Le theoreme de periodicite en K-theorie hermitienne

LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICI T ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMITIE NNE Max Karoubi La p´ erio dicit´ e de Bott joue un rˆ ole primordial en K -th´ eorie topolog ique. Elle est d’ailleurs li´ ee in timemen t a u th´ eor` eme d’A tiyah-Singer et plus g´ en´ eralement ` a la g´ eom´ etrie non c o mm utative. Dans deux articles pr´ ec´ eden ts [ K1 ] et [ K2 ], nous av ons d´ emon tr´ e l’analogue de ce th´ eor` eme en K -th´ eorie hermitienne p our des an- neaux discrets av ec (an ti)inv olution a 7→ a , so us l’hypoth` ese qu’il existe un ´ el ´ ement λ du centre de A tel que λ + λ = 1 (on dit a lo rs que 1 est scind´ e dans A ). Si l’anneau est co mm utatif et mu ni de l’inv olution triviale, ceci in tro duit l’h yp oth` ese que 2 est inv ersible dans A . Si cette der ni` ere h yp oth` ese est ano dine p our les alg` ebres de Banach, il n’en est pas de mˆ eme pour des anneaux imp ortants comme l’anneau de gro upe Z π , o ` u π es t un group e discre t. Une difficult ´ e re nc o ntr ´ ee pour l’ ´ etude de ce t yp e d’annea u est la divergence entre les notions de forme quadr a tique et de forme hermitienne. Dans cet ar ticle, nous d´ eveloppons une th´ eorie qui d´ epasse cette dichotomie et qui est d´ ej` a pr´ esente dans le trav ail fondamental de Ranicki [ R ]. Grˆ ace ` a cette th´ eorie le th ´ e or` eme de p´ erio dic it´ e p eut ˆ etre d ´ emontr ´ e pour tout annea u. Nous mon trons par exemple que les group es de Witt sup´ erieurs d’un c o rps fini de carac t´ eristique 2 s ont tous isomorphes ` a Z / 2 (exemple 5.14). Les m´ etho des de ce t ar ticle sont b e aucoup inspir´ ees de celles de [ K1 ] et [ K 2 ] que nous a daptons ` a notre prop os , ce qui no us p ermet d’ˆ etre re la tivemen t bref p our certaines d´ emonstratio ns . Un a utre ing r´ edient ess ent iel est un cup-pr o duit entre formes quadr atiques d´ efini par Cla u wens [ C ] . Celui-ci p ermet de d´ efinir le mor- phisme de p´ erio dicit´ e dans le cas g´ en´ eral. L’article de Cla uwens ay ant ´ et ´ e ´ ecrit da ns un contexte diff´ erent, nous r eprenons dans un app endice les lemmes essentiels dont nous a vons b eso in pour nos d ´ e monstrations. R ´ esumons bri ` evemen t les diff´ erentes parties de cet article (1) Description de diff´ eren ts types de formes hermitiennes. Apr` es des rapp els sur les d´ efinitions classiques utilis´ ees, nous intro duisons un nou- veau t ype de gr o up e o rthogona l, dit “´ elargi” : cf. 1.6/ 7. Si 1 est s cind ´ e dans A , celui-ci co ¨ ıncide avec le g roup e orthogo nal sur l’anneau des nombres duaux a sso ci´ e ` a A , soit A [ e ] / e 2 , not´ e s implemen t A ( e ) dans la suite de l’article. c  2008 Clay Mathematics Insti tute 1 2 MAX KAROUBI (2) Les group es de Grothendiec k et Bass en K − th´ eori e hermiti e nne. Nous montrons comment le s th´ eor` emes principaux en K − th´ eorie hermi- tienne resten t v alables da ns le cas “´ elargi” . Nous pr ´ ecis ons a ussi les nota- tions utilis´ ees, en suiv ant par tielle ment la terminologie du liv re de Bak [ ? ]. Par exemple, la notatio n “ L ” , utilis ´ ee en [ K1 ] et [ K 2 ], est aba ndonn´ ee et remplac ´ ee par la notation “ KQ ” , pour ´ eviter toute ambig¨ uit´ e a vec les group es de c hirurg ie . (3) Les group es ε K Q n ( A ) p our n > 0 et n < 0. Les d´ efinitions ess ent ielles sont conten ues dans ce paragr aphe, en utilisa nt des id ´ ees bien connues en K − th´ eorie alg´ ebrique. Le th´ eor` eme 3.2 p ermet de comparer le s th´ eories “max” et “ min”, suiv an t la ter minologie de Bak. Nous mon trons aussi comment les techniques de Q uillen se transcriven t dans notre s itua tion en une description plus g´ eom ´ etr iq ue des ´ el´ ements de ε K Q n ( A ). (4) Cup-pro duits en K − th´ eori e hermiti enne. Le cup-pro duit de Clau- w ens. Le cup-pr o duit en K − th ´ eorie her mitienne est d´ efini ` a l’aide de sa description en termes de fibr´ es plats. Un cup-pro duit plus subtil, d ˆ u es- sentiellemen t ` a Clauw ens, est d´ efini en 4.3 (cf. aussi l’app endice). Nous montrons comment tous ces pro duits so nt re li´ es e n tre eux dans le th ´ eor` eme 4.7. (5) Le th ´ eor` eme fondamen tal de la K − th´ eorie hermitienne p our des anneaux arbitraires. Dans ce para g raphe, nous g´ en´ eralisons les r´ esultats principaux de [ K1 ] et [ K2 ] (cf. le th´ eor` eme 5.2 et la remarque 5 .11). La relation av ec les gr oup es de Witt es t faite dans le th´ eor` eme 5.10. (6) Les group es de Wi tt stabil is´ es. En utilisant les r´ esultats pr´ ec´ eden ts, nous introduisons une th ´ eorie nouvelle de group es de Witt “stabilis´ es” g´ en ´ er alisant ceux d´ efinis en [ K4 ]. Ses pr opri´ et ´ es fondamentales sont d´ ecrites en 6 .1. Une g´ en ´ er alisation dans le cadr e des sch´ emas a ´ et´ e prop os´ ee pa r M. Sc hlich ting [ S ] en suppos a nt 2 in versible. (7) App endice. Les lemmes de Clau wens. Remercieme n ts. Ce trav ail a ´ et ´ e essentiellemen t acco mpli p endant le pro- gramme th ´ ematique sur la th´ eorie de l’homotopie e n 2007 , organis´ e a u Fields Ins- titute ` a T oronto. Je remerc ie ´ egalement A. Ranicki pour a voir attir´ e mon attention sur l’article de Clau wens [ C ], J . Berrick p our la d´ emonstration du le mme 4 en ap- pendice , plus simple que le le mme or iginal de Clauw ens, ainsi que M. Schlic hting po ur des commen taires pertinents apr` es une premi` ere version de ce texte. 1. Description des diff´ erents types de formes hermitiennes e t quadratiques. 1.1. Soit A un a nneau muni d’une (an ti)inv olution a 7→ a (on dit alo rs que A est un annea u hermitien) et soit 1 ε = ± 1 . Nous d´ esignons par P ( A ) la ca t ´ egorie des A − mo dules (` a droite) qui sont pro jectifs de type fini (les morphismes ´ etant restreints aux isomo rphismes). Si E est un o b jet de P ( A ), son dual E ∗ est le gr oup e form´ e de s a pplications additives f : E → A telles que f ( xλ ) = λf ( x ), o` u λ ∈ A et 1 On p ourrait ch oisir plus g ´ en ´ e ralement un ´ e l´ e ment ε du centre de A tel que ε ε = 1. Cependant , on se ram` e ne ` a ce cas en r empla¸ can t A par M 2 ( A ), l’alg` ebre des matrices 2 × 2 ` a co efficien ts dans A , munie d’une inv olution ad ´ equate (cf. 1.10). LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 3 x ∈ E . C’est en fait un ob jet de P ( A ), la structure de A -mo dule ` a droite ´ etant d´ efinie par la formule ( f .λ )( x ) = f ( x ) λ . Le module E et son bidual E ∗∗ sont is omorphes canoniquement g rˆ ace ` a la co rresp ondanc e x 7→ ( f 7→ f ( x )) . Nous identifierons E ` a E ∗∗ par cet is omorphisme. Par ailleurs, s i f : E → F est un mo rphisme dans P ( A ), s o n transp os´ e t f : F ∗ → E ∗ est d´ efini par la formule clas sique t ( f )( g ) = g .f et on a t ( t f ) = f , co mpte tenu des isomorphismes canoniques entre les mo dules E , F et leurs biduaux respectifs. 1.2. Nous d´ efinissons une forme ε -hermitienne sur E comme un morphisme φ : E → E ∗ tel que t φ = εφ , o ` u t φ : ( E ∗ ) ∗ ∼ = E → E ∗ . La forme φ est dite “non d´ eg ´ en´ er´ ee” si c’est un isomo r phisme. Il co nvien t de remarq ue r que la donn´ ee de φ ´ equiv aut ` a celle d’une application Z − bilin ´ eaire χ : E × E → A telle que χ ( xλ, y µ ) = λχ ( x, y ) µ si λ et µ ∈ A , x et y ∈ E . La cor r esp ondance est donn´ ee par la formule class iq ue suiv a n te χ ( x, y ) = φ ( y )( x ) La condition de ε -symetrie ( t φ = εφ ) se traduit par l’iden tit ´ e χ ( y , x ) = ε χ ( x, y ) Dans cet a rticle, les formes her mitiennes φ q ui nous int ´ er essent sont paires : elles s’´ ecriven t sous la forme φ = φ 0 + ε t φ 0 Il convient de noter que φ 0 n’est pas d ´ e termin´ e par c ette formule. Si φ 1 est un autre choix et si po se γ = φ 0 − φ 1 , on a t γ = − εγ . 1.3. Les formes hermitiennes paires son t les ob jets d’une cat ´ ego rie not´ ee 2 ε Q max ( A ), d´ efinie de la mani` ere s uiv ante : un morphisme ( E , φ ) → ( F, ψ ) est un iso morphisme f entre les A -mo dules sous-jac e nts tel que le diag ramme sui- v an t comm ute E φ   f / / F ψ   E ∗ F ∗ t f o o 1.4. De mani` ere para ll` ele, en s uiv ant Tits [ T ] et W a ll [ W ], on d ´ e finit une forme ε -quadratique non d ´ eg´ en´ er´ ee sur E comme une classe de morphismes φ 0 : E → E ∗ tels que φ 0 + ε t φ 0 = φ soit une forme hermitienne non d ´ eg´ en´ er´ ee. P lus pr´ ecis´ ement, la classe de φ 0 est d´ efinie mo dulo l’addition par un morphisme du type t γ − ε γ . Les for mes ε -quadr atiques sont auss i les o b jets d’une cat´ egorie not´ ee 3 ε Q min ( A ). Un morphisme ( E , φ 0 ) → ( F, ψ 0 ) 2 En suiv ant la terminologie de Bak [ ? ]. 3 cf. l a note pr´ ec ´ edent e. 4 MAX KAROUBI est un iso morphisme f entre le s A -mo dules s ous-jacents tel qu’il existe γ , morphisme de E dans E ∗ , v´ erifian t l’iden tit´ e t f .