A - B -bimo du le p -sommable en tre deux alg ` ebres d e F r ´ ec h et A et B in duit alors un morphisme d ’image directe en K -th ´ eorie top ologique K top ∗ ( I ˆ ⊗ A ) → K top ∗ ( I ˆ ⊗ B ), o ` u le pro d uit tensoriel pro- jectif compl´ et ´ e I ˆ ⊗· est une version p -sommable de stabilisation. On cherc he alors ` a construire un caract ` ere de C hern d ans la cohomologie cyclique b iv ariante de A et B , de sorte que la ﬂˆ ec h e in duite en homologie cyclique H C ∗ ( A ) → H C ∗ ( B ) s ’in s ` ere dans un d iagramme commutat if K top ∗ ( I ˆ ⊗ A ) / /   K top ∗ ( I ˆ ⊗ B )   H C ∗ ( A ) / / H C ∗ ( B ) (1) Il existe deux app ro c hes compl ´ emen taires, chacune app ortant son lot d’a v an tages et d’incon v´ enien ts. La pr emi ` ere est b as´ ee sur les p ropri ´ et´ es ab s traites de la K -th ´ eorie et de la cohomologie cyclique b iv ariantes qui garan tissent l’existence d’un caract ` ere de Chern “univ ersel” m uni des propri ´ et ´ es voulues. C’est la v oie su ivie p ar C unt z dans le cas des alg ` ebr es lo calemen t con vexes [19 , 20] ou p ar Pusc h nigg p our les C ∗ -alg ` ebr es [49]. Cette m ´ etho d e est en ti ` erement satisfaisant e d’un p oin t de vue th ´ eorique car elle garan tit u n r ´ esu ltat b eaucoup plu s g ´ en ´ eral que (1), ` a sa voir la compatibilit ´ e en tre le pro d u it d e K asparo v en K -th ´ eorie b iv ariant e et le pr o duit de comp osition en cohomologie cyclique biv arian te. Par con tre elle ne donne pas v ´ eritablemen t de f orm ule concr` ete p our le caract ` ere de Chern . La deuxi` eme app ro c he renonce ` a construire u n caract ` ere d e Chern universel et se con- cen tre sur des bimo d ules d e Kasparov p -sommables munis de pr opri ´ et ´ es ad ´ equates, tels que ceux qui apparaissen t dans les situatio n s d’origi n e g ´ eom ´ etrique. On p eut alors donner des formules relativ emen t simp les, mais il n’est p as garan ti qu ’elles repr´ esen tent le caract ` ere de Chern un iv ersel. Dans ce ca s la co mm u tativit ´ e d u d ia- gramme (1) d oit ˆ etre v´ eriﬁ´ ee a p osteriori . C’est la voie que nous adoptons ici. Notre 6 In t ro duction ob jectif est double. D’ab ord on d ´ egage les conditions qui p ermetten t de construire un caract ` ere d e Chern concret et assurent l’existence d e diagrammes comm u tat- ifs comme ci-dessu s. Ensuite on explique commen t obtenir des f orm ules lo cales en s’insp ir an t d es tec hniqu es de renormalisation en th ´ eorie quan tique des champs. En fait la diagonale ∆ : K top ∗ ( I ˆ ⊗ A ) → H C ∗ ( B ) du diagramme (1 ) est l’exacte g ´ en ´ eralisation d u calcul de l’anomalie c hirale asso ci´ ee ` a u ne th´ eorie de jauge non- comm utativ e. L’ ´ ev aluation de l’image de ∆ s ur un e classe de cohomologie cyclique de B d onne alors u ne formule lo cale de l’indice. Le c hap itre 1 d ´ ecrit la co n struction du caract ` ere de Chern biv arian t au moy en de sup erconnexions de Quillen [50 ]. En r ´ ealit ´ e on donne deux f orm ules. La p remi ` ere rep ose su r le no y au de la c haleur exp( − t D 2 ) asso ci ´ e ` a un op ´ erateur de Dirac [41]; elle est donc adapt´ ee aux bimo dules non-b orn´ es “ θ -sommables”. L’autre est obten ue par un pro c ´ ed ´ e de r ´ etraction et fonctionne p our les b im o dules b orn´ es p -sommables [42] v´ eriﬁant certaines conditions d’adm iss ibilit ´ e. V u que l’on ne c h erc he pas ici ` a parler de K -th ´ eorie, il suﬃt d e se placer d ans la cat ´ egorie la plu s g ´ en´ erale, celle des alg ` ebres b ornologiques. Le caract ` ere de Chern prend alors ses v aleurs dans la cohomologi e cyclique biv arian te enti ` ere H E ∗ ( A , B ), qu i con tient d es co cycles de dimension inﬁnie bien adapt ´ es aux formules b as´ ees sur l’utilisation du n o ya u d e la c haleur. De plus , dans des circonstances fa v orables la limite t ↓ 0 p ermet d ’obtenir un repr´ esen tant local d u ca r act ` ere d e Chern. A titre d’exemple, n ous ´ etablissons au c hapitre 2 un th´ eor ` eme de l’indice p our les actions propres et isom´ etriques d’un group e lo calemen t compact G sur u n e v ari´ et ´ e de Riemann [43]. On d ´ emontre que l’indice d’un op´ erateur elliptique G -inv arian t de t yp e Dirac, qu i d ´ etermine u ne classe d’homologie cyclique sur l’alg ` ebre du group e, est d onn ´ e p ar une f ormule de lo calisa- tion aux p oin ts ﬁ xes de l’action. A p artir d u c h apitre 3 on se restreint aux alg ` ebr es de F r´ ec het multi p licativ e- men t con vexes, c’est-` a-dire les limites pr o j ectiv es d e suites d’alg ` ebres d e Banac h. Elles p oss` eden t d eux t yp es distincts d’inv arian ts: les in v arian ts primaires, s tables par homotopie diﬀ´ erent iable tels que la K -th ´ eorie top ologique [48] et l’homologie cyclique p ´ erio diqu e, et les inv arian ts secondaires tels que la K -th´ eorie multiplica - tiv e [29, 30] et les v ersions in stables de l’homologie cyclique. Ces diﬀ ´ eren ts types d’in v ariant s sont r eli ´ es p ar des suites exactes longues. En utilisan t les formules obten ues pr´ ec ´ edemment p our le caract ` ere de C h ern d’un b im o dule b orn´ e, on ´ etablit qu’un quasihomomorphisme p -sommable, d e parit´ e p mo d 2, muni de certaines p ro- pri ´ et´ es d’admissibilit ´ e ind uit des morphismes d’image directe p our les in v arian ts primaires et secondaires to u t en resp ectan t les suites exacte s. Cela se traduit par un diagramme commutat if . . . K top n +1 ( I ˆ ⊗ A ) / /   H C n − 1 ( A ) / /   M K I n ( A ) / /   K top n ( I ˆ ⊗ A ) . . .   . . . K top n +1 − p ( I ˆ ⊗ B ) / / H C n − 1 − p ( B ) / / M K I n − p ( B ) / / K top n − p ( I ˆ ⊗ B ) . . . a v ec I un e alg ` ebre p -sommable et M K I n la K -th ´ eorie multiplicat ive in tro d uite dans [45]. L’en tier p est la dimension r elative du quasihomomorp h isme. En cons´ equence on obtient non seulement le diagramme (1) en K -th ´ eorie top ologique mais aussi des diagrammes analo gu es relian t K -th´ eorie m u ltiplicativ e et les v ersions instables d’homologie cyclique. Notons que le pr o duit de Kasparov entre quasihomomor- In tro duction 7 phismes n’est p as d´ eﬁni d ans ce con texte. La m´ etho de g ´ en ´ erale p ermettan t d’ ´ etablir des formules lo cales p our le caract ` ere de Ch ern biv arian t est exp os ´ ee au c hapitre 4, ainsi qu e sa relation a vec les anomalies en th ´ eorie quan tique d es champs [46 ]. Le lien ent r e th´ eorie d e l’ind ice et anomali es n’est pas nouve au. Citons p ar exemple A tiyah et Singer [3, 54] ou plus r´ ecemmen t Mic k elsson et coauteurs [1, 8, 32, 33]. Cep endant l’appro che qu e nous pr´ esen tons ici est diﬀ´ erent e. On in tr o duit la c o cha ˆ ıne ˆ eta r enormalis ´ ee comme s´ erie formelle dans le complexe cyclique biv arian t, don t le b ord fourn it automatiquemen t un repr´ esen tant lo cal d u caract ` ere de Chern . Cette s ´ erie formelle est reli ´ ee tr ` es explicitemen t ` a la fonctionnelle d’action quan tique d’un e th ´ eorie d e jauge non-comm utativ e, ce qu i explique le lien a v ec les anomalies. L ’a v an tage de cette m´ etho de est qu’elle laisse une grande lib ert ´ e dans le c hoix de renormalisation: dans c haqu e situation de na- ture “g ´ eom ´ etrique” il existe u n choix assez naturel qu i donn e un r ep r ´ esent ant lo cal particulier d u caract ` ere de Chern. P ar exe m p le, la renormalisation z ˆ eta est utilis- able en pr ´ esence d’un op ´ er ateur d e Di rac. Le caract ` ere de Chern est alors donn´ e par une somme d e r´ esidus de fonctions z ˆ eta et g ´ en´ eralise la form ule de Connes et Mosco vici v alable p our les triplets sp ectraux [15]. C e n’est ´ evidemment pas le seul c hoix p ossible. O n illus tre dans le c hapitre 5 u n autre typ e de r enormalisation dans le cas d ’un group e op´ eran t sur le plan complexe par tr ansforma tions c onformes . Ici aucune m ´ etrique riemannienne n’est p r ´ eserv´ ee et l’in tro duction d’un op´ erateur de Dirac n’est pas naturelle. On p eut n´ eanmoins renormaliser sans briser la sym ´ etrie conforme, ce qu i m ` ene encore u ne fois ` a u ne formule de l’indice lo calis ´ ee aux p oin ts ﬁxes. Elle fait interv enir des n om br es de Lefschet z g ´ en ´ eralis´ es ainsi qu’une classe de T o d d n on-comm utativ e bas ´ ee sur le group e d’automorphismes mo du laires [47]. 8 In t ro duction Chapter 1 Caract ` ere de Chern biv arian t Ce c hapitre p r ´ esente deux formules candidates p our le ca r act ` ere d e C hern d ’un A - B -b imo dule muni des propri ´ et ´ es ad ´ equates. L a premi` ere est bas ´ ee sur le no yau de la c h aleur asso ci ´ e ` a un op´ erateur de Dirac. Elle est donc adapt´ ee au bimo d ules non- b orn´ es θ -sommables [41]. La deuxi` eme n ’utilise qu e la phase de l’op ´ erateur d e Dirac et par cons´ equent est applicable aux bimo dules b orn ´ es p -sommables [42]. En fai t ces deux carac t` eres de Chern son t reli ´ es, au moins formellemen t, par un pro cessus de r´ etraction et d´ eﬁniss en t la mˆ eme classe de cohomologie cyclique biv arian te. P our se p lacer dans le cadre le p lus g ´ en´ eral p ossible, on consid` ere la cat ´ egorie des alg ` eb res b ornolo giques . Le ca r act ` ere de Chern d’u n A - B -bimo d u le vit alors dans la cohomolo gie cyclique biv arian te enti ` ere H E ∗ ( A , B ) [35]. P ar commo d it ´ e nous rapp elons dans la p remi ` ere sect ion quelques r udiments d e th ´ eorie cyc liqu e enti ` ere. Les deux sections suiv an tes d´ etaillen t la construction d u caract ` ere d e Cher n resp ec- tiv ement dans le cas d’un bimo du le non-b orn´ e θ -sommable et d’un bimo du le b orn´ e p -sommable. Le mat ´ eriel exp os ´ e ici est adapt ´ e des articles [41] D. Perrot: A biv arian t Chern charact er for families of s p ectral tr iples, Comm. Math. P hys. 231 (2002) 45-95. [42] D. Perrot: Retracti on of th e biv arian t Chern charac ter, K-The ory 31 (2004 ) 233-2 87. 1.1 Alg ` ebres b ornologiques Rapp elons qu’une b ornolo gie sur un C -espace vect oriel V est la d onn ´ ee d’un en- sem ble de parties d e V , dites b orn´ ees, v ´ eriﬁant certa in s axiomes [35]. Il existe une notion de c ompl ´ etude au sens b ornologique. L’exemple standard d’espace vecto r iel b ornologique est un espace v ectoriel localemen t conv exe V m uni de sa b ornologie dite de v on Neumann, constitu ´ ee des parties born´ ees p ou r toutes les semi-normes d ´ eﬁn iss an t la top ologie de V . Soien t V et W deux espaces ve ctoriels b orn ologiques. Un e application lin ´ eaire V → W est b orn´ ee si elle en vo ie les parties b orn ´ ees de V sur le s parties b orn´ ees de W . L’ensemble des app lications lin ´ eaires b orn´ ees Hom( V , W ) est lui-m ˆ eme u n espace v ectoriel b ornologique, complet si W l’est. On d ´ eﬁnit aussi le pr o duit ten- soriel b ornolo gique c ompl ´ et´ e V ˆ ⊗ W p ar une propri´ et ´ e universelle de factorisatio n . Ce pro duit tensoriel est asso ciatif. Notons que dans le cas des espaces de F r ´ ec h et, Hom( V , W ) est exacte m en t l’espace d es applications lin ´ eaires con tinues de V v ers W , et le pro duit tensoriel born ologique ˆ ⊗ co ¨ ıncide essen tiellemen t a v ec le prod uit 10 Caract` ere de Chern biv arian t tensoriel pro jectif (mo du lo quelques subtilit ´ es, v oir [35]). Une alg ` ebre b ornologique compl ` ete A est u n espace b ornologique complet m un i d’une app lication bilin´ eaire b orn´ ee asso ciativ e A × A → A . P ar exemple si A est u n espace de F r´ ec het, alo rs la m u ltiplicatio n e s t automatiquement (jointe m ent) con tinue et A est aus si une alg ` ebr e de F r ´ ec het. Si A et B sont deux alg ` eb r es b ornologiques compl ` etes, leur pro d uit tensoriel b ornologique A ˆ ⊗ B est encore une alg ` eb re b ornologique compl ` ete. L’homologie cyclique d ’une alg ` ebre b ornologique compl ` ete A est d´ eﬁnie au mo ye n des formes d iﬀ ´ eren tielles non-comm u tativ es [9]. Soit A + = A ⊕ C l’a lg` ebre obten ue en a joutan t une unit´ e (et ce , m ˆ eme si A est d´ ej` a un itaire). L’espace des n -formes d iﬀ ´ erent ielles non-comm u tativ es est le pr o duit tensoriel compl ´ et ´ e Ω n A = A + ˆ ⊗ A ˆ ⊗ n n > 0 , Ω 0 A = A , (1.1) et la somme directe Ω A = L n ≥ 0 Ω n A est un espace b ornologique complet. Nous adopterons la n otation standard a 0 d a 1 . . . d a n ∈ Ω n A p our le p ro duit tensoriel a 0 ⊗ a 1 . . . ⊗ a n et d a 1 . . . d a n ∈ Ω n A p our 1 ⊗ a 1 . . . ⊗ a n . L a diﬀ ´ erentiel le d : Ω n A → Ω n +1 A est une application lin ´ eaire b orn ´ ee de carr ´ e nul. On in tr o duit de mani ` ere classique l’op´ erateur de Hochsc hild b : Ω n A → Ω n − 1 A et de Connes B : Ω n A → Ω n +1 A , tous deux b orn´ es et v ´ eriﬁant b 2 = bB + B b = B 2 = 0. L’homologie cyclique enti ` ere de A s’obtient en compl ´ etant Ω A dans la b ornolo gie enti` er e [35]. Un e cha ˆ ıne en ti` ere est alors u n e collection de formes d iﬀ ´ eren tielles ω n ∈ Ω n A donn´ ees p our tout n ∈ N et v´ eriﬁan t une condition de croissance lorsque n → ∞ . Nous noterons Ω ǫ A l’espace b orn ologique des formes d iﬀ ´ erent ielles en ti` eres ainsi obten u . On montre que b et B s’ ´ etendent en d es app licatio n s lin ´ eaires b orn´ ees sur Ω ǫ A , qui devien t donc un complexe b ornologique un fois m uni de la diﬀ ´ erentie lle totale b + B , naturellement Z 2 -gradu ´ e par le degr ´ e pair/impair des formes d iﬀ ´ eren tielles. D ´ eﬁnition 1.1 .1 ([35]) Soit A une alg ` ebr e b ornolo gique c ompl ` ete. Son homolo gie cyclique enti` er e est l’homolo gie du c omplexe Z 2 -gr adu ´ e Ω ǫ A muni de la diﬀ´ er entiel le b + B : H E i ( A ) = H i (Ω ǫ A ) , i ∈ Z 2 . (1.2) L a c ohom olo gie cycliqu e enti` er e b ivariante de deux alg ` e b r es b ornolo giques c ompl ` etes A et B est l’homolo gie du c omplexe Z 2 -gr adu ´ e des applic ations lin ´ eair es b orn´ ees de Ω ǫ A vers Ω ǫ B : H E n ( A , B ) = H i (Hom(Ω ǫ A , Ω ǫ B )) , i ∈ Z 2 . (1.3) En particulier H E i ( A ) = H E i ( C , A ), et H E i ( A , C ) s’iden tiﬁe ` a la cohomolo gie cyclique ent i` ere de A d ´ eﬁn ie par Connes [10 ]. Rapp elons enﬁn une description ´ equ iv alente de l’homologie cyclique enti ` ere reli ´ ee au formalisme de Cuntz et Q uillen [21]. Pour toute alg ` ebre b orn ologique compl` ete A , Meye r d´ eﬁn it dans [35] la notion d’extension analytique unive r selle 0 → J → R → A → 0 , o ` u R est un e alg ` ebre b orn ologique compl ` ete analytiquement quasi-libre et l’id ´ eal J est analytiquement nilp otent. Un exemple d’extension un iv erselle est donn´ e p ar l’alg ` ebr e tensoriel le analytique R = T A , compl ´ etion de l’alg ` ebre tensorielle T A 1.2 Bimo dules non b orn ´ es 11 dans un e b ornologie appropr i ´ ee [35 ]. Une ´ equiv alence de Go o dwillie g´ en ´ eralis ´ ee implique alors l’isomorph isme H E i ( A ) = H E i ( R ). De plus le X -c omp lexe X ( R ) : R ♮ d ⇄ b Ω 1 R ♮ (1.4) a v ec Ω 1 R ♮ = Ω 1 R /b Ω 2 R calcule l’h omologie cyclique enti ` ere d e R . Ces isomor- phismes son t induits par des ´ equ iv alences d’homotopies de complexes Z 2 -gradu ´ es: X ( R ) ∼ ← − Ω ǫ R ∼ − → Ω ǫ A . La ﬂ ˆ ec h e de gauc he est la pr o j ection du complexe des formes diﬀ´ eren tielles en ti ` eres sur le X -complexe, tandis q u e la ﬂˆ ec he de droite est ind uite par l’homomorph isme R → A . Lorsque R = T A , nous a v ons construit dans [41] un in v erse explicite γ : X ( T A ) → Ω ǫ T A r ´ ealisan t l’´ equiv alence d e Goo d willie, d on t il sera fait con- stammen t usage. Rapp elons enﬁn que par hyp oth ` ese, toute extension d ’alg ` ebr es b ornologiques est scind´ ee p ar u ne app lication lin´ eair e b orn´ ee. 1.2 Bimo du les non b orn´ e s Soien t A et B deux alg ` ebres b ornologiques compl ` etes. No u s app ellerons A - B - bimo dule non-b orn´ e tout triplet ( H , ρ, D ) v ´ eriﬁ an t les pr opri ´ et ´ es suiv an tes: • H est un espace b ornologique complet Z 2 -gradu ´ e. Le pr o duit tensoriel compl ´ et ´ e H B = H ˆ ⊗ B est donc natur ellement m u ni d’une structure d e B -mo dule ` a droite, et l’on note End( H B ) l’alg ` eb r e des endomorph ismes b orn´ es d e H B qui comm utent av ec l’action de B . • ρ : A → End( H B ) est un h omomorphisme b orn´ e qui repr´ esen te l’alg ` ebr e A dans les endomorphismes d e H B de degr ´ e pair. H B est donc un A -mod ule ` a gauc he. • D : Dom( D ) ⊂ H B → H B est u n endomorphisme n on b orn´ e de d egr ´ e impair, comm utant av ec l’action de B . On app elle D un op ´ er ateur de Dir ac . • Le commutate u r [ D, ρ ( a )] s’ ´ etend en un endomorp hisme pair dans End( H B ) p our tout a ∈ A . Implicitemen t on sup p osera l’existence d’u n sous -espace den se H ⊂ H , complet dans sa propre b ornologie et tel que D soit un endomorph isme b orn´ e du B -mo d ule ` a droite H B = H ˆ ⊗ B . Dans les exemples concrets H est un espace de Hilb ert mais ce p oin t imp orte p eu au niv eau de g´ en ´ eralit ´ e consid ´ er´ e ici. P our construire le caract ` ere de Chern b iv ariant nous aurons b esoin d’imp oser l’existence de l’op ´ erateur de la chale u r asso ci ´ e au laplacien de Dirac D 2 : • L’op´ erateur exp( − tD 2 ) ∈ End( H B ) existe en tan t qu ’end omorphisme p our tout t ≥ 0 et v´ eriﬁe l’ ´ equation de la c h aleur d dt exp( − tD 2 ) = − D 2 exp( − tD 2 ). Exemple 1.2.1 L’exemple classique d ’un bimo dule non-b orn´ e est une v ari ´ et ´ e ﬁbr´ ee M X − → B au-dessus d ’une base compacte B , ` a ﬁb re compacte; A = C ∞ ( M ) et B = C ∞ ( B ) sont des alg ` ebres de F r´ ec het comm utativ es de fonctio n s lisses; D est une famille lisse d’op´ erateurs de Dirac op´ eran t sur les sections d’un esp ace ﬁ br´ e v ectoriel E → X et param´ etr ´ ee par la base; H est l’espace de Hilb ert des sections de 12 Caract` ere de Chern biv arian t carr ´ e sommable de E et H ⊂ H est l’espace de F r´ ec h et d es sections lisses. Dans cet exemple la ﬁb ration M est tr iviale mais on p eut toujours se ramener ` a un b imo dule du t yp e H B = H ˆ ⊗ B par trivialisation locale et partition de l’unit ´ e. Con trairement ` a la s ituation des bimod ules non-b orn´ es en K -th ´ eorie biv ariante de Kasparo v [5], on ne p eut pas imp oser ` a la “r ´ esolv an te” de l’op ´ erateur