Sur la conjecture de Zagier pour n=4

Sur la conjecture de Zagier p our n = 4 Nicusor Dan ∗ Abstract W e express a general 4-h yp erloga rithm as a linear combinatio n of 4- h yp erloga rithms in tw o v ariables. W e red u ce the Zag ier’s conjecture for n = 4 to a com binatorial statemen t. W e giv e a short survey of the s tr a tegy of Gonc haro v and Zag ier for reducing the Zagier’s conjecture for general n to com b in a torial relations b et w een hyperlogarithms. Suc h a surve y is missing in the literature. R ´ esum ´ e On exprime un 4-h yp e rlogarithme g ´ en ´ eral comme com binaison lin ´ eaire de 4-h yp erlog arithmes en deux v ariables. On r ´ eduit la conjecture d e Za- gier p our n = 4 ` a un ´ enonc´ e com b inat oire. On d o nne un e pr´ esen tatio n syn th ´ etique d e la strat ´ egie de Goncharo v et Zagier p our la r´ eduction de la conjecture de Zagier p our n g ´ en ´ eral ` a des relations com binatoires entre h yp erloga rithmes. Une telle synth ` ese n’existe pas dans la litt ´ erature. 1 ´ Enonc ´ e de la conjecture Soit n un en t ie r p ositif. Le p olylogarithme de p oids n , ou le n - logarithme, est la fonction complexe d´ eﬁnie sur le disque unit ´ e | z | ≤ 1 par la s´ erie a bs olumen t con v ergen te P n ( z ) = Li n ( z ) = ∞ X k =1 z k k n . On observ e que Li 1 ( z ) = − log (1 − z ) = R z 0 dt 1 − t et que Li n ( z ) = Z z 0 Li n − 1 ( z ) dt t (1) ∗ T rav ail r´ ealis´ e av ec le supp ort du contrat Cex05 -D11-11/200 5. 1 On d´ eduit que la fonction P n ( z ) se prolonge analytiquemen t ` a une fonction holo- morphe m ultiv alu ´ e sur C \ { 0 , 1 } . On lui attac he ([Z1]) la fonction r ´ eelle univ alu´ ee, con tin ue sur C et analytiquemen t r´ eelle sur C \ { 0 , 1 } R P n ( z ) = R n ( m − 1 X k =0 B k k ! log k ( z ¯ z ) Li n − k ( z )) , o ` u B k son t les no mbres de Bernoulli et o ` u R n d ´ esigne la partie r´ eelle si n est impair et la partie imaginair e si n est pair. On trouv e dans [BD] une interpr ´ etat io n en th ´ eorie de Ho dge de la fonction R P n . P our tout corps E , on no t e Q [ E \ { 0 , 1 } ] l’espace ve ctoriel sur Q ay ant comme base les sym b oles [ x ] p our c haque x ∈ E \ { 0 , 1 } . On prolonge par lin ´ earit´ e la fonction R P n ` a une application lin´ eaire R P n : Q [ C \ { 0 , 1 } ] → R . La conjecture de Zagier ([Z1]) est la suiv an te: Conjecture 1 Soit F un c orps de nombr es. Soient σ r 2 +1 , · · · , σ r 1 + r 2 : F → R ses plongements r ´ eels et σ 1 = σ r 1 + r 2 +1 , · · · , σ r 2 = σ r 1 +2 r 2 : F → C ses plongeme n t s c omplexes. Soit n ≥ 2 un entier. On note d n = r 1 + r 2 si n est imp air et d n = r 2 si n est p air. A lors il existe de s ´ el´ ements y 1 , · · · , y d n ∈ Q [ F \ { 0 , 1 } ] tels que ζ F ( n ) = π ( r 1 +2 r 2 − d n ) n | D F | − 1 / 2 det( R P n ( σ i ( y j ))) 1 ≤ i, j ≤ d n , o` u ζ F ( s ) est la fon ct ion zˆ eta de De dekind et D F le disc rim inant d e F . En fait, comme on v erra dans sa f o