ψ 0 .f = φ 0 + γ − ε t γ ( S ) 1.5. Remarques. Si A est un corps m uni de l’inv olution triviale, il est facile de voir que la cat´ egorie des 1-for mes q uadratiques est ´ equiv alen te ` a la cat´ egorie usuelle : il suffit de p oser q ( x ) = φ 0 ( x )( x ) Cette remarque justifie la d´ efinition abstraite in tro duite dans 1.3. Par ailleurs, si 1 est scind´ e dans A (cf. l’introductio n), la cat´ egor ie des mo dules ε -hermitiens est ´ equiv alente ` a celle des mo dules ε -quadratique s : a vec les d ´ efinitions ci-dessus il suffit de p o ser γ = λ ( t f .ψ 0 .f − φ 0 ). Ce cas se pr´ esent e notamment s i 2 est in versible dans A . 1.6. Nous allons main tenant in tro duire une tr o isi` eme ca t´ egorie q ui jouer a un rˆ ole imp or ta nt dans notre trav ail et qui sera not ´ ee Q ´ el ( A ) (“´ el” p our “´ elargi” ; cf. la fin de 1 .7). Les o b jets sont quasiment les m ˆ emes que ceux de la cat´ egor ie ε Q min ( A ) pr´ ec ´ e dente, sauf que l’o n co nsid` ere les φ 0 comme donn´ es dans la structure (on ne consid` ere pas seulement les clas ses de tels φ 0 ). Un morphisme de ( E , φ 0 ) vers ( F, ψ 0 ) est d´ efini par un co uple ( f , γ ), tel que l’ident it´ e (S) ci-dessus soit satisfaite. La loi de compositio n des morphismes s’explicite a insi ( f , γ ) . ( g , ζ ) = ( f .g , ζ + t g .γ .g ) ( C ) ce qui est co h ´ erent av ec l’ide ntit ´ e ( S ). 1.7. Il est instructif de d´ ecrire plus pr´ ecis´ ement le gr oup e des automor phismes d’un ob jet dans chacune des trois ca t´ egories. Si ( E , φ ) est un ob jet de ε Q max ( A ), le group e unitaire ε O max ( E , φ ) est d´ efini par des isomor phismes f : E → E tels que t f .φ.f = φ Si on note f ∗ = φ − 1 . t f .φ l’op ´ er ateur adjoint de f , il revient au m ˆ eme d’´ ecrire f ∗ .f = I d E (ou f .f ∗ = I d E ) Le group e o rthog onal ε O min ( E , φ 0 ) est d´ efini par des isomorphismes f : E → E tels qu’il existe γ , morphisme de E dans E ∗ , v ´ erifia nt l’iden tit´ e t f .φ 0 .f = φ 0 + γ − ε t γ ( E ) Il est clair que ε O min ( E , φ 0 ) est un sous-g roup e de ε O max ( E , φ ) p our φ = φ 0 + ε t φ 0 , la forme hermitienne asso ci´ ee ` a φ 0 . Il e st facile de v oir que les group es ε O max ( E , φ ) et ε O min ( E , φ 0 ) co ¨ ıncident si 1 est scind ´ e dans A . Finalement, le group e orthogonal ´ elargi ε O ´ el ( E , φ 0 ) est d´ efini par des couples ( f , γ ) v ´ erifia nt l’identit ´ e ( E ) ci-dessus. La loi de composition est donn ´ e e par l’iden- tit ´ e ( C ) ´ ecrite aussi plus haut. On a un ´ e pimo rphisme ε O ´ el ( E , φ 0 ) → ε O min ( E , φ 0 ) LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 5 dont le no yau est ´ egal au group e ab´ elien ε S ( E ) form ´ e des morphismes γ : E → E ∗ tels que t γ = εγ . Nous obtenons ainsi une extensio n de group es no n triviale en g´ en ´ er al 1 / / ε S ( E ) / / ε O ´ el ( E , φ 0 ) / / ε O min ( E , φ 0 ) / / 1 Celle-ci justifie la ter minologie adopt´ ee de “gro upe orthog onal ´ elarg i” . Pour les calculs, il est commode d’identifier E ` a son dual par la forme hermi- tienne φ asso ci ´ ee ` a φ 0 . Le morphisme γ es t alors remplac´ e par un endomorphisme u = φ − 1 γ de E . On p eut de m ˆ eme remplacer φ 0 par ψ = φ − 1 φ 0 . On a alors ψ ∗ = φ − 1 . t ψ .φ = φ − 1 ( t φ 0 .εφ − 1 .φ ) = φ − 1 ( φ − φ 0 ) = 1 − ψ . La relation ( E ) ci-dessus s’´ ecrit alo rs f ∗ .ψ .f = ψ + u − u ∗ ou e ncore f − 1 .ψ .f = ψ + u − u ∗ puisque f est unitaire. Grˆ ace ` a cette traduction, la loi de comp os ition dans ε O ´ el ( E , φ 0 ) s’´ ecrit simplement ( f , u ) . ( g , v ) = ( f .g , v + g ∗ .u.g ) = ( f .g , v + g − 1 .u.g ) Le noy au ε S ( E ) de l’ho momorphisme surjectif ε O ´ el ( E , φ 0 ) → ε O min ( E , φ 0 ) s’iden- tifie ` a l’ensemble des morphismes auto-a djoint s de E , not ´ e simplement S ( E ). L ’e x- tension pr ´ ec´ eden te s’´ ecrit alors de mani` ere ´ equiv alente 1 → S ( E ) / / ε O ´ el ( E ) / / ε O min ( E ) / / 1 Dans c e tte extensio n, le g roup e ε O min ( E ) o p` ere ` a dro ite sur S ( E ) par la formule suiv an te : ( u, g ) 7→ g − 1 .u.g 1.8. Si 1 est scind´ e dans A , on p eut d´ efinir une section s de cette extension en posant s ( g ) = ( g , λ ( g ∗ .ψ .g − ψ )) = ( g , λ ( g − 1 .ψ .g − ψ )) Il en r´ esulte q ue le g roup e orthogo nal ´ e la rgi s ’iden tifie au pro duit s e mi-direct du group e orthogo nal ε O ( E ) par le group e additif S ( E ), grˆ ace ` a l’action d´ efinie ci- dessus. Une autre fa¸ con de voir les choses est d’intro duir e l’anneau des nombres duaux A ( e ) av ec e 2 = 0 et e = − e puis d’ ´ etendre les scalaires ` a A ( e ). Nous sav ons d´ ej` a que le group e orthogo nal ε O min ( E ) s’identifie au group e unitaire ε O max ( E ). Par ailleur s l’´ epimorphisme O max ( E ( e )) → O max ( E ) a comme noy au l’ensemble des matrices unitaires du type 1 + ue , c’est-` a-dire v ´ er ifiant l’ident it´ e (1 + ue )(1 − u ∗ e ) = 1 + ( u − u ∗ ) e = 1, soit u = u ∗ . Le group e unitair e op` ere sur ce noy au par l’actio n ` a dr oite d´ efinie par la m ˆ eme action : ( u, g ) 7→ g − 1 ug . Il en r´ esulte q ue le group e o rthogona l ´ elar gi O ´ el ( E ) s’identifi e ` a O max ( E ( e )) en tant que produit semi-dir ect. 1.9. Consid´ erons le cas pa rticulier o ` u A = B × B op , B op ´ etant l’anneau opp os´ e ` a B , l’inv olution p er m utant les fa c teurs du pr o duit. Si nous po sons λ = (1 , 0), on a λ + λ = 1, c e qui montre que 1 est s c ind´ e dans A . Il est facile de voir que la donn´ ee d’un A -mo dule hermitien ´ equiv aut ` a celle d’un B - mo dule. Les cat´ egories ε Q max ( A ) et ε Q min ( A ) sont donc toutes les deux ´ equiv alentes ` a la ca t ´ egorie P ( B ) (av ec les isomorphismes comme mor phismes). D’apr` es 1 .7 , no us e n d´ eduisons que les ca t ´ egories ε Q ´ el ( A ) et P ( B ( e )) sont ´ equiv alentes. E n effet, nous av ons montr´ e 6 MAX KAROUBI en 1 .7 que le gr oup e des automor phismes d’un ob jet de ε Q ´ el ( A ) es t le m ˆ eme que celui des automorphismes du B - mo dule corr e sp o ndant, v u comme un ob jet de B ( e ) par extensio n des s calaires. Puisque les clas s es d’isomor phie d’ob jets de P ( B ( e )) co ¨ ıncident av ec les classes d’isomorphie d’o b jets de P ( B ), l’assertion r´ esulte de consid´ erations g´ en´ erales sur les ´ equiv alences de cat ´ eg ories. 1.10. Rapp elons maintenant la d´ efinition du foncteur h yp erb olique classique H : P ( A ) → ε Q min ( A ) Si E est un o b jet de P ( A ), H ( E ) est le A -mo dule E ⊕ E ∗ m uni de la for me qua- dratique ϕ 0 : E ⊕ E ∗ → ( E ⊕ E ∗ ) ∗ ≈ E ∗ ⊕ E d´ efinie par la matrice ϕ 0 =  0 1 0 0  Si u est un isomorphisme da ns la cat´ egor ie P ( A ), on d ´ efinit H ( u ) = g = u ⊕ t u − 1 . On v´ erifie que t g .ϕ 0 .g = ϕ 0 et que H ( u ) est donc bien un isomor phisme da ns la cat´ egorie ε Q min ( A ). O n p eut d´ ecrire ce foncteur de mani` ere plus conceptuelle en consid´ erant l’anneau Λ = M 2 ( A ) des ma trices 2 × 2 ` a co efficients dans A et o ` u l’inv olution es t d ´ efinie par  a b c d  7→  d b c a  L’´ equiv a lence de Morita d ´ e montr ´ ee dans [ ? ] § 9 montre q ue les ca t ´ egories ε Q min (Λ) et ε Q min ( A ) sont ´ equiv alen tes. On d´ emontre par la mˆ eme m´ ethode que les ca t´ egories ε Q max (Λ) et ε Q max ( A ) d’une part et les cat´ egories ε Q ´ el (Λ) et ε Q ´ el ( A ) d’autre part sont ´ equiv alent es. Le foncteur hyperb olique P ( A ) → ε Q min ( A ) est alors induit par l’homomorphisme d’anneaux A × A op → M 2 ( A ) d´ efini par ( a, b ) 7→  a 0 0 b  D’apr` es 1.8, cette m´ ethode a l’av antage de d´ efinir un nouveau foncteur hyper bo lique de P ( A ) da ns la cat´ egorie plus fine ε Q ´ el ( A ) pa r la comp osition des foncteurs ´ evidents suiv an ts induits par des mo rphismes d’anneaux ou des ´ equiv alences de Mo r ita : P ( A ) → P ( A ( e )) ∼ ε Q ´ el ( A × A op ) → ε Q ´ el ( M 2 ( A )) ∼ ε Q ´ el ( A ) On pro c` ede de m ˆ eme pour le foncteur “oubli” ε Q ´ el ( A ) → P ( A ) qui est la composi- tion ε Q ´ el ( A ) → ε Q ´ el ( A × A op ) ∼P ( A ( e )) → P ( A ) 2. Les g roup es de Grothendieck et Bass en K − th´ eorie hermitienn e . 2.1. Aux cat´ egor ie s pr´ ec´ edentes ε Q max ( A ), ε Q min ( A ) et ε Q ´ el ( A ), nous p ou- vons a sso cier tro is g roup es de K − th´ eorie hermitienne not´ es ε K Q max ( A ), ε K Q min ( A ) et ε K Q ´ el ( A ) resp ectivemen t, reli ´ e s pa r des homomorphis mes canoniques ε K Q ´ el ( A ) u / / ε K Q min ( A ) v / / ε K Q max ( A ) , Il est clair que u est un isomorphisme et que v est surjectif. Par ailleurs , nous po uvons d´ efinir l’a nalogue du group es de Bass K 1 ( A ) en K − th´ eorie her mitienne. LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 7 Dans ce but, le lemme suiv an t, dont la d´ emonstratio n est d´ etaill´ ee da ns [ KV ] p. 61 par exemple, est essen tiel. 2.2. Lemme. T out mo dule ε -quadr atique est facteur dir e ct d’un mo dule hy- p erb o lique. 