Random hypergraphs and algorithmics

Hyp ergraphes al ´ eatoires et algorithmi q ues < Tsiriniaina Andriamampianina > tsr ra y@y aho o.fr Lab oratoire d’Informatique de P aris Nord (LIPN) 20 juin 2008 Je r eme rcie Vlady Rav elo manana et Christian La v a ult de leur conﬁance et de m’a v oir oﬀert l’opp ortunit ´ e de faire une th` ese. Je remercie mes p aren ts, ma so eur et mon fr` ere. Je remercie Alfredo Viola p our son aide, son app ui et ses conseils ju stes, p es ´ es et sinc ` eres. Je remercie Christophe F ouquer ´ e. Je remercie mes amis. Je remercie Raluca Andreea S c h umac her qui m’a insuﬄ´ e de l’en train et plus de dynamisme dans la r´ edactio n de ma th` ese. Je remercie Su jeev an Asee- v eratham p our ce d´ eﬁ lanc´ e qu’est l’ab outissemen t d’une v raie p remi ` ere version de la th ` ese en un temp s record (imp ossible) d’un e semaine et p our toutes les aides qu’il m’a app ort ´ ees, qu e je ne p eux que mettre sous la lumi` ere de ma tr ` es grande reconnaissance. Je r emerci e Mourad Hakem mon ami coll ` egue de bu rea u, mon surveilla nt :) sur qu i je p eux toujour s compter. Je remercie Lionnel F alemp e p our sa tr ` es grande p a tience qui lu i a p ermis d e me donn e r tort de m o n en t ˆ etemen t sur u n calc ul d e probabilit ´ e : j’ai gagn ´ e alors en compr´ ehension. Je remercie Jalila Sadki mon amie coll ` egue de b ureau qui me supp ortait anonymemen t et p our tous ses encouragemen ts. Je remercie tous ceux qu i m’o nt acco rd´ e u ne pen s ´ ee p our l’ ab outissemen t de ma th ` ese qui ﬁnalemen t n’est pas mienne. T able des m a ti ` eres 1 In tro duction 1 2 ´ En um´ eration exacte 3 2.1 D ´ eﬁnitions et notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 ´ En um´ eration b ijec tiv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.1 V ue bijectiv e des hyp erarbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2.2 V ue bijectiv e des hyp ercycl es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.3 In tro duction aux s´ eries g ´ en ´ eratrices exp onen tielles . . . . . . . . . 8 2.2.4 V ue bijectiv e des comp osan tes complexes . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 ´ En um´ eration r´ ecursiv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 ´ En um´ eration r´ ecursiv e des hyperarb res enracin ´ es . . . . . . . . . . 17 2.3.2 In terpr´ etati on com binatoire de la f o rmule d’in v ersion de Lagrange 18 2.3.3 In tro duction aux s´ eries g ´ en ´ eratrices exp onen tielles biv ari ´ ees . . . . 20 2.3.4 R ´ ecurrence des SGEs H ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.5 R ´ esolution de la r ´ ecurr e nce des SGEs H ℓ . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.6 Mise en f o rme des SGEs H ℓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 ´ En um´ eration asymptotique 37 3.1 ´ En um´ eration asymp to tique des hyperarb res . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 ´ En um´ eration asymp to tique des hypercycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 ´ En um´ eration asymp to tique des comp osan tes complexes . . . . . . . . . . 52 3.3.1 Encadrement des coeﬃcient s de la SGE des comp osan tes complexes 53 3.3.2 La contribution asymptotique de ( m − 1) c ha ˆ ınes . . . . . . . . . . 56 3.3.3 ´ Enonc ´ e du th ´ eor` eme d’ ´ enum ´ eration asymp to tique . . . . . . . . . . 62 4 Hyp ergraphes al´ eatoires 65 4.1 Hyp ergraphes et hypercoup la ge glouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.1 D ´ eﬁnitions et notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.2 D ´ ecomp ositio n ou r ´ ecurr e nce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 4.1.3 La p erform a nce gloutonne sur les hyp erarbres . . . . . . . . . . . . 70 4.1.4 La p erform a nce gloutonne sur les ℓ -comp osan tes ( ℓ ≥ 0 ﬁx´ e) . . . . 74 4.2 Hyp ergraphes ´ evo luants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.1 D ´ eﬁnitions et notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 v vi T ABLE DES MA TI ` ERES 4.2.2 L’atten te mo yenne d e l’apparition du premier cycle . . . . . . . . . 87 5 Annexe 97 5.1 Preuv es des deux iden tit ´ es combinato ires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.2 L’h yp ergraphe utilis ´ e p our le d ´ eroulemen t de l’algorithme glouton d’h y- p ercouplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Bibliographie 102 Chapitre 1 In tro duction Les hyp ergraphes, u ne g´ en ´ eralisatio n des graphes [9] , sont des s tructures discr ` etes. Ils p ermetten t une d e scription et un niv eau d’abstraction n´ ecessa ires p our la concep- tion et l’analyse en algorithmique [26, 30] . Nous notons, dans ces r´ ef ´ erences, le recours aux s´ eries g ´ en´ eratrice s p our faire de l’analyse ´ en um´ erativ e. Nous souhaitons obtenir des caract ´ eristiques quanti tativ es sur les hyp ergraphes, p our cela nous utilisons p our l’essen- tiel les s´ eries g ´ en ´ eratrices qui p ermetten t l’ ´ enum ´ eration exacte et asymptotique selon la taille de ces structures. Karo ´ nski M. et Luczak T. , dans [20], ´ etudien t les h yp ergraphes, nous nous distinguons de leur tra v ail p a r l’utilisation d es s ´ eries g ´ en ´ eratrices oﬀrant u ne concision aux preuve s. Le plan de la th` ese est le s uiv an t : – Dans le second c hapitre, nous parlons d’ ´ en um´ erat ion exacte des h yp ergraphes co nn- exes. – Dans u n troisi ` eme chapitre, n ous pro c ´ edons ` a l’ ´ enum ´ eration asymptotique d e ces structures. – Et dan s le qu at ri` eme chapitre, nous ´ etablissons quelques caract ´ eristiques des h y- p ergraphes d ´ edu ite s de la p erformance d e l’algorithme glouton d’hyp ercouplage ou d ´ edu it es du pr ocessus d’h yp ergraphe ´ evoluan t. 1 2 CHAPITRE 1. INTR ODUCTION Chapitre 2 ´ En um ´ eration exacte Dans ce c hapitre, n ous adoptons deux mani ` eres d’ ´ en um´ erer d e s comp osa ntes class ´ ees selon l’ exc` es une relation liant le n o mbre d’h yp erarˆ et es et le nombre de sommets. Une premi ` ere mani` ere est l’´ en um ´ eration bijectiv e : en m e ttan t en ´ evidence un e bijection en tre les structures. Une seconde mani ` ere de p roc´ eder ` a l’´ en um ´ eration des hyp ergraphes est celle que n ous qualiﬁons d e r ´ ecursiv e. Une telle distinction est aussi adopt ´ ee par W right E.M dans [22] et [23] p our les graphes, lui p ermettan t d’un cˆ ot ´ e d e justiﬁer la forme des s ´ eries g ´ en ´ eratrices et de l’autre d’automatiser le calcul de ces s´ eries. Av an t de pro c ´ eder ` a ces ´ enum ´ erations, nous pr´ eci sons qu el ques d´ eﬁnitions et n ot ions. 2.1 D ´ eﬁnitions et notions D ´ eﬁnition 2.1.1. Un hyp er gr ap he est un couple ( V , E ) , u n ensemble V de sommets et un ensem ble E d’ hyp er ar ˆ etes soit de sous ensemble d e V . La plu part du temps, sauf menti on contraire, un hyp ergraphe dans cette th ` ese est b -uniforme , c’est ` a dire que c hacune de ses hyperarˆ etes con tien t b sommets. Ainsi, la structure d ’h yp ergraphe g ´ en ´ eralise la structure de graphe qui est alors vue comme un h yp ergraphe 2-uniforme. D ´ eﬁnition 2.1.2. L’exc ` es d’u n h yp ergraphe H = ( V , E ) est exces( H ) = X e i ∈E ( | e i | − 1) − | V | . (2.1) L’exc ` es d’un hyp ergraphe H = ( V , E ) ( b -un iforme) est exces( H ) = ( b − 1) |E | − | V | . (2.2) Cette n ot ion d’exc ` es, utilis ´ ee d ans [21] , p ermet de classer les h yp ergraphes. Par exemple, nous a v ons les d´ eﬁnitions suiv antes : D ´ eﬁnition 2.1.3. Un hyp er arbr e est une c omp osante ou h yp ergraphe connexe d ’e xc ` es − 1 , v aleur minimum. 3 4 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE D ´ eﬁnition 2.1.4. Un hyp er cycle est une comp osan te d’exc` es 0 . D ´ eﬁnition 2.1.5. Une comp o sante est dite c ompl exe si elle est d’exc` es ℓ ≥ 1 . 2.2 ´ En um ´ eration bijectiv e Dans ce chapitre, p our ´ en um´ erer les h yp ergraphes, nous c hoisissons de nous fo caliser aux structures connexes et de distin g uer les structur e s selon leur exc ` es, nous p roc´ edons alors ` a l’´ en um ´ eration des structures connexes des p lus “simples” aux plus “complexes” dans le sens o` u les p lus s imples son t les hyp erarbres d ’exc ` es − 1 , viennent ensu it e les h yp ercycles d’exc ` es 0 puis les comp osan tes complexes d’exc ` es ℓ ≥ 1 donn´ e d ans l’ordr e croissan t de ce d ernier. Dans cette section, nous adoptons un p oin t de vue b ijec tif en exhiban t clairemen t une bijection ou en explicitan t ` a tra v ers les s´ eries g ´ en´ eratrices un e telle bijection. 