d e Dirac d’ ˆ etre compacte, car cette notion n ’a p as de sens en b orn ologie. Par cont r e, la notion d ’op´ erateurs tr a¸ cables y est bien d´ eﬁnie en g´ en ´ eral. Nous a v ons intro d uit dans [41] l’alg ` ebre des endomorphism es tra¸ cables ℓ 1 ( H B ), qui est n atur ellemen t un bimo dule sur End ( H B ). La sup ertrace d’op ´ erateurs s u r H induit une app licatio n lin ´ eaire b orn ´ ee [41] T r : ℓ 1 ( H B ) → B , (1.5) qui est une sup ertr ac e p artiel le sur ℓ 1 ( H B ) vu comme End( H B )-bimo dule. Nous allons donc remp lacer la condition de compacit ´ e sur la r´ esolv an te de l’op ´ erateur de Dirac p ar une condition d e tra¸ cabilit ´ e su r l’op ´ erateur d e la chaleur. La formulatio n pr´ ecise est en fait u n p eu plus compliqu´ ee et m ` ene ` a la notion de θ -sommabilit ´ e d ´ eﬁn ie ci-dessous. En rap p ort a ve c la p´ erio dicit ´ e de B ott formelle on d istingue deux t yp es de bi- mo dules, suiv ant leur parit´ e [41]. Un bimo d ule ( H , ρ, D ) est p air si l’ esp ace H se d ´ ecomp ose en somme directe de deux sous-espaces distincts H + ⊕ H − relativ emen t ` a sa Z 2 -graduation. Puisque l’image de ρ est incluse dans la sous-alg ` ebre p aire de End( H B ) et qu e D est imp air, on p eut alors ´ ecrire en notation matricielle H =  H + H −  , ρ =  ρ + 0 0 ρ −  , D =  0 Q ∗ Q 0  . Ici Q et Q ∗ son t des op ´ erateurs ind ´ ep en dan ts, la notion d’adjonction n’a y an t pas de s ens p our le momen t. Un bimo dule ( H , ρ, D ) est imp air si H = L ⊗ C 1 est le pro du it tensoriel d’u n e space trivialemen t gradu ´ e L a v ec l’alg ` ebre d e Cliﬀord Z 2 - gradu ´ ee C 1 = C ⊕ C ε , engendr´ ee p ar l’unit´ e 1 en degr´ e zero et l’ ´ el ´ ement ε en degr ´ e un ( ε 2 = 1). Dans ce cas il existe un homomorphisme α : A → End( L B ) et un endomorphisme n on b orn´ e Q su r L B tels qu e H = L ⊗ C 1 , ρ = α ⊗ 1 , D = Q ⊗ ε . La strat ´ egie su ivie dans [41] p our construire le caract ` ere de Chern c h( H , ρ, D ) ∈ H E ∗ ( A , B ) consiste d ’ab ord ` a relev er ( H , ρ, D ) en un bimo du le sur d es extensions unive r selles d e A et B . Nous a vons choisi de tra v ailler av ec les alg ` ebres tensorielles analytiques dans [41], mais il est en fait p ossible de g ´ en´ eraliser la constru ction ` a d es extensions quelconques sans trop d ’eﬀort. Choisissons don c une extension analytique unive r selle 0 → J → R → B → 0 . Elle indu it une extension d’espaces v ectoriels b ornologiques 0 → H J → H R → H B → 0. Sup p osons d’ab ord q u e l’image de l’homomorph isme ρ : A → End( H B ) ainsi que l’op ´ erateur d e Dirac D s’´ etendent en des end omorphismes du B + -mo dule ` a dr oite H B + , o ` u B + est l’un itarisation de B . Il existe alors un h omomorphisme d’alg ` ebre canonique End( H R ) / / End( H B ) σ u u , (1.6) 1.2 Bimo dules non b orn ´ es 13 scind ´ e par une application lin ´ e air e b orn´ ee σ . C ette hyp oth ` ese d’extension est as- sez restrictiv e. Dans certaines situations cep end ant, l’h omomorp hisme ci-dessus existe sans a v oir b esoin de p asser par l’unitarisatio n , v oir l’exemple 1.2.6. On sup- p osera donc l’existence d e (1.6) sans autre p r´ ecision. La pr opri ´ et ´ e univ er s elle [35] de l’alg ` ebre tensorielle analytique T A implique ensuite l’existence d’un homomor- phisme b orn´ e ρ ∗ : T A → End( H R ) en vertu d u diagramme comm u tatif 0 / / J A / / ρ ∗   T A / / ρ ∗   A / / ρ   0 0 / / N s / / End( H R ) / / End( H B ) / / σ u u 0 o ` u N s est le n o y au de l’homomorph isme (1.6). La n otation s rapp elle que N s est une alg ` ebre Z 2 -gradu ´ ee ( = s up er s ym ´ etrique). De fa¸ con analogue, l’op ´ erateur de Dirac D sur H B se rel ` ev e en u n endomorp hisme non-b orn ´ e b D sur H R . On se place ens uite dans le form alisme des cocha ˆ ınes d’alg ` ebre de Qu illen [51]. Soit Ω ∗ R = R ⊕ Ω 1 R l’alg ` ebre Z 2 -gradu ´ ee des formes d iﬀ ´ erent ielles sur R tronqu ´ ee en degr´ es > 1. Le Ω ∗ R -mo du le ` a droite H Ω ∗ R est naturellement muni d’une diﬀ ´ erentie lle. Dans [41] , nous a vons d´ eﬁni une compl´ etion b ornologique de la cog ` ebre bar de T A que l’on notera C . Elle est m unie de la co d iﬀ ´ eren tielle de Ho c hschild [51]. D´ esignons par Ω 1 C le bicomo du le des 1-coformes u niv erselles sur C et par Ω ∗ C = C ⊕ Ω 1 C la cog ` ebre Z 2 -gradu ´ ee asso ci ´ ee [51]. L’espace des applications lin ´ eaires b orn ´ ees F = Hom(Ω ∗ C , H Ω ∗ R ) est donc naturellemen t un mo d ule ` a dr oite sur l’alg ` ebre Hom(Ω ∗ C , Ω ∗ R ) m un ie du pro du it d e con v olution. F est aussi dot ´ e d’u ne diﬀ ´ erent ielle totale ∂ . L’observ ation fondamen tale ([41]) est qu e l’homomorphisme ρ ∗ : T A → En d( H R ) et l’op ´ erateur de Dirac b D agissen t par endomorph ismes d e degr´ e imp air sur F . R ´ euniss ons-les au sein d’une sup erconn exion de Q u illen [50]: ∇ = ∂ + ρ ∗ + b D . (1.7) La courbu re ∇ 2 = ∂ ( ρ ∗ + b D ) + [ b D , ρ ∗ ] + b D 2 est donc u n endomorphisme de degr´ e p air sur F . Pr ´ ecisons que [ , ] est le commutate u r gradu ´ e. En gros, on c herche ` a obtenir le caract ` ere de Ch ern de ( H , ρ, D ) en pren ant l’exp onent ielle de cette courbure, comme dans le cas classique d’un espace ﬁbr´ e vecto r iel muni d’une conn exion. Le lemme 7.1 de [41] montre commen t d´ eﬁnir l’op´ erateur de la chale u r exp( − t b D 2 ) au mo yen d’un d ´ eve lopp emen t formel en s´ erie d e Duhamel. La condition de θ -sommabilit ´ e imp ose que l’exp onen tielle de la courbure ∇ 2 soit u n endomorphism e tr a¸ cable dans le sens suiv an t: D ´ eﬁnition 1.2 .2 ( θ -sommabilit´ e [41]) Un bimo dule ( H , ρ, D ) admissible r elative- ment ` a une extension R est θ - sommable si la s´ erie de Duhamel exp( −∇ 2 ) := X n ≥ 0 ( − ) n Z ∆ n dt 1 . . . dt n e − t 0 b D 2 Θ e − t 1 b D 2 . . . Θ e − t n b D 2 , ave c Θ = ∂ ( ρ ∗ + b D ) + [ b D , ρ ∗ ] , d ´ eﬁnit un ´ el´ ement p air de l’alg` ebr e de c onvolution Hom(Ω ∗ C , ℓ 1 ( H Ω ∗ R )) op ´ er ant p ar endomo rphismes sur le Hom(Ω ∗ C , Ω ∗ R ) -mo dule ` a dr oite F . 14 Caract` ere de Chern biv arian t Ici ∆ n = { ( t 0 , . . . , t n ) ∈ [0 , 1] n +1 | P i t i = 1 } d ´ esigne le n -simplexe standard. En f ait on n e s’in t´ eresse qu ’` a la pro jection de exp( −∇ 2 ) sur Hom(Ω 1 C , ℓ 1 ( H Ω ∗ R )). On p eut alors comp oser cette app licatio n lin´ eaire ` a l’en tr´ ee par la cotrace ♮ : Ω ǫ T A → Ω 1 C (v oir [41, 51]), ` a la sortie par une sup ertrace partielle τ : ℓ 1 ( H Ω ∗ R ) → Ω ∗ R aﬁn d’obtenir une application lin ´ eaire b orn´ ee χ = τ exp( −∇ 2 ) ♮ : Ω ǫ T A → X ( R ) . (1.8) La norm alisatio n d e τ est ﬁx´ ee d e mani ` ere un ique par p´ erio dicit ´ e de Bott [41], et sa parit ´ e est la m ˆ eme que celle de ( H , ρ, D ). L’iden tit ´ e de Bianc h i [ ∇ , ∇ 2 ] = 0 implique imm ´ ediatemen t que (1.8) est un morph i sme du ( b + B )-complexe des form es diﬀ ´ erentie lles en ti` eres sur T A , v ers le X -complexe de R . Comme on sait que Ω ǫ T A calc u le l’homologie cyclique enti ` ere de A via l’´ equiv alence de Go o dwillie γ : X ( T A ) → Ω ǫ T A , on en d´ edu it qu e la comp os´ ee c h ( H , ρ, D ) : X ( T A ) γ − → Ω ǫ T A χ − → X ( R ) (1.9) est un cocyle cyclique biv arian t en tier, don t la cla s s e d e cohomologie d´ eﬁnit le car- act ` er e de Chern. Soit maint enant C ∞ [0 , 1] l’alg ` ebre de F r ´ ec h et des fonctions lisses sur l’in terv alle [0 , 1] don t toutes les d´ eriv´ ees d’ordre ≥ 1 s’ann u len t aux extr´ emit ´ es, et notons B [0 , 1] le pro duit te n soriel co m p l ´ et ´ e B ˆ ⊗ C ∞ [0 , 1]. Un A - B [0 , 1]-bimodu le d ´ eﬁn it u ne homotopie diﬀ´ er entiable entre les deux A - B -bimo du les asso ci´ es aux extr ´ emit ´ es de l’int erv alle. On d´ eﬁnit de fa¸ con analog ue une homotopie diﬀ ´ erentia b le en tre b im o dules θ -sommables r elativ emen t ` a une extension R . Th´ eor ` eme 1.2.3 ( [41]) Soit ( H, ρ, D ) un A - B -bimo dule non-b orn´ e de p arit´ e i ∈ Z 2 , et θ -sommable r elativement ` a une extension a nalytique uni v ersel le 0 → J → R → B → 0 . Alo rs la c lasse de c ohomolo g ie cyclique e nti ` er e bivariante du c ar act ` er e de Chern c h( H , ρ, D ) ∈ H E i ( A , B ) (1.10) est invarian te p ar homotop ie diﬀ´ er entiable de bimo dules θ -sommables. Remarque 1.2.4 La classe de cohomologie cyclique d u caract ` ere d e Chern d´ ep end a priori d u choix de l’exte n sion R et du rel ` ev emen t de l’op´ erateur de Dirac b D , ` a moins que l’on puiss e montrer que d eux tels r el` ev ements sont connect ´ es p ar u ne homotopie de bimo dules θ -sommables. Il con vien t donc de mon trer, dans c h aque situation concr ` ete, que l’on a eﬀectiv ement constru it le “b on” caract ` ere de Cher n ! Exemple 1.2.5 Lorsque H est un espace de Hilbert, A une alg ` ebre quelconque, ρ : A → End( H ) une repr´ esen tation et D un op´ erateur non b orn´ e autoadjoin t ` a r ´ esolv an te compacte sur H , on obtien t un triplet sp ectral [11]. Dans ce cas B = C est une alg ` ebre qu asi-libre et il suﬃt de p rendre l’ext en s ion triviale R = C . La condition de θ -sommabilit ´ e imp ose qu e l’op´ erateur de la c h aleur exp( − D 2 ) soit tra¸ cable, et le morphisme (1.8) se r ´ eduit ` a u n co cycle cyclique enti er χ : Ω ǫ A → C qui corresp on d exactemen t au co cycle JLO b ien connu [28]. Exemple 1.2.6 Dans certaines situations il n’est pas n´ ecessaire de choisir un e ex- tension R analytique unive r selle, p our vu qu e le complexe X ( R ) p orte suﬃsamment d’information s u r l’homologie cyclique de B . Illustrons cela d ans le cas de la classe de Bott su r l’espace euclidien R n . On p rend p our B l’alg ` ebre de F r ´ ec h et comm u- tativ e des fonctions lisses ` a d´ ecroissance rapid e sur R n , m unie de sa b ornologie de 1.3 Bimo dules born´ es p -sommables 15 v on Neumann. S oit Ω + ( R n ) l’espace de F r´ ec het d es formes d iﬀ ´ eren tielles lisses ` a d ´ ecroissance r apide, de degr´ e pair, sur R n . On d´ eforme le p ro duit comm utatif sur Ω + ( R n ) en u n pro d uit non-comm u tatif in tro duit par F edoso v [23]: ω 1 ◦ ω 2 = ω 1 ω 2 − dω 1 dω 2 ∀ ω i ∈ Ω + ( R n ) . Soit R cet te alg ` eb r e non-comm u tativ e, munie de sa b ornologie de vo n Neumann . La pro jection de R sur l’espace des zero-formes B est u n homomorphisme d’alg ` ebre, d’o ` u une extension 0 → J → R → B → 0 . Le no y au J s’identiﬁe ` a l’id ´ eal nilp otent des f ormes diﬀ´ erent ielles paires de d egr ´ e ≥ 2. R n’est pas quasi-libre. C ep endant, le complexe X ( R ) con tien t toute l’information sur la cohomol ogie de de Rham ` a d ´ ecroissance r apide sur R n . La classe de Bott est l’ ´ el ´ emen t de K -th ´ eorie topologique de R n repr´ esen t´ ee par le C - B -bimo dule ( H , ρ, D ) suiv ant: H est l’espace de dimension ﬁn ie S n des spineur s complexes a s so ci ´ es ` a l’espace eu clidien R n ; le B -mo dule H B = S n ⊗ B s’identiﬁe aux sections de spin eu rs lisses et ` a d ´ ecroissance rapid e sur R n ; ρ est la repr ´ esentat ion triviale de C par m ultiplication sur H B ; et D est la multiplica tion de C liﬀord du v ecteur issu de l’origine d e R n sur H B (p our n impair on d oit p r endre H = S n ⊗ C 1 et tens oriser D p ar ε ). Puisque A = C , le caract ` ere de C hern d e ( H , ρ, D ) se r´ eduit ` a un e classe d’homologie d ans X ( R ), et p ar cons´ equent ` a une classe de cohomologie de de Rham ` a d´ ecroissance rapid e sur R n . Le calcul explicite r ´ ealis ´ e dans [41 ] fait in tervenir l’exp onent ielle exp( − b D 2 ) ∈ R d u laplacien de Dirac relev ´ e au R -mo d ule H R . Le caract ` ere de Chern est alors repr´ esen t´ e par u ne forme diﬀ ´ erentie lle d’allure gaussienne et de d egr ´ e maximal sur R n . 1.3 Bimo du les b orn ´ es p -sommables Soit H un espace b ornologique co m plet Z 2 -gradu ´ e, End( H ) l’alg ` ebr e de ses endomor- phismes b orn´ es et ℓ 1 ( H ) le End( H )-bimo du le des endomorphismes tra¸ cables. Par souci de simpliﬁcation on supp osera que l’homomorphisme naturel ℓ 1 ( H ) → End( H ) est injectif, ce qui identiﬁe ℓ 1 ( H ) ` a un id´ eal bilat ` ere de End( H ). On dit qu ’u ne sous-alg ` ebre Z 2 -gradu ´ ee I s ⊂ End( H ) (compl` ete dan s sa p ropre b ornologie) est p -sommable , a vec p enti er , si la puissan ce p -i ` eme de I s d ´ eﬁn ie co mm e l’image du pro du it d e concat ´ enation I s ˆ ⊗ . . . ˆ ⊗ I s | {z } p → I s , est con ten ue dans ℓ 1 ( H ). Un exemple bien conn u est celui des cla s ses de Sc hatten I s = ℓ p ( H ) sur un esp ace de Hilb ert H . Soien t A et B deux alg ` ebr es b ornologiques compl ` etes, H un espace b ornologique complet Z 2 -gradu ´ e et I s ⊂ End( H ) une s ous-alg ` ebr e p -sommable pour un e ntier p ≥ 1 ﬁx ´ e. L’alg ` ebr e I s ˆ ⊗ B agit de mani ` ere ´ evident e par endomorph ismes sur le B -mo dule ` a dr oite H B = H ˆ ⊗ B . T out triplet ( H, ρ, F ) e s t app el ´ e A - B - bimo dule b orn ´ e p - sommable s’il v ´ eriﬁ e les p ropri´ et ´ es suiv ant es: • Il existe une sous-alg ` ebre Z 2 -gradu ´ ee E s ⊂ En d( H B ), compl ` ete dan s sa propre b ornologie, con tenant I s ˆ ⊗ B comme id´ eal bilat ` ere. On ´ ecrira End( H B ) ⊃ E s ⊲ I s ˆ ⊗ B . 16 Caract` ere de Chern biv arian t • ρ : A → E s est une repr´ esenta tion b orn´ ee de A dans la sous-alg ` ebre de degr´ e pair de E s . • F ∈ End( H B ) est un endomorph isme de degr´ e impair multiplicateur de E s et tel que F 2 = 1. • [ F , ρ ( a )] ∈ I s ˆ ⊗ B p our tout a ∈ A . Les bimo du les b orn´ es p airs ou i mp airs sont d ´ eﬁnis de mani ` ere analogue aux bimo d - ules n on-b orn´ es. La n ´ ecessit ´ e de consid´ erer une sous-alg ` ebre E s ⊂ End( H B ) est dict ´ ee par le fait que I s ˆ ⊗ B n’est p as n´ ecessairemen t un id ´ eal bilat ` ere de End( H B ). On p eut p enser ` a E s comme ´ etan t la plus p etite alg ` ebre d’endomorphismes stable sous multiplicatio n par F et qui contie nt l’image de ρ . P our construire le caract ` ere de Chern d e ( H, ρ, F ) en cohomologie cyclique b i- v arian te, nous allons r elev er comme pr´ ec ´ edemmen t le bimo du le ` a des extensions unive r selles d e A et B . Choisissons d onc une extension qu asi-libre analytiquemen t nilp oten te 0 → J → R → B → 0 et su pp osons dans un pr emier temp s qu e l’op ´ erateur F ∈ En d( H B ) soit d e la form e F = G ⊗ 1 a v ec G 2 = 1 ∈ End( H ) . (1.11) Alors F se rel ` ev e ca n oniquemen t e n un end omorphisme b F = F sur le R -mo du le ` a droite H R . La condition d’admissibilit ´ e suiv ante est adapt ´ ee d e [45]: D ´ eﬁnition 1.3 .1 L e bimo dule ( H , ρ, F ) est admissible r elativement ` a l’extension 0 → J → R → B → 0 s’il existe deux sous-alg` ebr es Z 2 -gr adu ´ ees End( H R ) ⊃ M s ⊲ I s ˆ ⊗ R , End( H R ) ⊃ N s ⊲ I s ˆ ⊗ J ave c F multiplic ateur de M s , ainsi qu’un diagr amme c ommutat if d’extensions 0 / / N s / / M s / / E s / / 0 0 / / I s ˆ ⊗ J / / O O I s ˆ ⊗ R / / O O I s ˆ ⊗ B / / O O 0 Exemple 1.3.2 Les bimo dules consid´ er ´ es dans [42] son t admissibles par rapp ort ` a n’imp orte quelle extension R et ont la forme suiv an te: H est un espace de Hilber t et I s = ℓ p ( H ) , E s = En d( H ) ˆ ⊗ B . En eﬀet on p eut alors prendre M s = End( H ) ˆ ⊗ R et N s = End( H ) ˆ ⊗ J . Le fait d’imp oser que l’image de ρ app artienne au p ro duit tensoriel End( H ) ˆ ⊗ B ⊂ En d( H B ) est assez restricti f. Il existe n´ eanmoins un certain nombre d’exemples int ´ eressants v ´ eriﬁant cette propr i´ et ´ e, comme celui du c hapitre 5. Cette situation ne couvre cep endant pas tous les cas de ﬁ gure imp ortan ts, en p articulier le repr´ esenta nt b orn´ e de la classe de Bott sur l’espace R n v ´ eriﬁe seulement la condition plus g ´ en ´ erale 1.3.1 . La pr opri ´ et ´ e unive r selle de l’alg ` eb re tensorielle analytique p ermet ensu ite de relev er l’homomorphisme ρ : A → E s en un homomorph isme ρ ∗ : T A → M s en v ertu d u diagramme comm u tatif 0 / / J A / / ρ ∗   T A / / ρ ∗   A / / ρ   0 0 / / N s / / M s / / E s / / σ s s 0 1.3 Bimo dules born´ es p -sommables 17 Notons que p our x ∈ T A , le comm utateur [ F , x ] ∈ M s est dans l’id´ eal I s ˆ ⊗ R et par cons´ equent le triplet ( H , ρ ∗ , F ) d´ eﬁnit un T A - R -b imo dule b orn´ e p -sommable, de m ˆ eme parit ´ e i ∈ Z 2 que le bimod ule initial ( H , ρ, F ). Son caract ` ere de Chern dans H E i ( A , B ) est repr´ esen t´ e, p our tout c hoix d’en tier n ≥ p de parit´ e i m o d 2, par un co cycle b χ n ∈ Hom(Ω ǫ T A , X ( R )) construit de la fa¸ con suiv an te [42]. b χ n s’ann u le sur les espaces Ω k T A si k 6 = n et n + 1, et ses deux comp osan tes non n u lles b χ n 0 : Ω n T A → R et b χ n 1 : Ω n +1 T A → Ω 1 R ♮ son t d´ eﬁnies p ar b χ n 0 ( x 0 d x 1 . . . d x n ) = ( − ) n Γ(1 + n 2 ) ( n + 1)! X λ ∈ S n +1 ε ( λ ) τ ( x λ (0) [ F , x λ (1) ] . . . [ F , x λ ( n ) ]) , b χ n 1 ( x 0 d x 1 . . . d x n +1 ) = ( − ) n Γ(1 + n 2 ) ( n + 1)! n +1 X i =1 τ ♮ ( x 0 [ F , x 1 ] . . . d x i . . . [ F, x n +1 ]) , (1.12) a v ec S n +1 le group e des p ermuta tions cycl iqu es sur n + 1 ´ el ´ ement s, ε ( λ ) la signa- ture de la p ermuta tion λ , et τ la sup ertrace partielle pro venan t d e la sup ertrace d’op ´ erateurs su r la p uissance n -i` eme de I s . Ainsi la comp os ´ ee c h n ( H , ρ, F ) : X ( T A ) γ − → Ω ǫ T A χ n − → X ( R ) (1.13) est un co cycle cyclique biv ariant en tier p our tout n ≥ p . Une h omotopie d iﬀ ´ eren tiable en tre deux bimod ules b orn´ es est d´ eﬁnie de mani ` ere analogue au cas d es bimo d ules non-b orn´ es. Th´ eor ` eme 1.3.3 ( [42]) Soit ( H, ρ, F ) un A - B - bimo dule b orn ´ e p -sommable et de p arit´ e i ∈ Z 2 , ave c F = G ⊗ 1 . On le supp ose admissible r elativement ` a une extension universel le de B . Alo rs p our tout e ntie r n ≥ p , n ≡ i m o d 2 , la c lasse de c ohomolo g ie cyclique bivariante enti` er e du c ar act ` er e de Chern c h n ( H , ρ, F ) ∈ H E i ( A , B ) (1.14) est invarian te sous homotopie diﬀ´ er entiable et ind ´ ep endante du choix de n . Remarque 1.3.4 Comme dans le cas non-b orn ´ e, la classe d e cohomologie cyclique du caract ` ere d e Cher n d´ ep end en prin cip e du c h oix d es extensions 0 → J → R → B → 0 et 0 → N s → M s → E s → 0. Dans la situation o ` u F n ’est p as de