Analisis de distancias temporales y espaciales entre el Lugar de La Mancha y cuatro puntos de referencia

ANÁLISIS DE DISTANCIAS TE MPORALES Y ESPACIALES ENTRE EL LUGAR DE LA MANC HA Y CUATRO PUNTOS DE REFERENCIA Por D. Orden Martín y R. Viaña Fernández. david.orden@uah.es , raquel.viana@uah.es Departamento de Matemát icas, Universidad de Alcalá 1. Introducción La identidad del famoso lugar de La Mancha que se menciona en la primera frase de El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha es una incógnita con una historia casi tan larga como la de la famosa obra de Mi guel de Cervantes. En particular, en los últimos años han aparecido diversos trabajos con el objetivo de resolv er esta cuestión, la mayoría de ellos a partir de datos sobre la ubicación del lugar de La Mancha similares a los siguientes que, según la s conclusiones de [5] refinadas posteriormente en [6], aparecen en la novela cervantina: • Está situado en la comarca histórica denom inada Campo de Montiel. En concreto, es una de las 24 localidades que aparecen en la Tabla 1. • Está a 2 jornadas de la Venta de Cárdenas. • Está a 2.37 jornadas de Puerto Lápice. • Está a 2.5 jornadas de El Toboso. • Está a 2 jornadas de Munera. Además, también según [5], la velocidad de los protagonistas de la novela está comprendida entre 30 y 35 kilómetros por jornada. Permítasenos observar aquí que, a pesar de que en [6] aparece un segundo conjunto d e datos hipótesis sobre la ubicación del lugar de La Mancha, con el fin de no entorpecer el hilo argumental comenzarem os trabajando s obre los datos anteriormente mostrados, que son los más similares a los utilizado s en los trabajos previos. Será en una sección posterior cuando se muestre el nuevo conjunt o de datos y se realice su análisis. Si se aceptan estos datos como ciertos (la d iscusión de este punto está fuera del objetivo del presente trabajo), el mét odo más natural de resolver el problem a se puede explicar fácilmente mediante la siguien te analogía. Im aginemos un sorteo de lotería en el que cada una de las 24 localidades del Campo de Montiel enumeradas en la Tabla 1 posee un boleto con una combinación de cuatro números, y que éstos son el número de jornadas que separan dicha localidad de cad a uno de los cuatro puntos de referencia anteriormente citados, Venta de Cárdenas, Puerto Lápice, El Toboso y Munera. Según los datos arriba expuestos, la localidad ag raciada con el hecho de ser el lugar de La Mancha será la propietaria de l boleto con la combinación (2,2.37,2.5,2). Sin embargo, ¿qué sucede si ninguna de esas 24 localidades posee esa combinación? En ese caso, uno puede plantearse cuál de ellas tiene la combinación que m ás se aproxima a la combinación premiada. Para ello hay varios c riterios, todos ello s igual de correctos, en función de qué se entienda por “aproxi marse más”. Estos criterios se corresponden con la noción matemática de métrica . 2. Métricas L ∞ , L 1 , L 2, y L n Si el lector tuviera un boleto con la co mbinación (a,b,c,d) y supiera que la combinación premiada es (2,2.37,2.5,2), ¿cómo m ediría cuán cerca está su combinación de la ganadora? A continuación veremos diferent es opciones; para comprender m ejor cada una de ellas, se aconseja que el lector esco ja sus propios valores de (a,b,c,d) y realice los cálculos propuestos. • Métrica L ∞ : Una primera m anera de medir sería comprobar cuál de las cuatro casillas de nuestra combinación discrepa más de la correspondiente casill a de la combinación ganadora, y tomar esa discrepancia como m edida de aproximación a la combinación premiada. Así, la distancia L ∞ entre (a,b,c,d) y (2,2.37,2.5,2), que notaremos d ∞ ((a,b,c,d),(2,2.37,2.5,2)), se define como d ∞ ((a,b,c,d),(2,2.37,2.5,2)) = max {|a - 2|,|b - 2.37|,|c - 2.5|,|d - 2|} • Métrica L 1 : La siguiente manera de medir que vam os a proponer consiste en sumar las discrepancias entre cada una de las cu atro casillas de nuestra combinación y la correspondiente casilla de la combinaci ón ganadora. Se define la distancia L 1 entre (a,b,c,d) y (2,2.37,2.5,2) , que notaremos d 1 ((a,b,c,d),(2,2.37,2.5,2)), como d 1 ((a,b,c,d),(2,2.37,2.5,2)) = |a - 2| + |b - 2.37| + |c - 2.5| + |d - 2| • Métrica L 2 : Esta forma de medir consiste en realiz ar la raíz cuadrada de la sum a de los cuadrados de las discrepancias entre ca da una de las cuatro casillas de nuestra combinación y la correspondiente casilla de la combinación ganadora. De esta manera, se define la distancia L 2 o distancia euclídea d 2 entre (a,b,c,d) y (2,2.37, 2.5,2) como 2 2 2 2 2 | 2 - d | | 2.5 - c | | 2.37 - b | | 2 - a | 5,2)) (2,2.37,2. d), c, b, ((a, + + + = d • Métrica L n : Las métricas L 1 y L 2 son en realidad casos part iculares de la métrica L n , definida para cualquier número natural n . La distancia L n entre (a,b,c,d) y (2,2.37, 2.5,2) , que notaremos d n ((a,b,c,d),(2,2.37,2.5,2)), está definida como d n ((a,b,c,d),(2,2.37,2.5,2)) = ( |a - 2| n + |b - 2.37| n + |c - 2.5| n + |d - 2| n ) 1/n 3. Trabajos previos El método de resolución seguido en [7] es similar al expuesto en las dos secciones anteriores. La diferencia princi pal es que, en