2.2.1 V ue bijective des h yp erarbres Dans le cas des graphes, il y a plusieurs m a ni` eres d’´ enum ´ erer les arbres (v oir [1, 29, 12, 2, 16]) en particulier via le co de de P r¨ ufer que nous g ´ en´ eralisons ici aﬁn d’´ enum ´ erer les for ˆ ets d ’h yp erarbres (ou d’arbres) enracin ´ es. D ´ eﬁnition 2.2.1. Une forˆ et d ’h yp erarbres enracin´ es est u n ensemble n on ordonn´ e d’hy- p erarbres enr a cin´ es. D ´ eﬁnition 2.2.2. Une feuil le est u n group e de ( b − 1) sommets (non r ac ine dans le cas de structure marqu ´ ee) de degr ´ e 1 dans un e m ˆ eme hyperarˆ ete. La conn a issance du n om bre des for ˆ ets d’hyp e rarb res enracin ´ es est u n outil cl ´ e p our ´ en um´ erer les str uctures qui p euven t ˆ etre d´ ecrites de mani ` ere “concise”, c’est ` a dire que les structures sont simpliﬁ´ ees en ´ elaguan t r´ ecursiv emen t les feuilles. En particulier, nous serons amen ´ es ` a consid ´ erer les structures ainsi ´ elagu ´ ees selon leur taille qui sera le nom br e d’h yp erarbres enracin ´ es con tenus d ans la for ˆ et d ´ eﬁnie par l’ ´ elagage. P our ´ enum ´ erer les for ˆ ets ` a ( k + 1) h yp erarbres enracin ´ es, a y an t n sommets et s hy- p erar ˆ etes, nous pro c ´ edons ` a leur co dage comme un quadru plet ( R , r , P , ~ N ) o ` u            R : un ensem ble de ( k + 1) sommets parmi { 1 , . . . , n } r : un sommet de R P : un partitionnemen t non ordonn´ e de s sous-ensembles, c hacun de taille ( b − 1) , de { 1 , . . . , n }\ R ~ N : u n ( s − 1)-uplet de { 1 , . . . , n } s − 1 . (2.3) Dans le cod e d’une for ˆ et d ’h yp erarbres enracin ´ es, n ous p ouv ons facilemen t lire : – le nombre d e comp osan tes qui n’est autre qu e le nom bre de racines soit | R | , – u n s o mmet rac ine r qui rattac he la feuille de la derni` ere h yp erar ˆ ete d ans le processus d’ ´ elagage , – le nombre | P | = d im( ~ N ) + 1 d’hyper a rˆ etes , 2.2. ´ ENUM ´ ERA TION BIJ E CTIVE 5 Algorithme 1 : Co dage d’un e f o rˆ et d’h yp erarbres enracin ´ es. En tr´ ees : Une forˆ et, de ( k + 1) hyp e rarb res enracin ´ es, ay an t s h yp erar ˆ etes et n = s ( b − 1) + k + 1 sommets. Sorties : Cod ag e ( R, r , P , ~ N ) d ´ eﬁni p ar (2.3) . d´ ebut ( R, r, P , ~ N ) ← ( { racine } , r, {} , ()) r´ ep ´ eter Ajouter l’ensem ble des sommets d e la plus p etite (dans l’ordre alphab ´ etique) feu il le dans le partionnement P et placer le sommet qui le relie dans le tirage ~ N . Red ´ eﬁnir la forˆ et sans les sommets de la plus p etite feuille. jusqu’` a plus aucune hyp er ar ˆ ete dans la forˆ et (Le dernier s o mmet plac ´ e dans le tirage est n´ ecessairement une racine). D ´ eﬁnir r comme le dernier sommet p la cer dans le tirage. retourner ( R, r, P , ~ N ) ﬁn • 4 • 14 • 12 • 8 • 18 • 17 • 2 • 11 • 21 • 20 • 7 • 22 • 1 • 6 • 13 • 15 • 10 • 19 • 3 • 16 • 5 • 9 ( R, r, P , ~ N ) :        R = { 5 , 9 , 13 , 16 } r = 13 P = {{ 1 , 22 } , { 2 , 17 } , { 3 , 1 9 } , { 4 , 8 } , { 6 , 7 } , { 10 , 15 } , { 11 , 18 } , { 12 , 14 } , { 20 , 21 }} ~ N = (21 , 18 , 13 , 13 , 4 , 18 , 21 , 7) . Fig. 2.1 – Une forˆ et d’h yp erarbres enracin´ es et s o n co de. – le n o mbre d’hyperarb res non r´ edu it ` a leur racine corr e sp ondant au nombre des racines distinctes apparaissan t dans ( ~ N , r ) . Dans l’algorithme 1 de co dage, dans la b oucle, parm i les feuilles, le c hoix de la plus p e- tite feuille dans l’ordre alphab´ etique nous p ermet de retrouver sans ambig¨ u it ´ e la f o rˆ et. 6 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE En eﬀet, nous av on s l’algorithme 2 de d ´ eco dage qui retourn e une for ˆ et car lorsque les h yp erar ˆ etes sont it´ erativ emen t f o rm´ ees, les hyp erarbres existan ts se grandissent, se re- joignen t et ﬁnissent par s’accro c her ` a une racine en gardant leur structure d’hyp e rarb re. Plus p r ´ ecis ´ emen t, un sommet x de ~ N accro c he un ensem ble de la partition de P a v ec la garan tie que x soit plus p roc he d ’une r a cine p ar r a pp ort aux sommets, de l’ensem ble d e la partition, qui n ´ ecessairemen t ﬁ nissen t p ar ˆ etre connect ´ es ` a une r a cine (´ even tuellemen t x est u ne racine). Algorithme 2 : D ´ eco dag e en for ˆ et d’hyp erarbres enracin ´ es. En tr´ ees : Des en tiers naturels n, k et s v ´ eriﬁant n = s ( b − 1) + k + 1 codage ( R, r, P , ~ N ) d ´ eﬁni par (2.3). Sorties : F or ˆ et d’h yp erarbre enracin ´ e, dont les sommets racines son t les ( k + 1) sommets de R . d´ ebut r´ ep ´ eter F ormer un e h yp erar ˆ ete av ec le p remier sommet du tirage ~ N et a ve c les sommets du premier (l’ordre ´ etan t celui indu it par les ´ etiquettes) ensemble du partitionnemen t P ne con tenant aucun sommet qui appara ˆ ıt encore dans le tirage restan t. Supp rimer d u partitionnement l’ensemble utilis ´ e et suppr imer d e la liste du tirage le premier sommet. jusqu’` a liste du tir age vide F ormer a vec le dern ier sous-ensemble du partitionnemen t et a v ec le sommet r le s -i ` eme hyp erar ˆ ete. retourner la forˆ et obtenue ﬁn Th´ eor ` eme 2.2.3. L e nombr e de for ˆ ets de ( k + 1) hyp er arbr es enr acin ´ es ayant s hy- p er ar ˆ etes est :  n k + 1  ( k + 1) ( n − k − 1)! [( b − 1)!] s s ! n s − 1 , (2.4) ave c le nombr e de sommets n = n ( s ) = s ( b − 1) + k + 1 . Pr e uve. La preuve d´ ecoule directemen t de la bijection que d ´ eﬁn it l’algorithme 1 de c o dage de telles for ˆ ets par les ensem bles de quadruplets ( R, r , P , ~ N ) d ´ eﬁni en (2.3) . ♦ En ﬁxan t k = 0 dans ce th´ eor ` eme, nous obtenons Corollaire 2.2.4. L e nombr e d’hyp er arbr es enr acin ´ es ayant s hyp er ar ˆ etes : ( n − 1)! [( b − 1)!] s s ! n s , (2.5) ave c le nombr e de sommets n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 . 2.2. ´ ENUM ´ ERA TION BIJ E CTIVE 7 Il est imm ´ ediat qu e ce r´ esultat g ´ en ´ eralise le r ´ esultat d ans le cas des arb res en prenant b = 2 . Corollaire 2.2.5 (Ca yley) . L e nombr e d’arbr e s enr acin ´ es ayant n sommets e st n n − 1 . Une a v anta ge que pr´ esente un e telle d´ emonstration bijectiv e est la p ossibilit ´ e d’eﬀec- tuer un e g ´ en´ eration al ´ eatoire aﬁn d ’a pp rendre quelques caract ´ eristiqu e s des structur e s ´ etudi ´ ees. Nous laissons cela comme p ersp ectiv e, p our le momen t. Grˆ ace au th´ eor ` eme 2.2.3, nous sommes aus si en mesu re de don ner une expression explicite du n o mbre des h yp ercycles. 2.2.2 V ue bijective des h yp ercycles Les h yp ercycles sont des comp osan tes les plus simples apr` es les hyperarb res dans le sens o ` u ces structures sont d’exc ` es 0 . L’ ´ enum ´ eration des graphes unicycles est asso ci ´ ee ` a Alfred R ´ ENYI dans [3] . Dans le cas plus g ´ en´ eral des h yp ergraphes unicycles, p our pro c ´ eder ` a l’ ´ enum ´ eration de ces structur es (la mˆ eme id´ ee est app lic able p our les com- p osan tes complexes ` a exc ` es ℓ ≥ 1 ﬁx ´ e), aﬁn d ’utilise r le th´ eor ` eme 2.2.3 , les structur e s son t r ´ ecursiveme nt ´ elagu ´ ees j usqu’` a ce qu’il n’y ait plus aucune feuille et obtenir ainsi d es structur es lisses . Ainsi, ` a u n h yp ercycle a y ant n sommets, nous ferons corresp ondre de mani ` ere n at ur e lle un couple ( B , F ) a ve c B u ne s tructure lisse de taille ( k + 1) et F , une for ˆ et de ( k + 1) hyp erarbres enracin ´ es a ya nt n sommets, obtenue ` a p artir du pro cessus d’ ´ elagage. Les ´ etiquettes de B seron t canonis´ ees dans { 1 , . . . , k + 1 } en r e sp ectan t l’ordre croissan te des ´ etiquettes. b b b b b b b b b b b b b b b b b b Fig. 2.2 – Hyp ercycles 3-uniformes lisses non ´ etiquet ´ es de longueur r espectiv ement 2 , 3 et 4 . Remarque 2.2.6. C o mme le pro cessus d’ ´ elagage consiste ` a supp rimer les somm e ts des feuilles ainsi que les h yp erar ˆ etes q ui les accrochaien t, il p rodu it une structur e de m ˆ eme exc ` es. Nous retrouvons le r´ esultat, asso ci ´ e ` a Seliv ano v d a ns [17], p our l’ ´ enum ´ eration des h yp ercycles : 8 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE Th´ eor ` eme 2.2.7. L e nombr e d’hyp er cycles ayant s hyp er ar ˆ etes est n ! n s − 1 ( b − 1) 2[( b − 1)!] s s X j =2 j s j ( s − j )! , (2.6) ave c le nombr e de sommets n = n ( s ) = s ( b − 1) . Pr e uve. Un h yp ercycle de longueur de cycle j corresp ond ` a u ne for ˆ et d e j ( b − 1) h y- p erarbres enracin ´ es ` a un arrangemen t pr` es de ces d erniers p our les diﬀ ´ erentes fa¸ cons d e former le cycle. La for ˆ et aurait ( s − j ) h yp erar ˆ etes et j ( b − 1) comp osan tes ` a arranger en cycle. Le nom bre d’hyp ercycle s a y ant une longueur j de cycle et a y an t s h yp erar ˆ etes est donc  n j ( b − 1)  j ( b − 1) [( s − j )( b − 1)]! [( b − 1)!] s − j ( s − j )! n s − j − 1   1 2 [ j ( b − 1)]! [( b − 2)!] j  , (2.7) a v ec n = n ( s ) = s ( b − 1) : le premier facteur entre accolade d ´ enom bre d e s forˆ ets d’h yp er- arbres enracin ´ es e t le second d ´ enombre les h yp ercycles lisses ´ etiquet ´ es a v ec { 1 , . . . , j ( b − 1) } a y an t j hyperarˆ etes. En simpliﬁant cette ´ equation, nous trouv ons le terme d e la somma- tion d u th ´ eor ` eme, et comme la longueur d e cycle p eut prendre toute v aleur entre 2 et s , nous obtenons le r´ esultat en somman t sur j . ♦ Ainsi, p our faire la p reuv e du th ´ eor ` eme n ous ´ etions amen ´ es ` a distinguer les h yp ercycles selon la longueur d u cycle. Une question ` a p oser est : p our un nom bre de sommets n = s ( b − 1) , quelle est la longueu r j d e cycle de la classe (selon j ) qui con tribue le plus au nom bre des h yp ercycles ? Nous laisserons cette