2.3. Puisque tout mo dule pro jectif de type fini es t facteur direct d’un mo dule libre du type A n , on voit que les g roup es classiq ues qui jouent le rˆ ole de GL n ( A ) sont les group es d’automor phismes de mo dules h yp erb oliq ue s du t yp e H ( A n ) dans chacune des trois cat´ egories concer n´ ees. Plus pr´ ecis´ ement , ´ ecr ivons E = M ⊕ M ∗ (on co nsid` erera le cas o ` u M = A n un p eu plus tard). La forme qua dratique asso ci ´ e e est d´ efinie par la ma trice φ 0 pr´ ec ´ e dente av ec ψ comme forme hermitienne asso ci´ ee, soit φ 0 =  0 1 0 0  φ =  0 1 ε 0  Si f : E → E es t un ho momorphisme d´ efini par une matrice f =  a b c d  , son adjoint est la matrice f ∗ =  t d ε t b ε t c t a  . Dans le cas o` u M = A n , il convient de r emplacer la notatio n t u par t u , si on ´ ecrit u comme une ma trice n × n . E n effet, la conjuga ison r´ esulte de l’identification de A n av ec s on dual ( A n ) ∗ . 2.4. Notations. On d´ esigne par ε O max n,n ( A ) (resp. ε O min n,n ( A ) , ε O ´ el n,n ( A )) le group e unitaire (resp. or thogonal, or thogonal ´ elar g i) a s so ci´ e au mo dule hyperb o- lique ( A ) n ⊕ ( A n ) ∗ . 2.5. Exemple. Supp osons q ue A soit un corps muni de l’inv olution tr iviale et que ε = 1. Le fait que f so it unitaire ( f ∈ 1 O max n,n ( A )) se traduit par les identit ´ es suiv an tes (o ` u a , b , c et d son t des matrices n × n ) : a. t d + b. t c = 1 a. t b + b. t a = 0 c. t d + d. t c = 0 c. t b + d. t a = 1 L’automorphisme f est orthogonal ( f ∈ 1 O min n,n ( A )) s’il existe en outre des matrices h et k telles que a. t b = h − t h et c. t d = k − t k . Pour d´ ecrire un ´ el´ emen t du group e o r thogonal ´ elar gi, il faut se donner en outre un endomorphisme d ´ efini par une matrice 2 n × 2 n u =  α β γ δ  li´ ee ` a f et ` a la forme φ 0 (cf. 1.6/7 ). Plus pr´ ecis ´ ement , le couple ( f , u ) doit v´ erifier l’ident it´ e suiv a n te  t d.a t b.d t c.a t c.b  =  1 0 0 0  +  α β γ δ  −  t δ t β t γ t α  Elle r ´ esulte de l’´ equation ( E ) en 1.7 , ` a condition d’identifier E ⊕ E ∗ ` a E ∗ ⊕ E (av ec E = A n ). 8 MAX KAROUBI 2.6. Revenons au cas g´ en ´ er al d’un anneau A quelconque. Pour simplifier, nous ´ ecr irons ε O n,n ( A ) au lieu de ε O max n,n ( A ), ε O min n,n ( A ), ε O ´ el n,n ( A ) en revenant ` a ces notations sp´ ecifiques lo rsqu’il sera n´ ecessair e de distinguer les tr o is group es. De m ˆ eme, nous utiliserons la terminologie unifor me “g roup e ortho gonal” au lieu de “group e unitaire” , “gr oup e orthogona l” o u “g roup e orthogo nal ´ elar g i”, lorsque nos consid´ erations s’appliquent aux trois v a r iantes. Av ec ces conv entions, le gr o upe or- thogonal infini ε O ( A ) es t d´ efini comme la limite inductive des gr oup es ε O n,n ( A ) avec les inclusions ´ evidentes. En suiv ant l’exe mple du g roup e lin´ eaire, nous d´ efinissons le “group e de B a ss” ε K Q 1 ( A ) comme le q uo tient de ε O ( A ) pa r le s o us-gro upe des commutateurs [ ε O ( A ) , ε O ( A )]. Le fait que ce so us-gro upe soit par fa it r´ esulte de consid´ erations bien connues s ur la stabilisation des matrices qu’on p eut r´ esumer par des iden tit ´ es g ´ e n´ erale s . La premi ` er e est la suiv an te :  αβ α − 1 β 0 0 0 1 0 0 0 1  =  α 0 0 0 α − 1 0 0 0 1   β 0 0 0 1 0 0 0 β − 1   α − 1 0 0 0 α 0 0 0 1   β − 1 0 0 0 1 0 0 0 β  Par ailleur s, mo dulo le sous-g roup e des co mmutateurs, une matrice du type   α 0 0 0 α − 1 0 0 0 1   peut aus si s’ ´ ecr ire   α 0 0 0 α − 1 0 0 0 1     0 1 0 0 0 1 1 0 0   =   0 α 0 0 0 α − 1 1 0 0   qui est le comm utateur suiv a n t   α 0 0 0 0 1 0 1 0     0 1 0 1 0 0 0 0 1     α − 1 0 0 0 0 1 0 1 0     0 1 0 1 0 0 0 0 1   T outes ce s identit ´ es (qui sont vraies dans le cadr e plus g´ en´ eral de cat´ egorie mono ¨ ıdales sym´ etriques) d´ emontren t bien que [ ε O ( A ) , ε O ( A )] es t parfait. Pour chacune des tro is th ´ e ories consid´ er´ ees, on utilisera les notatio ns ε K Q max 1 ( A ), ε K Q min 1 ( A ), ε K Q ´ el 1 ( A ) ou simplemen t ε K Q 1 ( A ). 2.7. Th ´ eor ` e me . Consid ´ er ons un c arr´ e c art ´ esien d’ anne aux hermitiens (av e c ϕ 1 surje ctif ) A ϕ 2   ψ 1 / / A 1 ϕ 1   A 2 ψ 2 / / A ′ On a alors u ne suite ex acte (dite de Mayer-Vietori s) entr e les gr oup es de K -th´ eori e hermitienne ε K Q 1 ( A ) / / ε K Q 1 ( A 1 ) ⊕ ε K Q 1 ( A 2 ) / / ε K Q 1 ( A ′ ) / / ε K Q ( A ) / / . . . . . . / / ε K Q ( A 1 ) ⊕ ε K Q ( A 2 ) / / ε K Q ( A ′ ) D ´ e mo nstration. Ce th´ eor` eme cla s sique p eut ˆ etre d´ emon tr´ e de diverses mani` eres. LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 9 L’une d’entre elle est esquiss´ ee dans le livre de Milnor [ M ] et d´ etaill´ ee dans celui de Bak [ ? ]. Une a utr e d ´ emonstr ation e st indiqu ´ ee dans [ K V ] p. 68-70 (elle s’a pplique dans les trois situations). Le po int imp or tant est de remar q uer qu’un ´ el´ emen t du sous-gr oup e des comm utateurs [ ε O ( A ′ ) , ε O ( A ′ )] se rel ` eve en un ´ el´ ement de ε O ( A 1 ). Ceci est d´ emon tr´ e grˆ ace au lemme de Whitehea d classique ada pt ´ e au cas hermitien (cf. [ KV ] th ´ eor` eme 2 .6 pa r exemple). 2.8. Dans [ ? ] p. 1 91, Bak d´ emontre une suite exacte in t´ eressante reliant le s group es ε K Q max et ε K Q min . Elle s’ ´ ecr it ε K Q min 1 ( A ) / / ε K Q max 1 ( A ) / / ε Ξ( A ) / / ε K Q min ( A ) / / ε K Q max ( A ) Le gro upe de 2-tor sion ε Ξ( A ) est explicit´ e a insi. Nous d ´ e finis sons d’ab ord Γ = Γ( A ) comme l’ensem ble des ´ el´ emen ts a de A tels que a = εa et Λ comme le sous-group e de Γ form´ e des b − εb . Alor s ε Ξ( A ) est le quotient de Γ / Λ ⊗ A Γ / Λ par le sous-g roup e engendr´ e par tous les ´ el´ emen ts de la forme { a ⊗ b − b ⊗ a } et { a ⊗ b − a ⊗ bab } Dans la d´ efinition du pro duit tensoriel Γ / Λ ⊗ A Γ / Λ, l’action ` a droite de A sur Γ / Λ est ( γ , a ) 7→ aγ a . L’action ` a gauche es t d´ efinie de mani` ere similaire par ( a, γ ) 7→ a.γ .a Un th´ eor` eme plus g´ en´ eral est en fait ´ enonc´ e dans [ ? ] en utilisa nt des “formes pa- ram` etres” arbitra ires Γ et Λ. 2.9. Remarque. La suite exacte pr´ ec´ edent e p ermet de d´ efinir un in v ariant des formes qua dratiques pro che de l’inv aria nt de Arf en consid´ erant des cor ps de car act´ eristique 2 (cf. [B2]). Dans ce c a s, le gro up e K Q max 1 ( A ) est r´ eduit ` a 0, K Q max ( A ) ∼ = Z et le noyau de la fl ` eche K Q min ( A ) → K Q max ( A ) = Z s’identifie a ins i au group e Ξ( A ) pr ´ ec´ edent : c’est le quotient de A ⊗ Z A par le sous- group e eng e ndr´ e par les relations { a ⊗ b − b ⊗ a } , { a ⊗ b − a ⊗ b 2 a } e t { c 2 a ⊗ b − a ⊗ c 2 b } . L’inv aria n t de Arf clas sique est obtenu par l’application a ⊗ b 7→ a.b : elle est ` a v aleurs dans le quotient G de F par le s ous-gro upe additif engendr´ e par les relatio ns { a 2 − a } . Cette application de Ξ( A ) dans G a dmet une r´ etractio n induite par l’applicatio n a 7→ 1 ⊗ a . 3. Les g roup es de K − th´ eorie hermitienne ε K Q n ( A ) p our n < 0 et n > 0 . 3.1. Pour d´ efinir les g roup es ε K Q n po ur n < 0, nous suivons le mˆ eme sch ´ ema qu’en K -th´ eorie alg´ ebrique [ KV ]. De mani` ere pr´ ecise, si on pose n = − m , on pose K Q n ( A ) = K Q ( S m A ), o ` u S m A est la m i` eme susp ension de l’anneau A . Noto ns que l’isomorphisme ε K Q ´ el ( A ) ∼ = ε K Q min ( A ) implique par suspensions it´ er´ ees l’isomorphisme ε K Q ´ el − m ( A ) ∼ = ε K Q min − m ( A ) Le th ´ eor` eme suiv ant est moins ´ eviden t. 10 MAX KAROUBI 3.2. Th ´ eor ` e me . L’homomorp hisme ε K Q min n ( A ) → ε K Q max n ( A ) est surje ctif p our n = 0 , bije ctif p our n < 0 . D ´ e mo nstration. La surjectivit´ e p our tout n est une cons´ equence imm´ ediate des d´ efinitions (car nous consid´ erons des for mes her mitiennes paires). Par induction sur n , il suffit de d´ emon trer l’injectivit´ e p our n = − 1. Pour cela, ´ ecrivons la suite exacte 2.8 , en r empla¸ cant A par sa suspe ns ion S A et son cˆ o ne C A . On obtient alor s un diagramme comm utatif ε K Q min 1 ( C A ) / /   ε K Q max 1 ( C A ) / /   ε Ξ( C A ) / /   ε K Q min ( C A ) / /   ε K Q max ( C A )   ε K Q min 1 ( S A ) / / ε K Q max 1 ( S A ) / / ε Ξ( S A ) / / ε K Q min ( S A ) / / ε K Q max ( S A ) Puisque le cˆ one d’un a nneau est “ flasque” (il existe un foncteur τ de la cat´ egor ie P ( C A ) da ns elle-mˆ eme tel que τ ⊕ I d so it isomorphe ` a τ ), ses group es de K − th´ eorie hermitienne sont r´ eduits ` a 0, ce qui implique que ε Ξ( C A ) est aus s i ´ egal ` a 0. Pour d´ emon trer l’injectivit´ e de la fl ` eche ε K Q min − 1 ( A ) → ε K Q max − 1 ( A ), il suffit donc de montrer que l’homomo rphisme ε Ξ( C A ) → ε Ξ( S A ) est surjectif, ce qui est une cons´ equence du lemme suiv an t. 3.3. Lemme. Notons Γ( R ) le gr oup e Γ d´ efini en 2. 