la form e G ⊗ 1, on p eut toujour s tente r de prendr e un rel` ev ement b F ∈ End( H R ) mais alors b F 2 6 = 1 en g ´ en´ eral. Nous a vons mon tr´ e d ans [42] comment mo d iﬁer en cons ´ equence les form u les (1.12). Les cocycles qui en r´ esulten t sont alors plus d iﬃciles ` a g ´ erer et ne d´ eﬁnissent pas de fa¸ con ´ evidente une classe d e cohomologi e cyclique dans H E ∗ ( A , B ). Il convi ent de remarqu er qu e la condition F = G ⊗ 1 n ’est pas v ´ eritablemen t restrictiv e pu isqu’il s’agit de la repr´ esen tation standard d’un ´ el ´ ement de K -th ´ eorie biv arian te sous la forme d ’u n quasihomomo rphisme [18] ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B . (1.15) Nous r eviendrons su r les formules (1.12) dans le chapitre 3 d ´ edi´ e aux images di- rectes d’inv arian ts primaires et secondaires p our les m -alg ` eb r es de F r ´ ec h et. Notons 18 Caract` ere de Chern biv arian t que dans [36, 37] Nistor a construit un caract ` ere de Chern biv ariant p our les qu asiho- momorphismes p -sommables. J’ignore s’il co ¨ ıncide exacte m ent a v ec celui consid ´ er´ e ici. Cep endant nous p r ´ ef´ ererons utiliser les formules (1.1 2 ) en r aison de leur com- patibilit ´ e a v ec le caract ` ere de Chern des b imo dules non-b orn´ es θ -sommables: Lien en tre bimo dules born´ es et non-born´ es. C onsid ´ erons main tenan t u n A - B -b imo dule b orn ´ e p -sommable ( H, ρ, F ) v´ eriﬁan t les hypoth` eses du th ´ eor ` eme ci- dessus. Soit | D | un end omorphisme non b orn´ e de degr´ e pair sur H B comm utant av ec F , et tel que ( H , ρ, D ) av ec D = | D | F soit un bimo d ule non-b orn´ e θ -sommable. Dans [42] n ou s d onnons des cond itions formelles p our assurer l’ ´ egalit ´ e d es caract ` eres de Chern c h( H , ρ, D ) ≡ c h n ( H , ρ, F ) dans H E i ( A , B ). Il s’agit d’une g´ en ´ eralisation bi- v arian te du pro c ´ ed ´ e de r ´ etraction in tro d uit par Conn es et Mosco vici p our les triplets sp ectraux [14]. Le princip e est bas´ e su r des transgressions d e Ch ern-Simons dans le complexe Hom(Ω ǫ T A , X ( R )), suivies d’u n e homotopie en tre D et F (dans un sens ` a p r ´ eciser) D t = D / | D | t , t ∈ [0 , 1] . C’est d ’ailleurs en suiv an t ce pr o c ´ ed ´ e que nous a v ons ´ etabli dans [42] les form ules (1.12). Si l’on s e place dans le cadre b ornologique g´ en ´ eral cette r´ etraction est p ure- men t formelle. Elle doit donc ˆ etre utilis ´ ee au cas par ca s, dans les situations concr ` etes o ` u tout est bien d´ eﬁni. La comparaison d es caract ` eres d e Ch ern ch( H, ρ, D ) et c h n ( H , ρ, F ) fourn it alors un outil eﬃcace p our ´ etablir des th ´ eor ` emes d e l’indice en g´ eom ´ etrie non-commutati ve. Nous prop osons dans le c hapitre suiv an t une illus- tration d e ces m ´ etho des par l’ ´ etude des act ions propr es et isom´ etriques de grou p es lo calemen t compact s sur d es v ari ´ et ´ es de Riemann. Chapter 2 Th ´ eor ` eme de l ’indice ´ equiv aria n t Ce c h apitre sert d’illustration aux f orm ules de caract ` ere de Chern biv arian t in tro- duites p r ´ ec ´ edemment. On consid` ere un group e G lo calemen t compact agissan t proprement par isom ´ etries sur une v ari ´ et ´ e r iemannienne M co m pl ` ete et co com- pacte. L’alg ` ebre de conv olution des f onctions co ntin ues ` a supp ort c omp act sur G est compl´ et ´ ee en une alg ` eb r e de Banach “admissible” B (voir la d´ eﬁnition 2.1.1). A tout op´ erateur diﬀ´ eren tiel elliptique G -in v arian t Q d’ordre 1 sur M on p eut asso cier un indice qui est un e classe de K -t h´ eorie top ologique µ ( Q ) ∈ K top ∗ ( B ). L’ob j ectif est alors d e calculer son caract ` ere de C hern en homologie cyclique enti ` ere c h( µ ( Q )) ∈ H E ∗ ( B ) . (2.1) On d ´ esigne par A le pr o duit crois´ e C ∞ c ( M ) ⋊ G . C ’est une alg ` ebr e b ornologique compl ` ete dot´ ee d’une classe canonique en K -th ´ eorie [ e ] ∈ K top 0 ( A ). Le th ´ eor ` eme de l’indice d ´ emontr ´ e dan s [43] exprime le caract ` ere d e Ch ern (2.1) comme cup- pro du it d e c h ( e ) ∈ H E 0 ( A ) a ve c le caract ` ere de Chern b iv arian t d’un A - B - bimo dule non-b orn´ e θ -sommable naturellemen t at tac h ´ e ` a l’o p´ erateur elliptique Q . Le d ´ evel op p ement asymptotique du n o ya u de la c haleur ` a temps court p ermet ainsi d’obtenir une formule lo c ale p our (2.1), f aisant inte r v enir les sous-v ari ´ et ´ es des p oin ts ﬁxes d e l’action d e G sur M . Ces r´ esultats sont issus de l’article [43] D. Perrot: The equ iv ariant index theorem in en tire cyclic cohomology , preprin t arXiv:math/041 0315 , ` a p ara ˆ ıtre dans J. K-The ory (disp onible en ligne). 2.1 Actions propres Soit G un group e top ologique localemen t compact s´ eparable. On note C c ( G ) l’alg ` ebr e des fonctions con tin ues ` a v aleur complexe et ` a supp ort compact sur G , m un ie d u pro du it d e conv olution ( b 1 b 2 )( g ) = Z G dh b 1 ( h ) b 2 ( g h − 1 ) , ∀ b i ∈ C c ( G ) , g ∈ G , (2.2) o ` u dh est un e mesure d e Haar inv ariante ` a dr oite. No u s aur ons b esoin d e la compl´ eter en u ne alg ` ebre de Banac h : 20 Th´ eor ` eme de l’indice ´ equiv arian t D ´ eﬁnition 2.1 .1 ([43]) Soit G un gr oup e lo c alement c omp act et dg une mesur e de Haar invariante ` a dr oite. Une mesur e dν sur G est admissible s’il existe une fonction σ strictement p ositive et c ontinue sur G tel le qu e dν = σ dg et σ ( g h ) ≤ σ ( g ) σ ( h ) ∀ g , h ∈ G . (2.3) L a nor me k b k = R G dν | b ( g ) | asso ci ´ ee ` a c ette mesur e v´ eriﬁe alors k b 1 b 2 k ≤ k b 1 kk b 2 k p our tous b 1 , b 2 ∈ C c ( G ) , e t l’alg ` ebr e de Banach B = L 1 ( G, dν ) ainsi obtenue est app el´ ee une compl´ etion admiss ib le de l’alg ` e br e de c onvolution. On p eut constr u ire un b on exemple de mesure adm issible ` a partir d’un e distance d : G × G → R + in v arian te ` a d roite su r G et d’un param ` etre α ∈ R + . En tout p oint g ∈ G p osons σ ( g ) = (1 + d ( g , 1)) α . La f onction σ cro ˆ ıt don c comme une puissance de la distance qu i s ´ epare g de l’iden tit ´ e. Les ´ el´ emen ts de B = L 1 ( G, dν ) son t des fonctions lo calemen t int ´ egrables sur G qui v ´ eriﬁent u ne certaine condition de d´ ecroissance ` a l’inﬁ ni, suiv an t la v aleur de α . En p articulier lorsque G est ab ´ elien, on v oit par tran s formation de F ourier q u e B est un espace de f onctions sur le dual de P ontrjagin b G , d ’autan t plu s “diﬀ ´ erent iables” que α est grand. Cette n´ ecessit ´ e d e con tr ˆ oler le degr ´ e de r ´ egularit ´ e des f on ctions est d ict ´ ee par l’utilisation de l’homologie cyclique. Consid´ erons maintenan t une v ari ´ et´ e diﬀ ´ erentie lle M compl` ete, lisse et sans b ord, sur laquelle G a git p roprement par diﬀ ´ eomorphismes. On su pp ose de p lus que le quotien t X = G \ M est compact. Puisque l’action est propre, on p eut sans p erte de g ´ en ´ eralit ´ e ﬁ xer un e m´ etrique d e R iemann sur M telle que G agisse par isom ´ etries. De mˆ eme, si E → M est un espace ﬁb r ´ e vec toriel G - ´ equiv arian t, complexe et d e rang ﬁni, on p eut toujour s le su pp oser muni d’une s tructure h ermitienne G -in v arian te. Soien t E + → M et E − → M deux ﬁbr´ es v ectoriels complexes G - ´ equiv arian ts. P our tout m ∈ R on d ´ esigne par Ψ m c ( E + , E − ) l’espace des op ´ erateurs pseudo d - iﬀ ´ eren tiels G -in v arian ts d’ordre m et ` a supp ort pr opr e [26, 31]. Le group e de K - homologie G - ´ equiv arian te de degr ´ e p air K G 0 ( M ) est d ´ eﬁni comme l’ensem ble des classes d ’homotopie stable d’op ´ erateurs pseud o diﬀ ´ erentie ls elliptiques G -in v ariants Q ∈ Ψ 0 c ( E + , E − ). De mˆ eme le group e de K -homologie ´ equiv arian te d e degr´ e im- pair K G 1 ( M ) est l’ensemble des classes d’homotopie stable d’op ´ erateurs pseud o d- iﬀ ´ eren tiels elliptiques G -in v arian ts autoadjoints Q ∈ Ψ 0 c ( E , E ). L’add ition sur est induite par somme directe de ﬁbr´ es et d’op´ erateurs. Un op´ erateur pseud o diﬀ ´ erenti el elliptique Q d’ordre m quelconque d ´ etermine au s si un ´ el ´ emen t de K -homolog ie [ Q ] en p renan t la classe de l’op ´ erateur d’ordre z ´ ero Q · δ m , o ` u δ m est un op ´ erateur ellip- tique G -in v arian t de symb ole s ( x, p ) = (1 + k p k ) − m et d ’ordre − m . Choisissons mainte nan t un e compl ´ etion admissible B de l’alg ` ebre de con volutio n C c ( G ). A tout op ´ erateur elliptique Q ∈ Ψ 0 c ( E + , E − ) r epr ´ esenta nt une classe de K - homologie p aire on p eut asso cier son ind ice d ans la K -th ´ eorie top ologique d’alg ` ebre de Banac h B de la mani ` ere su iv ante. Ch oisissons une param ´ etrix G -inv arian te P ∈ Ψ 0 c ( E − , E + ) p our Q : P Q − 1 ∈ Ψ −∞ c ( E + , E + ) , QP − 1 ∈ Ψ −∞ c ( E − , E − ) . 2.2 Le bimo dule associ´ e 21 D ´ esignons par E le ﬁ br ´ e v ectoriel E + ⊕ E − et consid ´ erons l’op ´ erateur p seudo d- iﬀ ´ eren tiel inv ersible T ∈ Ψ 0 c ( E , E ) T =  1 − P Q P 2 Q − QP Q QP − 1  . Soit e Ψ −∞ c ( E , E ) l’alg ` eb r e des op ´ erateurs pseud o diﬀ ´ erenti els r ´ egularisan ts, don t on a r a jout ´ e u ne un it ´ e aux blo cs d iagonaux. Les idemp oten ts e 1 = T − 1  1 0 0 0  T , e 0 =  0 0 0 1  (2.4) son t des ´ el ´ emen ts d e e Ψ −∞ c ( E , E ) don t la diﬀ ´ erence appartien t ` a Ψ −∞ c ( E , E ). Soit main tenant K l’alg ` ebr e de F r´ ec h et des “op ´ erateurs compacts lisses” (matrices com- plexes inﬁnies ` a d´ ecroissance rapide [20]), et C c ( G ; K ) l’alg ` ebre de conv olution des fonctions con tinues ` a supp ort compact sur G et ` a v aleurs dans K . A l’aide d’un e fonction “cut-oﬀ ” sur M , on constru it un homomorph isme (v oir [11, 43]) θ : Ψ −∞ c ( E , E ) → C c ( G, K ) . (2.5) Or C c ( G ; K ) est une sous-alg ` ebr e du pro duit tensoriel pro jectif K ˆ ⊗ B . L’indice analytique G - ´ equiv arian t de l’op ´ erateur Q est alors d´ eﬁn i comme la classe de K - th ´ eorie topologique µ ( Q ) = [ θ ( e 1 )] − [ θ ( e 0 )] ∈ K top 0 ( K ˆ ⊗ B ) ∼ = K top 0 ( B ) , (2.6) qui est in d´ ep endan te des c hoix eﬀectu ´ es. Lorsq u e Q repr´ esen te une classe d e K - homologie d e degr ´ e impair, on d´ eﬁn it son indice µ ( Q ) ∈ K 1 ( B ) en se r amenan t au cas p air par p´ erio dicit ´ e de Bott. L’indice analytique descend en une application sur la K -homologie ´ equiv arian te µ : K G i ( M ) → K top i ( B ) i ∈ Z 2 . (2.7) Notons qu’` a ce niv eau le c hoix d’une compl ´ etion de C c ( G ) en alg ` ebr e de Banac h imp orte p eu. La propri´ et ´ e d’“admissib ilit ´ e” ne sera vraimen t utilis ´ ee que dans la construction du caract ` ere de Chern biv arian t. 2.2 Le bimo dule asso ci´ e Comme pr´ ec ´ edemment consid´ erons un group e lo calemen t compact G et une v ari ´ et´ e riemannienne compl` ete M m un ie d ’une G -action p r opre, co compacte et isom ´ etrique. P our toute partie compacte K ⊂ M d ´ esignons par C ∞ K ( M ) l’espace de F r´ ec het des fonctions lisses sur M ` a supp ort dans K , et p ar C c ( G ; C ∞ K ( M )) l’espace des fonctions con tinues ` a supp ort compact sur G et ` a v aleurs dans C ∞ K ( M ). La limite inductiv e A = lim − → K ⊂ M C c ( G ; C ∞ K ( M )) (2.8) est un espace b ornologique complet qui s’identiﬁe ` a un espace de fonctio n s sur le group o ¨ ıde G ⋉ M . On d ´ eﬁnit le pro du it de con v olution d e deux ´ el´ emen ts a 1 , a 2 ∈ A par ( a 1 a 2 )( g , x ) = Z G dh a 1 ( h, x ) a 2 ( g h − 1 , hx ) , ∀ ( g , x ) ∈ G × M , 22 Th´ eor ` eme de l’indice ´ equiv arian t o ` u dh est la m esure de Haar in v ariante ` a droite. Alo r s A est un e alg ` ebre b ornologique compl ` ete [43], qu e l’on notera sous la forme d’un pro du it crois ´ e A = C ∞ c ( M ) ⋊ G , (2.9) a v ec C ∞ c ( M ) l’alg ` ebre comm utativ e des fonctions lisses ` a supp ort compact sur M . Choisissons mainte nan t un e compl ´ etion admissible B de l’alg ` ebre de con volutio n C c ( G ), d’apr ` es la d ´ eﬁnition 2.1. 1 . Mun ie de sa b ornologie de von Neumann , B est une alg ` ebre b orn ologique compl ` ete. Nous allons asso cier un A - B -bimo du le non- b orn´ e ` a tout op ´ erateur diﬀ´ er entiel elliptique Q d’ordre 1 repr´ esen tant une classe de K -homol ogie ´ equiv arian te [ Q ] ∈ K G ∗ ( M ). Dans le cas p air, Q ∈ Ψ 1 c ( E + , E − ) agit en tre les sections de deux ﬁbr´ es v ectoriels hermitiens G - ´ equiv arian ts. Ave c son adjoint formel Q ∗ ∈ Ψ 1 c ( E − , E + ) on p eut construire un op ´ erateur d iﬀ´ erent iel elliptique de d egr ´ e impair agissan t sur les sections du ﬁbr´ e Z 2 -gradu ´ e E = E + ⊕ E − D =  0 Q ∗ Q 0  . (2.10) D s’ ´ etend en u n op´ erateur autoadjoin t non b orn´ e s u r l’espace de Hilb ert Z 2 -gradu ´ e H = L 2 ( E ) associ´ e ` a la m ´ etrique de Riemann sur M et la structure hermitienne sur E . Dans le cas impair, Q ∈ Ψ 1 c ( E , E ) est un op ´ erateur autoadjoin t agissan t sur les sections d’un ﬁb r ´ e E trivialemen t gradu´ e; en tensorisan t l’espace des sections de E p ar l’alg ` ebre de Cliﬀord Z 2 -gradu ´ ee C 1 = C ⊕ C ε , on construit l’op´ erateur diﬀ ´ erentie l elliptique de degr´ e impair D = Q ⊗ ε . (2.11) D s’ ´ etend en u n op´ erateur autoadjoin t non b orn´ e s u r l’espace de Hilb ert Z 2 -gradu ´ e H = L 2 ( E ) ⊗ C 1 . On tra ˆ ıte main tenan t les cas p air et impair sim ultan ´ ement. Mu- nissons H de sa b ornologie de v on Neumann. L’alg ` ebre des fonctions lisses ` a sup p ort compact C ∞ c ( M ) agit p ar multiplicat ion sur les sections de E , d onc est repr´ esen t´ ee par endomorphism es b orn ´ es su r H . De plus l’action de G ´ etan t isom ´ etrique, elle induit une repr ´ esen tation un itaire r : G → U ( H ). On obtien t un A - B -bimo dule non-b orn´ e ( H , ρ, D ) de mˆ eme parit ´ e que la classe [ Q ] comme suit: • H B = H ˆ ⊗ B est isomorph e ` a l’espace de Banac h L 1 ( G ; H ) d es fonctions in t´ egrables sur G (relativ emen t ` a la mesure admissible dν ) et ` a v aleurs dans H . Sa structur e de B -mo dule ` a dr oite est donn´ ee par ( ξ b )( g ) = Z G dh ξ ( h ) b ( g h − 1 ) , ∀ ξ ∈ H B , b ∈ B , g ∈ G . • ρ : A → End( H B ) est la r epr ´ esenta tion de A par endomorphism es pairs ( ρ ( a ) ξ )( g ) = Z G dh a ( h ) r ( h ) · ξ ( g h − 1 ) , ∀ a ∈ A , ξ ∈ H B , g ∈ G , o ` u l’ ´ ev aluation de a ∈ A en un p oin t h ∈ G donne une fonction a ( h ) ∈ C ∞ c ( M ) vue comme op ´ erateur b orn´ e s ur H . • D : Dom( D ) ⊂ H B → H B est l’op´ erateur non b orn ´ e im p air d e domaine den se ( D ξ )( g ) = D ( ξ ( g )) , ∀ ξ ∈ Dom( D ) , g ∈ G , qui comm ute a v ec l’acti on ` a droite d e B . Comme D est un op ´ erateur d iﬀ´ erent iel d’ordre 1, le commutat eur [ D , ρ ( a )] ∈ End( H B ) s’´ etend en un end omorphisme b orn´ e p our tout a ∈ A . 2.3 Th´ eor` eme de l’indice 23 L’op ´ erateur de la c haleur exp ( − tD 2 ) ∈ End( H ), d ´ eﬁni par calcul f onctionnel sur l’extension autoadjoin te de D , est aussi naturellement u n endomorp hisme du B - mo dule H B . Nous a vo n s mon tr´ e dans [43] que le b imo dule n on b orn´ e ( H , ρ, D ) ainsi obten u a les p ropri ´ et ´ es requises p our construire son caract ` ere de Chern biv arian t c h ( H , ρ, D ) ∈ H E ∗ ( A , B ) . (2.12) On c hoisit ici l’ extension univ erselle R = T B p our B . L’analyse est grandement simpliﬁ´ ee p ar le fait que l’op´ erateur de Dirac sur H B pro vient d’un op´ erateur sur H . Son rel` ev ement au R -mo d ule H R se r ´ edu it d onc ` a b D = D . Les pr opri ´ et ´ es de la compl ´ etion admissible B sont essent ielles dans la preuve de la prop osition suiv an te: Prop osition 2.2.1 ([43]) Soit Q un op´ er ateur diﬀ´ er entiel el liptique G -invariant d’or dr e 1 r epr ´ esentant une classe de K -homo lo gie [ Q ] ∈ K G i ( M ) , i ∈ Z 2 , et soit D l’op ´ er ateur d e Dir ac asso c i´ e. Alors p our tout t > 0 , le bimo dule ( E , ρ, √ tD ) est θ -sommable. Son c ar act` er e de Chern c h ( H , ρ, √ tD ) ∈ H E i ( A , B ) (2.13) est une classe de c ohomolo gi e cycliq ue bivariante enti` er e ind ´ ep endante de t . Les form ules de d´ eve lopp emen t asymptotique de l’op´ erateur d e la c haleur exp( − tD 2 ) ` a la limite t ↓ 0 p ermettront d’obtenir u ne form ule lo c ale pour le caract ` ere d e Chern biv arian t. 2.3 Th ´ eor` eme de l’indice Lorsque M est munie d’u ne action p ropre et co compacte de G , il existe un e f on ction cut-oﬀ c ∈ C ∞ c ( M ), c’est-` a-dire telle que R G c ( g x ) 2 dg = 1 pour tout x ∈ M . On p eut alors construire un id emp oten t e ∈ A = C ∞ c ( M ) ⋊ G en p osan t e ( g , x ) = c ( x ) c ( g x ) ∀ ( g , x ) ∈ G × M . (2.14) Cet idemp otent d ´ eﬁnit u n e classe canonique [ e ] ∈ K top 0 ( A ) dans la K -th´ eorie de l’alg ` ebr e b ornologique A , ind´ ep en d an te du c h oix d e fonction cut-oﬀ. Son caract ` ere de Ch ern est un e classe d’h omologi e cyclique enti ` ere de degr´ e pair c h( e ) ∈ H E 0 ( A ) . Choisissons une compl ´ etion admissible B de l’alg ` ebre de con v olution C c ( G ). Pour toute classe de cohomologie cyclique ent i ` ere biv arian te ϕ ∈ H E i ( A , B ), le cup - pro du it ϕ · c h( e ) d´ eﬁnit une classe dans l’homologie cyclique ent i` ere H E i ( B ). On a alors le th´ eor ` eme de l’indice suiv an t. Th´ eor ` eme 2.3.1 ( [43]) Soit [ Q ] ∈ K G i ( M ) , i ∈ Z 2 , une classe de K -homol o gie ´ equivariante r epr´ esent ´ ee p ar un op´ er ateur diﬀ´ er entie l el liptique G -invariant d’or dr e 1, et soit ( H , ρ, D ) le A - B -bimo dule non-b orn ´ e asso ci´ e. A lors l’image de [ Q ] p ar l’applic ation d’assemblage µ : K G i ( M ) → K i ( B ) a un c ar act ` er e de Chern donn ´ e p ar le cup-pr o duit c h( µ ( Q )) = c h( H , ρ, D ) · c h( e ) ∈ H E i ( B ) , (2.15) o` u c h( H , ρ, D ) ∈ H E i ( A , B ) est le c ar act ` er e de Chern du bi mo dule et c h ( e ) ∈ H E 0 ( A ) le c ar act` er e de Chern de la classe c anonique [ e ] ∈ K top 0 ( A ) . 