question en p ersp ectiv e. P ar rapp ort au r´ esultat d’´ enum ´ eration des hyper a rb res (v oir des f o rˆ ets) , l’expres- sion du nombre des h yp ercycles est b eaucoup plu s complexe car requiert la sommation. N ´ eanmoins, l’expression de ce nombre reste exp li cite. Expliciter le nombre des comp o- san tes complexes para ˆ ıt ˆ etre une tˆ ache ardue. Dans la suite, nous pr´ ecisons comment d ´ eterminer le nom bre de comp osan tes, en d ´ ecriv an t la bij e ction via les s ´ eries g´ en´ eratrices qu i p ermetten t une lecture directe d es op ´ erations combinato ires sur d es stru ct ures. 2.2.3 In tro duction aux s´ eries g´ en´ eratrices exp onen tielles ` A un e s ´ equence de nombre ( a n ) n ∈ I N , nous asso cions la s´ er ie g ´ en ´ eratrice exp onen tielle (SGE) A ( z ) = ∞ X n =0 a n z n n ! . (2.8) Les SGEs serve nt p our l’ ´ enum ´ eration de stru ctures av ec une ´ etiquette propr e ` a chaque sommet et l’indice n , d a ns l’ ´ ecriture ci-dessus, d ´ eﬁnit la taille de la s t ru ct ur e ´ etiquet ´ ee. Une grande a v antag e de l’utilisation des SGEs est la facilit ´ e de lecture qu’elles oﬀren t : ` a partir des op´ er a tions sur les s ´ eries, nous sommes en mesure d’int ´ erpr ´ eter en terme d’op ´ erations sur les structures et in ve rsement. [26] donne le dictionnaire suiv an t p our faire cette lecture : 2.2. ´ ENUM ´ ERA TION BIJ E CTIVE 9 Op ´ erations sur les stru ct ur es SGE corresp ondan t A ∪ B A ( z ) + B ( z ) A × B A ( z ) · B ( z ) Substituer dans A par B A ◦ B ( z ) S ´ equence de A (1 − A ( z )) − 1 Group e d e k A A ( z ) k k ! Ensem ble de A exp ( A ( z )) Cycle de A − ln  p 1 − A ( z )  Marquage de k sommets de A z k k ! d k d z k A ( z ) Nous nous servirons aussi d e l’op ´ erateur su r les s´ eries : [ z n ] A ( z ) = a n n ! , (2.9) a v ec A ( z ) d´ eﬁni ` a (2.8) . F amiliarisons nous a v ec l’utilisation des S GEs ` a tra ve rs les exemples de structures rencon tr ´ ees j usqu’ici. D ´ eﬁnition 2.2.8. La S GE T des h yp erarbres enracin ´ es est T ( z ) = X s ≥ 0 ( n − 1)! [( b − 1)!] s s ! n s z n n ! , ( 2.10) o ` u n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 . Nous y lisons le nombre des hyp e rarb res enracin ´ es ` a s hyp erar ˆ etes n ! [ z n ] T ( z ) = ( n − 1)! [( b − 1)!] s s ! n s . (2.11) Remarque 2.2.9. La SGE qui ´ enum ` ere les hyp erarbres s’ ´ ecrit s o us la forme H − 1 ◦ T ( z ) . Nous r ´ eserv ons la j ustiﬁcati on p our plus tard . Un marquage d’un somm e t diﬀ´ erencie les hyp erarbres des h yp erarbres enracin ´ es : T ( z ) = z d d z H − 1 ◦ T ( z ) . (2.12) Un cycle de sommets d e longueur ≥ 2 admet la S GE − ln( √ 1 − z ) − z / 2 . (2.13) P our un cycle de sommet a v ec un ensemble de ( b − 2) , structure de S GE z b − 1 / ( b − 2)! , la substitution dans l’ ´ equation pr´ ec ´ eden te donne − ln s 1 − z b − 1 ( b − 2)! ! − z b − 1 2( b − 2)! . (2.14) Et comme c’est la SGE des hyp ercycle s lisses, p our obtenir la SGE des hypercycles, il faut faire la substitution par la SGE d es hyp erarbres enracin ´ es. De cette m a ni` ere, nous obtenons : 10 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE Remarque 2.2.10. S i b ≥ 3 , la SGE des hyp ercycle s est H 0 ◦ T ( z ) av ec H 0 ( t ) = − ln s 1 − t b − 1 ( b − 2)! ! − t b − 1 2( b − 2)! . (2.15) Nous p ouvons lire en sens inv erse la bijection qui n o us a v ait p ermis d e pro c ´ eder ` a l’ ´ en um´ eration des h yp ercycles dans la fonction H 0 . Cette fonction oﬀre aus si la p ossibilit ´ e de d ´ eterminer le nombre n ! [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) d ’h yp ercycle s de taille n . Comme il a ´ et ´ e d ´ ej` a ´ ev o qu ´ e, il est p ossible d’appliqu e r, comme dans le cas des h yp er- cycles, un raisonnement pro c he p our f a ire de l’ ´ en um´ eration des comp osan tes complexes. C’est ce que n o us allons d´ ev elopp er dans la pro c haine sou s-se ction. 2.2.4 V ue bijective des comp osan tes complexes Dans cette sous-section, p our ´ enum ´ erer les comp osan tes complexes, nous renon¸ cons ` a ´ etablir une exp ression explicite comme dans le cas des forˆ ets d ’h yp erarbres enracin ´ es ou comme dans le cas des h yp ercycles. Nous y ´ etablissons la SGE des comp osan tes complexes d’exc ` es donn ´ e, p a r des arguments b ijec tifs comme p our (2.15) . Dans le cas de l’´ enum ´ eration des comp osan tes de graph e complexes, l’ ´ enum ´ eration des comp osan tes a y an t d eux cycles (d ’e xc ` es 1 ) est asso ci ´ e ` a Bagaev dans [25] . Plus g ´ en ´ eralemen t, un r ´ esultat p our les comp osa ntes d e graphes d’exc ` es ℓ ≥ 1 est asso ci ´ e ` a W r ig ht dans [22] . Ici, nous ´ enum ´ erons des comp osa ntes (d’h yp ergraphe) complexes d’exc ` es ℓ ≥ 1 . P our pro c ´ eder ` a cette ´ en um´ eration, une premi` ere ´ etap e consiste ` a se ramener ` a des comp osan tes lisses par ´ elagag e des feuilles des structures ` a ´ enum ´ erer. Les comp osan tes lisses ainsi obten ues ont le m ˆ eme exc ` es que les structures de d ´ epart. • • • • • • • • • • • • • • • Fig. 2.3 – Une comp osan te lisse non ´ etiquet ´ ee d’exc ` es ℓ = 1 . Nous con venons d’utiliser la SGE a v ec la v ariable t p our ´ en um´ erer des structures lisses, comme dans (2.1 5 ) . Et d ans le but d’all ´ eger les ´ equ a tions, n ot ons τ ( t ) = t b − 1 ( b − 2)! . (2.16) 2.2. ´ ENUM ´ ERA TION BIJ E CTIVE 11 (2.15) devien t alors H 0 ( t ) = − ln  p 1 − τ ( t )  − τ ( t ) 2 . (2.17) Les comp o sante s complexes lisses d’exc ` es ℓ p euv en t a v oir toute taille p ositiv e (enti ` ere) . C’est aussi le cas p our les hyp ercycle s et nous a vions eu recours ` a la fonction ln du dictionnaire p our exprimer la structure cyclique. Dans le cas des comp osan tes complexes, c’est l’op ´ eration de s´ equen c e d u d ict ionnaire qui nous p ermettra de d ´ ecrire les structures de mani` ere “plus concise” car p our un exc ` es ℓ donn´ e nous aurons seulement un n om bre ﬁni de structures ` a consid ´ erer p our tout ´ en um´ erer. D ´ eﬁnition 2.2.11. Une cha ˆ ıne est une s´ equence d e sommets a v ec un group e de ( b − 2) sommets. La s ´ equence p eut ˆ etre vide et admet p our SGE 1 1 − τ ( t ) . (2.18) Une c ha ˆ ın e , dans cette th ` ese, est d’ab ord une sous-structur e d’un e comp osan te lisse. Dans le cas des graph e s, W right E.M dans [22] distingue trois t yp es de c ha ˆ ıne – celle qu i b oucle sur un m ˆ eme sommet, – celle qu i, si bris´ ee, d ´ econnecte la s t ru ct ur e en deux, – celle qui ne b oucle pas su r un mˆ eme sommet et, qui si bris´ ee, n e rompt pas la connexit ´ e de la comp osan te. Une c ha ˆ ıne du premier (resp ectiv emen t d u s e cond (resp ectiv emen t du troisi ` eme)) t yp e p our des graphes sans multi-a rˆ ete admet au moins deux ar ˆ etes (resp ectiv emen t u ne ar ˆ ete (resp ectiv emen t deux ar ˆ etes)). D ´ eﬁnition 2.2.12. Une structur e b asique est une str ucture lisse non ´ etiquet ´ ee ay an t ses c ha ˆ ınes de longueur ﬁnie. Rapp elons ici l’id´ ee cl ´ e d ans [22] de l’ ´ enum ´ eration bijectiv e des graphes connexes d’exc ` es ℓ ≥ 1 : ` a partir d e s comp osan tes, une r´ eduction est faite par ´ elagage r´ ecursive, puis les c ha ˆ ınes son t eﬀondr´ ees j usqu’` a leur taille m inimale et enﬁn, les ´ etiquettes des sommets s o nt ignor ´ ees p our obtenir un nom bre ﬁn i d e comp osan tes basiques distin c tes (structures n on ´ etiquet ´ ees) qui p ermetten t de pro c ´ eder ` a une ´ en um´ eration b ijec tiv e (une appro c he tr ` es rapidement impraticable, en p a rticulier ` a cause du calcul des nom bres d’automorphismes) . Remarque 2.2.13. Comme p our l’ ´ elagage , eﬀondrer u ne hyperarˆ ete d ’une c ha ˆ ıne en u n de ses sommets de d e gr´ e ≥ 2 ne c hange pas l’exc ` es de la structur e. D ´ eﬁnition 2.2.14. Une hyp e r ar ˆ ete sp´ eciale est une hyp erar ˆ ete con tenant au moins 3 sommets au moins d e degr ´ e 2. Remarque 2.2.15. Un e hyp erar ˆ ete sp´ eciale n e p eut p as faire partie d’une c ha ˆ ıne. D ´ eﬁnition 2.2.16. Un sommet sp´ ecial est s o it u n sommet d’une h yp erar ˆ ete sp´ eciale soit un sommet d e degr´ e au moins 3 . 12 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE Ici, nous ne d istinguerons dans les structures lisses que deux t yp es de c ha ˆ ınes : D ´ eﬁnition 2.2.17. Une α -cha ˆ ıne est une c ha ˆ ıne qui b oucle sur un mˆ eme sommet. Une telle c ha ˆ ıne admet au moins deux hyp erar ˆ etes. D ´ eﬁnition 2.2.18. Une β -cha ˆ ı ne est un e c ha ˆ ıne qui lie d eux sommets sp´ eciaux. Un e telle c ha ˆ ıne admet au moins une hyp erar ˆ ete. Soit une comp osa nte B basique donn´ ee a v ec les caract ´ er ist iques suiv an tes :                    – d ’e xc` es ℓ ≥ 1 – ay an t m sommets (non ´ etiquet ´ es) – ay an t s h yp erar ˆ etes, n´ ecessairement s ≥ ⌊ ℓ +1 b − 1 + 1 ⌋ – ay an t c α α -c ha ˆ ınes – ay an t c β β -c ha ˆ ınes – ay an t p = c α + c β c ha ˆ ınes – d e nom bre (rationnel) d’automorphism es g . (2.19) Alors les hypergrap hes lisses ( ´ etiquet ´ es) con tenan t la comp osan te B ` a des eﬀondrements pr` es de ses c ha ˆ ınes, admetten t la SGE J ( t ) = 1 g t m (1 − τ ( t )) p . (2.20) La lecture de cette ´ equation est la su iv an te : 1. Fixer un ´ etiquetage des m sommets, c’est le facteur t m . 