8 p our tout anne au R . Alo rs l’homomorphisme c anonique Γ( C A ) → Γ( S A ) est surje ctif. D ´ e mo nstration. Un ´ el´ ement de Γ( S A ) est d ´ efini par une ma tr ice infinie M telle que sur chaque ligne et ch aq ue colo nne il n’existe qu’un nombre fini d’´ el´ emen ts no n nu ls et telle que t M = εM modulo une matrice finie. Soient a ij les ´ el´ ement s (en nombre fini) de la matrice M tels que a ij 6 = ε a j i . Si on remplace ces ´ el´ emen ts par 0, on trouve une matr ice N dans C A qui est ε -hermitienne et dont la clas se dans S A est ´ ega le ` a celle de M . 3.4. D ´ e finis sons maintenan t les gro upe s ε K Q n po ur n > 0, ce qui es t plus d´ elicat. En principe, il suffit de copier la co nstruction + de Quillen ` a l’espace B ε O ( A ), ce qui es t p oss ible car le sous- group e des co mm utateurs [ ε O ( A ) , ε O ( A )] est parfait. On d´ efinit alo rs ε K Q n ( A ) co mme le n i` eme group e d’homotopie de B ε O ( A ) + (po ur n > 0). En fait, nous disp os ons de tr ois group es de K -th´ eorie hermitienne ε K Q max n ( A ) , ε K Q min n ( A ) et ε K Q ´ el n ( A ) asso ci´ es resp ectivemen t aux gro up es ε O max ( A ), ε O min ( A ) e t ε O ´ el ( A ). Co nform´ emen t ` a la philos ophie de cet article, nous adopterons la notation uniforme ε K Q n ( A ) po ur ne pas compliquer l’exp osition, lorsqu’il n’y a pas de risque de confusio n. Ces group es sont difficiles ` a ca lculer e n g´ en´ eral, c o mme d’ailleur s les gr oup es K n ( A ) de Quillen dont ils so n t la g´ en ´ er alisation. Nous verrons cep endant que, dans une certaine mesure, les “gr oup es de Witt sup´ erieurs” ε W n ( A ) = C ok er ( K n ( A ) → ε K Q n ( A )) son t plus accessibles. LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 11 3.5. Comme il est bien connu , il existe d’autres d´ efinitions des foncteur s K n et ε K Q n ´ equiv alentes ` a la constr uctio n + de Quillen. La cons truction dite “ S − 1 S ” (due aus s i ` a Quille n) est d´ etaill´ ee dans le ca dre hermitien da ns [ K1 ] § 1 et nous l’uti- liserons p our la preuve de 4.5. Il existe a us si une d´ efinition en termes de A -fibr´ es plats q ui est d´ etaill ´ ee dans [ K2 ] p. 4 2 et c’est celle que no us utiliserons essentielle- men t ici. Rappe lons-l` a br i` ev ement dans le c adre que nous in t´ eresse. On d´ efinit un A -fibr ´ e her mitien “vir tuel” s ur un C W -complexe X c omme la donn´ ee d’une fibration acyclique Y → X et d’un A -fibr´ e plat E sur Y , la fibr e ´ etant un A -mo dule pro jectif de type fini mu ni d’une forme her mitienne dans l’un des trois sens que nous av ons donn´ es ` a ce terme (ceci veut dire que les fonctio ns de transi- tion du fibr´ e sur Y sont des fonctions lo ca lement consta nt es dans chacune des trois cat´ egories “max” , “ min” ou “´ el” co ncern´ ees). Deux tels fibr ´ es virtuels E → Y → X et E ′ → Y ′ → X sont dits ´ equiv alen ts s’il e xiste un fibr´ e vir tuel E 1 → Y 1 → X et un diag ramme commutatif Y f / / σ   X f ′   Y 1 f 1 > > } } } } } } } } Y ′ σ ′ o o tel que σ ∗ ( E 1 ) ∼ = E et σ ′∗ ( E 1 ) ∼ = E ′ . En suiv ant le mˆ eme sch ´ e ma qu’en [ K2 ] p. 42 -50, o n montre que le g r oup e de Grothendieck construit avec ces fibr´ es vir tuels est isomor phe a u g roup e d´ efini par les classes d’homoto pie de X dans ε K Q 0 ( A ) × B ε O ( A ) + , not´ e ε K Q A ( X ), et qui est une “th´ eorie c ohomolog iq ue” en X . Si X est une sph` ere de dimensio n n ≥ 0, on retrouve ainsi ε K Q n ( A ) comme le co noy au de la fl` eche ´ evide nte ε K Q 0 ( A ) → ε K Q A ( X ). On peut d´ efinir le sp ectre de la K − th ´ eorie he r mitienne par la mˆ eme m´ etho de qu’en K − th´ eorie alg´ ebrique. Ainsi, dans [ K1 ], on d´ emon tre l’analo g ue du th ´ eor` eme de Ger sten-W ago ne r [ W ] en K − th´ eorie her mitienne : o n a une ´ equiv alence d’ho- motopie (non naturelle) entre Ω( B ε O ( S A ) + ) et ε K Q 0 ( A ) × B ε O ( A ) + (la mˆ eme d´ emonstration s’applique dans les trois cas consid´ er´ es ici). P lus pr´ ecis´ ement, on d´ efinit le Ω-spectre de la K -th´ eorie her mitienne ε K Q ( A ) ∗ par les fo r mules sui- v an tes : ε K Q ( A ) n = Ω ( B ε O ( S n + 1 A ) + ) p our n ≥ 0 ε K Q ( A ) n = Ω − n ( B ε O ( A ) + ) po ur n < 0 En fait, ce sp ectre n’es t qu’un la ng age commo de. Pour p ouvoir d´ efinir des cup- pro duits en K -th´ eorie her mitienne, nous no us serviro ns plutˆ ot de la th´ eorie co- homologique asso ci´ ee en termes de fibr´ es virtuellement pla ts co mme nous l’avons explicit´ e plus haut. D’ailleurs , une s itua tion analo gue se pr´ esente e n K − th´ eorie top ologique, o ` u les op´ erations sont plus ais´ ement d´ efinies sur les fibr´ es vectoriels plutˆ ot que sur la grassmannienne infinie. 12 MAX KAROUBI 4. Cup-pro duits en K − th´ eori e he rmitienne. Le cup-pro duit de Clau w ens. 4.1. L’av antage du p oint de vue des fibr´ es pla ts est une d ´ efinition tr` es simple du cup-pr o duit. Celui-ci est explicit´ e dans [ K 2 ] ` a partir d’un morphisme Z -bilin´ eaire ϕ : A × B → C v´ erifiant la pro pri´ et ´ e de multiplicativit ´ e suiv an te ϕ ( aa ′ , bb ′ ) = ϕ ( a, b ) ϕ ( a ′ , b ′ ) Le cup-pro duit s’ ´ e c rit a lors sous la for me d’un accouplemen t bilin ´ ea ire K A ( X ) × K B ( Y ) → K A ⊗ B ( X × Y ) o ` u la fl ` eche est simplemen t induite par le produit tensoriel des fibr´ es virtuellement plats. Si X est un espace muni d’un p oint bas e P , il est commo de d’intro duir e la “ K -th´ eorie r´ eduite” e K A ( X ) = K er [ K A ( X ) → K A ( P ) = K 0 ( A )]. Le pro duit pr´ ec ´ e dent induit alors un “cup-pro duit r ´ eduit” e K A ( X ) × e K B ( Y ) → e K A ⊗ B ( X ∧ Y ) En particulier, si X (r e s p. Y ) est une sph` ere S n (resp. S p ) av ec n et p ≥ 0, on en d´ eduit le cup-pro duit usuel en K -th´ eorie alg´ ebrique (cf. aussi [ L ]). 4.2. Le mˆ eme sch ´ ema s’applique en K − th´ eorie her mitienne 4 . Par exemple, compte tenu des signes de sym´ etrie, les c up- pro duits classiq ue s so n t sch ´ e matis´ es par des accouplemen ts ε K Q max × η K Q min → εη K Q min et ε K Q max × η K Q ´ el → εη K Q ´ el De mani` ere pr´ ecise, si nous co ns id ´ erons une ε - fo rme hermitienne paire φ = φ 0 + ε t φ 0 sur un A -mo dule E et une forme η -qua dratique d´ efinie par une cla s se de de mor- phismes ψ 0 sur un B -mo dule F , alo rs φ ⊗ ψ 0 est une classe de forme εη -quadratique sur E ⊗ F . En outre, si α (r esp. β ) es t un mo rphisme unitaire (r esp. or tho gonal) de E (r esp. F ), il est fac ile de voir que α ⊗ β es t un mor phisme or thogonal de E ⊗ F . De mani ` ere analogue, si ( β , γ ) est un morphisme dans la cat´ egorie η Q ´ el , le couple ( α ⊗ β , α ⊗ γ ) d´ efinit un mor phisme dans la cat´ egorie εη Q ´ el , ce qui d´ efinit le deuxi ` eme accouplement. Ces deux cup-pro duits, d´ efinis en termes de mo dules, s ’ ´ etendent naturellement aux fibr´ es plats ou virtuellement plats dans les cat´ egor ies concern´ ees (il c o nvien t de noter cep endant que ψ 0 n’est pas donn´ e dans la structure p our le premier a ccou- plement mais seulement sa classe fibre par fibr e). En consid´ erant des fibr´ es plats sur des sph ` eres homologiques , on d´ efinit a ins i des accouplemen ts ε K Q max n ( A ) × η K Q min p ( B ) → εη K Q min n + p ( C ) et ε K Q max n ( A ) × η K Q ´ el p ( B ) → εη K Q ´ el n + p ( C ) 4 ´ A condition de supposer en outre que ϕ ( a, b ) = ϕ ( a, b ) LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 13 4.3. Nous allo ns ma int enant introduire un a utre cup-pro duit plus subtil, d ˆ u essentiellemen t ` a Cla u wens [ C ]. Celui- ci a ´ et´ e ´ ecrit par Clauw ens p our les ca t´ egories de mo dules mais il s’ ´ etend a is´ emen t aux “bonnes” cat ´ egories des fibr´ es vir tuel- lement plats munis de formes quadratiques. De mani ` ere pr ´ ecise , consid´ erons la cat´ egorie η Q ´ el ( B ) ainsi q ue la s o us-cat´ egorie ε Q ´ el 0 ( A [ s ]) de ε Q ´ el ( A [ s ]) form´ ee des A [ s ]-mo dules pr ov enant de A par extension des sca laires, l’inv olution sur A [ s ] ´ etant induite par l’in volution de A et la transformation s 7→ 1 − s . Un ob jet de ε Q ´ el ( A [ s ]) p eut ˆ etr e d´ ecrit co mme un couple ( E , θ ), o ` u E est un ob jet de P ( A ) et θ une for me ε - quadratique sur E ⊗ Z Z [ s ] s’´ ecriv an t so us la for me P θ n s n , o ` u θ n est un morphisme de E vers E ∗ . Consid´ erons ma intenant un ob jet ( F, δ ) de η Q ´ el ( B ) , o ` u δ est une for me η -qua dratique non d´ eg´ en ´ er´ ee sur F avec ∆ = δ + η t δ comme for me hermitienne ass o ci ´ ee. Sur E ⊗ F on peut alor s consid´ erer la for me εη - quadratique d ´ efinie par la formule suiv ant e κ = X θ n ⊗ ∆(∆ − 1 δ ) n Cette formule se s implifie si on identifie F et so n dual par l’isomorphisme ∆, ce qui revient ` a remplacer ∆ − 1 δ par δ . On peut de mˆ eme iden tifier E ` a E ∗ par l’iso- morphisme θ 0 + P ∞ n =0 t θ n . Le foncteur de dualit´ e f 7→ t f est alor s r emplac´ ee par le foncteur d’adjonction f 7→ f ∗ . Un av antage de cette formulation est aussi de se d´ ebarrasser des signes de sym´ etrie. La formule pr´ ec´ eden te s’´ ecrit a lors sous une forme plus s imple κ = X θ n ⊗ δ n av ec δ ∗ = 1 − δ . En quelques lemmes fonda mentaux (cf. [ C ] p. 43 et 44 e t aussi