lugar de trabajar con distancias en términos de número de jornadas, se trab aja con distanci as kilométricas. Por una parte, para cada una de las 24 localidades del Campo de M ontiel su com binación (a,b,c,d) contiene la distancia en kilómetros a cada uno de los cuat ro puntos de referencia, medida en línea recta y sobre el plano según el mapa de carreteras Michelin. P or otra parte, la combinación solución (2,2,2.5,2) que consideran, e xpresada en jornadas, debe traducirse a kilómetros para poder compararla con las an teriores. Para ello se consideran valores de la velocidad v de los protagonistas entre 25 y 40 k ilómetros por jornada y se estudia cuál de l os valor es de v considerados hace que las discrepancias con respecto a la solución sean mínimas. Para la m étrica L 1 resulta una velocidad de 34 kms/jornada, y la localidad cuya combinación está m ás cerca de la solución resulta ser Alcu billas, con una discrepancia de 24 unidades, mientras que Villanueva de los Infantes aparece en segundo lugar con una discrepancia de 30 unidades. Para la métrica L 2 resulta una velocidad de 34.37 kms/jornada, obteniendo de nuevo como localidad candidata Alcubillas. Finalmente, para la métrica L ∞ obtienen una velocidad de 32.75 kms/jornada, que conduce a Villanueva de los Infantes com o localidad candidata. En [2] parten de la combinación so lución (2,2.25,2.5,1.75). Se aplican técnicas estadísticas a estas distancias en jornadas y a las distan cias kilométricas entre los cuatro puntos de referencia y las localidades del Ca mpo de Montiel, medidas también en línea recta sobre el mapa de carreteras Michelin. Con ello se obtiene una estimación de las distancias espaciales desde el lugar de La Mancha a cada uno de los cuatro puntos de referencia, que se utilizan para ordenar la s 24 localidades del Ca mpo de Montiel según su probabilidad de ser el lugar de La Manc ha. El resultado establece Villanueva de los Infantes como la localidad más probable, con una probabilidad de 0.15992 (sobre 1), mientras que la segunda localidad más proba ble es Fuenllana, con una probabilidad de 0.15433. En [1] se consideran de nue vo las distancias kilom étricas a los cuatro puntos de referencia desde las localidade s del Campo de Montiel, pero esta vez se utiliza como fuente el Directorio Cartográfico de Espa ña. Toman la siguiente combinación solución en horas, con una confianza del 95%: (20±15%,22.5±15%,25±10%,20±10%). Con estos datos se aplican técnicas de Teoría de Sistemas para tratar de establecer tanto el lugar de La Mancha como la velocidad de los protagon istas. Con una fiabilidad d el 95%, Villanueva de los Infantes resulta s er la lo calidad más probable, con pro babilidad entre 0.353 y 0.358 para una velocidad entre 2.98 y 3.11 kilómetros por hora. La segunda localidad más probable es Alhambra, c on probabilid ad entre 0.31 y 0.31 para una velocidad entre 2.69 y 2.82 kilómetros por hora. En [3] se vuelven a considerar las distancias kilométricas con el Directorio Cartográfico de España como fuente. Con ellas, para cad a loc alidad del Campo de Montie l se calcula su discrepancia con respecto a las distancias para el lugar de La Mancha, obtenidas a partir de las tardanzas en jornadas dadas en [5] y la velocidad media v de 31 kilóm etros por jornada, lo que dada la dificultad de aproximar la dist ancia del lugar de La Mancha a Puerto Lápice conduce a una de las siguien tes com binaciones solución en kilómetros: (62,69.4,77.5,61.7), (62,70,77.5,61.7), (62,71,77.5,61.7), (62,72,77.5,61.7), (62,73,77.5,61.7) ó (62,73.5,77.5,61.7). Para medir esta discrepancia se utilizan las métricas L 1 , L 2 y L ∞ , obteniendo los mismos resultados para todas las combinaciones solución consideradas. Para la m étrica L 1, la menor discrepancia se da para Carrizosa, con 18.55 unidades, mientras que Fuenllana tiene 24.96 y Villanueva de los Infantes tiene 25.04. Para la métrica L 2 se obtiene Carrizosa con 12.44, Villanueva de los Infantes con 13.46 y Fuenllana con 13.56. Finalmente, la métrica L ∞ arroja como resultados para estas tres localidades Fu enllana con 9.3, Villanueva de los Infantes con 9.44 y Carrizosa con 11.72. Por último en [4] parten de la combinación so lución (2,2.37,2.5,2) y de las distancias entre las cuatro referencias y el lugar de La Mancha estima das a partir del Directorio Cartográfico de España. Se analizan, además de las distancias, velocidades medias plausibles, obteniendo com o resultado Villanue va de los Infantes con 30.59 kilóm etros por jornada y Fuenllana con 30.57 kilómetros por jornada. 