2. Regroup er les sommets ainsi ´ etiquet ´ es dans la form e d e la structure B , c’est le facteur 1 /g . 3. ´ Ev en tuellement , rallonger les p c ha ˆ ınes dans l’ordre induite des ´ etiquetages, c’est le facteur (1 − τ (1)) − p . Av ec les caract ´ eristiques de B , comme m = s ( b − 1) − ℓ , une r´ e´ ecriture de (2.20) nou s obtenons : Lemme 2.2.19. L a SGE des c omp osa ntes lisses (´ etiq u et ´ es) c ontenant la c omp osante B b asique ` a des eﬀondr ements pr` es de ses cha ˆ ınes : J ( t ) = [( b − 2)!] s g τ ( t ) s t ℓ (1 − τ ( t )) p . (2.21) L’ ´ enum ´ eration des comp osan tes lisses complexes d’exc ` es donn´ e se r´ eduit, ainsi grˆ ace ` a ce lemme, ` a la d ´ etermination d’u n ens e mble de structures basiques p ermettan t d e les g ´ en´ erer sans am big ¨ uit ´ e, c’est ` a dire qu’une comp osan te ne p eut ˆ etre g ´ en ´ er´ ee qu’` a partir d’une u nique structure basique. W righ t E.M obtien t un ensem ble de structures qui con vien t en consid´ erant l’ensemble ﬁ ni de toutes les str uctures basiques d ’exc ` es ℓ n’ay ant que des c ha ˆ ınes de longueur minimale selon leur t yp e, et pr´ ecise ainsi la forme des SGEs des graphes connexes complexes lisses d’exc ` es ℓ . Ici, nous faisons le c hoix d’u n autre ensem ble de structures basiques p our montrer que 2.2. ´ ENUM ´ ERA TION BIJ E CTIVE 13 Th´ eor ` eme 2.2.20. L a SGE H ℓ des c omp osantes lisses d’exc` es ℓ est : H ℓ ( t ) = τ ( t ) r ℓ t ℓ 3 ℓ X p =0 A ℓ,p  τ ( t ) 1 − τ ( t )  p , (2.22) ave c les c o eﬃcients A ℓ,p , des fr actions r ationnel les p ositives de b ` a c o eﬃcie nts entiers, r ℓ = ⌊ ℓ + 1 b − 1 + 1 ⌋ , (2.23) τ ( t ) = t b − 1 ( b − 2)! . (2.24) La forme (2.22) de la SGE H ℓ des comp osan tes complexes d’exc ` es ℓ don ne une b onne in tuition d’u n terme prin c ipal qui con tribu e le plus au nom bre asymptotique de ces str uc- tures. En particulier, ce terme est li´ e ` a l’ind ice p = 3 ℓ et, en tre autres r ´ ef´ erences, dans [19] , il est li ´ e aux structures qualiﬁ´ ees de “clean” maximisan t le nombre de c ha ˆ ınes. Notons dans ce th ´ eor ` eme, le r ´ esultat com binatoire de la p ositivit ´ e d es coeﬃcient s A ℓ,p : la p reuv e est bijectiv e et u ne p reuv e par i nd uctio n sur ( ℓ, p ) est rest ´ ee hors de n ot re port´ ee. D’ab ord un e cons ´ equence imm´ ediate du lemme 2.2.1 9 est qu e Remarque 2.2.21. La SGE H ℓ des h yp ergraphes connexes lisses d’exc ` es ℓ s’ ´ ecrit s o us la forme H ℓ ( t ) = f ℓ ◦ θ ( t ) t ℓ , (2.25) a v ec θ ( t ) = 1 − τ ( t ) . ( 2.26) et f ℓ un p olynˆ ome de Laur en t. Ensuite p our prou v er le th ´ eor` eme 2.2.20 , Lemme 2 .2.22. Dans une c omp osante c omplexe b asique d’exc` es ℓ , le nombr e p de cha ˆ ınes est au plus 3 ℓ soit p ≤ 3 ℓ . Pr e uve. Il suﬃt de v oir la preuv e dans le c as d’un e comp osan te n’a y ant que des c ha ˆ ınes d e longueur minimale. Soit donc B une telle comp osan te complexe a v ec les caract ´ eristiques suiv an tes :                – d ’e xc` es ℓ ≥ 1 – ay an t s 0 h yp erar ˆ etes sp´ eciales – ay an t m 0 sommets sp ´ eciaux – ay an t c α α -c ha ˆ ınes (toutes de longueur 2) – ay an t c β β -c ha ˆ ınes (toutes de longueu r une) – ay an t p = c α + c β c ha ˆ ınes. (2.27) P ar d´ eﬁnition de l’exc ` es, m 0 + 2( b − 1) c α − c α + ( b − 2) c β + ℓ = ( b − 1)( s 0 + 2 c α + c β ) (2.28) 14 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE soit m 0 − s 0 ( b − 1) + ℓ = c α + c β = p . (2.29) Notons B 0 l’h yp ergraphe induit par les sommets sp´ eciaux et soit ℓ 0 son exc ` es alors l’ ´ equation p r ´ ec ´ eden te s’ ´ ecrit : − ℓ 0 + ℓ = p . (2.30) La v aleur de l’exc ` es ℓ 0 est minimale dans le cas o ` u B 0 est une forˆ et maximisan t le n om bre de comp osan tes, B 0 dev an t donc se comp oser de sommets isol ´ es de degr ´ e 3 ou d’hy- p erar ˆ etes a y ant exactemen t 3 sommets d e degr´ e 2 dans l’hypergraph e basique dont ils son t issu s. Comme il existe un hypergraph e basique d ’exc ` es ℓ (v oir la ﬁgu re 2.4 ) ay ant 2 ℓ sommets sp ´ eciaux et sans aucune hyp erar ˆ ete sp´ eciale p our laquelle la v aleur ℓ 0 = − 2 ℓ est minimale, nous d ´ eduisons − ℓ 0 + ℓ ≥ 2 ℓ + ℓ = 3 ℓ ≥ p . (2.31) Et cette b orne sup´ erieur e est attein te. ♦ b b b b b b b b l l b l l b l l b l l b Fig. 2.4 – Structur e d’un h yp ergraphe s a ns h yp erar ˆ ete sp ´ eciale a y ant le nom br e 3 ℓ maxi- mal de c ha ˆ ınes dans le cas d ’exc ` es ℓ . Seuls les sommets d e degr ´ e ≥ 3 y sont repr´ esent ´ es. Ainsi, dans (2.22) , l’indice p est li ´ ee au nom bre de c ha ˆ ınes d’un e structure basique. Quelle serait u ne int erpr´ etatio n du degr ´ e m a ximal d u p olynˆ ome f ℓ de L a ur e nt dans la remarque 2.2.21 ? Dans l’ ´ equation (2.22) , une in terpr´ etation in tuitiv e du degr´ e d e τ ( t ) est qu’il compte le nom bre minimal d’h yp erar ˆ etes dans une comp osan te lisse. Lemme 2.2.23. L e de gr ´ e maximum du p olynˆ ome f ℓ de L aur ent, dans la r emar que 2.2.21 , est au plus r ℓ = ⌊ ℓ + 1 b − 1 + 1 ⌋ . (2.32) Pr e uve. La d ´ emonstration passe par la d ´ ecomp osition des comp osan tes lisses d’exc` es ℓ sui- v ante : ` A une comp osan te d’exc ` es ℓ d o nn´ e, supprim e r la plus p etite h yp erar ˆ ete d ans l’ordre alphab ´ etique induite par l’´ etiquetage, et obtenir ainsi des comp osan tes ´ even tuellemen t non lisses a v ec les caract ´ eristiques ( ℓ i , k i ) c’est ` a d ire d’exc` es ℓ i et a y ant k i sommets ap- partenan t ` a la plus p etite hyp erar ˆ ete supprim´ ee. Des nom bres de cycles nous d´ edu isons ℓ + 1 = X i ( ℓ i + k i ) . (2.33) 2.2. ´ ENUM ´ ERA TION BIJ E CTIVE 15 Notons alors les d ivisio ns euclidiennes par ( b − 1) suiv an tes : ℓ i + k i = q i ( b − 1) + r i (2.34) et ℓ + 1 = q ( b − 1) + r . (2.35) Ainsi, q ( b − 1) + r = X i { q i ( b − 1) + r i } (2.36) et q + 1 ≥ X i q i + 1 . (2.37) En remarquant q ue le degr ´ e maxim um de f ℓ s’in terpr` ete comme le nom bre minim um d ’h y- p erar ˆ etes, nous a v ons la d´ emonstration par in duction car le second membre de l’´ equation pr´ ec ´ edente maximise le d e gr´ e de f ℓ en prenant u ne comp osan te ay an t u n nombre minim um d’h yp erarˆ etes . ♦ La forme du SGE H ℓ (2.22) sugg ` ere l’existence d’un ensemble de comp osan tes basiques, d’exc ` es ℓ a y ant s = r ℓ , . . . , r ℓ + 3 ℓ hyp erar ˆ etes et dans laquelle seules s − r ℓ c ha ˆ ınes p e uven t ˆ etre ins ´ er´ ees, p ermettan t alors de g ´ en´ erer toutes les str uctures lisses. L e c hoix de prendr e les comp osan tes basiques n’ay an t que des c ha ˆ ın e s de longueu r minimale, b ie n que ce soit la j ustiﬁcati on imm ´ ediate d e la r emarque 2.2.21 , ne p ermet p as d’ab outir au r´ esultat car le nom bre d’hyperarˆ etes p eut exc ´ eder strictemen t le n o mbre des c ha ˆ ınes p lus r ℓ . La cond it ion qu ’une β -c ha ˆ ıne doit au moins conte nir une hyp erar ˆ ete est motiv ´ ee par la lecture plus f a cile des emplacemen ts o ` u les c ha ˆ ınes seront in tro duites. Aussi, en consid ´ erant l’ensem ble des comp osan tes b a siques n’ay ant que des α -c ha ˆ ınes qui elles m ˆ emes sont d e longueur 2 , toutes les comp osan tes lisses p euven t ˆ etre g ´ en´ er´ ees sans am big ¨ uit ´ e. T outefois, la condition d’av oir autan t d’hyper a rˆ etes que de c ha ˆ ınes p lus r ℓ n’est pas une conditionalit ´ e resp ect ´ ee ` a p riori dans la fa¸ con canonique dont est faite la g ´ en ´ eration a v ec cet ensem ble. Un plu s app ort ´ e par la consid´ eration d’un tel ensem ble est qu ’il garantit mainte nant u n n om bre suﬃsamment p eu ´ elev ´ e d ’h yp erar ˆ etes dans les comp osan tes consid´ er ´ ees d’apr ` es les 2 lemmes qui suiv ent . Lemme 2.2.24. Pour une c omp osante b asique d’exc` es ℓ ayant s 0 hyp er ar ˆ etes sp ´ eciales et c α α -cha ˆ ınes 2 c α + s 0 ≤ 3 ℓ + 1 . (2.38) Il e xi ste une c omp osant e b asique tel le que l’´ egalit´ e est atteinte. Pr e uve. P our maximiser la qu an tit ´ e 2 c α + s 0 dans un e comp osan te b a sique d’exc ` es ℓ donn´ e, c α est ` a maximiser en pr io rit´ e puis seulemen t apr` es s 0 . L a relation qui lie le nom bre des α -c ha ˆ ınes et l’exc ` es est c α ≤ ℓ + 1 et parm i les comp osan tes basiques telles qu e c α = ℓ + 1 au plus s 0 = ℓ − 1 , nous d´ eduison s ainsi le lemme. ♦ Une cons ´ equence d irec te de ce lemme est : 16 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE Lemme 2.2.25. Dans une c omp osante b asique d’exc` es ℓ n ’ayant que des α -cha ˆ ınes toutes de longueur 2 , le nombr e d’hyp er ar ˆ etes est au plus (3 ℓ + 1) . Pr e uve. (Th´ eor ` eme 2.2.20) . Les comp osan tes lisses p euv en t ˆ etre g´ en´ er´ ees sans am big ¨ uit ´ e par d e s comp osan tes b a siques a y an t s = r ℓ , . . . , 3 ℓ + r ℓ h yp erar ˆ etes, c α α -c ha ˆ ınes toutes de longueur 2 et c β β -c ha ˆ ınes toutes de longueur 1 et s − c α − c β marquages indiqu