l’app endice, o ` u on ´ ecrit φ au lieu de ∆ − 1 δ p our ´ eviter toute confusio n), Clauw ens montre que l’accouplement pr´ ec´ edent Ob j ( ε Q ´ el 0 ( A [ s ])) × O bj ( η Q ´ el ( B )) → O bj ( εη Q ´ el ( A ⊗ B )) est bien d´ efini sur les classes d’isomorphie de mo dules quadra tiques ´ elar gis. En fait, Clauw ens consid` ere dans son ar ticle des mo dules libr es ma is s a m ´ e tho de est plus g´ en ´ er ale, comme nous l’ex plicitons dans l’app endice. E n pa r ticulier, nous po uvons d´ efinir un cup-pro duit remar quable ε K Q ´ el 0 ( A [ s ]) × η K Q ´ el ( B ) → εη K Q ´ el ( A ⊗ B ) o ` u ε K Q ´ el 0 ( A [ s ]) e st le sous-gr oup e de ε K Q ´ el ( A [ s ]) e ngendr´ e par les mo dules prove- nant de A par extension des scalaires (ceci es t stablemen t le cas si A es t no eth´ erien r´ egulier par exemple). Dans les consid´ erations pr´ ec´ edentes, nous aur ions pu remplacer la ca t ´ egorie Q ´ el par la cat´ egorie plus simple Q min . La ra ison p our trav a ille r da ns la cat´ egorie Q ´ el est notr e souhait de g´ en´ eraliser l’acccouplement d´ efini s ur les g roup es K Q 0 aux group es K Q n d´ efinis dans le § 3 p our n > 0. Si nous choisissons la d´ efinition de la K − th´ eorie hermitienne en termes de fibr ´ es pla ts, il nous faut mo ntrer par exemple que la class e d’iso morphie de la forme quadra tique κ d´ efinie plus haut ne d´ ep end que des class es de θ et de δ . Les lemmes de Clauw ens (red´ emontr ´ es en app endice) montren t la n´ ecessit´ e de se donner le morphisme γ dans la formule ( S ) en 1.4. Grˆ ace ` a ce nouveau po int du vue, on p eut ´ etendre le cup-pr o duit pr´ ec´ eden t a ux gro upe s de K Q -th´ eorie sup´ erieurs (dans la ca t ´ egorie “ ´ el”), soit ε K Q ´ el 0 n ( A [ s ]) × η K Q ´ el p ( B ) → εη K Q ´ el n + p ( A ⊗ B ) 14 MAX KAROUBI 4.4. Au d´ ebut de son a rticle (th´ eor` eme 1, p. 42 ), Clauw ens montre que mo dulo l’addition de A -mo dules hyperb oliques (voir l’app endice po ur un ´ enonc´ e pr´ ecis), on peut se ra mener au cas o ` u θ est “lin ´ ea ire”, i.e. du t yp e θ = g s . En d’a utr es termes, θ n = 0, ` a l’exception de θ 1 qui est ´ egal ` a g . Puisque la fo r me hermitienne ass o ci´ ee g s + ε t g (1 − s ) est un is omorphisme, ceci implique que t g = εg (1 + N ), o ` u N est un endomorphisme nilp otent de E (un tel g est dit “pr esque hermitien”). Dans ce cas, la form ule po ur la forme quadratique κ ci-dessus est tr ` e s simple : on trouv e κ = g ⊗ δ (si on identifie F ` a son dua l par ∆ ) En d’autres termes, l’accouplemen t pr ´ ec´ edent sur les g r oup es K Q ´ el g´ en ´ er alise (p our N = 0) l’a ccouplement c la ssique entre les formes hermitiennes (non n´ ecessa irement pa ir es) et les formes q ua dratiques. Un cas particulier important est le c up- pro duit 1 K Q ´ el 0 1 ( S Z [ s ]) × η K Q ´ el p ( B ) → η K Q ´ el 1+ p ( S Z ⊗ B ) = η K Q ´ el 1+ p ( S B ) 4.5. Th ´ eor ` e me . Soit u 1 l’ ´ element de 1 K Q ´ el 0 1 ( S Z [ s ]) = 1 K Q ´ el 1 ( S Z [ s ]) c or- r esp onda nt ` a l’´ el´ ement unit´ e dans K Q 0 ( Z [ s ]) = Z × Z (cf. [ C ] , p. 47). Alors le cup-pr o duit p ar u 1 induit u n isomorphisme entr e η K Q ´ el p ( B ) et η K Q ´ el 1+ p ( S B ) D ´ e mo nstration. E lle est a nalogue ` a celle en K − th´ eorie alg´ ebriq ue ou her mitienne classique (cf. [ K1 ] p. 224). 4.6. Rapp elons par ailleur s qu’un autre cup-pro duit plus simple a ´ et ´ e d ´ e fini en 4.2 : ε K Q max n ( A ) × η K Q ´ el p ( B ) → εη K Q ´ el n + p ( A ⊗ B ) Ces deux pro duits sont r eli´ es ainsi : 4.7. Th ´ eor ` e me . L e cup-pr o duit de Clauwens est p artiel lement asso ci atif dans le s ens suivant. Pour tr ois anne aux B , C et D , on a le diagr amme c ommutatif (ave c n = n 1 + n 2 , ε = ε 1 ε 2 ) ε 1 K Q max n 1 ( C ) × ε 2 K Q ´ el 0 n 2 ( D [ s ]) × η K Q ´ el p ( B ) / /   ε 1 K Q max n 1 ( C ) × ε 2 η K Q ´ el n 2 + p ( D ⊗ B )   ε 1 ε 2 K Q ´ el 0 n 1 + n 2 (( C ⊗ D )[ s ]) × η K Q ´ el p ( B ) / / εη K Q ´ el n + p ( C ⊗ D ⊗ B ) D ´ e mo nstration. C’est une co ns´ equence dir e cte de la for mule do nn ´ ee en 4.3 . Nous devons m ultiplier les deux mem bres de la formule par la m ˆ eme forme hermitienne paire a v ant et apr` es av oir fait le pr o duit tensoriel par ∆(∆ − 1 δ ) n . 4.8. Remarque. Pour les degr´ es n´ egatifs, nous a vons seulement ` a cons id ´ erer des mo dules sur des susp ensions it´ er ´ e e s des anneaux consid´ er´ es. La notion de forme quadratique ´ elarg ie est alors inutile dans les d ´ emonstr ations. On p eut m ˆ eme se limiter aux formes her mitiennes paires po ur les degr ´ e s < 0 d’apr` es 3 .2. 4.9. Remarque. Si 1 est scind´ e dans A (pa r exemple si 2 est inv ersible), on a des is omorphismes K Q ´ el n ( A ) ∼ = K Q max n ( A ( e )) ∼ = K Q min n ( A ( e )) av ec e = − e . LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 15 5. Le th´ eor` eme fondamen tal de la K − th´ eorie hermitie nne p our des anneaux arbitraires 5.1. Dans ce paragraphe, nous allo ns d´ esigner le sp ectre de la K -th´ eorie her - mitienne ainsi que celui de la K -th´ eorie alg´ ebrique pa r des cara ct ` eres gras. De mani` ere pr´ ecise, K ( A ) r epr´ esen tera le s pec tr e de la K -th´ eorie alg´ ebrique usuelle ; ce- lui de la K -th´ eorie hermitienne sera r epr´ esent ´ e par l’un des tro is sp ectres ε K Q max ( A ), ε K Q min ( A ) o u ε K Q ´ el ( A ), suiv ant la th´ eorie consid´ er´ ee. En par ticulier, les fonc- teurs “oubli” et hype r b olique induisen t des morphismes ε K Q ´ el ( A ) → K ( A ) et K ( A ) → − ε K Q ´ el ( A ) dont le s fibres homotopiques r esp ectives seront not´ ees ε V ´ el ( A ) et − ε U ´ el ( A ). L’´ enonc´ e suiv an t g´ en ´ era lise le th ´ e o r` eme de [ K2 ] (p. 260). 5.2. Th ´ eor ` e me . Nous avons un e ´ equivalenc e d’homotopi e natu relle ε V ´ el ( A ) ≈ Ω − ε U ´ el ( A ) 5.3. Remarques. Le th´ eor` eme est ´ evident lo rsque A = B × B op , une situation d´ ej` a co ns id ´ er´ ee dans les parag raphes pr´ ec ´ ede nts. Dans ce cas , les spectres ε V ´ el ( A ) et Ω − ε U ´ el ( A ) co ¨ ınciden t tous les deux av ec la fibre ho motopique du morphisme ´ evident K ( B ( e )) → K ( B ) xK ( B ). Par a illeurs, si 1 est scind´ e dans A , nous r etrouvons le th´ eor` eme fondamen tal de la K -th´ eorie hermitienne ´ enonc´ e dans [ K2 ] p. 260 (cf. la remarque 5.11 un pe u plus loin). La d´ emonstration du th´ eor` eme 5.2 v a ˆ etre en fait calq u ´ ee sur celle de [ K2 ]. Nous men tionnerons simplement ici les mo difications ` a y app orter . 5.4. Rapp elons d’a bo rd le princip e g´ en´ eral de la d´ emonstration dans [ K2 ] que nous appliquero ns ` a plusieurs reprises : un mo rphisme d’anneaux hermitiens f : A → B induit une applicatio n entre sp ectr es ε K Q ´ el ( A ) → ε K Q ´ el ( B ) dont no us p ouvons int er pr´ eter la fibre homotopique d’a pr` es un ar gument adapt´ e de W agoner [ W ]. P our cela, on consid` ere le pro duit fibr´ e d’anneaux R / /   C B   S A / / S B d’o ` u on d´ eduit la fibration homotopique ε K Q ´ el ( R ) / / ε K Q ´ el SA ) / / ε K Q ´ el ( SB ) car ε K Q ´ el ( CB ) est contractile. L’espace des lac e ts de ε K Q ´ el ( R ) es t donc la fibre homotopique rec herch´ ee du morphisme ε K Q ´ el ( A ) → ε K Q ´ el ( B ) Deux cas imp ortants p euven t ˆ etre co nsid´ er ´ es. Da ns le premier, le morphisme est A × A op → M 2 ( A ) et dans le s econd A → A × A op , tous les deux d ´ efinis en 16 MAX KAROUBI 1.8. Si nous d´ esignons 5 par U A (resp. V A ) l’anneau R obtenu dans ces deux ca s, nous vo yons que ε U ´ el ( A ) est homoto piq uemen t ´ equiv alen t ` a Ω ε K Q ´ el ( U A ) et que ε V ´ el ( A ) est homotopiquement ´ equiv alen t ` a ΩK ε Q ´ el ( V A ). 5.5. Nous souhaitons d ´ efinir une application ε V ´ el ( SA ) → − ε U ´ el ( A ) L’id´ ee, d ´ ej` a pr ´ es ent e dans [ K2 ], est d’inclure cette application dans le diag ramme suiv an t ε K Q ´ el ( A ) / /   K ( A ) / /   ε V ´ el ( SA ) / /   ε K Q ´ el ( SA ) / / σ   K ( SA ) / /   ε V ´ el ( S 2 A )   − ε D ´ el ( A ) / / K ( A ) / / − ε U ´ el ( A ) / / − ε D ´ el ( SA ) / / K ( SA ) / / − ε U ´ el ( SA ) La th´ eorie − ε D ´ el ( A ) est ic i la fibre ho motopique de l’application K ( A ) → − ε U ´ el ( A ) qui es t induite par le mo rphisme d’anneaux A × A op → M 2 ( A ) d´ ecrit pr´ ec´ edemment. Pour compl´ eter ce dia gramme, nous utilisons un ´ el´ emen t remarqua ble de − 1 D max 0 ( Z ) et effectuons le “cup-pro duit” par cet ´ el´ emen t p our d ´ efinir une applica tion na turelle σ : ε K Q ´ el ( A ) → − ε D ´ el ( A ). Les d´ etails son t ex plicit ´ es en [ K2 ] § 2.3-8 (le fait que 1 soit ´ even tuellement scind´ e dans A n’es t pas n´ ecessa ire pour cet arg ument, comme il a ´ et´ e d´ ej` a soulign´ e dans [ K2 ]). 