4. Aportación y organización de este trabajo Como se ha mostrado en la sección anterior , los trabajos realiza dos hasta el m omento coinciden en utilizar distancias k ilométricas entre las 24 localidades del Ca mpo de Montiel y las cuatro localidades de referencia. Siguiendo esta línea, en el trabajo [8] del presente volumen se ha utilizado un Sist ema de Información Geográfica para, teniendo en cuenta accidentes geográficos de los cam inos, estab lecer la distancia entre cada una de las 24 localidades del Campo de Montiel y las cuatro referencias mediante caminos óptimos, tanto en kilómetros com o en jornadas. En el presente trabajo dejaremos a un lado la discusión sobre la corrección de los datos aportados en [5], [6] y [8], que se deja para expertos en otras disciplinas. Aquí nos limitaremos a realizar un análisis como el introducido en las Secciones 1 y 2 para los datos obtenidos en [8], sin más pretensi ones que utilizar herramientas m atemáticas básicas para determinar cuál de las 24 localidades del Campo de Montiel posee la combinación de cuatro distancias m ás cercan a a una combinación da da como solución, que corresponde a las cuatro referencias Puer to Lápice, Venta de Cárdenas, El Toboso y Munera. Además, a petición de los autores de [6] se considerará también el caso con sólo tres puntos de referencia en el que se ha descarta do la correspondiente a Munera. Así, por un lado utilizaremos los datos sobre distancias en jornadas y en kilómetros obtenidos en [8]. Por otro lado, consid eraremos las dos combinaciones solución propuestas en [5] y [6], medidas en jornadas , junto con su conversión a kilómetros. Las tardanzas en jornadas serán la ya me ncionada (2,2.37,2.5,2), comúnmente utilizada hasta el momento y la (2,2.42,2.8,2.23), propuesta en el presente volum en [6] y que contabiliza de manera más ajustada el núm ero de horas de marcha durante la noche. La conversión a horas se realizar á utilizando la duración de 10 horas por jornada [6]. La conversión a kilómetros se realizará utiliza ndo la velocidad media de 31 kilómetros por jornada establecida también en [6]. En cuanto a las m étricas consideradas, el hecho de que exista una m étrica L n para cada número natural n hace imposible considerar todas ellas, por lo que se utilizarán las métricas L ∞ , L 1 , y L 2 . Finalmente, con el fin de facilitar la lectura, en cada caso se mostrarán úni cam ente los resultados para las cinco localidades más cercanas a la solución. La organización del resto de este trabajo es la siguiente: La Sección 5 es tá dedicada a la combinación solución considerada en los trab ajos anteriores. Las Subsecciones 5.1 y 5.2 contienen el estudio para las tardanzas en jornadas y en kilómetros, respectivamente, considerando las cuatro localidades de refe rencia ya mencionadas. Las Subseccion es 5.3 y 5.4 realizan el estudio análogo considera ndo las tres localidades de referencia resultantes de descartar Munera. La Sección 6 se estructura de manera análoga, pero está dedicada a la nueva com binación solución que se introduce en es te volumen [6]. La Sección 7 compara los resultados de este es tudio con los de trabajos an teriores y, finalmente, la Sección 8 contiene las conclusiones obtenid as. 5. Análisis para tardanzas en jornadas (2,2.37,2.5,2) La presente sección utiliza las tardan zas ya utilizadas en la mayoría de los trabajos anteriores. En la Subsección 5.1 trabajaremos con las distancias kilométricas desde cada una de las cuatro referencias a las 24 localidades del Campo de Montiel que se encuentran recogidas en la Tabla 1. A con tinuación, en la Subsección 5.2, realizaremos un análisis similar pero partiendo de los datos temporales de la Tabla 5. Finalmente, en las dos últimas subsecciones repetiremos el proceso elim inando Munera, es decir, tomando solo Puerto Lápice, Venta de Cárd enas y El Toboso como localidades de referencia. 5.1. Análisis espacial con cuatro referencias En la Tabla 1 se recogen las distancias kilomé tricas que forman los datos de partida. De este modo cada localidad posee una combinaci ón de cuatro distancias, que deberem os comparar con la combinación so lución. En es ta subsección se considera la combinación solución en jornadas (2,2.37,2.5,2), que c onvertida a kilómetros a razón de 31 kilómetros por jornada [6] resulta (62,73.47,77.5,62). Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera km km km km Albala dejo 72,80 94,40 106,92 53,68 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 67,08 Alhambra 72,08 64,04 68,72 53,16 Almedina 59,28 84,04 99,40 65,04 Cañamares 78,96 94,48 102,16 46,16 Carrizosa 70,44 72,28 77,20 52,52 Castellar de Sant iago 30,00 94,48 116,52 92,28 Cózar 57,52 77,72 95,72 67,44 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 55,68 Membrilla 74,88 39,44 76,00 78,44 Montie l 68,36 84,92 97,44 56,72 Ossa d e Montie l 98,68 75,08 68,68 23,60 Puebla del Prín cipe 61,44 90,80 106,16 65,04 Ruidera 86,92 65,96 64,64 36,04 Sta. Cruz de Cáñamos 66,96 90,84 104,40 57,28 La Solana 70,44 47,84 66,76 69,20 Terrinches 69,64 94,16 107,72 56,84 Torre de Juan Abad 49,12 86,04 104,16 73,16 Torre s de Montie l 66,36 80,32 95,68 90,32 Torrenueva 32,64 81,68 103,72 59,04 Villahermosa 74,00 83,76 91,44 48,28 Villamanrique 55,12 92,08 108,20 71,56 Villanueva de la Fuente 82,00 99,48 107,48 42,16 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 61,00 Tabla 1. Distancias en kilómetros, siguiendo lo s cam inos óptimos dados en [8], entre las cuatro referencias y las 24 localidades candidatas. A continuación se muestran los resulta dos de estas compar aciones utilizando las métricas explicadas en la Sección 2. Así, en las T ablas 2, 3 y 4 se muestran los resultados de estas