an t les emplacemen ts o ` u d ’a utres c ha ˆ ınes p euv en t ˆ etre ins ´ er´ ees. Notons que la quan tit ´ e ( s − c α − c β ) d oi t ˆ etre p ositiv e et que les emplacemen ts corresp onden t ` a des somm e ts o ` u une β -c ha ˆ ıne aurait pu ˆ etre eﬀondr ´ ee. Notons aussi qu e ces comp osan tes basiques ne d oi ven t pas ˆ etre toutes p rises car dans ce cas, un e m ˆ eme comp osan te lisse ´ etiquet ´ ee p eut ˆ etre obten ue par diﬀ ´ erentes comp osan tes basiques. En b ref, l’id ´ ee cl ´ e de la p reuv e : D’un cot ´ e, il y a l’ensem ble de comp osan tes basiques a v ec les c ha ˆ ınes de longueur minimale p our l eur t yp e et, d e l’autre cot ´ e, il y a l’ensemble d e comp osan tes basiques av ec que des α -c ha ˆ ınes de longueur 2 qui p ermetten t d e g ´ en ´ erer de mani` ere canonique toutes les comp osan tes lisses. Entre les deux, il y a plusieurs c hoix d’ensem ble d e comp osan tes basiques p ouv ant servir ` a g ´ en´ erer toutes les comp osan tes lisses . En particulier, il est p ossible de g´ en´ erer les comp osan tes lisses ` a partir de comp osan tes basiques a y ant s = r ℓ , . . . , 3 ℓ + r ℓ h yp erar ˆ etes en faisan t grandir s − r ℓ c ha ˆ ınes aux emplacemen ts des α -c ha ˆ ınes toutes de longueur 2, des β -c ha ˆ ınes toutes de longueur 1 et des sommets su r lesquels u ne β -c ha ˆ ıne aur ai t pu ˆ etre eﬀondr´ ee. ♦ Dans cette section, nous av on s vu le nombre des h yp erarbres enracin´ es ainsi qu e celui des h yp ercycles. Q uan t au n om bre des comp osan tes complexes, n o us p ouv ons le d ´ eterminer du moins th´ eoriquement car nous sa v ons d ´ eterminer les SGEs H ℓ ◦ T ( z ) des comp osan tes d’exc ` es ℓ d onn ´ e : nous connaissons T ( z ) et n ous s a vons commen t ob t enir H ℓ ( t ) . Cep endant , la mani ` ere vue jusqu’ici p our d´ eterminer ces SGEs est tr ` es rapidemen t rebutant e et tr ` es diﬃcile ` a automatiser, particuli ` erement ` a cause d e la d´ etermination des comp osan tes b asiques dont p our c hacune il f a ud rait d´ eterminer son nombre d’automor- phismes ce qui nou s para ˆ ıt p eu concev able et surtout parce qu’il faut aussi p ouvo ir ga- ran tir a v oir consid´ er´ e toutes les comp osan tes basiques n´ ecessaires, ni une de p lus n i un e de moins. Nous tirerons proﬁt de la forme des SGEs H ℓ apprise dans cette section p our justiﬁer commen t les d ´ eterminer r´ ecursiv emen t d ans la section qui suit. 2.3 ´ En um ´ eration r ´ ecursiv e Ay an t p er ¸ cu la puissance d ’e xpr e ssion de l’outil que son t les SGEs, dans la pr´ esen te section une ´ etap e suppl´ ementai re est f ranc hie p our l’ ´ enum ´ eration des comp osan tes en ´ etablissan t un e r´ ecurrence don t la r´ esolution p ermet le calcul automatisable d es SGEs H ℓ des comp osa ntes d’exc` es ℓ . Une br` ev e ap er ¸ cue d u con tenu d e cette section est la suiv ante : – elle commence p a r un e vision r´ ecur siv e de l’ ´ enum ´ eration d e s h yp erarbres enracin ´ es ; – u n outil p our la d´ etermination des co e ﬃcient s des SGEs, la form ule d’inv ers io n de Lagrange, est pr ´ esent ´ e a v ec un e in terpr´ etation com bin a toire ; – p uis nous faisons une in tro duction aux S GEs biv ari ´ ees qu i serv ent p our une lecture facile de 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 17 – la d´ ecomp ositi on d es comp osan tes d ’e xc ` es ℓ qui m ` ene ` a une r´ ecurrence sur les SGEs univ ari ´ ees – ens uite la d´ etermination des H ℓ ou la r´ esolution de la r´ ecurrence est pr ´ esent ´ ee ; – et en ﬁn nous termin ons p ar la p r ´ esentati on de deux id en tit ´ es combinato ires p er- mettan t d’obtenir les H ℓ sous la forme, p ermettan t une lecture bijectiv e, ann o nc´ ee dans la section p r ´ ec´ edente. 2.3.1 ´ En um´ eration r´ ecursiv e des h yp erarbres enracin ´ es Les hyp erarbres enracin ´ es son t des structures cl ´ es p our les hyp e rgraph es : l es SGEs des comp osan tes connexes d ’exc ` es ℓ s ’e xpr imen t en fonction d e la S GE T ( z ) d e s hyp erarbres enracin ´ es. Le d ic tionnaire, introdu it dans la section pr ´ ec ´ edente, p ermet de traduire une d ´ ecomp osition naturelle des h yp erarbres enracin ´ es comme ´ etan t comp os ´ es d’une racine et d’un ensem ble de group es de ( b − 1) hyp erarbres enracin ´ es. C et te d´ ecomp osition est une d ´ eﬁn it ion r´ ecursiv e des h yp erarbres enracin ´ es. Eﬀectiv emen t, un hyperarb re se d ´ eﬁn it ` a partir d’h yp erarbres d e taille strictemen t plus p etite. Cette d´ eﬁnition r ´ ecurs iv e d es h yp erarbres enracin ´ es se lit dans une d ´ eﬁnition imp li cite de SGE via le dictionnaire. D ´ eﬁnition 2.3.1. La S GE T ( z ) des hyp erarbres enracin´ es : T ( z ) = z exp  T ( z ) b − 1 ( b − 1)!  . ( 2.39) La lecture de cette d ´ eﬁnition est la suiv ante : un hyperarb re enracin ´ e est – u ne racine, c’est le facteur z – et un ens e mble (c’est la fonction exp ) non ordonn´ e de group es de ( b − 1) h yp erarbres enracin ´ es (c’est l’exp osan t T ( z ) b − 1 ( b − 1)! ) , bref c’est le terme exp  T ( z ) b − 1 ( b − 1)!  . (2.40) • 4 • 14 • 12 • 8 • 18 • 17 • 2 • 11 • 9 • 16 • 7 • 5 • 1 • 6 • 13 • 15 • 10 • 19 • 3 Fig. 2.5 – Un hyper a rb re en rac in´ e d ´ ecomp os ´ e. 18 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE P ar cette d ´ eﬁnition, il est p ossible de d ´ eterminer r ´ ecursivemen t les co eﬃcien ts [ z n ] T ( z ) qui son t les nombres d e s hyp erarbres enracin ´ es ` a u n facteur n ! pr` es. ´ Evidemen t, cette fa ¸ con de calculer est ` a pr osc rire dans ce cas puisqu e les coeﬃcients sont conn us de mani ` ere ex- plicite : l’expression math ´ ematique (2.5) p o uv an t ˆ etre retrouv ´ ee par la formule d ’in v ersion de Lagrange via cette d´ eﬁ nitio n imp lic ite de T ( z ) . 2.3.2 In terpr´ etation comb inatoire de la form ule d’in v ersion de Lagrange La formule d ’in v ersion de Lag range est un outil puissant p our faire de l’ ´ enum ´ eration de structures arb orescen tes. La preuv e d e la formule d’in version de Lagrange dans [30, page 167] est une preuve analytique : l’extraction des coeﬃcients d es SGEs y est exprim ´ ee a v ec la f o rmule in t´ egrale d e C a uch y . C et te vision analytique de la formule d’inv ersion de Lagrange sera notre p oin t de d´ epart p our obtenir des ´ equiv alen ts asymptotiques des co e ﬃcient s d a ns le c hapitre 3 . I c i, nous adoptons un regard combinatoire dans la preuve du th ´ eor ` eme : Th´ eor ` eme 2.3.2. Notons la SGE G G ( t ) = ∞ X k =0 g k t k k ! , (2.41) alors p ar la d´ eﬁnition de la SGE T ( z ) , la formule d’inversion de L agr ange s’´ ecrit [ z n ] G ◦ T ( z ) = 1 n  t n − 1  exp  n t b − 1 ( b − 1)!  d d t G ( t ) . (2.42) Pr e uve. Notons Φ( t ) = exp  t b − 1 ( b − 1)!  , (2.43) et Φ( t ) n = ∞ X m =0 φ m ( n ) t m m ! . (2.44) Nous obtenons alors  t n − 1   Φ( t ) n d d t G ( t )  = (2.45) = X k ,m ≥ 0 | k + m = n − 1 φ m ( n ) g k +1 1 k ! m ! = (2.46) = X k ≥ 0 φ n − k − 1 ( n ) g k +1 1 k !( n − k − 1)! , (2.47) 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 19 ( n − 1)!  t n − 1   Φ( t ) n d d t G ( t )  = (2.48) = X k ≥ 0 φ n − k − 1 ( n ) g k +1 ( n − 1)! k !( n − k − 1)! = (2 .49) = X k ≥ 0 φ n − k − 1 ( n ) g k +1  n − 1 k  = (2.50) = X k ≥ 0 φ n − k − 1 ( n ) g k +1 k + 1 n  n k + 1  . ( 2.51) Observo ns que Φ( t ) n = X s ≥ 0 n s [ s ( b − 1)]! [( b − 1)!] s s ! t s ( b − 1) [ s ( b − 1)]! , (2.52) soit φ n − k − 1 ( n ) = n s ( n − k − 1)! [( b − 1)!] s s ! , (2.53) a v ec n = n ( s ) = s ( b − 1) + k + 1 . ` A partir de (2.53) , nous iden tiﬁons le nombre de for ˆ ets de ( k + 1) h yp erarbres enracin ´ es ` a n sommets du th ´ eor ` eme 2.2.3 :  n k + 1  k + 1 n φ n − k − 1 ( n ) . (2.54) L’in terpr´ etation com binatoire est alors ´ eviden te en multi pliant (2.42) p ar n ! . Nous re- trouv ons alors n o s marqu e s de la section pr´ ec´ edente, p our ´ enum ´ erer les structures d e taille n : – les g k +1 structures lisses ` a ( k + 1) sommets sont crois ´ ees, d a ns l’ordre croissante (uniquement d ´ eﬁn ie ) des ´ etiquettes, a v ec – les forˆ ets de ( k + 1) h yp erarbres enracin´ es ` a n sommets au n o mbre de  n k + 1  k + 1 n φ n − k − 1 ( n ) . (2.55) ♦ Exemple 2.3.3. Nous retrouv ons le nom bre des h yp erarbres enracin´ es en pren a nt le plus simple des fonctions G , dans la f o rmule d’in v ersion de Lagrange, c’est ` a dire la fonction iden tit ´ e. En eﬀet, n ! [ z n ] T ( z ) = ( n − 1)!  t n − 1  exp  n t b − 1 ( b − 1)!  (2.56) = ( n − 1)!  t n − 1    X j ≥ 0 n j [( b − 1)!] j j ! t j ( b − 1)   (2.57) = ( n − 1)! n s [( b − 1)!] s s ! , (2 .58) 20 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE a v ec n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 . Exemple 2.3.4. Le n o mbre des for ˆ ets d e ( k + 1) h yp erarbres en rac in´ es de S GE T ( z ) k +1 ( k +1)! est n ! [ z n ] T ( z ) k +1 ( k + 1)! = ( n − 1)!  t n − 1   t k k ! exp  n t b − 1 ( b − 1)!  (2.59) = ( n − 1)! k !  