5.6. . Nous pro c´ edons de ma ni` ere s ym´ etrique p our construire une application en sens inverse − ε U ´ el ( A ) → ε V ´ el ( SA ). Elle s’ins` ere dans le diagr amme commutatif suiv an t / / Ω − ε K Q ´ el ( A ) / /   − ε U ´ el ( A ) / /   K ( A ) / /   − ε K Q ´ el ( A ) / / θ   − ε U ´ el ( A )   / / ε E ´ el ( SA ) / / ε V ´ el ( SA ) / / K ( A ) / / ε E ´ el ( S 2 A ) / / ε V ´ el ( S 2 A ) La th ´ eor ie ε E ´ el ( A ) est ici la fibr e homotopique de l’applica tion compos´ ee ε V ´ el ( A ) → ε V ´ el ( SA × SA op ) = K ( A ( e )) → K ( A ) Pour compl´ eter le diag r amme, nous dev ons d ´ efinir une application θ : − ε K Q ´ el ( A ) → ε E ´ el ( S 2 A ) L’id´ ee nouvelle par ra ppo rt ` a [ K2 ] est d’utiliser maintenan t le cup-pro duit de Cla u- wens (´ ecrit de mani` ere relative po ur la theorie E ), soit − 1 E ´ el − 2 ( Z [ s ]) × − ε K Q ´ el n ( A ) → ε E ´ el n − 2 ( A ) (av ec s = − s ). Ceci se traduit au niveau des s p ectr es par l’a pplication θ . L’´ el´ emen t de − 1 E ´ el − 2 ( Z [ s ]) = − 1 K Q ´ el − 2 ( Z [ s ]) = − 1 K Q min − 2 ( Z [ s ]) av ec lequel est effectu´ e le cup-pro duit es t ´ ecrit de mani` ere explicite dans [ K1 ] p. 2 43 par une matrice ` a 3 0 ter mes av ec un l´ eger chan- gement de notations (remplac e r la lettre λ par s ). Nous devons ensuite plonger l’alg` ebre des polynˆ omes laur entiens en les deux v ariables z et t dans la double susp ension de Z [ s ]. 5 En fait, p our la K − th´ eorie, c’est ` a dir e la K − th ´ eori e hermitienne de A × A op , nous devons remplacer l’ anneau des nomb res duaux A ( e ) par A , comme il a ´ et ´ e pr´ ecis´ e en 1.8. LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 17 Pour terminer la d´ emonstratio n du th ´ eor` eme 5.2, nous dev ons montrer que les deux compos itio ns ε V ´ el ( SA ) / / − ε U ´ el ( A ) / / ε V ´ el ( SA ) et − ε U ´ el ( A ) / / ε V ´ el ( SA ) / / − ε U ´ el ( A ) sont des ´ equiv alences d’ho motopie. Nous nous r´ ef´ erons de no uveau ` a [ K2 ] p 2 73- 277 p our le d´ etail des ar g ument s. Le p o int essentiel est l’a sso ciativit´ e partielle du cup-pro duit ´ etabli en 4.7 qui remplace l’ass o ciativit´ e usuelle utilis´ ee en [ K 2 ]. En effet, de cette a sso ciativit´ e par tielle, on d´ eduit des diagrammes comm utatifs 1 K Q ´ el 0 ( Z [ s ]) × ε K Q ´ el n ( A ) / /   ε K Q ´ el n ( A )   − 1 D ´ el 0 ( Z [ s ]) × ε K Q ´ el n ( A ) / /   − ε D ´ el n ( A )   1 K Q ´ el 0 ( Z [ s ]) × ε K Q ´ el n ( A ) / / ε K Q ´ el n ( A ) Ce raisonnement montre que la comp osition ε V ´ el ( SA ) / / − ε U ´ el ( A ) / / ε V ´ el ( SA ) est une ´ equiv alence d’homotopie. On d ´ emo nt re de m ˆ eme la commutativit ´ e du dia- gramme − 1 D ´ el 0 ( Z [ s ]) × ε K Q ´ el n ( A ) / /   − ε D ´ el n ( A )   1 K Q ´ el 0 ( Z [ s ]) × ε K Q ´ el n ( A ) / /   ε K Q n ( A )   − 1 D ´ el 0 ( Z [ s ]) × ε K Q ´ el n ( A ) / / − ε D ´ el n ( A ) ce qui mon tre que la co mpo sition en sens in verse − ε U ´ el ( A ) / / ε V ´ el ( SA ) / / − ε U ´ el ( A ) est aussi une ´ equiv alence d’homotopie. 5.7. Remarque. Si nous nous in t´ eressons uniquement aux “group es de Witt ´ etendus” ε W ´ el n ( A ) = C ok er ( K n ( A ) → ε K Q ´ el n ( A )) les a rguments pr´ ec´ eden ts se simplifient co nsid´ erablement (av ec un r´ esultat moins fort cep endant ; ` a comparer a vec 5.9 et 6.6). Le cup-pro duit par les ´ el ´ ements u 2 ∈ − 1 W max 2 ( Z ) e t u − 2 ∈ − 1 W ´ el − 2 ( Z [ s ]), asso ci´ es aux ´ el ´ ement s cons tr uits en 5.5 et 5.6, d´ efinissen t des homomorphismes ε W ´ el n ( A ) → − ε W ´ el n +2 ( A ) et − ε W ´ el n +2 ( A ) → ε W ´ el n ( A ) dont la comp osition (` a isomor phisme pr` es) est la multiplication par 4 (en utilisan t des ar g ument s de K − th´ eorie top ologiq ue : cf. [ K 1 ], p. 25 1). Notons que ε W ´ el n ( A ) 18 MAX KAROUBI est is o morphe ` a ε W min n ( A ) si n ≤ 0 e t ` a ε W max n ( A ) s i n < 0. L e gr oup e de Witt “stabilis´ e” que nous d´ efinirons dans le § 6 utilisera de mani` ere essentielle le deuxi` eme cup-pro duit. 5.8. Comme il a ´ et ´ e explicit´ e en [ K2 ] p. 278 , le th´ eor` eme 5.2 implique une suite exacte ` a 12 termes dont les termes sont d ´ efinis ainsi. Le “cogr oup e de Witt” ε W n ´ el ( A ) est le no yau de la fl ` eche oubli ε K Q ´ el n ( A )) → K n ( A ) Nous d´ efinissons le gro upe k n ( A ) (resp. k n ( A ) ) co mme le gr oup e de cohomolo gie de T ate pair (resp. impair) de Z / 2 op´ erant sur K n ( A ). 5.9. Th ´ eor ` e me . Ave c les d´ efinitions pr´ ec´ edentes, nous avons u ne suite exacte ` a 12 termes o ` u, p our simplifier, nous ´ ecrivons F p o ur F ( A ) en g´ en ´ er a l, F ´ etant l’un des foncteurs W ´ el , W ´ el , k ´ el ou k ´ el . . . / / k n +1 / / − ε W ´ el n +2 / / ε W ´ el n / / k ´ el n +1 / / − ε W ´ el n +1 / / − ε W ´ el n +1 / / k n +1 / / ε W ´ el n +2 / / − ε W ´ el n / / k n +1 / / ε W ´ el n +1 / / ε W ´ el n +1 / / k n +1 . . . 5.10. Th ´ eor ` eme . Su pp osons qu e 1 soit scind ´ e dans A (p ar exemple que 2 soit inversible). L es homomorphismes n atur els ε W ´ el n ( A ) → ε W n ( A ) et ε W ´ el n ( A ) → ε W n ( A ) sont alors des isomorphismes. D ´ e mo nstration. En ra isonnant pa r r´ esurre nc e sur n , c’est une cons´ equence imm´ ediate de 5.9 et du th´ eor` eme 4.3 de [ K2 ] (v oir aussi la remarque s uiv an te). 5.11. Remarque. Si 1 est scind ´ e dans A , nous a vons un diag ramme commu- tatif de s pe c tr es ε V ´ el ( A ) ≈ Ω − ε U ´ el ( A ) ε V ( A ) O O ≈ Ω − ε U ( A ) O O o ` u les fl` eches verticales sont des mono morphismes scind´ es. On v oit ains i que le th ´ e or` eme 5.2 implique le th ´ eor` eme fondamental de [ K2 ] p. 260. Nous pr ofitons de cette o ccasion p our combler une lacune dans sa d´ emonstra tion : elle supp osait implicitemen t que 1 W ( Z [ s ]) ≈ Z , un r´ esultat dˆ u aussi ` a Clauw ens ([ C ] p. 4 7). 5.12. Nous allo ns conclur e ce pa ragra phe par un calcul explicite de group es de Witt da ns des s ituations qui ne s ont pas envisag ´ ees en [ K2 ]. Nous re ma rquons d’ab ord que pa r la mˆ eme m´ etho de, nous po uvons d´ efinir en bas degr´ es des mo r- phismes de p ´ erio dicit ´ e ε U min ( A ) / / − ε V min ( S A ) et − ε V min ( S A ) / / ε U min ( A ) LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 19 inv erses l’un de l’autre ` a isomo rphisme pr` es, en s orte q ue le diagr amme suiv ant commute ε U ´ el ( A )   / / − ε V ´ el ( S A )   / / ε U ´ el ( A )   ε U min ( A ) / / − ε V min ( S A ) / / ε U min ( A ) En effet, la sophisticatio n des fibr´ es plats n’es t pas n´ ecessaire dans cette situation. Par ailleurs, puisque ε K Q ´ el ( B ) est isomorphe ` a ε K Q min ( B ) p our to ut annea u B , on d´ eduit du dia gramme pr´ ec´ eden t un isomorphisme ε U ´ el ( A ) ≈ → − ε U min ( A ). No us av ons enfin le diagr amme c o mm utatif suiv ant de suites exactes 0 / / ε W ´ el 1 ( A )   / / ε U ´ el ( A )   / / K ( A )   / / ε K Q ´ el ( A )   0 / / ε W min 1 ( A ) / / ε U min ( A ) / / K ( A ) / / ε K Q min ( A ) Puisque les tr ois fl` eches de droite verticales so n t des isomor phismes, nous en d´ eduisons le th ´ eor` eme suiv ant 5.13. Th ´ eor ` eme . L’homomorphisme nature l ε W ´ el 1 ( A ) → ε W min 1 ( A ) est un isomorphisme. 5.14. Exemple. Soit A = F q un cor ps fini de c aract´ eristique 2. D’apr` es Quillen, les group e s K n ( F q ) sont des group es finis d’ordre impair ` a l’exception de K 0 ( F q ) = Z . On a W 0 ( F q ) = Z / 2, isomorphisme d ´ efini par l’inv ar iant de Arf et W 1 ( F q ) = Z / 2 , isomor phisme d´ efini par l’inv arian t de Dickson. Ici les gro upe s de Witt sont ceux calcul´ es avec la for me para m ` etre min (c’est-` a-dire ceux asso ci´ es ` a des formes quadratiques ). Par ailleurs, la suite exacte des 12 (th ´ eor` eme 5.11 ) se r´ eduit en fait ` a une suite ` a 6 termes, car ε = 1 = − 1. Si o n utilise le th ´ e or` eme pr´ ec ´ edent, on en d´ eduit que les gorup es de Witt ´ elarg is W ´ el n ( F q ) sont ´ egaux ` a Z / 2 pour tout n ∈ Z . 6. Les g roup es de Witt s tabilis´ es 6.1. Remarque. Ce par agra phe est une extensio n aux anneaux quelconques des id ´ ees d´ ev elopp´ ees da ns une Note aux Comptes Rendus [ K4 ]. Une autre exten- sion aux sc h´ emas est d´ ecrite da ns [ S ]. 6.2. Nous nous pla¸ cons dans la cat´ egor ie des anneaux discrets A av ec inv o- lution a 7→ a (nous ne supp o sons pas la commutativit ´ e ni l’ex istence d’un ´ e l´ ement unit ´ e ). Les g roup es de Witt stabilis´ es ε W n ( A ), avec ε = ± 1 et n ∈ Z , que nous d´ efinirons plus loin, v´ erifient les propri´ et ´ es suiv antes 1) Exactitude . Pour toute suite exacte d’anneaux discrets av ec inv olution 0 / / A ′ / / A / / A ′′ / / 0 nous a vons une suite exa cte naturelle des gr oup es W / / ε W n +1 ( A ) / / ε W n +1 ( A ”) / / ε W n ( A ′ ) / / ε W n ( A ) / / ε W n ( A ′′ ) / / 20 MAX KAROUBI 2) P erio di cit´ e . Nous avons un isomorphisme naturel ε W n ( A ) ∼ = − ε W n +2 ( A ) et par cons´ equen t une p´ erio dicit´ e 4 par rapp ort ` a l’indice n . 3) In v arianc e par e xtension nilp otente . Si I est un id´ eal nilp otent dans A , la pro jection A → A/I induit un isomorphisme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A/I ) En d’autres termes ε W n ( I ) = 0 pour un anneau nilpotent. 