24 Th´ eor ` eme de l’indice ´ equiv arian t Esquisse de d´ emonstr ation: Premi` eremen t on p eut se ramener ` a u n op´ erateur de Dirac in versible. Sa phase F = D / | D | , F 2 = 1, est un op ´ erateur b orn´ e sur H . Comme expliqu´ e au chapitre 1, on r´ etracte ensuite le bimo dule non b orn ´ e ( H , ρ, D ) sur le bim o dule b orn´ e ( H , ρ, F ) au mo yen de l’homotopie op ´ erateur D t = D / | D | t , t ∈ [0 , 1] . ( H , ρ, F ) est p -sommable pour tout p > dim M . Les cocycles cycliques biv ariants en tiers ch n ( H , ρ, F ) donn ´ es par les form u les (1.12) d ´ eﬁnissent la mˆ eme classe dans H E i ( A , B ) que le caract ` ere de Chern c h ( H, ρ, D ). Dans le cas i = 0, le cup-pro duit de c h n ( H , ρ, F ) av ec c h ( e ) est une formule simple qui s’ident iﬁ e au caract ` ere de Chern d’un idemp oten t p -sommable. On se ram ` ene ensuite ` a l’idemp otent µ ( Q ) par d ´ eformation. Le cas i = 1 s’en d ´ eduit p ar p´ erio dicit ´ e de Bott. Soit t > 0. Le c u p-pro d u it c h ( H , ρ, √ tD ) · ch( e ) repr ´ esen te c h ( µ ( Q )) en vertu de la prop osition 2.2.1. C’est une c ha ˆ ıne enti ` ere sur l’alg ` ebre B . D´ esignons par c h n ( √ tD ) ∈ Ω n B sa comp osan te d e d egr ´ e n . C omme B = L 1 ( G, dν ) est u n espace de fonctions int ´ egrables su r G , on vo it que Ω n B = B ˆ ⊗ n ⊕ B ˆ ⊗ ( n +1) = L 1 ( G n ) ⊕ L 1 ( G n +1 ) est un espace de fonctions int ´ egrables sur l’ensem b le G n ∪ G n +1 m un i de la mesure pro du it. On p eut d onc regarder c h n ( √ tD ) comme un e fonction sur G n ∪ G n +1 . En fait, elle est con tinue et ` a supp ort compact tan t que t > 0. Lorsque le ﬁbr´ e E → M est un mo dule de Cliﬀord et D u n op´ erateur de Dirac g ´ en ´ eralis´ e, n ous av ons calcul ´ e dans [43] que l’ ´ ev aluation de c h n ( √ tD ) en un p oin t ˜ g ∈ G n ∪ G n +1 est d onn ´ ee par une form ule lo cale explicite ` a la limite t ↓ 0, faisan t in terve n ir les p oints ﬁxes de l’actio n d e G sur M . Premi ` erement, ` a partir de l’idemp otent e ∈ A on construit de mani ` ere p urement alg ´ ebriqu e un e forme diﬀ ´ erentielle mixte c h n ( e ) ∈ Ω ∗ c ( M ) ⊗ Ω n B . (2.16) Elle p eu t se v oir comme u ne fonction su r G n ∪ G n +1 ` a v aleurs dans l’espace Ω ∗ c ( M ) des form es d iﬀ ´ erent ielles (commutat ives) ` a s upp ort compact sur M . Ensu ite, p our tout g ∈ G d´ esignons par M g ⊂ M l’ensem b le des p oin ts ﬁxes de g . C’est un e r ´ eunion de sous-v ari ´ et ´ es de M , qui p euv ent a v oir diﬀ´ eren tes dimensions. Au moins lo calemen t, le mo dule de Cliﬀord E restreint ` a M g se d ´ ecomp ose en un pro duit E = S ⊗ E /S o ` u S est un ﬁb r ´ e de spin eurs. En su pp osant p our simp liﬁer qu e M g a u ne str ucture d e spin , on d´ eﬁnit globalemen t s u r M un couran t de de Rham C g = b A ( M g ) c h( E /S, g ) c h ( S N , g ) ∩ [ M g ] , (2.17) a v ec b A ( M g ), c h( E /S, g ) et ch( S N , g ) les classes caract ´ eristiqu es ent r an t dans le th ´ eor ` eme de Lefsc hetz g ´ en ´ eralis ´ e (v oir [4] p our le cas non spin). C g est ferm´ e et in v arian t par le sous-group e central isateur de g . Les m ´ etho des de d ´ eve lopp emen t asymptotique du noy au de la chale u r [4, 24] condu isen t ` a la form ule de lo calisation suiv an te. Prop osition 2.3.2 ([43]) Consid´ er ons un mo dule de Cliﬀor d G -´ equivariant E et un op ´ er ateur de Dir ac g´ en ´ er alis ´ e G -inv ariant D : C ∞ c ( E ) → C ∞ c ( E ) . L a c omp osante de de gr ´ e n du cup-pr o duit c h ( E , ρ, √ tD ) · ch( e ) est une n -forme non c ommutative 2.3 Th´ eor` eme de l’indice 25 c h n ( √ tD ) ∈ Ω n B identiﬁable ` a une fonction sur G n ∪ G n +1 . Sa limite t ↓ 0 en un p oint ˜ g ∈ G n ∪ G n +1 est donn´ ee p ar la formule de lo c alisation lim t ↓ 0 c h n ( √ tD )( ˜ g ) = X M g ( − ) q / 2 (2 π i ) d/ 2 Z M g b A ( M g ) c h ( E /S, g ) c h( S N , g ) c h n ( e )(˜ g ) , (2.18) o` u g ∈ G est le pr o duit de c onc atenation g n . . . g 1 (r esp. g n . . . g 0 ) si ˜ g = ( g 1 , . . . , g n ) (r esp. ˜ g = ( g 0 , . . . , g n ) ). L a somme est prise sur toutes les sous-vari ´ et´ es ﬁxes M g de dimension d et c o dimension q = dim M − d . Remarque 2.3.3 Puisqu e l’action d e G sur M est pr opre, un ´ el ´ emen t g ∈ G ne p eut a v oir de p oin ts ﬁxes que s’il appartient ` a u n sous-group e compact. Ainsi le supp ort de la fonction limite lim t ↓ 0 c h n ( √ tD ) est restreint aux p oin ts ˜ g ∈ G n ∪ G n +1 don t le p ro duit de concat ´ enation appartien t ` a un sous-group e compact de G . Exemple 2.3.4 Lorsque G est un group e compact agissan t su r un e v ari ´ et ´ e com- pacte M , toute co m pl ´ etion admissible de C c ( G ) est top ologiquemen t ´ equiv alen te ` a l’alg ` ebr e de Banac h d es fonctions int ´ egrables B = L 1 ( G ) relativ emen t ` a la mesure de Haar. En dimension paire l’indice analytique µ ( Q ) ∈ K top 0 ( B ) est une r epr ´ esenta tion virtuelle d e G , et toute l’inform ation int ´ eressante su r le caract ` ere de Chern ch( µ ( Q )) est concen tr´ ee dans sa comp osan te de degr ´ e z ´ ero c h 0 ( √ tD ) ∈ B . La classe de K - th ´ eorie canonique [ e ] ∈ K top 0 ( A ) est repr´ esen t´ ee par l’idemp otent e ( g , x ) = 1 ∀ ( g , x ) ∈ G × M , en s upp osant la mesu r e de Ha ar normalis ´ ee. Alors la forme c h 0 ( e ) ∈ Ω ∗ c ( M ) ⊗ B corresp ond simplement ` a la fonction G → Ω ∗ c ( M ) identiquemen t ´ egale ` a 1. P ar cons ´ equent , la formule d e lo calisation donn e, en tout p oint g ∈ G , lim t ↓ 0 c h 0 ( tD )( g ) = X M g ( − ) q / 2 (2 π i ) d/ 2 Z M g b A ( M g ) c h ( E /S, g ) c h( S N , g ) . (2.19) On retrouv e ainsi le th´ eor ` eme de Lefschetz g´ en ´ eralis ´ e par A tiyah-Sega l-Sin ger [2]. Exemple 2.3.5 Lorsque G est un group e d iscret d´ enombrable agissan t pr opremen t et libremen t sur M , le quotien t X = G \ M est une v ari´ et ´ e compact e. On est donc en pr ´ esence d’un e ﬁbr ation p r incipale M G → X . Notons que p our les ac tions libr es le supp ort de la fonction lim t ↓ 0 c h n ( √ tD ) est restrein t aux p oin ts ˜ g ∈ G n ∪ G n +1 don t le pro du it d e concat ´ enation est g = 1. P our extraire l’information du caract ` ere de Chern c h ( µ ( Q )), il suﬃ t donc de l’ ´ ev aluer su r la cohomolog ie cyclique lo calis ´ ee en l’unit´ e, autremen t d it la cohomologie de group e. Soit v ∈ Z n ( G ; C ) un cocycle de group e ` a croissance p olynˆ omiale relativ emen t ` a un e distance sur G , et soit ϕ v le n -co cycle cyclique sur l’alg ` eb r e d u group e C c ( G ) qui lui est asso ci´ e ([1 3 ]). En c hoi- sissan t une compl ´ etion adm issible B au mo yen de la distance et d’un p aram ` etre α suﬃsamment ´ elev ´ e, ϕ v s’ ´ etend en un n -cocycle cyclique con tin u sur B . Son couplage a v ec le caract ` ere de C hern ch n ( e ) ∈ Ω ∗ c ( M ) ⊗ Ω n B donne u n e forme diﬀ´ eren tielle ` a supp ort compact h ϕ v , c h n ( e ) i ∈ Ω ∗ c ( M ) , don t l’image d irecte par la p ro jection ´ etale M → X est un e forme diﬀ´ eren tielle ferm ´ ee. On calcule que sa classe de cohomologie dans H ∗ ( X ) co ¨ ıncide a v ec l’imag e r ´ ecipro qu e d e la classe de cohomologi e d e group e v ∈ H n ( G ) ∼ = H n ( B G ) s ous 26 Th´ eor ` eme de l’indice ´ equiv arian t l’application classiﬁan te f : X → B G . T out op ´ erateur de Dirac g ´ en´ eralis ´ e op ´ erant sur les sections d’un mo dule de Cliﬀord E → X p eut se relev er en u ne classe de K -h omologie [ Q ] ∈ K G ∗ ( M ), et la form u le d e lo calisation d on n e h ϕ v , ch( µ ( Q )) i = 1 (2 π i ) d/ 2 Z X b A ( X )c h ( E /S ) f ∗ ( v ) (2.20) a v ec d la dimension de X . Ici le genre b A ( X ) et le caract ` ere d e Chern c h ( E /S ) son t d es classes d e cohomologie sur X . On retrouve ainsi le th´ eor ` eme de Connes et Mosco vici p our les G -recouvrement s [13]. Chapter 3 Images di rectes On ´ etablit dans ce c h apitre la co m patibilit ´ e entre le caract ` ere de Chern biv ariant construit dans le c h apitre 1 et les m orphismes d’image directe en K -th ´ eorie. A cette ﬁn il est n´ ecessaire de se restreind re ` a la cat ´ egorie des m -alg ` ebres de F r´ ec het. P our de telles alg ` ebres on d istingue deux t yp es d ’in v arian ts. D’un cˆ ot ´ e la K -th ´ eorie top ologique [48] et l’homologie cyclique p´ erio dique son t des inv ariant s primaires, c’est-` a-dir e stables sous h omotopie et v ´ eriﬁant la p ´ erio dicit ´ e de Bott. Elles p or- ten t un e information d e nature essen tiellemen t top ologique. D’un autre cˆ ot ´ e, les ﬁltrations naturelles du complexe cyclique p ermetten t de d ´ eﬁnir la K -th´ eorie m u l- tiplicativ e [29, 30] et les versions instables de l’homologie cyclique. Ce sont des in v arian ts seco n daires qu i p ortent une in formation plus ﬁ n e de nature g´ eom ´ etrique. La relation entre in v arian ts primaires et secondaires se fait au moy en de suites ex- actes longues. Le th ´ eor ` eme de Grothendiec k-Riemann-Ro c h formul ´ e dans [45] donne un e version pr´ ecis ´ ee d u th´ eor ` eme de l’ind ice. En eﬀet on montre qu’un quasihomomorphism e p - sommable en tre deux m -alg ` ebr es de F r ´ ec h et A et B induit des morphismes d’image directe simultan ´ emen t p ou r les in v arian ts primaires et secondaires, et leur compat- ibilit ´ e s’exprime au mo ye n d’u n diagramme commuta tif reliant les suites exactes longues. C omme on tra v aille ici a ve c les v ersions ﬁltr ´ ees d e l’homologie cyclique, le caract ` ere de Chern du quasihomomorph isme est interpr ´ et ´ e co m m e une classe dans la cohomologie cyc lique biv ariante non-p ´ erio diqu e H C ∗ ( A , B ) au lieu de la co h o- mologie cyclique biv arian te enti ` ere. Cela p ermet d’exploiter au mieux l’information p ort ´ ee par les inv ariant s secondaires. Men tionnons que les morphismes d’images di- recte en K -th ´ eorie m u ltiplicativ e four nissen t un analogue non-comm utatif des m or- phismes d’image directe en cohomologie de Deligne. C es ´ el´ emen ts son t exp os ´ es en d ´ etail dans l’article [45] D. P err ot: Secondary inv arian ts for F r ´ ec h et algebras and quasihomomorph isms, Do c umenta Math. 13 (2008) 275-36 3. 3.1 In v arian ts p rimaires et secondaires Soit A u ne m -alg ` ebre de F r´ ec h et. Sa top ologie est engendr´ ee par un e famille d ´ enombrable de s emi-norm es q v ´ eriﬁant la p ropri ´ et´ e de sous-multiplicat ivit´ e q ( ab ) ≤ q ( a ) q ( b ) ∀ a, b ∈ A . On p eut aus si rep r´ esente r A comme limite pr o jective d’une s uite d’alg ` ebres de Banac h. Ph illips d´ eﬁnit dans [48] la K -th ´ eorie top ologique des m -alg ` ebres de F r´ ec h et 28 Images directes par analogie a v ec la K -th ´ eorie top ologique des alg ` ebr es d e Banac h. L’alg ` eb r e K des op ´ erateurs compacts lisses est une m -alg ` ebre de F r ´ ec h et, ainsi que le p ro duit tensoriel pro jectif compl ´ et ´ e K ˆ ⊗ A . Soit ( K ˆ ⊗ A ) + son unitarisation, et p 0 ∈ M 2 ( K ˆ ⊗ B ) + la matrice idemp oten te p 0 =  1 0 0 0  . L es grou p es de K -th ´ eorie top ologique en degr´ e pair et imp air s on t d ´ eﬁn is par K top 0 ( A ) = { classes d’homotopie diﬀ ´ erentia b le d ’idemp oten ts e ∈ M 2 ( K ˆ ⊗ A ) + tels qu e e − p 0 ∈ M 2 ( K ˆ ⊗ A ) } K top 1 ( A ) = { classes d’homotopie diﬀ ´ erentia b le d ’in ve r sibles u ∈ ( K ˆ ⊗ A ) + tels qu e u − 1 ∈ K ˆ ⊗ A } Soit C ∞ (0 , 1) l’alg ` ebre d e F r´ ec het des fonctions lisses su r l’interv alle, qui s’annulen t aux extr ´ emit´ es ainsi qu e toutes leurs d´ eriv´ ees. La su sp ension lisse d e A est le pro du it tensoriel p ro jectif S A = A ˆ ⊗ C ∞ (0 , 1). Alors la K - th ´ eorie top ologique v ´ eriﬁe la p´ erio dicit ´ e de Bott K top 0 ( S A ) ∼ = K top 1 ( A ) et K top 1 ( S A ) ∼ = K top 0 ( A ). On p eut donc par commo d it ´ e introdu ire les group es K top n ( A ) en tout degr ´ e n ∈ Z par K top n ( A ) =  K top 0 ( A ) n p air K top 1 ( A ) n imp air (3.1) En relation a vec la th ´ eorie d e l’indice non-comm u tativ e on est souv ent amen´ e ` a con- sid ´ erer la K -th ´ eorie du pro du it tensoriel pro jectif I ˆ ⊗ A , o ` u I est une m -alg ` ebre de F r´ ec het p -sommable ( p entie r ), typiquemen t un e classe de S c hatten ℓ p . En utilisant un co cycle cycl ique biv arian t a s so ci ´ e ` a la trace su r la puissance p -i ` eme d e I nous a v on s construit d ans [45] u n caract ` ere de Ch ern K top n ( I ˆ ⊗ A ) → H P n ( A ) (3.2) ` a v aleurs dans l’homologie cyclique p´ erio dique d e A . Rapp elons que H P n ( A ) est l’homologie en degr ´ e n mo d 2 du ( b + B )-complexe des formes diﬀ´ eren tielles compl ´ et ´ e en prenant le pro duit direct b Ω A = Q k ≥ 0 Ω k A . De mani ` ere ´ equiv alen te [21], p our toute extension quasi-libre de m -alg ` eb res de F r´ ec het 0 → J → R → A → 0 l’homologie cyclique p ´ erio d iqu e de A est calcul ´ ee par le X -c omp lexe de pro-alg ` ebre X ( b R ) : b R ⇄ Ω 1 b R ♮ , o ` u b R est la compl ´ etion J -adique de R . T out comme la K -th ´ eorie top ologique, l’homologie cyclique p ´ erio dique v ´ eriﬁe l’isomorphisme H P n +2 ( A ) ∼ = H P n ( A ) par construction. De plus, les group es K top n ( I ˆ ⊗ A ) et H P n ( A ) son t stables sous ho- motopie diﬀ ´ erentiable et d´ eﬁnissent les inv arian ts primaires d e A . Les in v ariants secondaires de A son t un m ´ elange de K -t h´ eorie top ologique et d es v ersions instables de l’homol ogie cyclique. Ces derni ` eres son t d´ eﬁnies ` a partir des ﬁltrations naturelles du complexe cyclique b Ω A p ar le degr ´ e des f orm es diﬀ´ eren tielles [9], ou de mani ` ere ´ equiv alen te ` a partir de la ﬁltration J -adiqu e su r X ( b R ). En particulier l’homologie cyclique non-p´ erio dique de Connes H C n ( A ) est calcul ´ ee par un complexe quotien t, et sa relation a ve c l’homologie cyc liqu e p ´ er io d ique s’inscrit dans une suite exacte longue d e t yp e S B I (v oir [45]) . . . − → H P n +1 ( A ) S − → H C n − 1 ( A ) B − → H N n ( A ) I − → H P n ( A ) − → . . . o ` u H N n ( A ) est l’homologie cyclique n ´ egativ e de A . Rapp elons que H C n ( A ) = 0 p our n < 0 et par cons ´ equent H N n ( A ) ∼ = H P n ( A ) p our n ≤ 0. A l’aide de la 3.1 Inv aria n ts primaires et secondaires 29 ﬁltration du complexe cyclique de A on p eut alors fabriqu er une ve r sion secondaire de la K -th´ eorie. En s’inspirant du trav ail d e Karoub i [29, 30] nous a v ons d´ eﬁni dans [45], p our toute alg` ebre p -sommable I , des group es de K -th ´ eorie m ultiplicativ e M K I n ( A ), n ∈ Z , qui s’ins` eren t d ans u ne su ite exacte longue . . . K top n +1 ( I ˆ ⊗ A ) → H C n − 1 ( A ) δ → M K I n ( A ) → K top n ( I ˆ ⊗ A ) → H C n − 2 ( A ) . . . P our n p air, toute classe dans M K I n ( A ) est repr´ esen t´ ee par u n couple ( e, θ ) a ve c e un id emp oten t qu i d´ eﬁnit un e classe [ e ] ∈ K top 0 ( I ˆ ⊗ A ), et θ une cha ˆ ıne cy- clique qui transgresse le caract ` ere de Chern de e dans l’h omologi e de d e Rham non- comm utativ e H D n − 2 ( A ) (v oir [45]). P our n imp air, toute classe dans M K I n ( A ) est r epr ´ esent ´ ee par un coup le ( u, θ ) a v ec u un inv ersible et θ un e c ha ˆ ıne cyclique m u - nis de pr opri ´ et ´ es analogues. Lors que n ≤ 0 la suite exacte imp lique l’isomorphisme M K I n ( A ) ∼ = K top n ( I ˆ ⊗ A ), tand is que les inv arian ts secondaires proprement dits n’appara ˆ ıssen t que p our n > 0. Ment ionn ons qu e la K -th´ eorie m u ltiplicativ e est in- timemen t reli ´ ee ` a la K -th ´ eorie alg ´ ebr iqu e sup ´ erieure [53]. Il existe aussi un caract ` ere de Ch ern n´ egatif M K I n ( A ) → H N n ( A ) (3.3) qui rel` ev e le caract ` ere de C hern en K -th ´ eorie to p ologique (3 .2 ). P lu s pr´ ecis ´ emen t on a le r´ esultat suiv ant . Prop osition 3.1.1 ([45]) Soit A une m -alg ` ebr e de F r´ echet. Pour toute m -alg` ebr e de F r´ echet p -sommable I , les c ar act ` er es de Chern en K -th ´ eorie top olo gique et mul- tiplic ative induisent une tr ansformation entr e les suites exactes longues K top n +1 ( I ˆ ⊗ A ) / /   H C n − 1 ( A ) δ / / M K I n ( A ) / /   K top n ( I ˆ ⊗ A )   H P n +1 ( A ) S / / H C n − 1 ( A ) e B / / H N n ( A ) I / / H P n ( A ) (3.4) o` u e B est l’applic ation de b or d − √ 2 π i B . Dans le cas o ` u I = C est l’a lg` ebre 1-sommable des nom br es complexes, on ´ ecrira simplemen t M K C n ( A ) = M K n ( A ). Pour une alg ` ebre de Banac h A on retrouv e ainsi la K -th´ eorie multiplicat ive de Karoub i [29, 30]. Exemple 3.1.2 Prenons A = C et I = ℓ p une classe de Sc hatten sur un espace de Hilb ert s´ eparable. L a K -t h ´ eorie top ologique de I est connue: K top 0 ( I ) = Z et K top 1 ( I ) = 0. La su ite exacte longue implique donc M K I n ( C ) =    Z n ≤ 0 pair C × n > 0 impair 0 autremen t La K -th ´ eorie multiplicativ e de C en d egr ´ e n > 0 impair est le r ´ eceptacle naturel des morphismes r´ egulateurs, v oir l’exemple 3.3.3 et la ﬁ n d u c h apitre 4. Exemple 3.1.3 Lorsque A = C ∞ ( M ) est l’alg ` ebre comm utativ e des f onctions lisses sur u ne v ari ´ et ´ e compacte M , la K -th´ eorie multiplicat ive M K n ( A ) a des pr o- pri ´ et´ es analogues ` a la cohomologie de Deligne de M . P our tout demi-en tier q n otons 30 Images directes Z ( q ) le sous-group e additif (2 π i ) q Z ⊂ C . Pa r d´ eﬁnition, le group e de cohomologie d e Deligne H n D ( M ; Z ( n/ 2)) est l’hyp erhomologie en degr´ e n du complexe de f aisceaux 0 − → Z ( n/ 2) − → Ω 0 d − → Ω 1 d − → . . . d − → Ω n − 1 − → 0 a v ec le faisceau constant Z ( n/ 2) situ´ e en degr ´ e 0 et le faisceau Ω k des k -formes diﬀ ´ erentie lles su r M situ´ e en degr ´ e k + 1. De ce complexe on extrait imm´ ediatemen t un morp h isme horizon tal d e la cohomologie de Deligne H n D ( M ; Z ( n/ 2)) v ers la cohomologi e de ˇ Cec h ˇ H n ( Q ; Z ( n / 2)), et un morp hisme v ertical vers les n -formes diﬀ ´ erentie lles ferm ´ ees Z n dR ( M ), qu i co ¨ ınciden t en cohomologie de de Rh am: H n D ( M ; Z ( n/ 2)) / / d   ˇ H n ( M ; Z ( n/ 2)) ⊗ C   Z n dR ( M ) / / H n dR ( M ) Z n dR ( M ) et H n dR ( M ) sont inclus comme facteurs directs resp ectiv emen t dans H N n ( A ) et H P n ( A ) pour l’ alg` ebre A = C ∞ ( M ). De p lus, nous a v ons construit explicite- men t dans [45] u n morphisme M K n ( A ) → H n D ( M ; Z ( n/ 2)) en d egr ´ e n ≤ 2 qu i en voi e le diagramme ci-dessus dans le carr´ e commutatif extrait de (3.4) M K n ( A ) / /   K top n ( A )   H N n ( A ) / / H P n ( A ) P ousser la comparaison en degr´ e n ≥ 3 est plus d ´ elicat, car il n’y a p as d’application ´ evidente de la cohomologie de Deligne v ers la K -th ´ eorie m u ltiplicativ e p our des raisons d’int ´ egralit ´ e (en d’autres termes les r´ eseaux d e cohomologie d e ˇ Cec h et de K -th´ eorie top ologique deviennent incompatibles). Cela mont r e qu’il serait plus in t´ eressan t de comparer la K -th´ eorie multiplica tive ` a une v ersion mieux adapt ´ ee ` a la K -th ´ eorie que la cohomologie d e Deligne, comme p ar exemple les K -c aract ` er es diﬀ ´ erentie ls de [6]. 