t n − 1    X j ≥ 0 n j [( b − 1)!] j j ! t j ( b − 1)+ k   (2.60) = ( n − 1)! k ! n s [( b − 1)!] s s ! , (2.61) a v ec n = n ( s ) = s ( b − 1) + k + 1 , soit en acco rd a v ec le th´ eor ` eme 2.2.3 n ! [ z n ] T ( z ) k +1 ( k + 1)! =  n k + 1  ( k + 1) ( n − k − 1)! [( b − 1)!] s s ! n s − 1 . (2.62) Exemple 2.3.5. De l’exemple p r ´ ec ´ eden t, nous d ´ edu isons u ne formule explicite du n om bre des for ˆ ets d’hyp erarbres enracin ´ es : n ! [ z n ] exp( T ( z )) = ( n − 1)! n − 1 X k =1 n s k [( b − 1)!] s k s k ! , (2.63) a v ec n = n ( s k ) = s k ( b − 1) + k + 1 p our tout k = 1 , . . . , n − 1 . Ainsi, par r app o rt ` a la s e ction pr ´ ec ´ edente, nous disp osons mainte nant d’u n outil puissant cac han t toute u ne machinerie bijectiv e p ermettan t d e traduire, ` a p a rtir des S GEs des structures lisses, les structures ´ ev ent uellement non lisses corresp ondan t. Ceci nous motiv e encore plus ` a automatiser la d ´ etermination des SGEs des structures lisses. P our y parvenir, dans un souci d e clart ´ e, n ous pr´ esentons bri ` ev ement les S GEs biv ari ´ ees. 2.3.3 In tro duction aux s´ eries g´ en´ eratrices exp onen tielles biv ari´ ees ` A un e s´ equence de nombre ( a n,m ) n,m ∈ I N est asso ci ´ ee une s ´ erie g ´ en´ eratrice exp onent ielle biv ari ´ ee A ( w, z ) = X n,m ∈ I N a n,m w m z n n ! . (2.64) Dans les hyp ergraphes, il y a deux notions essen tielles ` a sa vo ir la notion d e so mmet et la notion d’hyperarˆ ete. Soulignons que dans cette th` ese, les s ´ eries sont exp onen tielles en la v ariable z relativ e aux sommets qui s o nt ´ etiquet ´ es et elles son t ord inaires en la v ariable w , d a ns le cas d e SGEs biv ari ´ ees, relativ e aux h yp erar ˆ etes. Si jusqu’ici, nous a v ons c hoisi de tra v ailler uniqu emen t a v ec des SGEs u niv ari ´ ees, c’est parce que seul le p a ram` etre d e la taille d e la stru c ture n o us est p ertinen t et l’utilisation de la notion d ’exc ` es simpliﬁe souv ent de b eaucoup les expressions des SGEs : c’est soulign ´ e dans [18] p a r la ric hesse des r ´ esultats ´ enum ´ eratifs qui y sont obtenus. 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 21 L’in tro duction des SGEs biv ari ´ ees nous p ermettra, en particulier, de souligner l’eﬀet de d ´ ecomp ositions dans les str uctures ´ etudi ´ ees. Le d ic tionnaire de la section pr´ ec ´ edente s’enric hit du marquage d’un e h yp erar ˆ ete ; les op´ erations de marquage se traduisent en terme de d ´ eriv atio n partielle : Op ´ eration sur les stru ct ures SGE corresp ondant Marquage de k sommets d e A z k k ! ∂ k ∂ z k A ( w, z ) Marquage d’une h yp erar ˆ ete de A w ∂ ∂ w A ( w, z ) Exemple 2.3.6. Pour ´ en um´ erer les graph e s ´ etiquet ´ es a ya nt 5 sommets et exactemen t 3 ar ˆ etes forman t une clique d ’o rdr e 3 nous p ouvons recourir ` a la SGE biv ari ´ ee :  w 0 z 2 2!   w 3 z 3 3!  =  5 2  w 3 z 5 5! . (2.65) Dans le mem bre gauc he de cette ´ equation : – le premier facteur corresp ond ` a la S GE des graph es a ya nt 2 sommets et sans ar ˆ ete, – le second facteur corresp ond ` a la SGE des grap hes ay an t 3 sommets et 3 arˆ etes et le pro duit s’inte rp r ` ete ` a partir du dictionnaire p our justiﬁ e r l’ ´ en um´ eration. La SGE biv ari´ ee d e ces graphes a v ec un e arˆ ete distingu ´ ee est w ∂ ∂ w  5 2  w 3 z 5 5! = 3  5 2  w 3 z 5 5! . (2.66) D ´ eﬁnition 2.3.7. La S GE biv ari ´ ee des comp osan tes d’exc ` es ℓ s’ ´ ecrit ˆ H ℓ ( w, z ) = w ℓ/ ( b − 1) H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) = X s,n h ℓ ( s, n ) w s z n n ! , (2.67) a v ec n = s ( b − 1) − ℓ et h ℓ ( s, n ) le nombre de comp osan tes d’exc ` es ℓ a y ant s hyper a rˆ etes et n sommets. Exemple 2.3.8. La S G E biv ari ´ ee des h yp erarbres enracin ´ es est T ( w 1 / ( b − 1) z ) w 1 / ( b − 1) . (2.68) Rapp elons la d´ eﬁn it ion implicite d e la SGE T ( z ) T ( z ) = z exp  T ( z ) b − 1 ( b − 1)!  . ( 2.69) Ainsi, d T ( z ) =  d z + z T ( z ) b − 2 ( b − 2)! d T ( z )  exp  T ( z ) b − 1 ( b − 1)!  (2.70) = T ( z ) d z z + T ( z ) b − 1 ( b − 2)! d T ( z ) , (2.71) 22 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE d T ( z ) T ( z ) = 1  1 − T ( z ) b − 1 ( b − 2)!  d z z . (2.72) Soit z d d z T ( z ) = T ( z )  1 − T ( z ) b − 1 ( b − 2)!  (2.73) qui se lit comme l’ ´ equiv alence des stru c tures d’hyperarb re e nr a cin´ e a ya nt un second mar- quage (la racine p eut ˆ etre ´ ev en tuellemen t re-marqu´ ee) et une cha ˆ ıne orien t ´ ee. Cette rela- tion (2.73) d onne w ∂ ∂ w T ( w 1 / ( b − 1) z ) = 1 b − 1 T ( w 1 / ( b − 1) z )  1 − T ( w 1 / ( b − 1) z ) b − 1 ( b − 2)!  (2.74) et z ∂ ∂ z T ( w 1 / ( b − 1) z ) = T ( w 1 / ( b − 1) z )  1 − T ( w 1 / ( b − 1) z ) b − 1 ( b − 2)!  . (2.75) Nous en d´ ed uisons w ∂ ∂ w ˆ H ℓ ( w, z ) = (2.76) = w ∂ ∂ w  w ℓ/ ( b − 1) H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z )  (2.77) = ℓw ℓ/ ( b − 1) b − 1 H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) + (2.78) + w ℓ/ ( b − 1) b − 1 H ℓ ′ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z )   T ( w 1 / ( b − 1) z ) 1 − T ( w 1 / ( b − 1) z ) b − 1 ( b − 2)!   (2.79) = ℓw ℓ/ ( b − 1) b − 1 H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) + (2.80) + w ℓ/ ( b − 1) b − 1 H ℓ ′ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z )  z ∂ ∂ z T ( w 1 / ( b − 1) z )  (2.81) = ℓw ℓ/ ( b − 1) b − 1 H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) + (2.82) + 1 b − 1 z ∂ ∂ z  w ℓ/ ( b − 1) H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z )  , (2.83) soit l a transcription d’un marquage d’une hyp erar ˆ ete, en terme de marqu ag e d’un sommet p our les comp osan tes d’exc ` es ℓ , suiv an te : w ∂ ∂ w ˆ H ℓ ( w, z ) = 1 b − 1  ℓ ˆ H ℓ ( w, z ) + z ∂ ∂ z ˆ H ℓ ( w, z )  . (2.84) L` a r ´ eside l’in t´ erˆ et de classer les structures selon leu r exc ` es car les d ´ ecomp ositions ex- prim´ ees en SGEs biv ari ´ ees se ram` enent alors ` a des SGEs univ ari ´ ees en r ´ eexprimant les SGEs a v ec un marquage d’hyp e rarˆ ete et en ﬁxan t w = 1 . 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 23 Exemple 2.3.9. Nous av ons p our les hyperarb res enracin ´ es T ( w 1 / ( b − 1) z ) w 1 / ( b − 1)     w =1 = T ( z ) . (2.85) Exemple 2.3.10. Et p our les comp osan tes d ’e xc` es ℓ n w ℓ/ ( b − 1) H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) o     w =1 = H ℓ ◦ T ( z ) . (2.86) Exemple 2.3.11. Les comp osan tes d ’e xc` es ℓ a y ant une hyp erar ˆ ete marqu´ ee son t ´ enum ´ e- r ´ ees p ar la SGE univ ari ´ ee  w ∂ ∂ w ˆ H ℓ ( w, z )      w =1 = 1 b − 1  ℓH ℓ ◦ T ( z ) + z d d z H ℓ ◦ T ( z )  . (2.87) 2.3.4 R´ ecurrence des SGEs H ℓ Dans cett e sous-section, l’exc ` es ℓ est ﬁx´ e et ` a partir d’une d ´ ecomp osition d e s comp o- san tes d’exc` es ℓ est ´ etablie une r ´ ecurr ence d es S G Es H ℓ . Po ur d ´ ecrire la d´ ecomp osit ion, les SGEs biv ari ´ ees son t d’ab ord utilis ´ ees car elles p ermetten t un e lecture d irec te d es op ´ erations, sur les structures, qui y son t su g g ´ er´ ees. Illustr o ns l’id ´ ee p rincipale de la d ´ ecomp osition, menan t ` a la r´ ecurr e nce, ` a p a rtir de l’exemple de la ﬁgure 2.6 . • 2 • 8 • 12 • 4 b b 14 7 b b b 1 5 1 1 b b b 9 6 3 b b 10 13 • 2 • 8 • 12 • 4 b b 14 7 b b b 1 5 1 1 b b b 9 6 3 b b 10 13 Fig. 2.6 – La d´ ecomp osition d’un e comp osan te sur un exemple. Dans cette ﬁgu re, la ﬁgure ` a gauc he r e pr´ esen te une comp osan te 4-uniforme ay an t 14 sommets et 5 h yp erar ˆ etes don t u ne d ’el le est marqu´ ee ` a sav oir l’h yp erarˆ ete { 2 , 4 , 8 , 12 } . La ﬁ g ur e ` a d roite r epr ´ esen te un hyp ergraphe 4-uniforme a ya nt aussi 14 s o mmets mais une h yp erar ˆ ete de moins que la comp osan te ` a gauche. L’h yp ergraphe ` a droite n’est pas 24 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE connexe : il y a 3 comp osan tes telles que c hacune admet au moins un s o mmet marqu´ e. Les deux ﬁgures son t ´ equiv alente s l’une l’autre et repr ´ esenten t la mˆ eme stru ct ur e , seule le regard qui y est p ort ´ e c hange : d’un cot ´ e c’est une h yp erarˆ ete qui est marqu´ ee, d e l’autre ce sont des sommets d e cette hyp erar ˆ ete q ui son t marqu ´ es. Il est clair que marqu er une h yp erar ˆ ete d a ns une comp osan te revient ` a marquer au moins un sommet d ans chacune d’un certain nombre de comp osan tes et inv ersemen t, en prenant soin qu ’i l y ait autan t de sommets marqu ´ es que n´ ecessaire p our former une hyp erar ˆ ete et qu ’ils n’appartiennen t pas tous d ´ ej` a ` a une mˆ eme h yp erar ˆ ete. Il nous faut cep endan t faire atten tion p our un exc ` es ℓ donn ´ e que les comp osan tes a vec c hacune au moins u n sommet marqu ´ e se recom binent bien en un hyp ergraphe b -uniforme d’exc ` es ℓ . Po ur cela nous faisons le lemme suiv ant : Lemme 2.3.12. Consid´ er ons une f a mil le de c omp osantes d’exc` es j i et ayant k i sommets mar qu´ es, − 1 ≤ j i ≤ ℓ et 1 ≤ k i ≤ b . De plus, c onsid´ er ons que c e tte f amil le n ’est p as c el le c onst itu´ ee de seulement une c omp osante ave c b sommets mar qu´ es tous app art enant d ´ ej` a ` a une mˆ eme hyp er ar ˆ ete. Alor s si une hyp er arˆ ete est c r ´ e´ e ` a p artir des sommets mar qu´ es des diﬀ ´ er entes c omp osantes, l’hyp er gr ap he obtenu est c onnexe et b -uniforme et d’exc` es ℓ ≥ − 1 si et seulement si        X i k i = b X i ( j i + k i ) = ℓ + 1 . (2.88) Pr e uve. Il est clair que l’hypergraph e ob t enu est connexe et qu’il est b -u niforme si et seulemen t si le nom bre total des sommets marqu´ es dans la famille consid´ er´ ee est ´ egale ` a b : X i k i = b . (2.89) Notons par N le nom bre d e comp osan tes dans la famille consid ´ er´ ee et par n le nom bre total de sommets de ces comp o sante s. Dans la i -i ` eme comp osan te, notons n i le nom bre de ses sommets et s i le nom bre de ses hyperarˆ etes. Alors, l’exc ` es de la comp osan te obten ue ` a partir de la famille v aut ℓ si et seu le ment si N X i =1 s i ( b − 1) + ( b − 1) − n = ℓ . (2 .90) Cette derni ` ere ´ equation est ´ equiv alen te aux suiv an tes : N X i =1 s i ( b − 1) + b − n = ℓ + 1 (2.91) N X i =1 s i ( b − 1) + N X i =1 k i − N X i =1 n i = ℓ + 1 (2.92) 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 25 N X i =1  { s i ( b − 1) − n i } + k i  = ℓ + 1 (2.93) N X i =1 ( j i + k i ) = ℓ + 1 . (2. 