4) In v arianc e homo topique . Si 1 est s cind ´ e dans A (en particulier si 2 est inv ersible) l’extension po lynomiale A → A [ t ] (o ` u t = t ) induit un is omor- phisme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A [ t ]) 5) Normalisatio n . Si A est unitaire, il ex iste un homomorphisme naturel Θ : ε W n ( A ) → ε W n ( A ) o ` u ε W n ( A ) est le group e de Witt classiq ue [ K1 ] construit av ec les formes quadratiques. Celui-ci induit un isomorphisme ε W n ( A ) ⊗ Z Z ′ ∼ = ε W n ( A ) ⊗ Z Z ′ o ` u Z ′ = Z [1 / 2]. Si A e s t no eth´ erien r´ egulier, l’homomo r phisme Θ est un isomorphisme lorsq ue n ≤ 0. Si on supp ose en outre que 2 est inv ersible dans A , les 1 W n ( A ), n mo d 4, son t les group es de Witt tria ngul´ es de Balmer [Ba]. 6.3. Pour d´ emon trer l’existence d’une telle th ´ eorie, nous allons essentielle- men t utiliser les r´ esultats du paragraphe pr´ ec ´ edent sur la p´ erio dicit´ e en K - th ´ e o rie hermitienne. Rappelons que dans [ K 2 ] p. 24 3 no us a vons d´ efini un ´ el ´ ement remar- quable u − 2 dans − 1 K Q − 2 ( Z [ s ]) = − 1 K Q ´ el − 2 ( Z [ s ]) d´ efini par une matrice a n tisym´ etrique ay ant 30 ´ el´ emen ts et ` a co efficients dans l’an- neau des p oly nˆ omes la urentiens ` a deux v ariables Z [ s ][ t, u, t − 1 , u − 1 ]. Cet ´ el´ emen t nous a d ´ ej` a ser vi da ns le § 5 p o ur d´ efinir la fl ` eche − ε U ´ el n +1 ( A ) → ε V ´ el n ( A ). 6.4. Dans le paragraphe 4 , nous avons d´ efini p our tout anneau unitaire A un cup-pro duit − 1 K Q ´ el − 2 ( Z [ s ]) × ε K Q ´ el n ( A ) → − ε K Q ´ el n − 2 ( A ) Puisque nous so mmes seulement int ´ er ess´ es aux v aleurs de n qui sont ≤ 0 , nous po uvons r e mplacer les g roup es K Q ´ el n par K Q min n (et mˆ eme K Q max n po ur n < 0 ), que nous noterons s implement K Q n . En outre, l’homo morphisme de p´ erio dicit´ e (d ´ e fini par le cup-pro duit avec u − 2 ) β : ε K Q n ( A ) → − ε K Q n − 2 ( A ) comp os´ e ` a ga uche par la fl` ec he oubli − ε K Q n − 2 ( A ) → K n − 2 ( A ) o u co mpo s´ e ` a droite par la fl` ec he hyperb olique K n ( A ) → ε K Q n ( A ) es t r´ eduit ` a 0 (ca r la K -th´ eorie de la susp ension d’un anneau no eth´ erien r´ egulier est triviale). Par cons´ equent, la limite inductive du syst` eme de gro up e s de K − th´ eorie hermitienne ε K Q n ( A ) / / − ε K Q n − 2 ( A ) / / ε K Q n − 4 ( A ) / / − ε K Q n − 6 ( A ) / / . . . LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 21 est aussi la limite inductive du syst` eme de gr o up e s de Witt asso ci´ es ε W n ( A ) / / − ε W n − 2 ( A ) / / ε W n − 4 ( A ) / / − ε W n − 6 ( A ) / / . . . Cette limite est par d´ efinition le gro upe de Witt stabilis´ e ε W n ( A ) que nous sou- haitions d´ efinir. Notons que grˆ ace ` a l’excision e n K -th´ eorie et en K -th´ eorie her- mitienne en degr´ es ≤ 0, nous p ouvons ´ etendre cette d´ efinition aux anneaux non n´ ecessairement unitaires en d´ efinissant ε K Q n ( A ) co mme le noy au de ε K Q n ( A + ) → ε K Q n ( Z ) , o ` u A + est l’anneau A (consid ´ e r´ e c omme une Z -alg` ebre) apr` es addition d’un ´ el´ ement unit´ e. La d´ efinition de ε W n ( A ) p our A non unitaire est tout ` a fait analogue. De ces consid´ erations et de l’e x cision p our les group es K Q n si n ≤ 0, nous d ´ eduiso ns la premi` ere propri´ et ´ e de s gr o upe s de Witt sta bilis´ es : 6.5. Th ´ eor ` e me . A toute su ite exacte d’anne aux discr ets ave c involution 0 / / A ′ / / A / / A ” / / 0 nous p ouvons asso cier natur el lement une suite exacte des gr oup es de Witt st abilis ´ es . . . / / ε W n ( A ′ ) / / ε W n ( A ) / / ε W n ( A ′′ ) / / ε W n − 1 ( A ′ ) / / ε W n − 1 ( A ) / / . . . 6.6. L’isomorphisme ε W n ( A ) ∼ = − ε W n +2 ( A ) et la p´ eriodicit´ e 4 se d´ eduisen t imm ´ e diatement des d ´ efinitions . 6.7. Th ´ eor ` e me (no rmalisation). Soit A un anne au no eth ´ erien r´ egulie r uni- tair e. Alors le gr oup e de Witt stabilis´ e 1 W 0 ( A ) ( r esp. − 1 W 0 ( A ) ) c o ¨ ıncide ave c le gr oup e de Witt cl assique des formes quadr atiques (r esp. (-1)-quadr atiques). En outr e, p our tout anne au A u nitair e, les homomorphismes c anoniques ε W ´ el n ( A ) / / ε W min n ( A ) / / ε W max n ( A ) / / ε W n ( A ) induisent des isomorphismes en t ensorisant p ar Z ′ = Z [1 / 2] . D ´ e mo nstration. Puisque les gro upe s de K - th ´ e orie n´ egative de A sont trivia ux si A est no eth´ erien r ´ egulier , la suite exacte ` a 12 termes d´ ecrite en 5.9 montre que les fl` ec hes de la suite ε W 0 ( A ) / / − ε W − 2 ( A ) / / ε W − 4 ( A ) / / − ε W − 6 ( A ) / / ... sont des is o morphismes. Par e xemple, si ε = 1 et si A est le corps ` a 2 ´ e l ´ ement s, nous trouvons le group e Z / 2 (qui est d ´ etect´ e par l’in v ariant de Arf ). Par ailleurs si A est un anneau quelconque, en utilisant la lo ca lisation en K - th ´ e orie her mitienne, nous av ons c o nstruit e n [ K1 ] deux ´ el´ emen ts dans − 1 W max 2 ( Z ) et − 1 W max − 2 ( Z ) dont le cup- pro duit dans 1 W max ( Z ) est une puissance de 2. Les premiers isomo r phismes se d´ emon trent en se r a menant par p´ erio dicit´ e aux degr´ es n´ egatifs. Le der nier isomorphisme r´ esulte de la suite exacte ` a 12 ter mes d´ emontr ´ ee en 5.9. 22 MAX KAROUBI 6.8. Th ´ eor ` e me (in v ariance par extensi on nil p otente). Si I est u n id ´ eal nilp otent dans A , la pr oje ctio n A → A/I induit un isomorphisme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A/I ) Par c ons´ equent , ε W n ( I ) = 0 p our t out id´ eal nilp otent I . D ´ e mo nstration. Sans res treindre la g´ en ´ eralit´ e, nous po uvons supp oser que A est unitaire. Dans ce cas , il est bien connu que tout mo dule pr o jectif de type fini sur A/I provien t d’un module pro jectif E s ur A par extension des sca laires et qu’il est donc du type E /I . P ar c o ns´ equen t, la forme ε -hermitienne sur A/I es t donn ´ ee par un isomorphisme ϕ : E / I → ( E /I ) ∗ Puisque ϕ est paire, nous p ouvons l’´ ecrire sour la forme ϕ 0 + ε t ϕ 0 . Soit e ϕ 0 un homomorphisme E → E ∗ tel que e ϕ 0 = ϕ 0 mo d I . Alor s ϕ = f ϕ 0 + ε t f ϕ 0 est une forme ε - hermitienne non d´ eg ´ e n ´ er´ ee E → E ∗ qui est un relev´ e de ϕ . Ceci montre que le mor phisme ε K Q 0 ( A ) → ε K Q 0 ( A/I ) est sur jectif po ur tout id´ eal nilp otent I (aussi bien po ur K Q max que po ur K Q min ). Il en est do nc de m ˆ eme de ε K Q n ( A ) → ε K Q n ( A/I ) po ur n ≤ 0 en consid´ erant des s uspe nsions it´ er´ ees (´ el, max et min co ¨ ınciden t en degr´ es n < 0 ; cf. 3 .2). L a surjectivit´ e de l’homomor phisme ε W n ( A ) → ε W n ( A/I ) en r ´ es ulte. L’injectivit ´ e du morphisme ε W n ( A ) → ε W n ( A/I ) e st plus d´ elicate ` a montrer. En raisonna nt par r´ ecurr ence sur le degr´ e de nilp otence de I , no us p ouvons d’ab or d suppo ser que I 2 = 0. Par ailleurs, nous savons que tout mo dule muni d’une forme hermitienne paire est fac teur direct d’un mo dule hyper bo lique. C’est donc l’imag e d’un pro jecteur auto-adjoint p , soit p 2 = p et p ∗ = p dans un H ( A n ). Enfin, sans r estreindre la g´ en ´ e ralit´ e (puisque nous stabilisons), nous p ouvons sup- po ser que A est la susp ension S R d’un anneau R et que I = S J o ` u J est un id´ eal de R tel q ue J 2 = 0. La d ´ emons tration de l’injectivit´ e se r´ esume alors ` a la solution du probl` eme suiv ant : nous consid´ erons deux pro jecteurs auto-adjoints p 0 et p 1 dans un mo dule h yp erb oliq ue sur A = S R tels que leurs imag es mo d I , soient p 0 et p 1 sont conjugu´ ees. Puisque ε K Q 1 ( S R ) ∼ = ε K Q 0 ( R ) en g´ en´ eral et que le morphisme ε K Q 0 ( R ) → ε K Q 0 ( R/J ) est surjectif comme nous l’av ons vu pr ´ ec´ edemment, nous po uvons supp oser sans restreindre la g´ en´ eralit´ e 6 que p 0 = p 1 ou enco re p 1 = p 0 + σ , o ` u σ appartient ` a I . De l’identit ´ e ( p 1 ) 2 = p 1 et de l’´ egalit´ e I 2 = 0, nous d ´ eduis o ns les relations suiv antes : σ = p 0 σ + σ p 0 σ p 0 σ = 0 σ 2 = σ 2 p 0 = p 0 σ 2 Consid´ erons maintenan t l’endomor phisme α = 1 − p 0 − p 1 + 2 p 0 p 1 . Puisque α ≡ 1 mo d I , c’est un iso morphisme. Par ailleurs , il v ´ erifie la relation αp 1 = p 0 α . Nous allons main tenant mo n trer que αα ∗ = 1. Pour cela , on r e marque que α s’´ ecrit aussi α = 1 − σ + 2 p 0 σ 6 La surjectivit ´ e de l’homomorphisme ε K Q min 1 (Λ) → ε K Q min 1 (Λ /I ) implique la surjectivit´ e de l ’homomorphisme ε O min (Λ) → ε O min (Λ /I ). LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 23 et, grˆ ace aux identit ´ es pr ´ ec´ eden tes, un calcul direct mon tre bien que αα ∗ = (1 − σ + 2 p 0 σ )(1 − σ + 2 σ p 0 ) = 1 Les pr o jecteurs p 0 et p 1 sont a insi conjugu´ es par un a utomorphisme unitaire et d´ eterminen t pa r cons´ equen t la mˆ eme classe de for me hermitienne paire 7 . 