comparaci ones utilizando las métricas L ∞ , L 1 , y L 2 , respectivam ente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d ∞ km km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 73,47 77,50 62,00 0,00 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 67,08 9,14 Carrizosa 70,44 72,28 77,20 52,52 9,48 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 61,00 9,54 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 55,68 9,56 Alhambra 72,08 64,04 68,72 53,16 10,08 Tabla 2. Distancias d ∞ a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.37,2.5,2) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 1 km km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 73,47 77,50 62,00 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 61,00 16,77 Carrizosa 70,44 72,28 77,20 52,52 19,41 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 67,08 27,05 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 55,68 28,27 Cózar 57,52 77,72 95,72 67,44 32,39 Tabla 3. Distancias d 1 a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.37,2.5,2) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 2 km km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 73,47 77,50 62,00 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 61,00 10,67 Carrizosa 70,44 72,28 77,20 52,52 12,75 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 67,08 13,85 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 55,68 15,16 Alhambra 72,08 64,04 68,72 53,16 18,59 Tabla 4. Distancias d 2 a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.37,2.5,2) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. 5.2. Análisis temporal con cuatro referencias En esta subsección se consideran las distan ci as temporales, en horas, recogidas en la Tabla 5, y se analiza su discrepancia con la combinación solución en jo rnadas (2,2.37,2.5,2), convertida a horas a razón de 10 horas por jornada [6]. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera horas horas horas horas Albala dejo 23,48 30,45 34,49 17,32 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 21,64 Alhambra 23,25 20,66 22,17 17,15 Almedina 19,12 27,11 32,06 20,98 Cañamares 25,47 30,48 32,95 14,89 Carrizosa 22,72 23,32 24,90 16,94 Castellar de Sant iago 9,68 30,48 37,59 29,77 Cózar 18,55 25,07 30,88 21,75 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 17,96 Membrilla 24,15 12,72 24,52 25,30 Montie l 22,05 27,39 31,43 18,30 Ossa d e Montie l 31,83 24,22 22,15 7,61 Puebla del Prín cipe 19,82 29,29 34,25 20,98 Ruidera 28,04 21,28 20,85 11,63 Sta. Cruz de Cáñamos 21,60 29,30 33,68 18,48 La Solana 22,72 15,43 21,54 22,32 Terrinches 22,46 30,37 34,75 18,34 Torre de Juan Abad 15,85 27,75 33,60 23,60 Torre s de Montie l 21,41 25,91 30,86 29,14 Torrenueva 10,53 26,35 33,46 19,05 Villahermosa 23,87 27,02 29,50 15,57 Villamanrique 17,78 29,70 34,90 23,08 Villanueva de la Fuente 26,45 32,09 34,67 13,60 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 19,68 Tabla 5. Distancia en horas entre cada una de las 24 localidades del Cam po de Montiel y los cuatro puntos de referencia, según [8]. A continuación, en las Tablas 6, 7 y 8 se muestran los resultados de estas comparaciones utilizando las m étricas L ∞ , L 1 y L 2 respectivamente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d ∞ horas horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 23,70 25,00 20,00 0,00 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 21,64 2,95 Carrizosa 22,72 23,32 24,90 16,94 3,06 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 19,68 3,08 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 17,96 3,08 Alhambra 23,25 20,66 22,17 17,15 3,25 Tabla 6. Distancias d ∞ a la combinación en horas correspondiente a (2,2.37,2.5,2) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 1 horas horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 23,70 25,00 20,00 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 19,68 5,41 Carrizosa 22,72 23,32 24,90 16,94 6,26 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 21,64 8,72 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 17,96 9,11 Cózar 18,55 25,07 30,88 21,75 10,45 Tabla 7. Distancias d 1 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.37,2.5,2) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 2 horas horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 23,70 25,00 20,00 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 19,68 3,45 Carrizosa 22,72 23,32 24,90 16,94 4,11 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 21,64 4,47 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 17,96 4,89 Alhambra 23,25 20,66 22,17 17,15 5,99 Tabla 8. Distancias d 2 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.37,2.5,2) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. 