3.2 Quasihomomorphismes Soien t A et B deux m -alg ` ebres de F r ´ echet . Nous dirons qu’un A - B -bimo du le b orn´ e ( H , ρ, F ) de degr´ e pair est mis sous la forme d ’u n quasihomomo rphisme p -sommable s’il existe un espace de F r ´ ec h et trivia lemen t gradu ´ e L , une alg ` ebre d’op ´ erateurs p - sommables I ⊂ End( L ) et un e alg ` ebre d ’endomorphismes E ⊂ End( L B ) cont en an t I ˆ ⊗ B comme id ´ eal b ilat ` er e tels que H =  L L  , ρ =  ρ + 0 0 ρ −  , F =  0 1 1 0  a v ec ρ ± : A → E et ρ + − ρ − : A → I ˆ ⊗ B . De la mˆ eme mani ` ere, un bimo d ule ( H , ρ, D ) de d egr ´ e impair est u n qu asih omomorp hisme p -sommable s’il est de la forme H =  L L  ⊗ C 1 , ρ =  ρ ++ ρ + − ρ − + ρ −−  ⊗ 1 , F =  1 0 0 − 1  ⊗ ε 3.2 Quasihomomorphismes 31 a v ec ρ ++ , ρ −− : A → E et ρ + − , ρ − + : A → I ˆ ⊗ B . Dans tous les cas on p eut canoniquemen t construire ` a partir de E et s on id ´ eal I ˆ ⊗ B un e sous -alg ` ebr e Z 2 - gradu ´ ee E s ⊲ I s ˆ ⊗ B des end omorphismes de H B qui pr end automatiquemen t en compte les co n ditions imp os´ ees sur l’expr ession matricielle d e ρ , v oir [45]. Comme l’op ´ erateur F est mis sous un e forme canoniqu e, toute r´ ef´ erence ` a l’espace H devient in u tile et il su ﬃt d e ne retenir que l’homomorphisme ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B , (3.5) don t l’image est con tenue dans la sous-alg ` ebre paire de E s . Plu s g´ en ´ eralemen t nous d ´ eﬁn iss ons dans [45] u n q u asihomomorphisme p -sommable de A vers B comme la donn´ ee d’une m -alg ` ebre de F r ´ echet tr ivialement gradu´ ee abstraite E ⊲ I ˆ ⊗ B a vec I u ne m -alg ` ebr e de F r´ ec het p -sommable, et d ’un h omomorphisme con tin u de la forme (3.5). L’op´ erateur F mis sous la forme matricielle ci-dessus agit alors comme m ultiplicateur de degr ´ e impair sur E s . P our construire le caract ` ere de Ch ern d’un quasihomomorphisme p -sommable ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B dans la cohomologi e cyclique biv arian te H C ∗ ( A , B ), il suﬃt de reprend re les form ules ´ etablies p our les bimo dules b orn´ es de la secti on 1.3 et de con trˆ oler leurs propri´ et ´ es adiques [45]. Comme aupara v an t il s’agit de relev er ρ en un quasihomomorphisme e ntre des extensions unive rselles de A et B ; il est donc n ´ ecessaire d’imp oser une condition d’admissib ilit ´ e analogue ` a 1.3.1 . D ´ eﬁnition 3.2 .1 ([45]) L’alg ` ebr e E ⊲ I ˆ ⊗ B est admissib le r elativement ` a une ex- tension 0 → J → R → B → 0 s’il existe deux m -alg` ebr es de F r´ echet M ⊲ I ˆ ⊗ R et N ⊲ I ˆ ⊗ J tel les que N n ∩ I ˆ ⊗ R = I ˆ ⊗ J n p our toute puissanc e n ≥ 1 , ainsi qu’un dia gr amme d’extensions 0 / / N / / M / / E / / 0 0 / / I ˆ ⊗ J / / O O I ˆ ⊗ R / / O O I ˆ ⊗ B / / O O 0 Exemple 3.2.2 Ici encore l’arc h ´ et yp e d’alg ` eb r e admissible est donn´ e p ar u n pro d uit tensoriel E = En d( L ) ˆ ⊗ B a ve c L espace de Hilb ert trivialement gradu´ e et I = ℓ p ( L ). Il suﬃt alors d e prendre M = End( L ) ˆ ⊗ R et N = End( L ) ˆ ⊗ J . Bien en tend u il existe d’autres exemples imp ortan ts d’alg ` ebres admissib les qui ne p euven t pas s’ ´ ecrire comme pr o duit tensoriel. On construit en suite les alg ` ebr es Z 2 -gradu ´ ees asso ci ´ ees M s ⊲ I s ˆ ⊗ R et N s ⊲ I s ˆ ⊗ J en tenant compte de la parit ´ e i ∈ Z 2 du qu asihomomorphisme. L a pr op r i ´ et ´ e uni- v erselle d e l’alg ` ebre tensorielle T A 0 / / J A / / ρ ∗   T A / / ρ ∗   A / / ρ   0 0 / / N s / / M s / / E s / / 0 donne un rel ` ev ement ρ ∗ : T A → M s ⊲ I s ˆ ⊗ R qui env oie l’id ´ eal J A s u r N s . On obtien t ainsi un quasihomomorphism e p -sommable p our les compl ´ etions adiqu es de T A , M s et R par rapp ort ` a leurs id´ eaux J A , N s et J : ρ ∗ : b T A → c M s ⊲ I s ˆ ⊗ b R . (3.6) 32 Images directes Fixons maintenan t un ent ier n ≥ p de parit´ e i m o d 2. Soit b χ n ∈ Hom( b Ω b T A , X ( b R )) l’application lin´ eaire dont les deu x comp osantes non nulles b χ n 0 : Ω n b T A → b R et b χ n 1 : Ω n +1 b T A → Ω 1 b R ♮ d ´ eﬁn ies p ar (1.12) b χ n 0 ( x 0 d x 1 . . . d x n ) = ( − ) n Γ(1 + n 2 ) ( n + 1)! X λ ∈ S n +1 ε ( λ ) τ ( x λ (0) [ F , x λ (1) ] . . . [ F , x λ ( n ) ]) , b χ n 1 ( x 0 d x 1 . . . d x n +1 ) = ( − ) n Γ(1 + n 2 ) ( n + 1)! n +1 X i =1 τ ♮ ( x 0 [ F , x 1 ] . . . d x i . . . [ F, x n +1 ]) , (3.7) a v ec τ la sup ertrace sur la n -i ` eme puissance de I s . On sait que b χ n est un morph isme du ( b + B )-complexe des formes diﬀ ´ erent ielles sur b T A v ers le X -complexe de b R . Sa comp os´ ee par l’´ equiv alence de Go o d willie γ : X ( b T A ) → b Ω b T A d´ eﬁnit alors un co cycle cyclique biv ariant de degr ´ e n lorsque R est qu asi-libre: Prop osition 3.2.3 ([45]) Soit ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B un quasihomo morphisme p - sommable de p arit ´ e i ∈ Z 2 , admissible r elativement ` a une extension quasi-libr e 0 → J → R → B → 0 , e t soit n ≥ p un entier, n ≡ i mod 2 . A lors le c ar act` er e de Chern du quasihomomor phisme d ´ eﬁni p ar la c omp osition c h n ( ρ ) : X ( b T A ) γ − → b Ω b T A b χ n − → X ( b R ) (3.8) est une classe de c ohomolo gie cyclique bivariante c h n ( ρ ) ∈ H C n ( A , B ) de de gr´ e n . L es c ar act` er es de Chern de de gr ´ es su c c essifs sont r eli´ es p ar l’op ´ er ation de susp ension S en c ohomolo gie cyclique bivriante c h n +2 ( ρ ) ≡ S ch n ( ρ ) ∈ H C n +2 ( A , B ) , (3.9) et ainsi d´ eﬁnissent tous la mˆ eme classe de c ohomolo gie c yc liq ue bivariante p´ erio dique c h ( ρ ) ∈ H P i ( A , B ) . C’est d onc le r epr ´ esenta nt c h n ( ρ ) de degr ´ e n minimal qu i v ´ eh icule le maxim um d’informations sur le quasihomomorphisme. Les propr i ´ et ´ es in t´ eressan tes du car- act ` er e de Chern biv arian t concernent sa stabilit ´ e par rapp ort aux deux relations d’ ´ equiv alences p ossibles [45]. Rapp elons que B [0 , 1] d ´ esigne le pro du it tensoriel pro jectif B ˆ ⊗ C ∞ [0 , 1]. C’est aussi l’alg ` ebre des fonctio n s lisses sur [0 , 1] ` a v aleurs dans B et don t toutes les d ´ er iv´ ees d’ordre ≥ 1 s’ann ulent aux extr´ emit ´ es. On dit que d eux quasihomomorphismes ρ 0 : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B et ρ 1 : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B son t homotop es s’il existe u n quasihomomorphisme ρ : A → E [0 , 1] s ⊲ I s ˆ ⊗ B [0 , 1] dont l’ ´ ev aluation aux extr´ emit ´ es du segment donne resp ectiv emen t ρ 0 et ρ 1 ; conjugu ´ es s’il existe un ´ el ´ ement in v ersib le de degr ´ e pair U ∈ ( E s ) + tel que ρ 1 = U − 1 ρ 0 U en tant qu ’h omomorphisme A → E s . Apr ` es stabilisation par des matrices la relati on de conjugaison est strictemen t plus forte que la r elation d’homotopie. On mon tre dans [45] que deux quasihomomor- phismes conjugu´ es d´ eﬁnissent le m ˆ eme c aract ` ere de Chern dans H C n ( A , B ) p our toute v aleur de n ≥ p , alors que les caract ` eres d e Chern de d eux quasihomomor- phismes homotop es ne co ¨ ınciden t qu’apr` es stabilisation par l’op ´ eration S . On p eut r ´ esumer ces propr i ´ et ´ es d ans le corollaire suiv ant . 3.3 Grothendiec k-Riemann-Ro c h 33 Corollaire 3.2.4 ([45]) Soit ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B un quasihomomorph isme p - sommable de p arit´ e i ∈ Z 2 , admissible r elativement ` a une extension quasi-libr e de B . Supp osons p ≡ i mo d 2 . Alors le c ar act ` er e de Chern de de gr´ e minimal c h p ( ρ ) ∈ H C p ( A , B ) induit u ne tr ansformation entr e les suites exactes SBI H P n +1 ( A ) S / /   H C n − 1 ( A ) B / /   H N n ( A ) I / /   H P n ( A )   H P n − p +1 ( B ) S / / H C n − p − 1 ( B ) B / / H N n − p ( B ) I / / H P n − p ( B ) invariante sous c onjugaison du quasihomomor phisme. De plus la ﬂ ˆ eche en homolo gie cyclique p ´ erio dique H P n ( A ) → H P n − d ( B ) est invariante sous hom otopie. Remarque 3.2.5 Le r ´ esultat ci-dessus reste in c hang ´ e si l’on sup p ose le quasihomo- morphisme seulemen t ( p + 1)-sommable, a ve c toujours p ≡ i m o d 2. 3.3 Grothendiec k-Riemann-Ro c h Nous p ouvons main tenant ´ enoncer le r ´ esultat principal de ce c hapitre, ` a sav oir qu ’u n quasihomomorphisme p -sommable admissible induit d es morp hismes d’image directe p our les in v arian ts primaires et secondaires. Une m -alg ` ebr e de F r´ ec het p -sommable I est multiplic ative s’il existe un homomorph isme con tinu (pro du it externe) ⊠ : I ˆ ⊗ I → I compatible av ec la trace ([45]). Deux pro du its externes ⊠ et ⊠ ′ son t ´ equivalents s’il existe un m ultiplicateur in versible U sur I qu i conjugue ces deux pro d uits. L’exemple t yp e d’alg ` ebre p -sommable m u ltiplicativ e est l’id ´ eal d e Sc hatten I = ℓ p ( L ) sur un espace d e Hilb ert s ´ eparable de dimens ion in ﬁnie trivialemen t gradu´ e, le p ro duit externe ´ etant ind uit par l’identiﬁcat ion du pro d uit tensoriel d’espaces de Hilb ert L ⊗ 2 L av ec L ` a un isomorphisme unitaire pr` es [17]. Soien t maintenan t A , B deux m -alg ` ebres de F r´ ec het et ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B un quasihomomorph isme p -sommable de parit ´ e i ∈ Z 2 , a v ec p ≡ i mo d 2. Si I est multiplica tive alors ρ induit u n morphisme d’image directe sur la K -th´ eorie top ologique ρ ! : K top n ( I ˆ ⊗ A ) → K top n − p ( I ˆ ⊗ B ) ∀ n ∈ Z , (3.10) comme en th ´ eorie de K asp aro v. P ar p ´ erio d icit ´ e de Bott il su ﬃt en eﬀet de d ´ eﬁnir cette ap p lication p our n impair seulement . Supp osons d ’ab ord que i = 0. Le quasihomomorphisme est alors d ´ ecrit par u n co u ple d ’homomorphismes ( ρ + , ρ − ) : A ⇒ E qui co ¨ ıncident mo du lo l’id´ eal I ˆ ⊗ B . P our tout inv ersible u ∈ ( K ˆ ⊗ I ˆ ⊗ A ) + repr´ esen tant un e classe dans K top 1 ( I ˆ ⊗ A ), l’ ´ el´ emen t ρ ! ( u ) = ρ + ( u ) ρ − ( u ) − 1 ∈ ( K ˆ ⊗ I ˆ ⊗ I ˆ ⊗ B ) + est u n inv ersible r epr ´ esenta nt une classe dans K top 1 ( I ˆ ⊗ B ) apr` es usage du pro duit externe ⊠ : I ˆ ⊗ I → I . Supp osons main tenan t que i = 1. Le quasihomomorphisme est alors d´ ecrit par un homomorphisme ρ : A →  E I ˆ ⊗ B I ˆ ⊗ B E  . S oit p 0 l’idemp oten t  1 0 0 0  . Pour tout inv ersible u ∈ ( K ˆ ⊗ I ˆ ⊗ A ) + , l’ ´ el ´ ement ρ ! ( u ) = ρ ( u ) − 1 p 0 ρ ( u ) ∈ M 2 ( K ˆ ⊗ I ˆ ⊗ I ˆ ⊗ B ) + 34 Images directes est u n idemp oten t repr´ esen tant un e classe dans K top 0 ( I ˆ ⊗ B ) apr` es usage du pro d uit externe, d ’o ` u l’application (3.10). Si de p lus le quasihomomorphism e est admissible relativ emen t ` a une extension quasi- libre de B , on sait d’apr` es le corollaire 3.2.4 que le caract ` ere de C hern de d egr ´ e minimal c h p ( ρ ) ∈ H C p ( A , B ) induit un m orphisme c h p ( ρ ) : H C n ( A ) → H C n − p ( B ) ∀ n ∈ Z . (3. 11) En co mbinan t (3.10) et (3.11) on p eut aussi construire des images directes en K - th ´ eorie m u ltiplicativ e. Le th ´ eor` eme de Grothendieck- Riemann -Ro c h d´ emon tr´ e dans [45] expr im e la compatibilit ´ e entre tous ces morp hismes et les suites exactes longues relian t K -th ´ eorie et h omologie cyclique: Th´ eor ` eme 3.3.1 ( [45]) Soit I une alg ` ebr e p -sommable et multiplic ative, et ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B un qu asihomo morphism e de p arit ´ e i ∈ Z 2 admissible r elative- ment ` a une extension quasi-libr e de B . Su pp osons p ≡ i mo d 2 . Alors ρ induit un morphisme d’image dir e cte ρ ! : M K I n ( A ) → M K I n − p ( B ) qui s’ins` er e dans un diagr amme gr adu ´ e-c ommutatif K top n +1 ( I ˆ ⊗ A ) / / ρ !   H C n − 1 ( A ) / / c h p ( ρ )   M K I n ( A ) / / ρ !   K top n ( I ˆ ⊗ A ) ρ !   K top n +1 − p ( I ˆ ⊗ B ) / / H C n − 1 − p ( B ) / / M K I n − p ( B ) / / K top n − p ( I ˆ ⊗ B ) (3.12) L es ﬂˆ eches ve rtic ales sont invariantes sous c onjugaison de ρ ; la ﬂˆ eche en K -th ´ eorie top olo gique est aussi invariante sous homotopie. De plus (3.12) est c omp atible ave c le diagr amme du c or ol lair e 3.2.4 (ave c B multipli´ e p ar un facteur − √ 2 π i ) en pr enant les c ar act ` er e s de Chern M K I n → H N n et K top n ( I ˆ ⊗ . ) → H P n . Remarque 3.3.2 Dans le cas p air i = 0, le r´ esultat r este inc hang ´ e si le quasihomo- morphisme est seulement ( p + 1)-sommable a vec toujours p ≡ i mo d 2. Par con tr e dans le cas imp air i = 1 on d oit garder la condition de p -sommabilit ´ e. La d´ emonstration est u ne v´ eriﬁcation purement calculatoire de la comm utativit ´ e du diagramme (3.12), utilisan t les formules explicites p our c h p ( ρ ). A la lumi` ere de l’exemple 3.1.3, le morp h isme en K -th ´ eorie m ultiplicativ e p eut se v oir comme u n e v ersion non-comm u tative d e l’op´ eration “in t´ egration des classes d e cohomologie de Deligne le long des ﬁbres d’une s u bmersion”, l’en tier p corresp ondant ` a la dimen s ion des ﬁbres. Les caract ` eres de Chern p ´ erio diqu e et n ´ egatif ne son t pas repr´ esen t´ es dans le diagramme (3.12). En fait la compatibilit ´ e en tre le corollaire 3.2.4 et le th´ eor ` eme ci-dessus s ’exp r ime au moy en de diagrammes cubiques, par exemple K top n ( I ˆ ⊗ A ) / /   K top n − p ( I ˆ ⊗ B )   M K I n ( A ) ? ?        / /   M K I n − p ( B ) ? ?          H P n ( A ) / / H P n − p ( B ) H N n ( A ) ? ?         / / H N n − p ( B ) ? ?        3.3 Grothendiec k-Riemann-Ro c h 35 Le carr´ e en arr i ` ere-plan d ´ ecrit la partie p u remen t top ologique, c’est-` a-dire in v arian te d’homotopie, du th´ eor ` eme de Grothendiec k-Riemann-Ro ch. Le carr´ e en a v an t-plan rel ` ev e donc cette situation au niv eau des inv ariants secondaires. Exemple 3.3.3 Soit E = End( L ) l’alg ` ebre de Banac h des endomorp hismes b orn´ es sur un espace de Hilb ert trivialemen t gradu´ e L , et soit I = ℓ p ( L ) l’id ´ eal de Sc hatten des op ´ erateurs p -sommables. Lorsqu e A est quelconque et B = C , un quasihomo- morphisme ρ : A → E s ⊲ I s est un mo du le de F redholm p -sommable sur A [9]. En c hoisissant n = p + 1 le d iagramme (3.12) se r´ eduit ` a K top p +2 ( I ˆ ⊗ A ) / / ρ !   H C p ( A ) / / c h p ( ρ )   M K I p +1 ( A ) / / ρ !   K top p +1 ( I ˆ ⊗ A ) ρ !   0 / / Z / / C / / C × / / 0 Le morphisme en K -th´ eorie top ologique K top p ( I ˆ ⊗ A ) → Z corresp ond ` a la ﬂ ˆ ec he d’indice, tand is qu’en K -th´ eorie m u ltiplicativ e M K I p +1 ( A ) → C × est un r ´ egulateur . Un morphism e analogue a ´ et ´ e introd uit par Connes et Karoubi dans le con texte de la K -th´ eorie alg ´ ebr iqu e [12]. Le th ´ eor ` eme 3.3.1 p ermet d onc de g ´ en ´ eraliser la notion de r´ egulateur ` a d es alg ` ebres cibles B quelconques. Dans cette optique il serait in t´ eressan t de cherc her ` a fabriquer des analogues non-comm u tatifs de la torsion analytique sup´ erieure asso ci ´ ee ` a une s ubmersion [7 ]. Exemple 3.3.4 Soit A u n e m -alg ` ebre de F r ´ ec h et m unie d’une trace contin ue τ : A → C . Regardons E = I = A comme une alg ` ebre 1-sommable et p osons B = C . Le quasihomomorph ism e ρ : A → A s ⊲ A s ˆ ⊗ C de degr ´ e pair d´ eﬁni par ρ + = id et ρ − = 0 est d onc 1-sommable et donne un diagramme comm u tatif dont les lignes son t exactes: K top 0 ( A ) / / A / [ A , A ] / / τ   M K 1 ( A ) / / ρ !   K top 1 ( A ) K top 0 ( A ) τ ∗ / / C / / M K A 1 ( C ) / / K top 1 ( A ) P ar ailleurs il existe un morphism e naturel du group e GL ∞ ( A ) des matrices in- v ersibles vers la K -th ´ eorie m ultiplicativ e M K 1 ( A ), qui en voie un e matrice u sur le couple ( u, 0). En comp osan t par ρ ! on obtient d on c un morphism e de group es Det τ : GL ∞ ( A ) → M K A 1 ( C ) qui se factorise ` a tra v ers la K -th ´ eorie alg ´ ebr iqu e K alg 1 ( A ). D´ esignons main tenant par GL 0 ∞ ( A ) le no y au du morphisme GL ∞ ( A ) → K top 1 ( A ) (ce s on t moralemen t les matrices in v ersibles homoto p es ` a l’unit ´ e). Alors l’imag e de l’applicatio n Det τ : GL 0 ∞ ( A ) → M K A 1 ( C ) est incluse dans le sous-group e C /τ ∗ K top 0 ( A ), et l’on retrouve ainsi le d ´ eterminant int r o duit p ar de la Harp e et S k andalis p our les alg ` ebres de Banac h [22]. 36 Images directes Chapter 4 F orm ul e lo cale d’anomal ie On explique ici la mani ` ere obtenir des form u les lo c ales p our le caract ` ere de Chern d’un quasihomomorphisme, par un p ro c ´ ed´ e de renormalisation. Le rˆ ole cen tral est jou ´ e par la c o cha ˆ ıne ˆ eta r enormalis ´ ee , intro d uite comme s´ erie formelle (non conv er- gen te) dans le complexe cyclique biv arian t. Son b ord est toujours u ne somme ﬁnie de termes lo caux q u i rep r´ esente le caract ` ere de Ch ern, quelle que soit la renormali- sation choisie. Par exemple, en pr´ esence d’un op´ erateur de Dirac la r enormalisation par fonction z ˆ eta d onne un e form u le de r ´ esidus qui g ´ en ´ eralise celle de Connes et Mosco vici [15] au cas b iv ariant. D’autres renormalisat ions sont bien e ntendu pos- sibles, y compris sa ns op ´ erateur de Di rac (v oir le c hapitre suiv an t), le c hoix opti- mal ´ etan t d ict ´ e par la situation g ´ eom ´ etrique ` a laquelle on est confront ´ e. L’id´ ee de repr´ esen ter u n e classe de cohomologie en prenant le b ord d’u n e s ´ erie formelle renor- malis ´ ee s’insp ire des anomalies c h irales en th ´ eorie quant ique d es c hamp s . En f ait on mon tre que toute formule lo cale de l’indice p eut se r ´ edu ir e ` a un calcul d’anomalie. Le mat ´ eriel expos´ e dans ce c hapitre est tir´ e d es articles [44] D. Perrot: Anomalies and noncomm utative in dex theory , cours donn´ e ` a Villa de Leyv a, C olom bie (20 05), S. P a ycha an d B. Urib e ed., Contemp. Math. 434 (20 07) 125-1 60. [46] D. Perrot: Quasih omomorp hisms and the residue Chern c haracter, preprint arXiv:0804 .1048 . Dans le cas d e trip lets sp ectraux, nous a vions initialemen t ob tenu la r elation en tre th´ eor ` eme de l’indice et anomalie c h irale (corollaire 4.3.2) en th` ese d e do ctorat suiv an t une appro c he diﬀ ´ erente. La d ´ emonstration n’´ etait pas directemen t reli ´ ee ` a la renormalisation mais rep osait sur des consid ´ erations g ´ eom ´ etriques dans l’espace des p oten tiels de jauge, analogues ` a l’appro che d’A tiy ah et Singer [3, 54]. O n ne d ´ ecrira pas ici ce trav ail pu bli ´ e dans [38] D. P errot: BRS cohomolo gy and the C hern c haracter in non-comm utativ e ge- ometry , L ett. M ath. Phys. 50 (1999) 135-14 4. [40] D. Pe r rot: On the top ologica l in terp retation of gra vitational anomalies, J. Ge om. Phys. 39 (2001) 81-95. 