rm ulation en K- th ´ eor ie alg´ ebrique (Conjecture 2, p oin t c)), la conjecture a une fo r m e plus pr´ ecise , dans laquelle les ´ el ´ emen t s y 1 , · · · , y d n son t cycles da ns un certain sens. P our F = Q et n impair la conjecture est triviale, car ζ Q ( n ) = P ∞ k =1 1 k n = R P n (1). P our F totalemen t r ´ eel et n pair, la conjecture ´ equiv aut ` a ζ F ( n ) ∈ π r 1 n Q . P our F g´ en ´ eral et n = 1 le p olylogarithme est le logarithme classique et si on consid` ere dans l’ ´ enonc ´ e le r ´ esidu ζ × F (1) au lieu de ζ F (1), la conjecture est une v ariante faible du th ´ eor ` eme de D ed ekind. P our F g ´ en ´ eral, si n = 2 la conjecture est un th ´ eor ` eme de Zagier ([Z2]) et si n = 3 un th´ eor ` eme de G onc harov ([G1 ]). 2 La strat ´ egie p our prouv er la conjecture d e Za- gier (d ’apr ` es Goncharo v et Zagier) Le th ´ eor ` eme 2 est le seul r ´ esultat originel de cette section. 2 2.1 P as 1: R´ eduction ` a un ´ enonc´ e de K-th´ eorie alg ´ ebrique P our chaque corps E , suiv a n t Z agier, on d ´ eﬁnit par induction sur n le sous-espace v ectoriel R P n ( E ) ⊂ Q [ E \ { 0 , 1 } ] des ”relatio ns en tre p olylogarithmes on E ” et on p ose P n ( E ) := Q [ E \ { 0 , 1 } ] / R P n ( E ). On note [ x ] n la classe de [ x ] mo dulo R P n ( E ). Le sous-espace v ectoriel R P 1 ( E ) est par d ´ eﬁnition engendr ´ e par [ x ] − [ y ] − [ x/y ], p our x, y ∈ E \ { 0 , 1 } , x 6 = y . Donc P 1 ( E ) = E × Q . On consid ` ere le morphisme δ 2 : Q [ E \ { 0 , 1 } ] → Λ 2 E × Q donn ´ e par [ x ] → (1 − x ) ∧ x et les morphismes δ n : Q [ E \ { 0 , 1 } ] → P n − 1 ( E ) ⊗ E × Q donn ´ es par [ x ] → [ x ] n − 1 ⊗ x si n ≥ 3. O n note K n ( E ) le noy au Ker δ n . On d ´ eﬁnit R P n ( E ) comme le sous-espace ve ctoriel engendr ´ e par α (1) − α (0 ) p our tous les ´ el ´ emen ts α de K n ( E ( t )) , o ` u t est une v ariable. On prouv e que δ n ( R P n ( E )) = 0 et on obtien t donc des applications δ 2 : P 2 ( E ) → Λ 2 E × Q δ n : P n ( E ) → P n − 1 ( E ) ⊗ E × Q ( n ≥ 3 ) (2) On prouv e que R P n ( R P n ( C )) = 0 et on obtien t donc une application R P n : P n ( C ) → R . La form ulation en K-th´ eorie alg ´ ebrique de la conjecture de Z a- gier est la suiv ante: Conjecture 2 Pour chaque c orps E , il e x ist e une applic ation r P n : K 2 n − 1 ( E ) Q → P n ( E ) qui: a) v´ eriﬁe R P n ◦ r P n = r n si E = C ; b) est natur el l e p our les inclusions de c orps; c) a l’image dans Ker δ n ⊂ P n ( E ) . Cette conj ecture est un cas par t iculier d’une conjecture plus optimiste, qui dit que le complexe P n ( E ) δ n − → P n − 1 ( E ) ⊗ E × Q δ n − 1 − → P n − 2 ( E ) ⊗ Λ 2 E × Q δ n − 2 − → · · · δ 2 − → Λ n E × Q (3) est le complexe motivique Q ( n ) sur Sp ec E (donc Ker δ n = K [ n ] 2 n − 1 ( E ) Q , le facteur de K 2 n − 1 ( E ) Q de p oids n p our les op´ erations d’Adams). Th ´ eor` eme 1 L a c onje ctur e 2 i m plique la c onje ctur e 1 . Preuv e: Soit B ct GL ( C ) le