5.3. Análisis espacial con 3 referencias En esta subsección se realiza un anális is análogo al de la Subsección 5.1 pero excluyendo la columna correspondiente a Mune ra. De este m odo, cada localidad posee una combinación de tres di stancias, que deberemos co mparar con la combinación solución. Presentamos a continuación, en las Tablas 9, 10 y 11, los resultados de estas comparaciones utilizando las m étricas L ∞ , L 1 , y L 2 , respectivam ente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d ∞ km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 73,47 77,50 0,00 Carrizosa 70,44 72,28 77,20 8,44 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 9,14 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 9,54 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 9,56 Alhambra 72,08 64,04 68,72 10,08 Tabla 9. Distancias d ∞ a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.37,2.5) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 1 km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 73,47 77,50 0,00 Carrizosa 70,44 72,28 77,20 9,93 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 15,77 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 21,95 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 21,97 Cózar 57,52 77,72 95,72 26,95 Tabla 10. Distancias d 1 a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.37,2.5) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 2 km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 73,47 77,50 0,00 Carrizosa 70,44 72,28 77,20 8,53 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 10,63 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 12,88 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 13,78 Alhambra 72,08 64,04 68,72 16,36 Tabla 11. Distancias d 2 a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.37,2.5) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. 5.4. Análisis temporal con 3 referencias. En esta subsección, siguiendo el mismo espíritu de la anterio r, se realiza un análisis análogo al de la Subsección 5.2 pero elim inando los datos correspondientes a Munera. Las Tablas 12, 13 y 14 muestran los result ados de las comparaciones utilizando las métricas L ∞ , L 1 y L 2 respectivam ente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d ∞ horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 23,70 25,00 0,00 Carrizosa 22,72 23,32 24,90 2,72 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 2,95 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 3,08 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 3,08 Alhambra 23,25 20,66 22,17 3,25 Tabla 12. Distancias d ∞ a la combinación en horas correspondiente a (2,2.37,2.5) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 1 horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 23,70 25,00 0,00 Carrizosa 22,72 23,32 24,90 3,20 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 5,09 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 7,07 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 7,08 Cózar 18,55 25,07 30,88 8,70 Tabla 13. Distancias d 1 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.37,2.5) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 2 horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 23,70 25,00 0,00 Carrizosa 22,72 23,32 24,90 2,75 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 3,43 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 4,15 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 4,44 Alhambra 23,25 20,66 22,17 5,27 Tabla 14. Distancias d 2 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.37,2.5) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. 6. Análisis para tardanzas en jornadas (2,2.42,2.8,2.23) En esta sección pasamos a considerar como combinación solu ción la introducida en el presente volumen [6]. El esquema es el m i smo de la Sección 5. Así, la Subsección 6.1 considera las distancias kilométricas desde cada una de las cuatro referencias a las 24 localidades del Campo de Montiel recogida s en la Tabla 1. A continuación, en la Subsección 6.2, realizaremos un análisis similar pero partien do de los datos temporales que se encuentran en la Tabla 5. Fina lmente, en las dos últimas subsecciones repetiremos el proceso eliminando Munera, es decir, tom ando sólo Puerto Lápice, Venta de Cárdenas y El Toboso como localidades de referencia. 6.1. Análisis espacial con 4 referencias Recordemos en este punto las distancias ki lométricas recogidas en la Tabla 1, de m odo que cada localidad posee una combinación de cuatro distancias, que com pararemos con la combinación solución. En esta sub sección se considera la combinación solución en jornadas (2,2.42,2.8,2.23), que convertida a kiló metros a razón de 31 kilómetros por jornada [6] resulta (62,75.02,86.80,69.13). Las Tablas 15, 16 y 17 muestran los resultados de estas comparaci ones utilizando las métricas L ∞ , L 1 y L 2 respectivam ente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d ∞ km km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 75,02 86,80 69,13 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 61,00 8,13 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 67,08 8,26 Cózar 57,52 77,72 95,72 67,44 8,92 Montie l 68,36 84,92 97,44 56,72 12,41 Almedina 59,28 84,04 99,40 65,04 12,60 Tabla 15. Distancias d ∞ a la combinación en kiló metros correspondiente a (2,2.42,2.8,2.23) jornadas, para las cinco localidades con combinación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 1 km