94) ♦ La d ´ ecomp osition, su gg ´ er´ ee p ar le marquage d’une hyp erar ˆ ete dans les comp osan tes d’exc ` es ℓ ≥ − 1 et illus tr ´ ee par la ﬁgure 2.6 , se tradu it en terme de r ´ ecurrence de SGEs biv ari ´ ees dans le th ´ eor ` eme suiv an t : Th´ eor ` eme 2.3.13. P our tout ℓ ≥ − 1 , la SGE bivari ´ ee ˆ H ℓ des c omp osantes d’exc` es ℓ satisfait la r elation : w ∂ ∂ w ˆ H ℓ ( w, z ) = (2.95) = w h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ X j = − 1 Cyc j + k ( U z ) k k ! ∂ k ∂ z k ˆ H j ( w, z )   + (2 .96) − w ∂ ∂ w ˆ H ℓ − b +1 ( w, z ) , (2.97) o` u ˆ H j ≡ 0 si j ≤ − 2 . Pr e uve. La relation dans ce th´ eor` eme traduit en terme de SGEs biv ari ´ ees la d´ ecomp osit ion. Il faut y lire : – d ans le pr emie r membre, la SGE biv ari´ ee des comp osan tes d ’e xc ` es ℓ a v ec une h y- p erar ˆ ete marqu´ ee (p our su ppression) ( w ∂ ∂ w ˆ H ℓ ( w, z )) – d ans le second membre, la SGE biv ari ´ ee des familles d e comp osan tes ay an t k som- mets marqu´ es et d ’exc ` es j , lesquelles familles, par cr ´ eation d ’une h yp erar ˆ ete d ´ eﬁn ie par les sommets marqu´ es des comp osan tes, pro duisent u ne comp osan te b -un iforme d’exc ` es ℓ . Le terme a v ec u n signe n´ egatif con train t les marquages d es b sommets ` a ne pas app artenir ` a u ne h yp erar ˆ ete d´ ej` a existante (` a ne pas r ec r´ eer l’hyp erar ˆ ete, les structures consid ´ er´ ees ici n’admettan t pas d’h yp erar ˆ ete multiple) . L’extraction du co e ﬃcient de U b garan tit d’a v oir marqu ´ e b s o mmets p our d ´ eﬁnir une h yp erar ˆ ete et l’extractio n d u co e ﬃcient de Cyc ℓ +1 garan tit de former une comp osan te d’exc ` es ℓ d’apr ` es le lemme p r ´ ec ´ eden t. Dans le premier terme de ce second membre, le facteur w vien t conﬁrmer qu’il s ’a git bien de cr ´ eer u ne hyp e rarˆ ete de plus. ♦ Ce th´ eor ` eme illustre la pu issance d’expression d es SGEs p our d ´ ecrire les b ijec tions ou des d ´ ecomp ositions en tre des structures com binatoires. En eﬀet, dans ce th ´ eor` eme est ´ etablie une r el ation de r ´ ecurren c e en tre les comp osa ntes d’exc` es ℓ d’un cot ´ e et les comp osan tes d’exc ` es strictement plus p etit d’un autre. Cep endant, l’utilisation des S GEs biv ari´ ees p our cette relation de r ´ ecurr e nce complique les n o tations car p our un e v aleur de l’exc ` es ℓ donn´ ee, la SGE ˆ H ℓ ( w, z ) biv ari ´ ee se d´ eduit de la SGE H ℓ ◦ T ( z ) et in ve rsement b ie n s ˆ u r. En eﬀet, rapp elons (2.86) et (2.67) : 26 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE – ` a p artir de la SGE biv ari ´ ee se d ´ eduit la SGE univ ari´ ee (il suﬃt de ﬁx ´ e la v aleur de la v ariable w = 1) n w ℓ/ ( b − 1) H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) o     w =1 = H ℓ ◦ T ( z ) , (2.98) – ` a partir d e la SGE univ ari ´ ee s e d´ eduit la S GE biv ari ´ ee p our un exc ` es d onn ´ e (par d ´ eﬁn it ion de l’exc ` es, le n o mbre de sommets est li ´ e ` a celui des hyp erar ˆ etes) ˆ H ℓ ( w, z ) = w ℓ/ ( b − 1) H ℓ ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) . (2.9 9) Nous p ouv ons transcrire le th´ eor` eme 2.3.13 en terme d e SGE univ ari ´ ee, les d ´ eriv´ ees partielles deviennent des d ´ eriv´ ees droites : Th´ eor ` eme 2.3.14. L a SGE H ℓ ◦ T ( z ) des c omp osant es d’exc` es ℓ satisfait la r elation 1 b − 1  ℓH ℓ ◦ T ( z ) + z d d z H ℓ ◦ T ( z )  = (2.100 ) = h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ X j = − 1 Cyc j + k ( U z ) k k ! d k d z k H j ◦ T ( z )   + (2.101 ) − 1 b − 1  ( ℓ − 1 + 1) H ℓ − b +1 ◦ T ( z ) + z d d z H ℓ − b +1 ◦ T ( z )  . (2.102) Pr e uve. Av ant d e ﬁxer w = 1 , n ous observons qu e le p remier membre de l’ ´ equation du th ´ eor ` eme 2.3.13 se r ´ e ´ ecrit (rapp el d e (2.84) ) w ∂ ∂ w ˆ H ℓ ( w, z ) = 1 b − 1  ℓ ˆ H ℓ ( w, z ) + z ∂ ∂ z ˆ H ℓ ( w, z )  . (2.103 ) Et ainsi, n ous d´ edu iso ns le th ´ eor` eme. ♦ P ar ce th´ eor` eme, nous disp osons d’une r ´ ecurr ence des SGEs H ℓ ◦ T ( z ) sous la forme d’un e ´ equation d iﬀ ´ erentiel le d’ord re un (d a ns la mesur e o ` u les termes du second mem bre qui apparaissen t a v ec H j o ` u j < ℓ on t ´ et ´ e exp li cit ´ es dans une r ´ esolution ant ´ er ie ure) . Nous a v ons aﬃrm ´ e sans justiﬁcation, d a ns la remarque 2.2.9 , que la SGE des hyp er- arbres non enr ac in´ es s’´ ecrit sous la forme H − 1 ◦ T ( z ) , s o it en f o nction de la S GE T ( z ) des hyp erarbres enr ac in´ es. L a ju stiﬁcat ion est ici faite par l’application de ce th´ eor ` eme p our la v aleur ℓ = − 1 , soit le cas de la S GE des h yp erarbres non enr a cin´ es : Th´ eor ` eme 2.3.15. L a SGE H − 1 ◦ T ( z ) des hyp er arbr es non enr acin´ es est tel le que H − 1 ( t ) = t − ( b − 1) t b b ! . (2.104 ) Cette ´ ecriture est v alable dans le cas o ` u b = 2 , c’est ` a dir e d a ns le cas des arb res non enracin ´ es. L’ ´ ecriture du th ´ eor` eme 2.3.1 4 se simpliﬁe en une ´ equation diﬀ ´ erentiell e en la “v ariable” T ( z ) : 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 27 Th´ eor ` eme 2.3.16. P o ur ℓ ≥ 0 , notons qu’il existe une fonction J ℓ tel le q u e J ℓ ◦ T ( z ) = (2.105 ) = h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k ( U z ) k k ! d k d z k H j ◦ T ( z )   + (2.106 ) − 1 b − 1  ( ℓ − 1 + 1) H ℓ − b +1 ◦ T ( z ) + z d d z H ℓ − b +1 ◦ T ( z )  . (2.107) Ainsi, 1 b − 1  ℓH ℓ ( t ) + t d d t H ℓ ( t )  = J ℓ ( t ) . (2.108 ) Pr e uve. Dans l’ ´ equation (2.100 ) , en r eg roup a nt les termes a v ec l’indice, r el ativ e ` a l’exc ` es, ´ egale ` a ℓ dans le premier mem bre nous obtenons : – d ’un cot ´ e 1 b − 1  ℓH ℓ ◦ T ( z ) +  1 − T ( z ) b − 1 ( b − 2)!  z d d z H ℓ ◦ T ( z )  , (2.109 ) soit par (2.7 3 ) 1 b − 1  ℓH ℓ ◦ T ( z ) + T ( z ) H ℓ ′ ◦ T ( z )  (2.110 ) – d e l’autre, l’interv alle de l’ind ic e j devient j = − 1 , . . . , ℓ − 1 dans l’exp osan t de l’exp , h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k ( U z ) k k ! d k d z k H j ◦ T ( z )   + (2.111 ) − 1 b − 1  ( ℓ − 1 + 1) H ℓ − b +1 ◦ T ( z ) + z d d z H ℓ − b +1 ◦ T ( z )  (2.112 ) qui v aut (2.110) et comme ce dernier s’exprime en T ( z ) , nous d´ eduisons l’existence de J ℓ telle que J ℓ ◦ T ( z ) = (2.113 ) = h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k ( U z ) k k ! d k d z k H j ◦ T ( z )   + (2.114 ) − 1 b − 1  ( ℓ − 1 + 1) H ℓ − b +1 ◦ T ( z ) + z d d z H ℓ − b +1 ◦ T ( z )  . (2.115 ) En substituant T ( z ) par la v ariable t , on obtien t l’ ´ equation diﬀ ´ eren tielle du th ´ eor ` eme : 1 b − 1  ℓH ℓ ( t ) + t d d t H ℓ ( t )  = J ℓ ( t ) . (2.116 ) ♦ 28 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE Remarque 2.3.17. Une v arian te (plus bijectiv e) de la preuve de ce th´ eor` eme est que la d´ ecomp osition d ´ ecrite dans J ℓ se comprend grˆ ace aux stru ct ur es lisses : les s tructures obten ues p ar le m a rqu ag e de sommets dans u ne comp osan te p euv en t ˆ etre class ´ ees en des comp osan tes lisses. Bref, z k d k d z k H j ◦ T ( z ) s ’e xpr ime en fonction de T ( z ) . 