38 F orm ule lo cale d’anomalie 4.1 Le princ ip e La strat ´ egie u tilis ´ ee p our construire des repr´ esent ants lo c aux du caract ` ere de Chern d’un quasihomomorph isme ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B est bas´ ee sur une formule de transgression [46]. Dans tout ce qui s u it on consid` ere que le quasihomomorphisme est ( p + 1)-sommable et d e parit ´ e i ≡ p mo d 2. D’apr ` es la prop osition 3.2.3 , on sait que la caract ` er e de C hern est rep r´ esent ´ e, en tout degr´ e n ≥ p , n ≡ i mo d 2, par les classes c h n ( ρ ) ∈ H C n ( A , B ) d´ eﬁnies au mo yen d ’u ne comp osition d e morph ismes c h n ( ρ ) : X ( b T A ) γ − → b Ω b T A b χ n − → X ( b R ) a v ec 0 → J → R → B → 0 une extension quasi-libre et b χ n la formule n on -lo cale (3.7). L’ ´ egalit ´ e ch n +2 ( ρ ) ≡ S c h n ( ρ ) dans H C n +2 ( A , B ) p ro vient d’une relation en tre les co cycles de degr ´ es successifs b χ n et b χ n +2 . Plus pr´ ecis ´ emen t nous av ons in tro d uit d an s [45] u n e c o cha ˆ ıne ˆ eta b η n +1 ∈ Hom ( b Ω b T A , X ( b R )) p our tout n ≥ p de parit ´ e i mod 2. Elle s’ann ule sur les espaces Ω k b T A p our k 6 = n + 1 et n + 2, tandis que ses deux comp osantes n on nulle s b η n +1 0 : Ω n +1 b T A → b R et b η n +1 1 : Ω n +2 b T A → Ω 1 b R ♮ son t d´ eﬁnies p ar les formules b η n +1 0 ( x 0 d x 1 . . . d x n +1 ) = Γ( n 2 + 1) ( n + 2)! 1 2 τ  F x 0 [ F , x 1 ] . . . [ F , x n +1 ] + n +1 X i =1 ( − ) ( n +1) i [ F , x i ] . . . [ F , x n +1 ] F x 0 [ F , x 1 ] . . . [ F , x i − 1 ]  b η n +1 1 ( x 0 d x 1 . . . d x n +2 ) = (4.1) Γ( n 2 + 1) ( n + 3)! n +2 X i =1 1 2 τ ♮  ( ix 0 F + ( n + 3 − i ) F x 0 )[ F , x 1 ] . . . d x i . . . [ F, x n +2 ]  Un calcul direct montre la relation de transgression b χ n − b χ n +2 = [ ∂ , b η n +1 ] dans le complexe Hom( b Ω b T A , X ( b R )). On en d´ eduit le r´ esultat suiv ant . Prop osition 4.1.1 ([45]) Soit ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B un quasihomomorphism e ( p + 1) -sommable de p arit ´ e i ≡ p mo d 2 , admissible r elativement ` a une extension quasi- libr e de B , et soit u n entier n ≥ p , n ≡ i mod 2 . Alors la c o chaine d ´ eﬁnie p ar la c omp os ´ ee / c h n +1 ( ρ ) : X ( b T A ) γ − → b Ω b T A b η n +1 − → X ( b R ) (4.2) v´ eriﬁe la r elation de tr ansgr ession c h n ( ρ ) − c h n +2 ( ρ ) = [ ∂ , / c h n +1 ( ρ )] dans le c omplexe Hom( X ( b T A ) , X ( b R )) . P our n < p la co c haine b η n +1 n’existe pas car le pro d uit d es comm utateurs [ F , x ] n’appartien t pas au domaine de la sup ertr ace τ . Supp osons cep endan t que l’on parvienne ` a ´ etendre le d omaine de τ par une m ´ etho de quelconque, quitte ` a p erd re ses p ropri ´ et´ es de s up ertrace. P ar exemple, on p eut introd u ire artiﬁciellemen t u n op ´ erateur r´ egularisan t dans les form u les (4.1 ). On d´ eﬁnit ainsi les comp osante s d e la c o cha ˆ ıne ˆ eta r enormalis ´ ee b η n +1 R ∈ Hom( b Ω b T A , X ( b R )) en tout degr ´ e n < p de parit ´ e i m o d 2. Nous a vons introd uit dans [46] la s´ erie η R = X n

0, b orn´ es p our α ≤ 0, et F ∈ P 0 . • P est une alg ` ebre ﬁ ltr ´ ee a vec unit ´ e, c’est-` a-dire munie d’u n pro d uit asso ciatif con tinu P α × P β → P α + β et 1 ∈ P 0 . En particulier P α est une alg ` eb r e d e F r´ ec het p out α ≤ 0. 4.2 Renormalisation zˆ eta 41 • L’homomorph isme ρ : A → End( H B ) se factorise ` a trav ers le pro duit tensoriel pro jectif P 0 ˆ ⊗ B . • Le comm u tateur [ F , ρ ( a )] est dans l’id´ eal P − 1 ˆ ⊗ B ⊂ P 0 ˆ ⊗ B p our tout a ∈ A . • | D | ∈ P 1 ˆ ⊗ B + , et son sp ectre en tan t qu’´ el ´ ement de l’alg ` ebre P ˆ ⊗ B + = lim − → α P α ˆ ⊗ B + est conten u dans un in terv alle r ´ eel [ ε, + ∞ ), ε > 0. • Pour λ ∈ C h ors du s p ectre la r ´ esolv ante ( λ − | D | ) − 1 est dans P − 1 ˆ ⊗ B + et l’application λ 7→ ( λ − | D | ) − 1 est u ne f on ction holomorphe et b orn´ ee sur tout demi-plan Re( λ ) ≤ ε ′ < ε d isjoin t du sp ectre de | D | . On notera br i ` ev ement ( H , ρ, F , | D | ) un tel b imo dule muni d ’une alg ` ebre de s ym- b oles abstraits. Dans les exemples p ratiques P est r ´ ealis ´ ee comme un e alg ` ebre d’op ´ erateurs b orn´ es en tre espaces de Sob olev [46]; l’utilisation d u mot “sym b ole” est donc largemen t arbitraire puisqu ’il ne s’agit p as n´ ecessairemen t d e symb oles d’op ´ erateurs p seudo diﬀ´ eren tiels. D’autre part, le fait d’imp oser que ρ ( A ) et | D | fon t partie d’une alg ` ebre pro d uit tensoriel P ˆ ⊗ B + est commo de mais ´ evidemment restrictif. Il est certainemen t p ossible de consid´ erer des alg ` ebres plus larges ` a condi- tion d’adapter la discussion ci-dessous. Fixons mainte n an t u ne extension 0 → J → R → B → 0 de m -alg ` ebr es de F r ´ ec h et, av ec b R la compl´ etion J -adique de R . Alors | D | se r el` ev e en un op´ erateur | b D | ∈ P 1 ˆ ⊗ b R + , et s a r´ esolv ante est bien d ´ eﬁn ie: ( λ − | b D | ) − 1 ∈ P − 1 ˆ ⊗ b R + . (4.9) De m ˆ eme ρ se rel` ev e en un homomorphisme ρ ∗ : b T A → P 0 ˆ ⊗ b R . Les puissances complexes | b D | z ∈ P Re( z ) ˆ ⊗ b R + son t alors obten u es par u ne in t´ egrale de con tour [46]. On veut en s uite contrˆ ole r les comm utateurs em b o ˆ ıt ´ es de | b D | et de l’op ´ erateur de Dirac b D = F | b D | a ve c l’image de b T A dans P ˆ ⊗ b R . In tro du isons ` a cette ﬁn la ﬁltration de P ˆ ⊗ b R + par les s ous-espaces F k α = P α ˆ ⊗ c J k , F α = X k ≥ 0 F k α + k , α ∈ R , k ∈ N , o ` u c J k est la compl ´ etion J -adique de J k . On a b T A ⊂ F 0 0 , b J A ⊂ F 1 0 et p our tout z ∈ C , | b D | z ∈ F 0 Re( z ) . La d ´ eﬁnition suiv an te est une g ´ en´ eralisation biv arian te de la condition de r ´ egularit ´ e in tro d uite dan s le cadre des triplets sp ectraux par Conn es et Mosco vici [15]. D ´ eﬁnition 4.2 .1 ([46]) Un quasihomomorp hisme muni d’une alg ` ebr e de symb oles abstr aits est r ´ egulier r elativement ` a l’extension 0 → J → R → B → 0 si les puissanc es de la d´ erivation δ = [ | b D | , ] sur l’alg` ebr e P ˆ ⊗ b R v´ eriﬁent, p our tout n ≥ 0 et k ≥ 0 , δ n ( b T A ) + δ n [ b D , b T A ] ⊂ F 0 0 + F 1 1 + . . . + F n n ⊂ F 0 , δ n (( b J A ) k ) + δ n [ b D , ( b J A ) k ] ⊂ F k 0 + F k +1 1 + . . . + F k + n n ⊂ F − k . La r ´ egularit ´ e impliqu e que la d´ eriv ation δ ne p eu t augmen ter le d egr ´ e symb olique α que si elle augmente simultan ´ emen t le degr ´ e adique k . En ce sens l’image de b T A est “lisse” dans P ˆ ⊗ b R . Il faut n oter que cette condition imp ose de fortes con trainte s su r le c h oix d e l’extension R . E n p articulier l’alg ` ebre tens orielle R = T B est r arement compatible a vec la r´ egularit ´ e. 42 F orm ule lo cale d’anomalie On p eut mainte n an t d´ eﬁnir l’alg ` ebre des op´ erateurs p seudo diﬀ´ eren tiels abstraits Ψ A comme la sous-alg ` ebre (n on compl` ete) de P ˆ ⊗ b R + engendr ´ ee par l’image de b T A , l’op ´ erateur F et toutes les puissances complexes | b D | z , z ∈ C . En utilisan t la condition d e r´ egularit ´ e, on voit que tout op ´ erateur pseudo d iﬀ ´ erent iel est com b inaison lin ´ eaire d’ ´ el ´ emen ts x ∈ Ψ A a y ant un d´ ev elopp ement asymp totique x ≃ X k ≥ 0 ( a k + b k F ) | b D | z − k , z ∈ C , o ` u a k et b k son t d an s l’alg ` ebre engendr ´ ee par les d´ eriv ´ ees δ n ( b T A ) et δ n [ b D , b T A ], et l’ ´ egalit ´ e ≃ s igniﬁ e que p our tout N ≥ 0, la d iﬀ ´ erence x − P N k =0 ( a k + b k F ) | b D | z − k est dans F Re( z ) − N − 1 . On p eut alors ﬁ ltrer l’alg ` ebre Ψ A par les sous-espaces (Ψ A ) k α = Ψ A ∩ F k α . De mani ` ere analogue le bimo d ule des 1-formes non-comm u tativ es Ω 1 Ψ A est ﬁ ltr ´ e par d es sous-espaces (Ω 1 Ψ A ) k α et l’on obtien t u ne f amille de X -co m p lexes X (Ψ A ) k α : (Ψ A ) k α ⇄ ♮ (Ω 1 Ψ A ) k α index ´ es p ar le d egr´ e symbolique α ∈ R et le degr´ e adique k ∈ N des op´ erateurs pseu- do diﬀ´ eren tiels impliqu ´ es. L’id´ ee est qu e p our α s u ﬃsammen t n ´ egatif, X ( Ψ A ) k α soit dans le domaine de la su p ertrace d’op ´ erateurs sur H . On p eut alors tente r d e saturer le facteur P α par la sup ertr ace et obtenir ainsi un m orphisme X (Ψ A ) k α → X ( b R ), compatible av ec la ﬁltration de X ( b R ) associ´ ee aux sous -complexes F 2 k − 1 b X ( R , J ) : c J k ⇄ ♮ ( c J k d b R + c J k − 1 d c J ). Cela conduit ` a la d´ eﬁnition su iv ante , qui g ´ en´ eralise la n otion d e sp ectre de dimension des triplets sp ectraux [15]. D ´ eﬁnition 4.2 .2 ([46]) Un A - B -bimo dule ( H , ρ, F , | D | ) r´ egulier r elativement ` a une extension 0 → J → R → B → 0 a une dimension analytique ﬁnie p ∈ R si la sup ertr ac e d’op ´ er ateurs sur H d´ eﬁnit un morphisme de c omplexes τ : X (Ψ A ) k α → F 2 k − 1 b X ( R , J ) p our tout α < − p et k ∈ N . D e plus le quasihomomorphism e a un sp ectre de dimen - sion discret si p our tous op´ er ateurs pseudo diﬀ´ er entiels x, y ∈ (Ψ A ) k 0 , les fonctions z ˆ eta τ ( x | b D | − z y ) ∈ b R , τ ♮ ( x | b D | − z d y ) τ ♮ ( x | b D | − z − 1 y d | b D | ) ) ∈ Ω 1 b R ♮ sont holomo rphes sur le demi-plan c omplexe Re( z ) > p et a dmettent un pr olonge- ment m´ er omorp he sur le c ompl ´ ementair e d’un sous-ensemble discr e t de C . Dans la suite on consid` ere que le bimodu le ( H, ρ, F , | D | ) est ( p + 1)-sommable, de dimension analytique p et de parit ´ e i ≡ p m o d 2. Les puissances complexes | b D | − z a v ec Re ( z ) ≫ 0 p ermetten t alors de construire les comp osan tes renormalis´ ees b η n +1 R : b Ω b T A → X ( b R ) de la co c haine ˆ eta en d egr ´ es n < p de parit ´ e i . Poso ns b η n +1 R 0 ( x 0 d x 1 . . . d x n +1 ) = Γ( n 2 + 1) ( n + 2)! 1 2 Pf z =0 τ  | b D | − z F x 0 [ F , x 1 ] . . . [ F , x n +1 ]+ n +1 X i =1 ( − ) ( n +1) i [ F , x i ] . . . [ F , x n +1 ] | b D | − z F x 0 [ F , x 1 ] . . . [ F , x i − 1 ]  4.2 Renormalisation zˆ eta 43 b η n +1 R 1 ( x 0 d x 1 . . . d x n +2 ) = Γ( n 2 + 1) ( n + 3)! 1 2 × (4.10) n +2 X i =1 Pf z =0  i X j = 1 τ ♮x 0 F [ F , x 1 ] . . . [ F , x j − 1 ] | b D | − z [ F , x j ] . . . d x i . . . [ F , x n +2 ] + n +2 X j = i τ ♮F x 0 [ F , x 1 ] . . . d x i . . . [ F, x j ] | b D | − z [ F , x j + 1 ] . . . [ F , x n +2 ]  , o ` u Pf z =0 est la partie ﬁ nie des fonctions z ˆ eta, c’est-` a-dire le terme constan t d ans leur d ´ eve lopp emen t en s ´ erie de L auren t autour de z = 0. Lorsque n ≥ p le s fonctions z ˆ eta n’on t p as d e pˆ ole en z ´ ero et l’on retrouv e les form u les donn´ ees initialemen t p our b η n +1 . Notons que la renormalisation (4.1 0 ) est loin d’ˆ etre unique: en eﬀet on p ourr ait change r d e p osition l’op´ erateur | b D | − z ou bien m ultiplier les fonctions z ˆ eta par u ne fonction h ( z ) holomorphe autour de z ´ ero av ec h (0) = 1. Dans tous les cas les nouv elles comp osantes b η n +1 R ne c hangeraien t que par des sommes de r´ esidus de fonctions zˆ eta [46], autr ement dit d es termes “lo caux”. Dans un langage de th ´ eorie quan tiqu e d es c hamp s ces r ´ esidus corresp ond ent ` a des c ontr e - termes eﬀectuan t le passage d’un e renormalisation ` a une autre. Le lien pr´ ecis en tre th ´ eorie lo cale d e l’indice non-comm utativ e et th´ eorie d es champs sera tra ˆ ıt ´ e dans le paragraphe su iv- an t. Supp osons que l’alg ` ebre R est quasi-libre. D’apr` es le lemme 4.1.2 on sait que le b ord de la s´ erie η R = P n

p . Remarque 4.2.4 La formule de r ´ esidu s donn´ ee p our χ R est en f ait intimemen t li ´ ee au cocycle (1.8) construit autour du no y au de la c haleur. Plus pr´ ecis ´ emen t χ R est extrait du d ´ ev elopp emen t asymptotique de ce cocycle ` a la limite t ↓ 0. Pour cette raison le th´ eor ` eme 4.2.3 p ermet d e red ´ emon trer la form ule de localisation en trant dans le th´ eor ` eme de l’indice ´ equiv arian t du chapitre 2 , au moins dans le cas d’un group e G discret ([46 ]). 4.3 T riplets sp ectraux et anomalies Nous allo n s main tenan t utiliser la renormalisati on z ˆ eta dans le cas particulier des triplets sp ectraux et constater que la formule locale χ R = [ ∂ , η R ] corresp ond exacte- men t ` a l’anomalie chirale d’u n e th ´ eorie de jauge non-commuta tive [44 ]. On consid ` ere u n triplet sp ectral ( p + 1 )-sommable ( A , H, D ) de parit ´ e i = 0, a vec p entier pair et A un e m -alg ` ebre de F r ´ ec h et inv olutiv e ∗ -repr´ esen t´ ee par op´ erateurs b orn´ es sur H . Sans p erte de g ´ en´ eralit ´ e on p eut supp oser que l’op ´ erateur de Dirac D est inv ersible. Dans une d´ ecomp osition de l’espace d e Hilb ert H = H + ⊕ H − corresp ondant ` a sa Z 2 -graduation, la repr ´ esen tation de A et l’op ´ erateur d e Dirac s’ ´ ecriv ent a =  a + 0 0 a −  , D =  0 Q ∗ Q 0  . L’ob jectif est d e calculer l’indice de l’op ´ erateur de Dirac ` a co eﬃcien ts dans un p ro- jecteur e = e ∗ = e 2 ∈ M ∞ ( A ) repr´ esen tant u ne classe de K -th´ eorie [ e ] ∈ K top 0 ( A ). En mo diﬁant la repr ´ esent ation de A le tr ip let sp ectral se remet sous la forme d’u n 4.3 T riplet s sp ectraux et a nomalies 45 quasihomomorphisme ρ : A → E s ⊲ I s , a vec E = End( H + ) et I = ℓ p +1 ( H + ), m u ni d’un m o dule d e Dirac | D | : ρ ( a ) =  a + 0 0 Q − 1 a − Q  , F =  0 1 1 0  , | D | = Id( C 2 ) ⊗ ( Q ∗ Q ) 1 / 2 . Soit S A = A ˆ ⊗ C ∞ (0 , 1) la su sp ension lisse de A et soit B = C ∞ ( S 1 ) l’alg ` ebr e d u cercle. ρ s’ ´ etend de mani` ere ´ evidente en un qu asihomomorphisme de S A v ers B , et en ve r tu de l’isomorph ism e de Bott K top 0 ( A ) ∼ = K top 1 ( S A ) l’ind ice de l’op´ erateur d e Dirac eD e corresp ond ` a l’image de [ e ] sous la diagonale du diagramme comm utatif K top 1 ( S A ) / /   ∆ ( ( K top 1 ( I ˆ ⊗ B ) ∼ = Z   H P 1 ( S A ) / / H P 1 ( B ) ∼ = C (4.11) Nous a vo n s montr ´ e d ans [44] commen t r elier ∆ ` a l’anomalie d’une th´ eorie de jauge c hirale non-comm utativ e asso ci ´ ee au triplet sp ectral. On d´ eﬁnit d ’ab ord un p otentiel de j auge comme un op ´ erateur b orn ´ e A : H + → H − form ´ e de com b in aisons lin ´ eaires ﬁnies du t yp e a − ( Qb + − b − Q ) av ec a, b ∈ A . On p eut alors coupler A ` a d es c hamp s c hiraux ψ ∈ H + et ψ ∈ H ∗ − par l’interm ´ ediaire d ’une fonctionnelle d’action S ( ψ , ψ , A ) = h ψ , ( Q + A ) ψ i ∈ C . (4.12) On veut main tenant quantiﬁer les champs ψ et ψ en ta n t que fermions, en laissan t le potenti el A ﬁx´ e [27]. C ela r evien t ` a a jouter une ﬂuctuation q u an tique W ( A ) ` a l’actio n (4.12), obtenue comme logarithme d’un d´ eterminan t (v oir [44], on p rend ici la constante de P lanck ~ = 1) W ( A ) = ln Det (1 + Q − 1 A ) . (4.13) Remarquons que l’op ´ erateur Q − 1 A est dans la classe de Schat ten ℓ p +1 ( H + ), donc le d´ eterminant n ’est pas bien d ´ eﬁni lorsque p > 0 et n ´ ecessite une renormalisation. Dans l’appro che p ertur bativ e on ne s’in t ´ eresse qu ’au d´ ev elopp ement de W ( A ) en s ´ erie formelle de puissan ces de A , obten u par la relation na ¨ ıve ln Det = T r ln. L a repr´ esen tation graph ique se fait au mo yen de diagrammes de F eynman ` a u ne b oucle, W ( A ) = T r ln(1 + Q − 1 A ) = X n ≥ 1 ( − ) n +1 n T r(( Q − 1 A ) n ) = •   − 1 2 •   • O O + 1 3 •   2 2 2 2 2 2 2 2 • E E         • o o − 1 4 • / / •   • O O • o o + 1 5 • # # G G G G G G G G • ; ; w w w w w w w w •         • V V - - - - - - • o o + . . . o ` u chaque sommet repr´ esen te u ne insertion de p oten tiel A et c haque arˆ ete repr ´ esente le propagateur Q − 1 . Pu isque l’op ´ erateur Q − 1 A est tra¸ cable lorsque n ≥ p + 1, les termes W n ( A ) = ( − ) n +1 n T r (( Q − 1 A ) n ) son t bien d´ eﬁnis d ans ce cas. Par cons´ equen t seuls les p remiers termes du d´ ev elopp ement n´ ecessiten t une renormalisation. Sup - p osons que le triplet sp ectral soit r´ egulier et de dimension analytique p . On p eut alors choisir un e renorm alisatio n z ˆ eta et d´ eﬁnir p our n ≤ p W n R ( A ) = ( − ) n +1 n Pf z =0 T r (( Q − 1 A ) n | D | − 2 z + ) (4.14) 46 F orm ule lo cale d’anomalie a v ec | D | + = ( Q ∗ Q ) 1 / 2 . A partir de main tenant nous allons consid´ erer des familles de p oten tiels de j auge param ´ etr´ ees par le cercle. Soit u u n ´ el ´ ement unitaire tel que u − 1 soit dans le pro duit tens oriel alg ´ ebrique A ⊗ C ∞ (0 , 1), qui est une sous- alg ` eb re dense d e la susp ension S A . Il d´ eﬁnit un e classe de K -th´ eorie t op ologique [ u ] ∈ K top 1 ( S A ). P ar exemple, on p eut prend re l’unitaire u = 1 + e ⊗ ( β − 1) qui corresp ond ` a un p ro jecteur e ∈ A p ar p ´ erio dicit ´ e d e Bott, a ve c β le g ´ en ´ erateur de Bott du cercle. Regardons main tenan t u comme une b ou cle de transformations d e jauge d ans la th´ eorie des c h amps, ` a p oin t-base l’identit ´ e. La famille d’op´ erateurs A = u − 1 − Qu + − Q (4.15) est donc une b oucle de p oten tiels, obten ue en appliquant la transformation de jauge u sur le p oten tiel trivial A 0 = 0 . On n ote d : C ∞ ( S 1 ) → Ω 1 ( S 1 ) la d iﬀ ´ eren tielle de de R h am sur le cercle, et ω = u − 1 d u ∈ A ⊗ Ω 1 ( S 1 ) la forme d e Maurer-Cartan asso ci ´ ee ` a la b oucle u . Alors la diﬀ´ eren tielle d e A s’exprime au mo ye n de ω (on utilise la conv en tion que A et Q sont de d egr ´ e imp air, vo ir les ´ equations BRS [34]) − d A = ( Q + A ) ω + + ω − ( Q + A ) . La diﬀ ´ erentie lle d W n R ( A ) est alors calculable en fonction d e ω et A en tout degr ´ e n . Elle d´ ep end lin ´ eairement de ω et s e scinde en deux termes d e degr ´ es resp ectifs n − 1 et n par rapp ort ` a A . En somman t la s´ erie formelle d W R ( A ) en p uissances de A , on constate (v oir [44]) que les termes de degr ´ e > p se comp ensent deux ` a deux, alors qu’en degr´ e inf´ erieur cette p ropri ´ et ´ e est b ris ´ ee par la r enormalisation (4.14). Le b ord ∆( ω , A ) := d W R ( A ) est donc une so mme ﬁnie de formes diﬀ ´ eren tielles au-dessus du cercle, qui d ´ ep end polynˆ omialement de A . Par exemple p our p = 2 on obtien t graphiquement W R ( A ) d   = W 1 R ( A )         ? ? ? ? + W 2 R ( A )         ? ? ? ? + W 3 ( A )         ? ? ? ? ? + W 4 ( A )          ? ? ? ? ? + . . . ∆( ω , A ) = ∆ 0 ( ω , A ) + ∆ 1 ( ω , A ) + ∆ 2 ( ω , A ) + 0 + 0 . . . (4.16) o ` u ∆ n ( ω , A ) est de degr ´ e n en A . La 1-forme ∆( ω , A ) est l’anomalie c hir ale as- so ci ´ ee ` a la th´ eorie des champs et mesure la b risure d’inv ariance de jau ge d e l’actio n quan tiqu e renormalis ´ ee. L’anomalie est n´ ecessairemen t donn´ ee par une formule lo- cale; d ans le cas de la renormalisatio n (4.14) c’est une somme ﬁnie de r ´ esidu s de fonctions z ˆ eta [44]. Notons qu’un c hangement de renormalisation aﬀecte seulemen t les premiers termes de la s ´ erie f ormelle W R ( A ), en a j ou tant une fonctionnel le lo- c ale et p olynˆ omiale P ( A ) de degr ´ e ≤ p (cont r e-termes). L ’anomalie corresp ond an te ∆ ′ ( ω , A ) = ∆( ω , A ) + d P ( A ) diﬀ` ere donc d’un cob ord et sa classe d e cohomologie dans H 1 ( S 1 ) est in d ´ ep en d an te d e la renormalisation choisie. Par exemple en util- isan t une renormalisation zˆ eta ` a la Ray- S inger [52, 54], n ou s av ons donn´ e dans [44] la formule d e r ´ esid u s suiv an te p our l’anomalie (ici n os con ve ntions de notation et de signe diﬀ ` erent l´ eg ` eremen t de [44]): ∆ ′ ( ω , A ) = Res z =0 1 z τ ( ω | D | − 2 z ) + (4.17) X n ≥ 1 k ≥ 0 ( − 1) n + k c ( k ) Res z =0 Γ( z + n + k ) Γ( z + 1) T r  q ω A ( k 1 ) Q ∗ A ( k 2 ) . . . Q ∗ A ( k n ) | D | − 2( z + n + k ) +  o ` u τ est la sup ertrace d’op´ erateurs sur H = H + ⊕ H − , k = ( k 1 , . . . , k n ) est un m ulti-indice, q ω = ω + Q ∗ + Q ∗ ω − , A ( k i ) est la k i - ` eme d´ eriv´ ee de A par rapp ort au 4.3 T riplet s sp ectraux et a nomalies 47 comm utateur [ Q ∗ Q, ], et c ( k ) est la constan te c ( k ) − 1 = ( k 1 ! . . . k n !)