km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 75,02 86,80 69,13 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 61,00 16,15 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 67,08 16,59 Cózar 57,52 77,72 95,72 67,44 17,79 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 55,68 24,55 Almedina 59,28 84,04 99,40 65,04 28,43 Tabla 16. Distancias d 1 a la combinación en kiló metros correspondiente a (2,2.42,2.8,2.23) jornadas, para las cinco localidades con combinación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 2 km km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 75,02 86,80 69,13 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 61,00 9,83 Cózar 57,52 77,72 95,72 67,44 10,48 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 67,08 10,48 Almedina 59,28 84,04 99,40 65,04 16,26 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 55,68 16,56 Tabla 17. Distancias d 2 a la combinación en kiló metros correspondiente a (2,2.42,2.8,2.23) jornadas, para las cinco localidades con combinación más cercana. 6.2. Análisis temporal con 4 referencias En esta subsección se consideran las distan ci as temporales, en horas, recogidas en la Tabla 5, y se analiza su discrepancia con la combinación solución en jo rnadas (2,2.42,2.8,2.23), convertida a horas a razón de 10 horas por jornada. Las Tablas 18, 19 y 20 muestran los resultados de estas comp araciones utilizando las métricas L ∞ , L 1 y L 2 respectivamente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d ∞ horas horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 24,20 28,00 22,30 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 19,68 2,62 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 21,64 2,66 Cózar 18,55 25,07 30,88 21,75 2,88 Montie l 22,05 27,39 31,43 18,30 4,00 Almedina 19,12 27,11 32,06 20,98 4,06 Tabla 18. Distancias d ∞ a la combinación en horas correspondiente a (2,2.42,2.8,2.23) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 1 horas horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 24,20 28,00 22,30 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 19,68 5,21 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 21,64 5,34 Cózar 18,55 25,07 30,88 21,75 5,75 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 17,96 7,91 Almedina 19,12 27,11 32,06 20,98 9,17 Tabla 19. Distancias d 1 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.42,2.8,2.23) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso Munera d 2 horas horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 24,20 28,00 22,30 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 19,68 3,17 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 21,64 3,38 Cózar 18,55 25,07 30,88 21,75 3,38 Almedina 19,12 27,11 32,06 20,98 5,24 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 17,96 5,34 Tabla 20. Distancias d 2 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.42,2.8,2.23) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. 6.3. Análisis espacial con 3 referencias En esta subsección se realiza un estudi o análogo al de la Subsección 6.1, pero excluyendo Munera como punto de referencia. En las Tablas 21, 22 y 23 se m uestran los resultados de estas compar aciones utilizando las métricas L ∞ , L 1 y L 2 respectivamente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d ∞ km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 75,02 86,80 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 4,24 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 8,26 Torre s de Montie l 66,36 80,32 95,68 8,88 Cózar 57,52 77,72 95,72 8,92 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 9,56 Tabla 21. Distancias d ∞ a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.42,2.8) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 1 km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 75,02 86,80 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 8,02 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 11,10 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 14,54 Cózar 57,52 77,72 95,72 16,10 Torre s de Montie l 66,36 80,32 95,68 18,54 Tabla 22. Distancias d 1 a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.42,2.8) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 2 km km km LUGAR DE LA MANCHA 62,00 75,02 86,80 0,00 Villanueva de los Infantes 66,24 71,48 87,04 5,53 Fuenlla na 71,56 76,36 87,00 9,66 Alcubillas 55,88 66,76 86,64 10,28 Cózar 57,52 77,72 95,72 10,34 Torre s de Montie l 66,36 80,32 95,68 11,22 Tabla 23. Distancias d 2 a la combinación en kilóme tros correspondiente a (2,2.42,2.8) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. 6.4. Análisis temporal con 3 referencias En esta subsección se realiza un estudi o análogo al de la Subsección 6.2 pero eliminando en este caso los datos corres pondientes a Munera. Las Tablas 24, 25 y 26 muestran los resultados de estas co mparaciones utilizando las métricas L ∞ , L 1 y L 2 respectivamente. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d ∞ horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 24,20 28,00 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 1,37 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 2,66 Torre s de Montie l 21,41 25,91 30,86 2,86 Cózar 18,55 25,07 30,88 2,88 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 3,08 Tabla 24. Distancias d ∞ a la combinación en horas correspondiente a (2,2.42,2.8) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 1 horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 24,20 28,00 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 2,59 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 3,57 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 4,68 Cózar 18,55 25,07 30,88 5,20 Torre s de Montie l 21,41 25,91 30,86 5,98 Tabla 25. Distancias d 1 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.42,2.8) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. Venta de Cárdenas Puerto Lápice El Toboso d 2 horas horas horas LUGAR DE LA MANCHA 20,00 24,20 28,00 0,00 Villanueva de los Infantes 21,37 23,06 28,08 1,78 Fuenlla na 23,08 24,63 28,06 3,11 Alcubillas 18,03 21,54 27,95 3,31 Cózar 18,55 25,07 30,88 3,34 Torre s de Montie l 21,41 25,91 30,86 3,62 Tabla 26. Distancias d 2 a la combinación en horas correspondiente a (2,2.42,2.8) jornadas, para las cinco localidades con com binación más cercana. 7. Recopilación de resultados y comp aración con los trab ajos previos Ahora recopilaremos los resultados obtenidos en este trabajo y los comp araremos con los obtenidos en los trabajos pr evios. Para ello se va a ut ilizar la noción matemática de error relativo , cuya utilidad se comprende fácilmente si entendemos que no es lo mismo cometer un error de 100 gramos al pesar 1 ki logramo de una sustancia que cometerlo al pesar 100 kilogramos de esa misma sustancia. El error relativo en cada caso se define como 100/1000 y 100/100000, respectivamente, y consiste en relativizar el error absoluto (100 gramos) por la magnitud de lo m edido (1000 ó 100000 gramos). De manera sim ilar, en la situación tratada en las secciones anterior es para cada localid ad tenemos una distancia d a la combinación solución, que relativizarem os por la magnitud de esta combinación solución, calculada co mo su distancia a la combinación (0,0,0,0). Un tratamiento análogo se puede aplicar a los resultados obtenidos en los trabajos previos, como queda recogido en la Tabla 27. Localidad 1 Localidad 2 Localidad 3 [7] Alcubillas 8,30 Villanueva Inf. 10,38 [3] con L ∞ Fuenlla na 12,00 Villanueva Inf. 12,19 Carrizosa 15,12 [3] con L 1 Carrizosa 6,86 Fuenlla na 9,24 Villanueva Inf. 9,27 [3] con L 2 Carrizosa 9,15 Villanueva Inf. 9,90 Fuenlla na 9,98 Subsecc. 5.1 (L ∞ ) Alcubillas 11,79 Carrizosa 12,23 Villanueva Inf. 12,31 Subsecc. 5.1 (L 1 ) Villanueva Inf. 6,10 Carrizosa 7,06 Alcubillas 9,84 Subsecc. 5.1 (L 2 ) Villanueva Inf. 7,72 Carrizosa 9,23 Alcubillas 10,02 Subsecc. 5.2 (L ∞ ) Alcubillas 11,80 Carrizosa 12,24 Villanueva Inf. 12,32 Subsecc. 5.2 (L 1 ) Villanueva Inf. 6,10 Carrizosa 7,06 Alcubillas 9,83 Subsecc. 5.2 (L 2 ) Villanueva Inf. 7,74 Carrizosa 9,22 Alcubillas 10,03 Subsecc. 5.3 (L ∞ ) Carrizosa 10,89 Alcubillas 11,79 Villanueva Inf. 12,31 Subsecc. 5.3 (L 1 ) Carrizosa 4,66 Alcubillas 7,40 Villanueva Inf. 10,31 Subsecc. 5.3 (L 2 ) Carrizosa 6,91 Villanueva Inf. 8,61 Alcubillas 10,43 Subsecc. 5.4 (L ∞ ) Carrizosa 10,88 Alcubillas 11,80 Villanueva Inf. 12,32 Subsecc. 5.4 (L 1 ) Carrizosa 4,66 Villanueva Inf. 7,41 Fuenlla na 10,29 Subsecc. 5.4 (L 2 ) Carrizosa 6,90 Villanueva Inf. 8,61 Alcubillas 10,42 Subsecc. 6.1 (L ∞ ) Villanueva Inf. 9,37 Alcubillas 9,52 Cózar 10,28 Subsecc. 6.1 (L 1 ) Villanueva Inf. 5,51 Alcubillas 5,66 Cózar 6,07 Subsecc. 6.1 (L 2 ) Villanueva Inf. 6,66 Cózar 7,10 Alcubillas 7,10 Subsecc. 6.2 (L ∞ ) Villanueva Inf. 9,36 Alcubillas 9,50 Cózar 10,29 Subsecc. 6.2 (L 1 ) Villanueva Inf. 5,51 Alcubillas 5,65 Cózar 6,08 Subsecc. 6.2 (L 2 ) Villanueva Inf. 6,66 Alcubillas 7,10 Cózar 7,10 Subsecc. 6.3 (L ∞ ) Villanueva Inf. 4,88 Alcubillas 9,52 Torres de M. 10,23 Subsecc. 6.3 (L 1 ) Villanueva Inf. 3,58 Fuenlla na 4,96 Alcubillas 6,50 Subsecc. 6.3 (L 2 ) Villanueva Inf. 4,24 Fuenlla na 7,41 Alcubillas 7,88 Subsecc. 6.4 (L ∞ ) Villanueva Inf. 4,89 Alcubillas 9,50 Torres de M. 10,21 Subsecc. 6.4 (L 1 ) Villanueva Inf. 3,59 Fuenlla na 4,94 Alcubillas 6,48 Subsecc. 6.4 (L 2 ) Villanueva Inf. 4,23 Fuenlla na 7,39 Alcubillas 7,87 Tabla 27. De izquierda a derech a, las tres localidades más cercanas a la solución junto con el error relativo en tanto por ciento. Se incluyen tanto lo s trabajos previos [7] y [3 ], como las Secciones 5 y 6 del presente trabajo, so mbreadas en distinto color según utilicen kilómetros u horas. En esta tabla se observa que los errores re lativos más pequeños son los correspondientes a las Subsecciones 6.3 y 6.4 del presente trab ajo, es decir, los correspondientes a no considerar Munera como punto de referenc ia y utilizar la combinación solución de (2,2.42,2.8,2.23) jornadas introducida en [6]. Estos son también los casos con las mayores diferencias entre el e rror relativo de la prim era loca lidad candidata y el de la segunda, tanto en términos absolutos como al considerar la m edia de estas diferencias para las tres métricas; véase la Tabla 28. Localidad 2 - Localidad 1 Media [7] 2,08 [3] con L ∞ 0,19 [3] con L 1 2,37 1,10 [3] con L 2 0,75 Subsecc. 