6.9. Th ´ eor ` e me (in v ariance hom otopique). Soit A un ann e au unit air e tel que 1 soit scind´ e dans A . Il existe donc un ´ el´ ement λ dans le c entr e de A tel que λ + λ = 1 . L’extension p olynomiale A → A [ t ] (ave c t = t ) induit alors un isomorphi sme ε W n ( A ) ∼ = ε W n ( A [ t ]) D ´ e mo nstration. Il suffit de d´ emontrer le th ´ e o r` eme po ur n = 0. Celui-ci e st d´ ej` a connu po ur 2 inv ersible dans A (voir [ O ] p our une preuve simple). Cep endant, il existe des anneaux o ` u 2 n’est pa s in versible et o ` u 1 est scind´ e, par exemple le co rps fini F 4 m uni de l’inv olution non triviale. Pour traiter ce ca s plus g´ en ´ er al, nous de- vons r´ e´ examiner la pr e uve classique. En fait, le seul point qui m´ erite une pr´ ecision dans cette preuv e est le lemme suiv a nt. 6.10. Lemme. Soit A un anne au ave c λ dans le c entr e de A tel qu e 1 = λ + λ . Soit E un A -mo dule muni d’une forme ε -hermitienne et soit α = 1 + ν t u n ´ el´ ement de GL ( E ⊗ Z [ t ]) ave c ν nilp otent et auto-adjoint. Alo rs α p eut ˆ etr e ´ ecrit sous la forme γ ( t ) ∗ γ ( t ) , o` u γ ( t ) est un p olynˆ ome en t dans l’anne au engendr ´ e p ar λ et ν . D ´ e mo nstration. Nous allons construire par r ´ e currence sur n un p olynˆ ome de degr´ e au plus n da ns l’a nneau eng endr´ e par ν et λ , s o it γ n ( t ) = 1 + a 1 t + a 2 t 2 + · · · + a n t n , tel que γ n ( t ) ∗ γ n ( t ) ≡ 1 + ν t mo d ( ν t ) n +1 . Pour n = 1, nous po sons γ 1 ( t ) = 1 + λν t . Si γ n est construit, nous av ons γ n ( t ) ∗ γ n ( t ) = 1 + ν t + b n +1 ( ν t ) n +1 mo d ( ν t ) n +2 av ec b n +1 = b n +1 . Nous po sons alo rs γ n +1 ( t ) = (1 − λb n +1 ( ν t ) n +1 ) γ n ( t ) p our obtenir l’ident it´ e requise γ n +1 ( t ) ∗ γ n +1 ( t ) ≡ 1 + ν t mo d ( ν t ) n +2 6.11. Exemple. Si A est un corps fini de ca ract´ eristique 2, il est facile de montrer que les gro upes de Witt s tabilis´ es W n ( A ) sont to us isomorphes ` a Z / 2. Ils co ¨ ıncident en fait av ec les g roup es W ´ el n ( A ) en tout degr ´ e . 6.12. Remarque. Ces group es de Witt s tabilis´ es on t ´ et´ e g ´ en ´ eralis´ es aux s ch ´ emas par M. Schlic h ting [ S ]. Da ns ce tte g´ en´ eralit´ e, on doit cep endant supp oser 2 inver- sible. 7. Les lem m es de Clauw ens 7.1. Lemme. L a forme hermitienne asso ci´ ee ` a la forme quadr atique κ d ´ efinie en 4.3 est non d´ eg´ en ´ er ´ ee. 7 D’apr` es 2.10, il revien t au mˆ eme de consid´ erer des formes hermitienne paires ou des formes quadratiques dans les groupes stabilis´ es. 24 MAX KAROUBI D ´ e mo nstration. Nous suivons les simplications de nota tion indiqu´ ees en 4.3 en rem- pla¸ cant notamment δ par φ tel que φ + φ ∗ = 1. Nous p ouvons do nc ´ ecr ir e κ = X θ n ⊗ φ n qu’il est plus suggestif de noter θ ( φ ). Nous av ons alors κ + κ ∗ = X θ n ⊗ φ n + X ( θ n ) ∗ ⊗ ( φ ) ∗ n = X θ n ⊗ φ n + X ( θ n ) ∗ ⊗ (1 − φ ) n Par ailleurs, on sait que le p o ly nˆ o me en s d´ efini par P θ n ⊗ s n + P ( θ n ) ∗ ⊗ (1 − s ) n est inv ersible (c’est la for me hermitienne H asso ci´ ee ` a θ ). Il en r´ esulte ´ evidemment que κ + κ ∗ est in versible. On p eut aussi l’´ ecrire H ( φ ) a vec un abus d’´ ecriture ´ evident. 7.2. Lemme. Si on change θ = P θ n s n en θ + Z − Z ∗ , les formes quadr atiques asso ci ´ es κ et κ ′ sont ´ equivale nt es. D ´ e mo nstration. La forme qua dratique θ = P θ n s n est modifi´ ee en X θ n s n + X σ n s n − X ( σ n ) ∗ (1 − s ) n Par cons´ equent κ est mo difi ´ ee en κ + σ ( φ ) − ( σ ( φ )) ∗ (remplacer s par φ ). 7.3. Lemme. Mo dulo l’image de K Q ( A ) dans K Q ´ el 0 ( A [ s ]) (et mˆ eme d’une forme hyp erb olique sur A ), t out ´ el ´ ement de c e dernier gr oup e p eut ˆ etr e r epr ´ esent´ e p ar une forme lin´ ea ir e en s . D ´ e mo nstration. Soit θ = P N 0 θ n s n une forme quadr atique de deg r´ e N . L’iden- tit ´ e suiv ante et un r aisonnement par r´ ecurrence sur N montre qu’on p eut r´ eduire le degr´ e de θ ` a 0 ou 1   1 − s ( θ N ) ∗ (1 − s ) N − 1 0 1 0 0 0 1     θ 0 0 0 0 1 0 0 0     1 0 0 − 1 + s 1 0 θ N s N − 1 0 1   =   θ − θ N s N 0 − s θ N s N − 1 1 0 0 0 1   Si θ s’ ´ ecrit θ 0 + θ 1 s , on p eut aussi ´ eliminer le terme co nstant en ´ ecriv ant que θ est ´ equiv alente ` a θ 0 + θ 1 s − θ 0 (1 − s ) + ( θ 0 ) ∗ s = ( θ 1 + θ 0 + ( θ 0 ) ∗ ) s ce qui d ´ emontre le lemme. Le lemme pr´ ec´ eden t nous montre qu’il suffit de v´ erifier la v alidit ´ e du pr o duit de Clauw ens d´ efini en 4.3 (mˆ emes notations), dans le cas o ` u θ est une forme lin´ eaire en s, soit σ s av ec σ presq ue sym´ etrique, i.e. σ ∗ = σ (1 + N ), avec N nilp otent. Il nous faut montrer ensuite que le cup-pro duit de Clauw ens ne d´ epend que de la forme quadratique a sso ci´ ee ` a δ (ou l’endomo r phisme φ g rˆ ace ` a l’identification de F ` a son dual). Ra ppelo ns qu’on a aussi ide ntifi ´ e E ` a son dual par l’isomor phisme θ 0 + P ∞ n =0 t θ n . Si on p os e G = E ⊗ F , la transp os´ ee t f d’une application f de G dans son dual s’identifie ´ ega lement ` a son application adjoint e f ∗ (cf. les rema rques faites en 4.3). LE TH ´ EOR ` EME DE P ´ ERIODICIT ´ E EN K -TH ´ EORIE HERMI TIE NNE 25 7.4. Lemme. Soit φ et ζ deux endo morphismes de F t els qu e φ + φ ∗ = 1 . Pour tout entier p ≥ 0 , il existe alors un isomorphisme f p de G sur son dual tel que ( f p ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p = σ ⊗ ( φ + ζ − ζ ∗ ) + Z p − ( Z p ) ∗ mo d ( σN p +1 ⊗ 1) o` u N = σ − 1 σ ∗ − 1 est nilp otent et o` u l’expr ession mo d ( σ N p +1 ⊗ 1) signifie une somme de morp hismes du typ e σ N p +1 ⊗ κ p +1 + σ N p +2 ⊗ κ p +2 + . . . ( qu i est fi nie puisque N est nilp otent). D ´ e mo nstration. P uisque σ ∗ = σ + σN , on a σ ∗ N k ⊗ 1 = σN k ⊗ 1 mo d ( σ N k +1 ⊗ 1). On a de m ˆ eme N ∗ k σ N r = σ N r + k mo d σ N r + k +1 ⊗ 1. Nous allons maintenan t construire f p et Z p par r´ ecurre nc e sur p . Pour p = 0, on pose f 0 = 1 et Z 0 = − σ ⊗ ζ . Pour d´ efinir f p +1 ` a par tir de f p , on ´ ecr it ( f p ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p − [ σ ⊗ ( φ + ζ − ζ ∗ ) + Z p − ( Z p ) ∗ ] = − σ N p +1 ⊗ κ p +1 mo d ( σN p +1 ⊗ 1) On pose alor s U = N p +1 ⊗ κ p +1 et f p +1 = f p + U et Z p +1 = Z p + U ∗ ( σ ⊗ φ ) En trav aillant mo d ( σ N p +2 ⊗ 1), on obtien t les iden tit´ es s uiv an tes ( f p +1 ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p +1 − [ σ ⊗ ( φ + ζ − ζ ∗ ) + Z p +1 − ( Z p +1 ) ∗ ] = ( f p +1 ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p +1 − ( f p ) ∗ ( σ ⊗ φ ) f p − ( Z p +1 − Z p ) + (( Z p +1 ) ∗ − ( Z p ) ∗ ) − σN p +1 ⊗ κ = U ∗ ( σ ⊗ φ ) + ( σ ⊗ φ ) U − U ∗ ( σ ⊗ φ )) + ( σ ∗ ⊗ φ ∗ ) U − σ N p +1 ⊗ κ = σ N p +1 ( φ + φ ∗ − 1) κ = 0 mo d σ N p +2 ⊗ 1 Ceci ac h` eve la d´ emonstration du lemme. R´ ef´ erences [B1] BA K A. : K -theory of f orms. Annals of M ath Studies 98, Princeton N.J. Pr inceton Universit y Press (1981). [B2] BA K A. : Arf ’s theorem f or trace no etherian and other r ings. Journal of Pure and Applied Algebra 14 (1979), 1-20 [BA] BALMER P . : An introduction to triangular Witt groups and a survey of appli cations. Algebraic and arithmetic theory of quadratic for ms, 3158, Cont emp. Math., 344, Amer. Math. Soc. (2004). [C] CLAUW ENS F.J.-B.J : The K -theory of al most s ym m etric forms. T opological structures I I. Mathematical Centre T racts 115, (1975) 41-49. [K1] KAROUBI M. : Th´ eorie de Quillen et homologie du groupe orthogonal. Annals of Maths 112, (1980) 207-282. [K2] KAROUBI M. : Le th´ eor` eme fondament al de la K -th´ eorie hermitienne. A nnals of Maths 112, (1980) 259-282. [K3] KAROUBI M . : Homologie cyclique et K -th ´ eorie. Ast´ erisque N ◦ 149 (1987). [K4] KAROUBI M. : Stabilization of the Witt group. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 362, (2006) 165-168. [KV] KAROUBI M. et VILLAMA YOR O. : K -th ´ eori e alg´ ebrique et K - th ´ eori e top ologique I I. Math. Scand. 32, (1973) 57-86. [L] LODA Y J.- L. : K - th ´ eori e alg´ ebrique et repr´ esen tations de group es. Ann. Sci. Ec. Norm . Sup., (1976) 309-377 . [M] MILNOR J. : Int ro duction to Algebraic K -theory . Ann. of Math Studies 197. Pr inceton N.J. Princeton University Press (1974 ). [O] OJANGUREN M. : On Karoubi’s theorem : W ( A ) = W ( A [ t ]). Ar c h. M ath. Basel 43, (1984) 328-331. [R] RANICKI A. : Algebraic L-theory I. F ound ations. Pro c. London Math. So c. (3) 27 (1973) 101-125. [S] SCHLICHTING M . : (en pr´ eparation) 26 MAX KAROUBI [T] TITS J. : F ormes quadratiques, groupes orthogonaux et alg ` ebres de Cli fford. Inv en t. Math. 5, (1968)19–41. [W a] W AGONER J.B. : Delo oping classifyi ng spaces in Algebraic K -theory . T opology 11, (1972) 349-370. [W] W ALL C.T.C. : On the axiomatic foundations of the theory of Hermitian forms. Pr oc. Cam- bridge Philo d. Soc. 67 (1970) 243-250. MAX KAR OUBI Univ er s it ´ e Denis Diderot / Paris 7 UFR de Math ´ ematique s . Cas e 7012 175, rue du Chev alere t 75205 P ar is cede x 13 max.k aroubi@gmail.c om URL : http ://pe ople.math.jussieu.fr/ ∼ k aro ubi