( k 1 + 1)( k 1 + k 2 + 2) . . . ( k 1 + . . . + k n + n ) . Puisque les r´ esidus s’annulen t p our des op ´ erateurs tra¸ cables la s omme sur n, k est ﬁnie. Le r´ esultat essentiel est que la s´ erie renormalis´ ee W R ( A ) corresp ond exact e- men t ` a la co c haine ˆ eta du quasihomomorph isme ρ , ´ ev alu ´ ee sur le caract ` ere de Ch ern c h ( u ) ∈ H P 1 ( S A ). En eﬀet, puisque l’alg ` ebre B = C ∞ ( S 1 ) est quasi-libre on p eu t c hoisir l’extension triviale R = B et son homologie cyclique est calc u l ´ ee p ar le X - complexe isomorphe au complexe de de Rham X ( B ) : C ∞ ( S 1 ) d → Ω 1 ( S 1 ). Les com- p osant es de la coc h a ˆ ın e ˆ eta renormalis ´ ee b η 2 n +1 R 0 : Ω 2 n +1 b T ( S A ) → B son t donn ´ ees par les ´ equations (4.10). On p eut alors ´ ev aluer la transgression / ch 2 n +1 R ( ρ ) = b η 2 n +1 R γ sur ch( u ), et exprim er le r´ esultat en fonction du p oten tiel A = u − 1 − Qu + − Q : / c h 2 n +1 R ( ρ ) · c h ( u ) = ( − ) n √ 2 π i ( n !) 2 (2 n + 1)! Pf z =0 T r  Q − 1 A 1 + Q − 1 A  2 n +1 (1 + Q − 1 A/ 2) | D | − 2 z + ! . Le d ´ evel op p ement en s´ erie formelle de cette quantit ´ e ne con tien t q u e des pu issances de A su p ´ erieures ` a 2 n + 1. Pa r cons ´ equen t la somme inﬁ nie P ∞ n =0 / c h 2 n +1 R ( ρ ) · c h ( u ) existe au s ens d es s´ eries formelles en puiss ances de A . Prop osition 4.3.1 ([46]) L a fonction de p artition W R ( A ) r enormalis ´ ee p ar (4.14) est pr op ortionnel le, au sens des s´ eries formel les en puissanc es du p otentiel A = u − 1 − Qu + − Q , ` a la somme des tr ansgr essions / c h 2 n +1 R ( ρ ) · ch( u ) r enormalis ´ ee s p ar (4.10) mo dulo un c ontr e-terme: W R ( A ) + P ( A ) = √ 2 π i ∞ X n =0 / c h 2 n +1 R ( ρ ) · c h ( u ) , (4.18) o` u P ( A ) est une fonctionnel le lo c ale et p olynˆ omiale en A donn´ ee p ar une somme ﬁnie de r ´ esidus de fonctions zˆ eta. La somme √ 2 π i P ∞ n =0 / c h 2 n +1 R ( ρ ) · ch( u ) est d on c simplement un autre c hoix de renor- malisation p our la f onction de p artition W ( A ). Prenons ensu ite la diﬀ´ eren tielle d de chaque m em bre de l’ ´ equation (4.18). Le mem b re d e gauc h e donne l’anomalie ∆( ω , A ), tandis que d’apr ` es la discussion du paragraphe 4.1 le m em bre de droite corresp ond ` a l’image de u sous l’application d iagonale du diagramme (4 .11). Ainsi leurs classes de co h omologie dans H P 1 ( B ) = H 1 ( S 1 ) co ¨ ınciden t. Cette discu ssion se g ´ en´ eralise de mani ` ere ´ eviden te au cas d’u ne b oucle unitaire u dans l’alg ` ebre des matrices M ∞ ( A ) + . Corollaire 4.3.2 ([44, 46]) Soit ( A , H , D ) un triplet sp e ctr al r´ egulier p -sommable de de gr´ e p air, et W R ( A ) une r enormalisation quelc onque de la th ´ eorie de jauge chi- r ale qui lui est asso ci´ ee. Soit e ∈ M ∞ ( A ) un pr oje cteur r epr´ esentant une classe de K - th ´ eorie [ e ] ∈ K top 0 ( A ) , et u = 1 + e ⊗ ( β − 1) la b oucle unitair e qui lui c orr esp ond p ar p´ erio dicit´ e de Bott. Alor s l’anomalie chir ale ∆( ω , A ) = d W R ( A ) int´ egr ´ ee le long de la b oucle de p otentiels A = u − 1 − Qu + − Q c alcule l’indic e Ind( eD e ) = 1 2 π i I ∆( ω , A ) ∈ Z . (4.19) L’anomalie est donn ´ ee p ar une formule lo c ale p our tout choix de r enormalisa tion, p ar exemple la somme de r ´ esidus (4.17) dans le c as de la r enormalisation zˆ eta ` a la R ay-Singe r. 48 F orm ule lo cale d’anomalie T ermin ons en men tionn ant un e formule suggestiv e p our l’application r´ egulateur ρ ! : M K p +1 ( A ) → C × asso ci ´ ee au triplet sp ectral (vo ir l’exemple 3.3.3 ). Soit ( u, θ ) un couple r ep r ´ esent ant une classe d e K -th ´ eorie m u ltiplicativ e tel qu e u ∈ GL ∞ ( A ) soit un ´ el ´ emen t unitaire alg´ ebriquement homotop e ` a 1, dans le sens o` u il existe un c hemin u n itaire v ∈ GL ∞ ( A ⊗ C ∞ [0 , 1]) tel que v (0) = 1 et v (1) = u . On p eut d ´ eﬁn ir un d´ eterminant renormalis ´ e Det R ( u ) ∈ C × en in t ´ egran t l’anomalie d W R ( A ) le long d u c h emin de p oten tiels A = v − 1 − Qv + − Q . Alors ρ ! ( u, θ ) = exp( √ 2 π i c h R ( ρ ) · θ ) Det − 1 R ( u ) . (4.2 0) Notons que dans cette formule on doit utiliser la mˆ eme renormalisation p our le caract ` ere de Chern c h R ( ρ ) et p our le d´ eterminant Det R ( u ) (on s’arrange p our que le contre-te r me P ( A ) dans (4.18) soit n ul). Ainsi tout changemen t d ans le c hoix d e renormalisation p ou r le d´ eterminant est automatiquemen t comp ens´ e p ar un f acteur de ph ase dans l’exp onen tielle. C’ ´ etait at tend u pu isque l’applicat ion r´ egulateur est canoniquemen t d ´ eﬁn ie. Une autre cons´ equence de cette form u le est qu’elle p ermet de calculer l’a n omalie m u ltiplicativ e du d´ eterminan t renormalis ´ e, v oir [46]. Chapter 5 Group o ¨ ıdes conformes et lo cal i sation On exp ose dans ce chapitre un th ´ eor` eme de l’indice lo cal b as ´ e sur u ne renormalisa- tion sans op ´ erateur de Dirac. Consid´ erons un group e discret G op ´ eran t p ar trans- formations co nformes sur le plan complexe not ´ e Σ. Aﬁn d ’incorp orer des exemples non triviaux on sup p ose que l’action d e tout ´ el ´ emen t g ∈ G n’est d´ eﬁnie que su r u n domaine Dom( g ) ⊂ Σ, ´ ev entuellemen t vide. L’op´ erateur de Dolb eault d´ eﬁnit na- turellemen t un quasihomomorphisme p -sommable en tre des compl ´ etions con v enables du p ro duit crois´ e A 0 = C ∞ c (Σ) ⋊ G et d e l’alg ` ebre B 0 du group e. Notre ob jectif est d’utiliser la f ormule lo cale d’anomalie. Contrairemen t ` a la situation du c hapitre 2, l’actio n de G n e pr´ eserve aucune m´ etrique riemannienn e sur Σ. I l n’est donc pas na- turel d’introdu ire u n op´ erateur de Dirac et la renorm alizat ion zˆ eta n’est p as adapt ´ ee. Un c h oix b eaucoup plu s ju dicieux est d’exploiter u niquement la stru ctur e complexe du plan. L’anomalie est alo r s plus facile ` a calculer, et comme pr ´ evu se lo calise au- tomatiquemen t aux p oints ﬁxes de l’ac tion de G . Le th´ eor ` eme de l’indice qui en r ´ esulte s’exprime en fonction de deu x co cycles cycliques sur A 0 . Le premier est une trace qu i g ´ en´ eralise la formule de Lefschetz aux p oin ts ﬁxes d’ordre su p ´ erieur. Le deuxi ` eme est un 2-cocycle cyclique construit ` a partir du group e d’automorph ismes mo dulaires du p ro duit crois´ e. C e tra v ail fait l’ob jet de la pr´ epublication [47] D. P errot: Lo calization o v er complex-a n alytic group oids and conformal renor- malizatio n , preprin t arXiv:0804 .3969 . Notons que les r´ esultats pr´ esen t´ es ici g ´ en´ eralisen t ceux obtenus en u tilisan t l’alg ` ebr e d e Hopf d e Connes et Mosco vici et pub li ´ es d an s [39] D. Perrot: A Riemann-Roch theorem for o n e-dimensional complex group oids, Comm. Math. Phys. 218 (2001) 373-391. 5.1 Quasihomomorphisme de Dolb eault Dans tout le c hapitre Σ = C d ´ esigne le plan complexe vu comme surface de Riemann, a v ec z son syst` eme de co ordonn´ ees complexes. On n ote Ω ∗ c (Σ) l’alg ` ebre des formes diﬀ ´ erentie lles complexes ` a supp ort compact sur Σ. La sous-alg ` ebre des 0-formes est donc isomorphe aux fonctio ns lisses ` a supp ort compact C ∞ c (Σ), et l’espace des 1-formes s e scinde en somme directe Ω 1 , 0 c (Σ) ⊕ Ω 0 , 1 c (Σ) des formes prop ortionnelles 50 Group o ¨ ıdes conformes et localisation resp ectiv ement ` a dz et dz . De mˆ eme la diﬀ ´ erentielle de d e Rham d = ∂ + ∂ se scinde en la somme d e ∂ = dz ∂ z et d e l’op ´ erateur de Dolb eault ∂ = dz ∂ z . On notera Q = ∂ : C ∞ c (Σ) → Ω 0 , 1 c (Σ) (5.1) sa restriction ` a l’espace d es 0-formes. D ´ esignons improprement par Q − 1 : Ω 0 , 1 c (Σ) → C ∞ (Σ) l’op ´ erateur de Green asso ci ´ e ` a Q . Son no ya u d istributionnel sur Σ × Σ est prop ortionnel au no yau de Cauch y [47]: en deux p oint s quelconques w , z du plan Q − 1 ( z , w ) = 1 π ( z − w ) . (5.2) Puisque la m ultiplication des fonctions scalaires par une 1-forme A = d z A z ∈ Ω 0 , 1 c (Σ) induit un e application C ∞ c (Σ) → Ω 0 , 1 c (Σ), la comp os ´ ee Q − 1 A est un op´ erateur C ∞ c (Σ) → C ∞ (Σ). On ve u t l’ ´ etendr e en un op´ erateur compact sur u n esp ace de Hilb ert. P our tout p oids α ∈ R , d ´ eﬁn issons l’espace de Hilb ert H α comme la compl ´ etion de C ∞ c (Σ) p our la n orme k ξ k α =  Z Σ d 2 z (1 + | z | ) α | ξ ( z ) | 2  1 / 2 ∀ ξ ∈ C ∞ c (Σ) , o ` u d 2 z = d z ∧ dz / 2 i est la forme vol u me euclidienne. Comme cons ´ equence du lemme de Rellic h [24] on obtient l’estimation su iv ante. Lemme 5.1.1 ( [47]) Pour to ute 1-forme A ∈ Ω 0 , 1 c (Σ) , la c omp os ´ e e Q − 1 A s’´ etend en un op´ er ateur c omp act sur H α d ` es que α < − 1 . Dans c e c as Q − 1 A est da ns la classe de Schatten ℓ p ( H α ) p our tout p > 2 . Consid´ erons main tenant G un group e discr et agissan t s u r Σ par transforma- tions conformes de la mani ` ere s uiv an te [47]. A tout ´ el ´ emen t g ∈ G on asso cie deux ouv erts ( ´ eve ntuellemen t vides) Dom( g ) ⊂ Σ et Ran( g ) ⊂ Σ ainsi qu’un e trans - formation conforme in versible Dom ( g ) → Ran( g ), av ec la condition Dom( g h ) ⊃ h − 1 (Dom( g )) ∩ Dom( h ) p our tous g , h ∈ G . P ar exemple G est un sous-group e discret de S L (2 , C ) agissan t sur le plan par homographies. Insistons sur le fait qu’en g ´ en´ eral, la transformation conforme Dom( g ) → Ran( g ) ne caract ´ erise p as g de m ani ` ere unique comme ´ el ´ emen t du group e G . Par exemple, G est un group e quelconque agissan t trivial ement sur Σ, a ve c Dom( g ) = Σ p our tout g ∈ G . D ´ esignons ensuite par A 0 l’espace engend r´ e par le s sommes ﬁ nies de sym b oles f U ∗ g a v ec f ∈ C ∞ c (Σ) et g ∈ G tels que supp f ⊂ Dom( g ). Le pro duit d e con volutio n ( f 1 U ∗ g 1 )( f 2 U ∗ g 2 ) = f 1 ( f 2 ◦ g 1 ) U ∗ g 2 g 1 d ´ eﬁn it une structure d ’alg ` ebr e associativ e sur A 0 que l’on ´ ecrira comme un p ro duit crois´ e A 0 = C ∞ c (Σ) ⋊ G . (5.3) L’alg ` eb re A 0 est naturellemen t r ep r ´ esent ´ ee lin´ eairemen t su r l’espace Ω ∗ c (Σ) et r e- sp ecte le bidegr´ e des formes d iﬀ´ erent ielles: p our tout f U ∗ g ∈ A 0 on notera f r ( g ) + sa repr´ esen tation sur C ∞ c (Σ) et f r ( g ) − sa repr´ esenta tion s ur Ω 0 , 1 c (Σ). Soit B 0 l’alg ` ebr e de conv olution d u group e G : c’est l’espace engendr´ e par sommes ﬁ n ies de symboles U ∗ g m un i d u pr o duit U ∗ g 1 U ∗ g 2 = U ∗ g 2 g 1 . Choisissons u ne compl´ etion B ⊃ B 0 en m - alg ` eb re de F r ´ ec het. P our tout c h oix de p oids α < − 1, il existe deux homomorp h ismes ρ + , ρ − : A 0 → En d( H α ) ⊗ B d ´ eﬁn is par ρ ( f U ∗ g ) + = f r ( g ) + ⊗ U ∗ g , ρ ( f U ∗ g ) − = Q − 1 f r ( g ) − Q ⊗ U ∗ g . 5.1 Quasihomomorphisme de Dolbe a ult 51 Comme l’op ´ erateur d e Dolb eault est inv arian t conforme, on a r ( g ) − Q = Qr ( g ) + et le lemme 5.1.1 implique que la d iﬀ ´ erence ρ + − ρ − est ` a v aleurs dans l’id´ eal ℓ p ( H α ) ⊗ B , p > 2. En p osan t I = ℓ p ( H α ) on obtient d onc un quasihomomorphisme p -sommable de d egr ´ e pair ρ : A → E s ⊲ I s ˆ ⊗ B (5.4) p our une compl ´ etion ad´ equate A ⊃ A 0 en m -alg ` ebr e de F r´ ec het [47]. Puisque l’image d e ρ ± est conten ue dans u n pro duit tensoriel End( H α ) ⊗ B , le quasihomo- morphisme est automatiquemen t adm issible relativ emen t ` a toute extension quasi- libre 0 → J → R → B → 0. On p ourra pren dre p ar exemple l’al g` ebre tensorielle R = T B . Le th´ eor ` eme 3.3.1 appliqu´ e aux inv arian ts primaires donn e le diagramme comm utatif (4.6 ): K top j ( I ˆ ⊗ A ) ρ ! / /   ∆ ' ' K top j ( I ˆ ⊗ B )   H P j ( A ) c h ( ρ ) / / H P j ( B ) j ∈ Z 2 (5.5) P ar p ´ erio dicit ´ e d e Bott, il su ﬃt de consid´ erer comme d’h ab itu d e la K -th ´ eorie imp aire ( j = 1). Nous a vo n s donn´ e dans [47] une form ule locale de l’incice, en calculan t la diagonale ∆ s ou s la forme d’une anomalie c hirale asso ci ´ ee ` a u ne th´ eorie d es champs conforme, d’apr ` es la m ´ etho de expos´ ee au c hapitre 4. La renormalisatio n eﬀectu ´ ee dans cette situation n´ ecessite cep endant de se restreindr e ` a la K -th ´ eorie de la sous- alg ` eb re d ense A 0 . C onsid ´ erons donc un ´ el ´ emen t in v ersib le u ∈ ( A 0 ) + repr´ esen tant une classe [ u ] ∈ K top 1 ( I ˆ ⊗ A ), et choisissons u n rel ` evemen t inv ersible arbitraire ˆ u ∈ ( b T A 0 ) + . L’image de ˆ u sous les rel ` ev ements de ρ ± en des homomorph ism es ( ρ ∗ ) ± : b T A 0 → En d( H α ) ⊗ b R p er m et de d ´ eﬁn ir d eux inv ersibles ˆ u + et ˆ u − par ρ ∗ ( ˆ u ) + = ˆ u + , ρ ∗ ( ˆ u ) − = Q − 1 ˆ u − Q . On introd uit ens uite un p oten tiel de jauge A ∈ Hom( C ∞ c (Σ) , Ω 0 , 1 c (Σ)) ⊗ b R par la form u le (4.15), A = ˆ u − 1 − Q ˆ u + − Q , (5.6) de sorte qu e l’op´ erateur Q − 1 A = Q − 1 ˆ u − 1 − Q ˆ u + − 1 s’´ etende en u n ´ el ´ emen t de l’id ´ eal I ⊗ b R ⊂ End( H α ) ⊗ b R . En com binant la trace T r d es op´ erateurs sur H α a v ec la trace univ ers elle ♮ : b R → b R ♮ = b R / [ , ] la fonctionnelle d ’action quan tique est d´ eﬁnie comme s´ erie f orm elle en p uissances de A W ( A ) = X n ≥ 1 W n ( A ) , W n ( A ) = ( − ) n +1 n T r ♮ (( Q − 1 A ) n ) ∈ b R ♮ . (5.7) Puisque I = ℓ p ( H α ) p our p > 2, la trace d’op ´ erateurs n’a de sens que p our n ≥ 3 et seu ls les termes de plus bas degr ´ e W 1 ( A ) et W 2 ( A ) n´ ecessiten t une renorm alisa- tion. L’anomalie ∆( ω , A ), qui corresp ond ` a l’image de la s ´ erie f ormelle renormalis´ ee W R ( A ) sous l’applicatio n de b ord d : b R ♮ → Ω 1 b R ♮ , est donc un p olynˆ ome en A de degr ´ e au plus 2 (voir (4.16)) et d ´ eﬁn it u ne classe d’homologie cyclique dans H P 1 ( B ) ind ´ ep endante d e la renormalisation c hoisie. Notons que la construction pr ´ ec ´ edente se g ´ en ´ eralise de m ani ` ere ´ eviden te au cas d’un inv ersible dans l’alg ` ebre des matrices u ∈ M ∞ ( A 0 ) + ⊂ ( I ˆ ⊗ A ) + . La discussion d u c h apitre 4 impliqu e donc la p rop osi- tion suiv an te. 52 Group o ¨ ıdes conformes et localisation Prop osition 5.1.2 ([47]) Soit u ∈ M ∞ ( A 0 ) + un ´ el´ ement inversible r epr ´ esentant une classe dans K top 1 ( I ˆ ⊗ A ) . Alor s p our toute r enormalisa tion de la s´ erie formel le W R ( A ) asso ci´ ee au p otentiel de jauge A = ˆ u − 1 − Q ˆ u + − Q , l’anomalie ∆( ω , A ) = d W R ( A ) ≡ √ 2 π i c h( ρ ! ( u )) ∈ H P 1 ( B ) (5.8) est un p olynˆ ome en A de de gr ´ e au plus 2 qui c alcule la diagonale du diagr amme c ommutat i f (5.5). 