5.1 (L ∞ ) 0,44 Subsecc. 5.1 (L 1 ) 0,96 0,97 Subsecc. 5.1 (L 2 ) 1,51 Subsecc. 5.2 (L ∞ ) 0,44 Subsecc. 5.2 (L 1 ) 0,96 0,96 Subsecc. 5.2 (L 2 ) 1,48 Subsecc. 5.3 (L ∞ ) 0,90 Subsecc. 5.3 (L 1 ) 2,74 1,78 Subsecc. 5.3 (L 2 ) 1,70 Subsecc. 5.4 (L ∞ ) 0,92 Subsecc. 5.4 (L 1 ) 2,75 1,79 Subsecc. 5.4 (L 2 ) 1,71 Subsecc. 6.1 (L ∞ ) 0,15 Subsecc. 6.1 (L 1 ) 0,15 0,25 Subsecc. 6.1 (L 2 ) 0,44 Subsecc. 6.2 (L ∞ ) 0,14 Subsecc. 6.2 (L 1 ) 0,14 0,24 Subsecc. 6.2 (L 2 ) 0,44 Subsecc. 6.3 (L ∞ ) 4,63 Subsecc. 6.3 (L 1 ) 1,38 3,06 Subsecc. 6.3 (L 2 ) 3,17 Subsecc. 6.4 (L ∞ ) 4,61 Subsecc. 6.4 (L 1 ) 1,36 3,04 Subsecc. 6.4 (L 2 ) 3,16 Tabla 28. Diferencia entre la segunda localidad candidata y la primera, junto con la media de estas diferencias para las tres métricas en cada una de las configuraciones. 8. Conclusiones Tras reiterar nuestra intención de dejar para lo s expertos en otras disciplinas la discusión sobre la corrección de los datos aportados en [5], [6] y [8], en este trabajo nos hemos limitado a realizar un aná lisis matemático bá sico de los mismos. De este an álisis se pueden extraer las siguientes conclusiones: • Si se considera la combinación so lución (2,2.37,2.5,2) comúnm ente utilizada hasta el momento (Sección 5 de este trabajo), los da tos de [8] arrojan resultados dispares cuando se incluye Munera como punto de referencia, obteniéndose como localidad candidata Villanueva de los Infantes para las métricas L 1 y L 2, y Alcubillas para la métrica L ∞ . Si bien esta métrica es menos repr esentativa que las otras dos, incluso para éstas la segunda localidad candidata ti ene un error relativo muy similar a la primera, lo que hace poco significativo su resultado. • Si para la misma com binación solución se excluye Munera como punto de referencia, todas las métricas coinciden al determinar Carrizosa como localidad candidata. Las diferencias entre la primera localidad y la segunda en este caso son las segundas más significativas de la Tabla 28. • Si se considera la combinación solución (2,2.42,2.8,2.23) introducida en [6] (Sección 6 de este trabajo), para todos los cas o s estudiados los datos de [8] establecen Villanueva de los Infantes como localidad candidata. • En particular, Villanueva de los Infant es es la localidad candidata p ara la configuración con los errores relativos má s pequeños y las mayores diferencias entre la primera localidad candidata y la segunda. Es ta configuración es la que no considera Munera como punto de referencia y u tiliza la combinación solución (2,2.42,2.8,2.23) introducida en [6] (Subsecciones 6.3 y 6.4 del presente trabajo). • El hecho de no considerar Munera como punto de refere ncia mejora, siempre según los datos de [8], los errores relativos y las diferen cias entre la primera localidad candidata y la segunda. • El análisis de los datos de [8] expresa dos en kilómetros (Tabla 1, Subsecciones 5.1, 5.3, 6.1 y 6.3) ofrece resultados casi idénticos al uso de los datos de [8] expresados en horas (Tabla 5, Subsecciones 5.2, 5.4, 6.2 y 6.4). • La combinación solución (2,2.42,2.8,2.23) introd ucida en [6] da lugar a los mejores resultados del presente trabajo, en térm inos de magnitud del error relativo y diferencia entre las dos primeras localid ades candidatas, cu ando no se considera Munera como punto de referencia (Subsecci on es 6.3 y 6.4). Sin embargo, también da lugar a los peores resultados de este trabajo, cuando sí se considera esa referencia (Subsecciones 6.1 y 6.2). • La Tabla 28 muestra que, para la mayoría de las configuraciones estudiadas en el presente trabajo, los datos de [8] dan luga r a resultados que mejo ran los obtenidos en los trabajos previos, en términos de magn itud del error rela tivo y diferencia entre las dos primeras localidades candidatas. 9. Bibliografía. [1] Caselles-Moncho, A.; Parra-Luna, F. y Pla-López, R. “The kinematics of the Quixote and the identity of the “pla ce in la Mancha”: a systemic approach ”. Prepri nt. [2] Girón, F. J. y Ríos, M. J. (2006). “La determinación del “lugar de la Mancha” como problema estadístico” . Boletín de la Sociedad de Estadística e Investigación Operativa, vol. 22, nº 1, pp. 23-29. [3] Martínez de la Rosa, F. (2008). “Una nueva determinación de El Lugar de La Mancha en El Quijote” . En este volumen. [4] Montero, J. (2008). “Sobre las distancias y las veloc idades medias en El Quijote”. En este volumen. [5] Parra Luna, F. et al. (2005). “El lugar de la Mancha es…: El Quijote como un sistema de distancias/tiempos” . Editorial Complutense, Madrid. [6] Parra Luna, F. y Garrido Roiz, J.P. “Los cuatro puntos cardinales del Lugar de la Mancha en el Quijote” . En este volumen. [7] Ríos , M. J. et al. (2005). “Encontrando el lugar de la Mancha con las Matemáticas”. XII JAEM, Albacete. [8] Rodríguez Espinosa, V. y Bosque Sendra, J. “Aportación desde las Tecnologías de la Información Geográfica a la determinac ión del “lugar de La Mancha”: conversión de distancias en línea recta en dist ancias a través de una red de caminos”. En este volumen.