classiﬁan t du gro u p e top ologique GL ( C ) et B dis GL ( C ) le classiﬁan t du group e GL ( C ) vu comme group e discret. Il existe un ´ el´ emen t canonique b 2 n − 1 ∈ H 2 n − 1 ( B ct GL ( C ) , R ). Il induit un ´ el ´ emen t dans H 2 n − 1 ( B dis GL ( C ) , R ), donc un morphisme H 2 n − 1 ( B dis GL ( C ) , R ) → R . On comp ose ce morphisme av ec le morphisme de Hurewicz K 2 n − 1 := π 2 n − 1 ( B dis GL ( C ) + ) → H 2 n − 1 ( B dis GL ( C ) + , Z ) = H 2 n − 1 ( B dis GL ( C ) , Z ) et on obtien t un morphisme r n : K 2 n − 1 ( C ) → R . Pour tout gr oupe ab´ elien A , on note A Q := A ⊗ Z Q . Le th ´ eor` eme de Borel ([B]) dit que K 2 n − 1 ( F ) est un group e ab ´ elien de rang d n et que, si on ﬁxe une base x 1 , · · · , x d n de K 2 n − 1 ( F ) Q , on a ζ F ( n ) ∈ Q × π ( r 1 +2 r 2 − d n ) n | D F | − 1 / 2 det( r n ( σ i ( y j ))) 1 ≤ i, j ≤ d n . Il suﬃt de prendre y i = r P n ( x i ) p our i = 1 , · · · , d n . 3 2.2 P as 2: R ´ edu cti on du r ´ egulateur ` a un h yp erlogari thme (ou p olylogarithme grassmannien, ou p olylogarithme d’Aomoto) Si a et b son t deux p oin ts sur une v ari ´ et ´ e complexe X et ω 1 , · · · , ω n son t des 1 − formes holomorphes sur X , l’in t ´ egrale it ´ er ´ ee se d´ eﬁnit par induction sur n par la f o rm ule Z b a ω 1 ◦ · · · ◦ ω n = Z b a ( Z t a ω 1 ◦ · · · ◦ ω n − 1 ) ω n ( t ) . On p eut ´ ecrire la formule (1) comme Li n ( z ) = Z z 0 dt 1 − t ◦ dt t ◦ · · · ◦ dt t . En g´ en ´ eralisan t cette formule, on d´ eﬁnit les h yperloga r it h mes comme les in t ´ egrales it ´ er ´ ees H ( a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ) = Z a n +1 a 0 dt t − a 1 ◦ dt t − a 2 ◦ · · · ◦ dt t − a n . C’est une fonction complexe m ultiv alu ´ ee sur l’ensem ble des ( n + 2) − ulp es com- plexes ( a 0 , · · · , a n +1 ) v´ eriﬁan t a 0 6 = a 1 , a n 6 = a n +1 (p our que l’in t ´ egrale con v erge). On p eut lui asso ci ´ er une fonction univ alu´ ee r ´ eelle R H ( a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ). On p eut g´ en ´ eralis ´ er la construction du parag raphe 2 . 1. On no te E n +2 × l’ensem ble des ( n + 2) − uples ( a 0 , · · · , a n +1 ) de E satisfaisant a 0 6 = a 1 et a n 6 = a n +1 . On note Q [ E n +2 × ] l’´ espace v ectoriel sur Q ay an t comme base les sym b o le s [ a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ] p our ( a 0 , · · · , a n +1 ) ∈ E n +2 × . On d´ eﬁnit par induction l’espace v ectoriel R H n ( E ) ⊂ Q [ E n +2 × ] des ”relations en tre h yperlog arithme s on E ” et on p ose H n ( E ) := Q [ E n +2 × ] / R H n ( E ). On note toujo urs [ a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ] la classe de l’ ´ el ´ emen t [ a 0 | a 1 , · · · , a n | a n +1 ] mo dulo R H n ( E ). L es morphismes canoniques P n ( E ) → H n ( E ) son t des isomorphismes p our n ≤ 3 et seulemen t des injections p our n > 3. On a des morphismes δ n : H n ( E ) → ⊕ 0

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