5.2 Renormalisati on conforme Nous allons main tenant renormaliser les d eux premiers termes W 1 ( A ) et W 2 ( A ) de la f on ctionnelle d’act ion quan tique asso ci ´ ee au p otentie l de jauge A ∈ Hom( C ∞ c (Σ) , Ω 0 , 1 c (Σ)) ⊗ b R , en exp loitant uniquement la structure complexe d e Σ. Rapp elons que r ( g ) + d ´ esigne l’actio n de g ∈ G sur les fonctions f ∈ C ∞ c (Σ) dont le supp ort est con tenu dans Dom( g ). On p eut donc d´ ecomp oser le p oten tiel en une somme A = X g ∈ G A ( g ) r ( g ) + a v ec A ( g ) ∈ Ω 0 , 1 c (Σ) ⊗ b R , o ` u l’espace des 1-formes Ω 0 , 1 c (Σ) est vu dans Hom( C ∞ c (Σ) , Ω 0 , 1 c (Σ)) par m ultipli- cation sur C ∞ c (Σ). Dans le syst` eme d e co ord onn ´ ees complexes z sur Σ ´ ecrivo n s A ( g ) = d z A z ( g ) et regardons chaque comp osante A z ( g ) ∈ C ∞ c (Σ) ⊗ b R comme une fonction test sur Σ ` a v aleurs dans b R . Un calcul na ¨ ıf au mo y en du noy au distribu- tionnel de Q − 1 donne ([47]) W 1 ( A ) = T r ♮ ( Q − 1 A ) = X g ∈ G Z Σ d 2 z ♮A z ( g , z ) π ( g ( z ) − z ) , o ` u g ( z ) est fonction h olomorphe de z . A priori cette expr ession n’a pas de sens. R enormaliser W 1 ( A ) revien t ` a prolonger la fonction z 7→ 1 / ( g ( z ) − z ) en une d is- tribution s u r Σ. La diﬃcult ´ e pro vient bien en tendu de ses pˆ oles, autrement dit des p oints ﬁxes de la transformation g . On dit qu’un p oin t ﬁxe z 0 ∈ Do m( g ) est d’ordre n ≥ 1 si g ( z ) − z se comp orte comme ( z − z 0 ) n au v oisinage de z 0 . Le cas n = ∞ sig n iﬁe qu e tous le s p oin ts sont ﬁxes au v oisinage de z 0 . Le p rolonge- men t d istributionnel de la fonction 1 / ( g ( z ) − z ) en un p oin t ﬁx e d´ ep end d e son ordre: • Si n = ∞ alors 1 / ( g ( z ) − z ) n ’a aucun s en s autour de z 0 . Dans ce cas on assigne une v aleur quelconque ` a cette fonction, par exemple z ´ ero (le c hoix le plus simp le). • Si n < ∞ , alors z 0 est n´ ecessairemen t un p oin t ﬁxe isol ´ e. Remarqu ons qu e p our z 6 = z 0 on a un e ´ egalit ´ e de fonctions 1 g ( z ) − z = 1 ( z − z 0 ) n H n g ,z 0 ( z ) a v ec H n g ,z 0 ( z ) := ( z − z 0 ) n g ( z ) − z , et H n g ,z 0 est holomorphe su r un vo isin age de z 0 . Il suﬃt donc de construire un prolongemen t distribu tionnel de la fonction m´ eromorphe 1 / ( z − z 0 ) n . On p eut ´ ecrire 1 ( z − z 0 ) n = ( − ) n − 1 ( n − 1)! ∂ n − 1 z  1 z − z 0  , (5.9) 5.2 Renormalisation conforme 53 et le membre d e droite d´ eﬁnit bien un e distribution sur u n v oisinage d e z 0 . En pro c ´ edant de la sorte en tous les p oin ts ﬁ xes on obtien t le terme renormalis´ e W 1 R ( A ). D’autres renormalisations son t p ossibles, mais celle d´ ecrite ici est la seule invariante c onforme , c’est-` a-dire ind ´ ep endante d u syst ` eme d e co ordonn´ ees complexes choisi. La renorm alisation d u terme W 2 R ( A ) est analogue. Dans ce cas il faut p rolonger la fonction de deux v ariables complexes ( z , w ) 7→ 1 / ( h ( w ) − z )( g ( z ) − w ) en une distribution p our tous g , h ∈ G . Les formules sont aussi bas ´ ees s ur le pr olongement (5.9) et nous renv o y ons ` a [47] p our plus de d ´ etails. La s´ erie formelle W R ( A ) est alors bien d ´ eﬁnie et on p eut calculer l’anomalie ∆( ω , A ) = d W R ( A ) au mo ye n des ´ equ ations BRS (c hapitre 4) − d A = ( Q + A ) ω + + ω − ( Q + A ). Ici la forme de Maurer- Cartan se d´ ecomp ose de mani ` ere analog u e au p oten tiel A , ω ± = X g ∈ G ω ( g ) r ( g ) ± a v ec ω ( g ) ∈ C ∞ c (Σ) ⊗ Ω 1 b R . Puisque les p r obl ` emes d e renormalisation son t concen tr ´ es aux p oin ts ﬁ xes de l’action de G su r Σ, il n ’est pas ´ etonnan t d e constater que l’anomalie est aus si lo calis ´ ee aux p oint s ﬁx es: Prop osition 5.2.1 ([47]) L’anomalie asso ci´ ee ` a la r enormalisat ion c onforme est un p olynˆ ome de de gr´ e 1 p ar r app ort ` a A . Sa c omp osante de de gr ´ e z´ er o ∆ 0 ( ω , A ) est une somme sur les p oints ﬁxes isol´ es: ∆ 0 ( ω , A ) = X g ∈ G X z 0 = g ( z 0 ) isol´ e − 1 ( n − 1)! ∂ n − 1 z  H n g ,z 0 ( z ) ♮ω ( g , z )  z = z 0 , (5.10) o` u n ∈ N ∗ d ´ enote l’or dr e de z 0 . L a c omp osante de de gr ´ e un ∆ 1 ( ω , A ) est une int ´ egr ale sur la vari ´ et´ e c omplexe des p oints ﬁxes non isol ´ es ( = d’or dr e inﬁni): ∆ 1 ( ω , A ) = 1 π X g ,h ∈ G Z z = hg ( z ) d 2 z ♮  ∂ z − 1 2 ∂ z ln g ′ ( z )  A z ( g , z ) ω ( h, g ( z )) , (5.11) o` u g ′ ( z ) est la d ´ eriv´ ee de la fonction holomorp he g ( z ) . La p r euv e est un calcul direct. Il convien t de remarquer que la con tribution d’un p oint ﬁxe d’ordr e n dans ∆ 0 ( ω , A ) d´ ep end uniqu emen t d es d´ eriv ´ ees de g d ’ordre ≤ 2 n − 1. Par exemple aux plus bas ordres le calcul donne − 1 ( n − 1)! ∂ n − 1 z  H n g ,z 0 ( z ) ♮ω ( g , z )  z = z 0 = ( n = 1) : 1 1 − g ′ ( z 0 ) ♮ω ( z 0 ) ( n = 2) : 2 g ′′ ( z 0 )  1 3 g ′′′ ( z 0 ) g ′′ ( z 0 ) ♮ω ( z 0 ) − ♮∂ z ω ( z 0 )  ( n = 3) : 3 2 g ′′′ ( z 0 ) 1 10 g (5) ( z 0 ) g ′′′ ( z 0 ) ♮ω ( z 0 ) − 1 8 g (4) ( z 0 ) g ′′′ ( z 0 ) ! 2 ♮ω ( z 0 ) + 1 2 g (4) ( z 0 ) g ′′′ ( z 0 ) ♮∂ z ω ( z 0 ) − ♮∂ 2 z ω ( z 0 ) ! On retrouve donc le nombre de Lefsc hetz bien conn u dans le cas n = 1, tandis que p our n > 1 les j ets d ’ordre su p ´ erieur de la transformation g int er v ienn en t. 54 Group o ¨ ıdes conformes et localisation 5.3 Th ´ eor` eme de l’indice Nous p ouvo n s maintenan t calculer la diagonale du diagramme (5.5) restreinte ` a la sous-alg ` ebre A 0 . D ´ eﬁnissons l’ensemble Γ = a g ∈ G Dom( g ) = { ( g , z ) ∈ G × Σ | z ∈ Dom( g ) } . (5.12) Γ m un i de la loi de comp osition p artielle ( g, z ) · ( h, w ) = ( gh, w ) p our z = h ( w ) ∈ Dom( g ) est u n group o ¨ ıde ´ etale. Remarquons que A 0 = C ∞ c (Σ) ⋊ G s’identiﬁe ` a l’alg ` ebr e d e con volution des fonctions lisses ` a supp ort compact su r Γ. Les automorphism es de Γ corresp onden t aux coup les γ 0 = ( g , z 0 ) f orm ´ es d’un ´ el´ emen t g ∈ G agissan t par transformation conforme sur Σ et d ’un p oin t ﬁxe z 0 ∈ Dom( g ). L’ensem b le d e tous les automorphismes de Γ est la r´ eun ion du sous- ensem ble discret Γ f des automorphismes isol´ es (ordr e n < ∞ ), et d e la v ari ´ et ´ e complexe de dimension un Γ ∞ des automorphismes non isol ´ es (ordre n = ∞ ). Un examen atten tif d es formules (5.10) et (5.11) p ermet d e “deviner” certains co cycles cycliques sur l’alg ` eb re de con vol u tion du group o ¨ ıde Γ. Lemme 5.3.1 ( [47]) Soit γ 0 = ( g, z 0 ) ∈ Γ f un automorp hisme isol ´ e d’or dr e n ∈ N ∗ . L a fonctionnel le lin´ eair e A 0 → C donn ´ ee p ar a 7→ ∂ n − 1 z  H n g ,z 0 ( z ) a ( g, z )  z = z 0 est ind ´ ep endante du choix de syst` eme de c o or donn ´ ees c omplexes z choisi. Ecrivons γ = ( g, z ) ∈ Γ dans un voisina ge d e γ 0 muni de sa structur e c omplexe, H n g ,z 0 ( z ) = H n γ 0 ( γ ) et identiﬁons ∂ z et ∂ γ . Alors en sommant sur tous les automorph ismes isol´ es, la fonctionnel le Φ(Γ) : A 0 → C d´ eﬁnie p ar Φ(Γ)( a ) = X γ 0 ∈ Γ f − 1 ( n − 1)! ∂ n − 1 γ  H n γ 0 ( γ ) a ( γ )  γ = γ 0 est une tr ac e sur l’alg ` ebr e A 0 . Ainsi la co mp osan te de degr ´ e z ´ ero d e l’anomalie ∆ 0 ( ω , A ) est essentiell emen t une trace ´ ev alu´ ee sur ω , d´ eﬁnie uniqu ement ` a partir de la structure complexe de Γ. La comp osan te de degr ´ e u n ∆ 1 ( ω , A ) fait quan t ` a elle in terv enir un analogue non- comm utatif de la classe de T o dd [39]. Remarquons d’ab ord que les trois diﬀ ´ erentiel les ∂ , ∂ et d = ∂ + ∂ sur l’alg ` ebre Ω ∗ c (Σ) commute n t a vec les transformations conformes, donc s’´ etenden t en des diﬀ´ eren tielles su r le pr o duit crois ´ e Ω ∗ c (Σ) ⋊ G . I l existe une quatri ` eme diﬀ´ erent ielle pro venan t d u gr oup e d’automorp hismes mo dulair es : s on g ´ en ´ erateur est une d ´ eriv ation D sur Ω ∗ c (Σ) ⋊ G , D ( f U ∗ g ) = ln | g ′ | 2 f U ∗ g , ∀ f ∈ Ω ∗ c (Σ) , g ∈ G , o ` u la fonction scalaire z 7→ | g ′ ( z ) | 2 mesure la dilatatio n du v olume euclidien sur Σ induite par la transformation g . Le comm utateur d e la d´ eriv ation D av ec la diﬀ ´ erentie lle ∂ d´ eﬁnit d onc un e nouvelle diﬀ ´ erentie lle δ = [ ∂ , D ] , δ 2 = 0 , (5.13) qui antico m mute a v ec d , ∂ , et ∂ . On a exp licitement δ ( f U ∗ g ) = ( ∂ ln g ′ ) f U ∗ g . Alors l’in t´ egration d es 2-formes su r la v ari ´ et ´ e Γ ∞ orien t´ ee par sa stru cture complexe p er- met de constru ire des 2-co cycles cycliques sur la sous-alg ` ebre A 0 ⊂ Ω ∗ c (Σ) ⋊ G : 5.3 Th´ eor` eme de l’indice 55 Lemme 5.3.2 ( [39, 47]) L a c lasse fondamentale du gr oup o ¨ ıde Γ est le 2-c o cycle cyclique sur A 0 d ´ eﬁni p ar la fonctionnel le [Γ]( a 0 d a 1 d a 2 ) = Z Γ ∞ a 0 da 1 da 2 ∀ a i ∈ A 0 . L a classe de Chern du gr oup o ¨ ıde est le 2-c o cycle cyclique c 1 (Γ)( a 0 d a 1 d a 2 ) = Z Γ ∞ a 0 ( da 1 δ a 2 + δ a 1 da 2 ) ∀ a i ∈ A 0 . L a som me Td(Γ) := [Γ] − 1 2 c 1 (Γ) e st app el´ ee classe de T o d d du gr oup o ¨ ıde. La classe de T o d d adm et u ne expr ession simple en fonction de la diﬀ´ eren tielle ∇ = d − 1 2 δ . En eﬀet δ a 1 δ a 2 = 0 p our des raisons dimensionn elles et Td(Γ)( a 0 d a 1 d a 2 ) = Z Γ ∞ a 0 ∇ a 1 ∇ a 2 . (5.14) Ce 2-cocycle cyclique n’est cep endan t pas ent i` eremen t canonique car le g´ en ´ erateur D du group e mo d ulaire d´ ep end d u c h oix d e la mesure euclidienne en plus de la stru c- ture complexe sur Σ. Comme il n’y a aucune raison de pr ´ ef´ erer la mesure euclidienne on p eut aussi bien repr´ esen ter le group e mo dulaire au mo y en d’une forme v olume quelconque sur Σ. Nous a v ons montr ´ e dans [39] comment mo diﬁ er en cons ´ equence le co cycle (5. 14 ) sans c hanger sa classe de cohomolog ie: un terme pr op ortionnel ` a la courb ure de la m´ etrique de K¨ ahler appara ˆ ıt. On retrouve ainsi l’expression de la classe de T o d d d’un e sur f ace de Riemann . Soit main tenan t B l’alg ` eb re de con v olution du group e discret G compl ´ et ´ ee en m -alg ` eb r e d e F r´ ec het. On d ´ eﬁn it u n homomorphisme ˜ ρ : A 0 → A 0 ⊗ B en p osant ˜ ρ ( f U ∗ g ) = f U ∗ g ⊗ U ∗ g . S i e ∈ M ∞ ( A 0 ) est un idemp oten t et u ∈ M ∞ ( A 0 ) + un in versible, les caract ` eres de Chern de leur s images sous ˜ ρ son t des classes d’homologie cyclique p´ erio dique c h ( ˜ ρ ( e )) ∈ H P 0 ( A 0 ⊗ B ) , c h ( ˜ ρ ( u )) ∈ H P 1 ( A 0 ⊗ B ) , o ` u l’al g` ebre A 0 ⊗ B est consid´ er´ ee comme discr ` ete. D’autre part, to u te c lasse de cohomologi e cyclique p´ erio dique ϕ sur A 0 induit une application cap-pr o duit ϕ ∩ : H P ∗ ( A 0 ⊗ B ) → H P ∗ ( B ) . En utilisan t la form u le locale d ’anomalie, nous a v ons montr ´ e dans [47] que la di- agonale du diagramme (5 .5 ) restreint e ` a la sous-alg ` ebre A 0 ⊂ A se ram` ene ` a un cap-pro duit a vec la classe de cohomologie cyclique ϕ = Φ(Γ) + Td(Γ): Th´ eor ` eme 5.3.3 ( [47]) Soit e ∈ M ∞ ( A 0 ) u n idemp otent et u ∈ M ∞ ( A 0 ) + un in- versible. Alors les c ar act` er es de Chern de leurs images dir e ctes ρ ! ( e ) ∈ K top 0 ( I ˆ ⊗ B ) et ρ ! ( u ) ∈ K top 1 ( I ˆ ⊗ B ) sont donn´ es p ar les c ap-pr o duits c h ( ρ ! ( e )) = (Φ(Γ) + Td(Γ)) ∩ c h ( ˜ ρ ( e )) ∈ H P 0 ( B ) , c h( ρ ! ( u )) = (Φ(Γ) + Td(Γ)) ∩ c h( ˜ ρ ( u )) ∈ H P 1 ( B ) , o` u ˜ ρ : A 0 → A 0 ⊗ B est l’homomorp hisme c anonique. 56 Group o ¨ ıdes conformes et localisation On p eut donn er d es form u les explicites. L’homomorph isme ˜ ρ se r el ` ev e en u n h omo- morphisme de pro-alg ` ebres ˜ ρ ∗ : b T A 0 → A 0 ⊗ b R . En oubliant l’alg ` ebre des matrices M ∞ p our simpliﬁer l’ ´ ecriture, l’idemp oten t ˜ ρ ( e ) ∈ A 0 ⊗ B se rel` ev e donc en u n idemp oten t ˜ e = ˜ ρ ∗ ( ˆ e ) ∈ A 0 ⊗ b R et de mˆ eme l’inv ersible ˜ ρ ( u ) ∈ ( A 0 ⊗ B ) + se rel` ev e en u n inv ersible ˜ u = ˜ ρ ∗ ( ˆ u ) ∈ ( A 0 ⊗ b R ) + . On a alors c h ( ρ ! ( e )) = Φ(Γ) ♮ (˜ e ) − Z Γ ∞ ♮ ˜ e ∇ ˜ e ∇ ˜ e 2 π i ∈ b R ♮ , (5.15) c h ( ρ ! ( u )) = Φ(Γ) ♮  ˜ u − 1 d ˜ u √ 2 π i  − Z Γ ∞ ♮ ˜ u − 1 ∇ ˜ u ∇ ˜ u − 1 d ˜ u 2(2 πi ) 3 / 2 ∈ Ω 1 b R ♮ . (5.16) Le th ´ eor` eme 5.3.3 se d´ emontre en r emarquan t qu e p our A = ˆ u − 1 − Q ˆ u + − Q , l’anomalie ∆( ω , A ) donn´ ee par la prop osition 5.2.1 co ¨ ıncide a v ec le mem b r e de droite dans (5.16) mo dulo un b ord (et un fac teur √ 2 π i ). L e c as pair s’en d ´ eduit par p´ erio dicit ´ e de Bott. Remarque 5.3.4 Dans le cas o ` u Γ f = ∅ et Γ ∞ = Σ , le co cycle cyclique ϕ = Φ(Γ) + Td(Γ) se r ´ edu it ` a la classe de T o dd Td(Γ)( a 0 d a 1 d a 2 ) = Z Σ a 0 ∇ a 1 ∇ a 2 . Nous a vions d´ ej` a obtenu cette form ule dans [39], en utilisan t l’appro che de C onnes et Mosco vici par l’alg ` ebre de Hopf des d iﬀ ´ eomorphismes [16]. Dans ce tte situation, G est un p seudogroup e d e transform ations conform es dont l’action est relev ´ ee au ﬁbr´ e P des m´ etriques de K ¨ ahler au-dessus de Σ , et l’on obtien t un K -cycle su r l’alg ` ebr e C ∞ c ( P ) ⋊ G en com binant l’op ´ erateur d e Dolb eault horizonta l et l’op ´ erateur de signature vertica l. P our cette raison un f acteur 2 global app ara ˆ ıt dans la formule d e [39]. Notons que la diﬀ´ eren tielle δ = [ ∂ , D ] est l’un des g ´ en´ erateurs d e l’alg ` ebre de Hopf d e C onnes et Mosco vici. Bibliograph y [1] J. Arnlind , J . Mic kel s son: T r ace extensions, determinant bundles, and gauge group co cycles. L ett. Math. P hys. 62 (2002) 101-110 . [2] M. F. Ati yah, I. M. Singer: The index of elliptic op erators. I I I, Ann. Math. 87 (1968 ) 546-609. [3] M. F. A tiyah, I. M. Singer: Dirac op erators coupled to v ector p oten tials, Pr o c. Nat. A c ad. Sci. USA 81 (1984) 2597. [4] N. Berline, E. Getzler, M. V ergne, He at kernels and Dir ac op er ators , Grundlehren des Mathematisc hen Wissensc haft 298, Sp ringer-V erlag (1992). [5] B. Blac k adar: K - the ory for op er ator algebr as , Sp ringer-V erlag, New-Y ork (1986). [6] M.-T. Benameur, M. Maghfoul: Diﬀeren tial c h aracters in K -theory , Diﬀ. Ge om. and Appl. 24 (2006) 417-432. [7] J.-M. Bism ut, J. Lott: Flat vecto r bund les, direct images and higher real analytic torsion, J. A MS 8 (1995) 291-363 . [8] A. Carey , J. Mic ke lss on , M. Murray: In d ex theory , gerb es, and Hamiltonian quan tization, Comm. Math. Phys. 183 (1997) 707-722. [9] A. Connes: Non-comm utativ e d iﬀeren tial geometry , Publ. Math. IHES 62 (1986) 41-14 4. [10] A. Conn es: En tire cyclic cohomology of Banac h algebras and c haracters of θ -summable F redholm mo du les, K-The ory 1 (1988) 519-54 8. [11] A. Connes: Non-c ommutative g e ometry , Academic Press, New-Y ork (19 94). [12] A. Connes, M. Karoubi: Caract ` ere m ultiplicatif d’u n mo du le de F redholm, K - The ory 2 (1988) 431-46 3. [13] A. Connes, H. Mosco vici: Cyclic cohomology , the No vik o v conjecture and h y- p erb olic group s , T op olo gy 29 (1990) 345-388. [14] A. Connes, H. Mosco vici: T ransgression and the Chern c haracter of ﬁnite- dimensional K -cycles, Comm. Math. Phys. 155 (1993) 103-12 2. [15] A. Conn es, H. Mosco vici: The lo cal index form u la in n on-comm utativ e ge ome- try , GAF A 5 (1995) 174-243. [16] A. Conn es, H. Mosco vici: Hopf algebras, cyclic cohomology and the tran s v erse index theorem, Comm. Math. Phys. 198 (1998) 199-246. 58 BIBLIOGRAPHY [17] G. Corti ˜ nas, A. Thom: Comp arison b et ween algebraic and topological K -theory of lo cally conv ex algebras, A dv. M ath. 218 (2008) 266-307. [18] J. C u n tz: A new lo ok at K K -theory , K-The ory 1 (1987) 31-51. [19] J. Cuntz : Biv arian te K -Theorie f ¨ ur lok alk on vexe Algebren und der biv arian te Chern-Conn es-Charakter, Do cum. M ath. J. DMV 2 (1997) 139-182 . [20] J. Cun tz: Cyclic theory , biv arian t K -t h eory and the b iv arian t Chern-Conn es c haracter, Enc. Math. Sc i . 121 (2004) 1-71. [21] J. Cuntz, D. Quillen: Cyclic h omology and nonsingularit y , JAMS 8 (1995) 373-4 42. [22] P . de la Harp e, G. Sk andalis: D´ eterminan t asso ci ´ e ` a u ne trace sur un e alg ` ebre de Banac h , Ann. Inst. F ourier 34 1 (1984) 241-26 0. [23] B. V. F edoso v: Analytical formulas for th e ind ex of an elliptic op erator, T r ans. Mosc ow Math. So c. 30 (1974) 159-240. [24] P . Gilk ey: Invarianc e the ory, the he at e quation, and the At iyah-Singer index the or em , 2nd ed., Stu dies in Adv anced Mathematics, C RC Press (1995). [25] N. Higson: The residue index theorem of Connes and Mosco vici. S urve ys in noncomm u tative geometry , Clay M ath. Pr o c. 6 (2006) 71-126. [26] L. H¨ ormand er: F ourier int egral op erators. I, A cta Math. 127 (1971) 79-183 . [27] C. Itzykson, J .-B. Zu b er: Q u antum Field The ory , McGra w Hill (1980) . [28] A. J aﬀe, A. Lesniewski, K. O s terw alder: Qu antum K -theory , I . The Chern c haracter, Comm. Math. Phys. 118 (1988 ) 1-14. [29] M. Karoubi: Homolog ie cyclique et K -th ´ eorie, Ast ´ e risqu e 149 (1987). [30] M. Karoub i: Th ´ eorie g ´ en´ erale d es classes caract ´ er istiqu es secondaires, K - The ory 4 (1990) 55-87. [31] G. G. Kasparov: An index f or in v arian t elliptic op erators, K -theory , and rep- resen tations of Lie groups, Soviet Math. D okl. 27 1 (1983) 105-109. [32] J. Mic k elsson: W o dzic ki resid u e and anomalies of current algebras, p reprint arXiv:hep-th/94040 93 . [33] J. Mick elsson, S. Scot t: F unctorial QFT, Gauge anomalies and the Dirac de- terminan t b undle, Comm. Math. Phys. 219 (2001) 567-605. [34] J. Ma˜ n es, R. Stora, B. Zumino: Algebraic study of c hir al anomalie s, Comm. Math. P hys. 102 (1985) 157. [35] R. Mey er: Lo cal and Analytic Cyclic Homology , EMS T r acts in Math. 3 , EMS Publishing Hous e (2007). [36] V. Nistor: A biv arian t Chern c haracter for p -summable qu asih omomorp hisms, K-The ory 5 (1991) 193-21 1. [37] V. Nistor: A biv ariant Chern-Conn es c haracter, Ann. M ath. 138 (19 93) 555- 590. BIBLIOGRAPHY 59 [38] D. Perrot: BRS cohomolo gy and the Chern characte r in non-comm utativ e ge - ometry , L ett. Math. Phys. 50 (1999) 135-144. [39] D. P err ot: A Riemann-Ro c h theorem for one-dimensional complex group oids, Comm. Math. Phys. 218 (2001) 373-391. [40] D. Perrot: On the top ological interpretati on of gra vitational anomalies, J. Ge om. Phys. 39 (2001) 81-95. [41] D. Perrot: A biv arian t Ch ern c h aracter for families of s p ectral triples, Comm . Math. P hys. 231 (2002) 45-95. [42] D. P err ot: Retraction of the biv ariant Chern c haracter, K- The ory 31 (2004) 233-2 87. [43] D. Perrot: The equiv arian t index theorem in en tire cyclic cohomology , p reprint arXiv:math/041 0315 , ` a para ˆ ıtre dans J. K-The ory (disp onible en ligne). [44] D. Perrot: Anomalies and n oncomm utativ e index theory , cours d onn ´ e ` a Vi lla de Leyv a, Colom bie (20 05), S. Pa yc ha and B. Urib e ed ., Contemp. Math. 434 (2007 ) 125-160. [45] D. Pe r rot: Secondary in v ariants for F r´ ec het algebras and quasihomomorphisms, Do c umenta M ath. 13 (2008) 275-363. [46] D. Perrot: Quasihomomorphisms and the residu e Chern c h aracter, preprint arXiv:0804 .1048 . [47] D. Perrot: Lo caliza tion ov er complex-analytic group oids and conform al renor- malizatio n , pr eprin t arXiv:0804.39 69 . [48] N. C . Phillips: K -theory for F r ´ ec h et algebras, Internat. J. Math. 2 (1991) 77- 129. [49] M. P u sc hn igg: Asym ptotic cyclic cohomology , L e ct. Notes in Math. 1642 , Springer-V erlag Berlin (1996). [50] D. Quillen: S up erconnections and the Chern c haracter, T op olo gy 24 (1985) 89-95 . [51] D. Quillen: Algebra co chains and cyclic cohomology , Publ. Math. IHES 68 (1989 ) 139-174. [52] D. B. Ra y , I. M. Singer: R -torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds, A dv. in Math. 7 (1971) 145-210. [53] J. Rosenb erg: Al g e br aic K - the ory and its applic ations , Springer-V erlag (1994). [54] I. M. Singer: F amilies of Dirac op erators with application to physic s, Ast ´ erisque , hors s´ erie (1985) 323-340.

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