2.3.5 R´ esolution de la r´ ecurrence des SGEs H ℓ Ainsi, nous disp osons, dans le th´ eor` eme 2.3.16 , d’un e r´ ecurr e nce d es SGEs H ℓ des comp osan tes lisses d’exc ` es ℓ sous la forme d’un e ´ equation diﬀ´ erentie lle d’ordre un sui- v ante : 1 b − 1  ℓH ℓ ( t ) + t d d t H ℓ ( t )  = J ℓ ( t ) , (2.117 ) a v ec J ℓ d ´ eﬁn i ` a partir de (2.105) . Dans cette sous-section, nous r ´ esolv ons ces ´ equations diﬀ ´ erentie lles it ´ erativ ement en l’exc ` es ℓ . ` A partir de l` a p eut se faire l’automatisa tion du calcul d es SGEs H ℓ des comp osan tes lisses d’exc ` es ℓ ≥ 0 . La solution est uniquement d ´ etermin´ ee en consid ´ eran t la condition initiale H ℓ ( t ) | t =0 = 0 . (2.118 ) Adoptons la notatio n, rencon tr ´ ee dans la remarqu e 2.2.21 , θ ( t ) = 1 − τ ( t ) . (2.119 ) Remarque 2.3.18. Le c hoix de ﬁxer cette notation, bien qu e θ n ’a dmette pas de lecture com binatoire directe , s’est impos´ e ` a partir d e l’article [22] pu is, ` a posteriori, parce qu’il est commo de de manipuler les p olynˆ omes de Laur en t f ℓ de la remarque 2.2.21 p our d ´ eﬁ nir les SGEs H ℓ . Notons to ut de mˆ eme que les s ´ er ie s, en t , 1 /θ ( t ) et (1 − θ ( t )) admettent c hacune une lecture com bin a toire ` a partir desquelles les SGEs exprim´ ees a v ec θ ( t ) p euv en t ˆ etre comprises. Rapp elons la d´ eﬁn it ion des f ℓ . D ´ eﬁnition 2.3.19. f ℓ est un p olynˆ ome de Laurent d ´ eﬁn i par l’inte rm´ ediaire du S GE H ℓ : H ℓ ( t ) = f ℓ ◦ θ ( t ) t ℓ . (2.120 ) Remarque 2.3.20. L’ ´ equation homog ` ene asso ci ´ ee ` a (2.117) admet p our s o lution C ste /t ℓ . Ce qui n o us sugg` ere d e trouv er un e solution sous la f o rme H ℓ ( t ) = g ℓ ( t ) t ℓ . (2.121 ) Cette forme d ´ ecoule aussi de (2.12 0 ) . P ar le lemme 2.2.19 , 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 29 Remarque 2.3.21. Les comp osan tes d’exc ` es j a y ant k sommets marqu´ es admetten t u ne SGE qui s’ ´ ecrit sous la forme z k k ! d k d z k H j ◦ T ( z ) = f j k ◦ θ ◦ T ( z ) T ( z ) j , (2.122 ) a v ec f j k un p olynˆ ome de Laur en t. En particulier, f j, 0 = f j . Exemple 2.3.22. P our les h yp erarbres, la forme de l’ ´ ecriture de la d´ eﬁnition 2.3.19 est v alide : H − 1 ( t ) = t  b − 1 + θ ( t ) b  , (2.123) soit f − 1 ◦ θ ( t ) = b − 1 + θ ( t ) b . (2.12 4) C’est le seul d es f j de degr ´ e minimum p ositif (ici, ce degr´ e est nul) . Con ve nons d e noter les p olynˆ omes de Lauren t f j k a v ec la v ariable x , alors en ´ ev aluant d d z { d k d z k H j ◦ T ( z ) } par d´ eriv ation de fonctions comp os ´ ees sac han t (2.73) f j,k +1 ( x ) = − ( b − 1) f j k ′ ( x ) x + ( b − 1) f j k ′ ( x ) − j f j k ( x ) x − k f j k ( x ) . (2.125 ) Remarque 2.3.23. L a d´ etermination r´ ecursiv e de f ℓ . C omme J ℓ ( t ) = (2.126 ) = h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k U k f j k ◦ θ ( t ) t j   + (2.127 ) − 1 b − 1  ( ℓ − 1 + 1) f ℓ − b +1 , 0 ◦ θ ( t ) t ℓ − b +1 + f ℓ − b +1 , 1 ◦ θ ( t ) t ℓ − b +1  (2.128 ) = 1 t ℓ − b +1 h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k U k f j k ◦ θ ( t )   + (2.129 ) − ( 1 b − 1 ) (( ℓ − 1 + 1) f ℓ − b +1 , 0 ◦ θ ( t ) + f ℓ − b +1 , 1 ◦ θ ( t )) t ℓ − b +1 . (2.130) Et comme en n ot ant H ℓ sous la forme (2.12 1 ) , l’ ´ equation d iﬀ ´ eren tielle (2.117) devient 1 b − 1 g ℓ ′ ( t ) t ℓ − 1 = J ℓ ( t ) , (2.131 ) soit g ℓ ′ ( t ) = ( b − 1) t ℓ − 1 J ℓ ( t ) . (2.132 ) 30 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE Nous aurons g ℓ ′ ( t ) = (2.133 ) = ( b − 1) t b − 2 h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k U k f j k ◦ θ ( t )   + (2.134 ) − ( b − 1) t b − 2 (( ℓ − 1 + 1) f ℓ − b +1 , 0 ◦ θ ( t ) + f ℓ − b +1 , 1 ◦ θ ( t )) b − 1 (2.135 ) = − ( b − 2)! d θ ( t ) d t h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k U k f j k ◦ θ ( t )   + (2.136 ) − ( b − 2)! d θ ( t ) d t (( ℓ − 1 + 1) f ℓ − b +1 , 0 ◦ θ ( t ) + f ℓ − b +1 , 1 ◦ θ ( t )) b − 1 (2.137 ) car d θ ( t ) = − ( b − 1) t b − 2 ( b − 2)! d t . (2.138 ) En iden tiﬁant θ ( t ) = θ , g ℓ ′ ( t )d t = ( 2.139) = − ( b − 2)! h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k U k f j k ( θ )   d θ + (2.14 0) − ( b − 2)! (( ℓ − 1 + 1) f ℓ − b +1 , 0 ( θ ) + f ℓ − b +1 , 1 ( θ )) b − 1 d θ . (2.141 ) Ce qui, par in t ´ egration, en prenant la solution qui v ´ eriﬁe f ℓ (1) = 0 , d´ etermine f ℓ ◦ θ ( t ) = g ℓ ( t ) . (2.142 ) Nous p ouvons maint enant r´ esumer la r´ esolution d e la r ´ ecurrence dans le th´ eor ` eme suiv an t : Th´ eor ` eme 2.3.24. L a SGE H ℓ des c omp osantes lisses d’exc` es ℓ ≥ 0 est d´ etermin´ ee r ´ ecursivement sous la forme H ℓ ( t ) = f ℓ ◦ θ ( t ) t ℓ , (2.143 ) ave c f ℓ, 0 ( x ) = f ℓ ( x ) = Z x 1 ˆ J ℓ ( u )d u , (2.144 ) o` u ˆ J ℓ ( u ) = (2.145 ) = − ( b − 2)! h U b Cyc ℓ +1 i exp   b X k =1 ℓ − 1 X j = − 1 Cyc j + k U k f j k ( u )   + (2.146) − ( b − 2)! (( ℓ − 1 + 1) f ℓ − b +1 , 0 ( u ) + f ℓ − b +1 , 1 ( u )) b − 1 , (2.147 ) 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 31 ave c f j,k +1 ( x ) = − ( b − 1) f j k ′ ( x ) x + ( b − 1) f j k ′ ( x ) − j f j k ( x ) x − k f j k ( x ) . (2.148 ) Notons en p articulier qu e f − 1 , 1 ( x ) = 1 . P ar ce th´ eor ` eme, il est naturel de d´ eterminer le s f ℓ sous forme d e p olynˆ ome d e Laurent, une f o rme simple qui n ’a dmet pas d e lecture combinatoi re ` a premi ` ere vue. Dans la sous- section su iv an te, nous montrons commen t automatiser la d ´ etermination d e H ℓ sous la forme (2.22) a v ec laquelle nous disp osons d’u ne lecture com binatoire. 2.3.6 Mise en forme des SGEs H ℓ Av ant d e donner les premiers exemp le s des SGEs H ℓ , n ous donn o ns deux identi t ´ es com binatoires qui p ermetten t de mettre les SGEs H ℓ sous la forme de l’´ equation (2.22) . Lemme 2.3.25. Pour j, a ∈ I N ∗ (donc j + a > 0 ) , 1 θ j = j − 1 X i =0  j + a i  (1 − θ ) j + a − i θ j − i + a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) a − i . ( 2.149) Lemme 2.3.26. Si a − j ≥ 0 alors θ j = a X i =0  a − j − i − 1 − j − 1  (1 − θ ) a − i , (2.150 ) o` u si k ∈ I N et t ∈ Z Z alors  t k  =  t t − k  = t ( t − 1) · · · ( t − k + 1) k ! . (2.151 ) Les preuves de ces deux lemmes sont donn´ ees en ann exe. P ar ces deux iden tit ´ es pr´ esen t ´ ees dans ces d e ux lemmes, les d eux formes des S GEs H ℓ se d ´ eduisent l’une d e l’autre. Rapp elons ici ces deux formes : • av ec f ℓ un p olynˆ ome de Laur en t, n o us a v ons u ne forme pratique, H ℓ ( t ) = f ℓ ◦ θ ( t ) t ℓ (2.152 ) • ` a partir de (2.22 ) , nous a v ons une forme com binatoire, H ℓ ( t ) = (1 − θ ( t )) r ℓ t ℓ 3 ℓ X p =0 A ℓ,p  1 − θ ( t ) θ ( t )  p (2.153 ) sac han t τ ( t ) = 1 − θ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! . 32 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE La forme pratique se d ´ edu it de la forme com binatoire d irect ement en d´ ev eloppan t l’ex- pression de la f o rme com binatoire : H ℓ ( t ) = 1 t ℓ r ℓ X j = − 3 ℓ c j ( ℓ, b ) θ ( t ) j , (2.154 ) a v ec r ℓ = ⌊ ℓ + 1 b − 1 + 1 ⌋ . (2.155 ) Et la forme com binatoire se d´ eduit d e la forme pratique en utilisan t les lemmes a v ec la v aleur a = r ℓ p our r´ eexprim e r les θ ( t ) j . Remarque 2.3.27. Dans ce qui su it, d a ns le cas des graphes, c’est ` a dire si b = 2 , nous adoptons la notation W ℓ = H ℓ de W r ig ht p our les s´ er ie s g´ en´ eratrices des comp osan tes d’exc ` es ℓ . D ´ eﬁnition 2.3.28. Notons X la SGE des c ha ˆ ınes non vide X ( t ) = 1 − θ ( t ) θ ( t ) . (2.156) Nous sommes main tenant en mesure de d o nn er les SGEs H ℓ des comp osan tes d’exc ` es ℓ : Th´ eor ` eme 2.3.29. L a SGE H − 1 ◦ T ( z ) des hyp er arbr es non enr acin´ es est tel le que : H − 1 ( t ) = t − ( b − 1) t b b ! = t  b − 1 + θ ( t ) b  . (2.157 ) Th´ eor ` eme 2.3.30. L a SGE H 0 ◦ T ( z ) des hyp er c yc les est tel le que : – si b = 2 (p our les gr aphes) W 0 ( t ) = − ln  p θ ( t )  − 1 − θ ( t ) 2 − (1 − θ ) 2 4 , (2.158 ) W 0 ( t ) = − ln  √ 1 − t  − t 2 − t 2 4 . (2.159 ) – si b ≥ 3 H 0 ( t ) = − ln  p θ ( t )  − 1 − θ ( t ) 2 . ( 2.160) Th´ eor ` eme 2.3.31. L a SGE H 1 ◦ T ( z ) des c omp osantes d’exc` e s 1 est tel le que : – si b = 2 (p our les gr aphes) W 1 ( t ) = 5 t 5 24(1 − t ) 3 + t 4 4(1 − t ) 2 . (2.161 ) – si b = 3 H 1 ( t ) = (1 − θ ( t )) 2 t  5 6 X ( t ) 3 + 19 12 X ( t ) 2 + 5 6 X ( t )  . (2.162 ) 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 33 – si b ≥ 4 H 1 ( t ) = 1 − θ ( t ) t  5( b − 1) 2 X ( t ) 3 24 + (2.163 ) + (7 b − 12)( b − 1) X ( t ) 2 24 + ( b − 2) 2 X ( t ) 12  . (2.164 ) Th´ eor ` eme 2.3.32. L a SGE H 2 ◦ T ( z ) des c omp osant es d’exc` es 2 est tel le que : – si b = 2 (p our les gr aphes) W 2 ( t ) = 5 t 8 16(1 − t ) 6 + (2.165 ) + 55 t 7 48(1 − t ) 5 + 73 t 6 48(1 − t ) 4 + 3 t 5 4(1 − t ) 3 + t 4 24(1 − t ) 2 . (2.166 ) – si b = 3 H 2 ( t ) = (1 − θ ( t )) 2 t 2  5 X ( t ) 6 + 55 3 X ( t ) 5 + (2 .167) + 307 12 X ( t ) 4 + 199 12 X ( t ) 3 + 9 2 X ( t ) 2 + 1 6 X ( t )  . (2.168 ) – si b = 4 H 2 ( t ) = (1 − θ ( t )) 2 t 2  405 16 X ( t ) 6 + 405 4 X ( t ) 5 + (2.169) + 315 2 X ( t ) 4 + 118 X ( t ) 3 + 2017 48 X ( t ) 2 + 17 3 X ( t )  . (2.170) – si b ≥ 5 H 2 ( t ) = 1 − θ ( t ) t 2  5( b − 1) 4 X ( t ) 6 16 + (2.171) + 5(11 b − 17)( b − 1) 3 X ( t ) 5 48 + (2.172 ) + (2 b − 3)(38 b − 65)( b − 1) 2 X ( t ) 4 48 + ( 2.173) + ( b − 1)(48 b 3 − 244 b 2 + 411 b − 229) X ( t ) 3 48 + (2.174 ) + ( b − 2) 2 (13 b 2 − 44 b + 35) X ( t ) 2 48 + ( b − 2) 2 ( b − 3) 2 X ( t ) 48  . (2.175) Th´ eor ` eme 2.3.33. L a SGE H 3 ◦ T ( z ) des c omp osant es d’exc` es 3 est tel le que : – si b = 2 (p our les gr aphes) W 3 ( t ) = 1105 t 11 1152( 1 − t ) 9 + 395 t 10 72(1 − t ) 8 + 15131 t 9 1152( 1 − t ) 7 + (2.176 ) + 2399 t 8 144(1 − t ) 6 + 8303 t 7 720(1 − t ) 5 + 557 t 6 144(1 − t ) 4 + 3 t 5 8(1 − t ) 3 . (2.177 ) 34 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE – si b = 3 H 3 ( t ) = (1 − θ ( t )) 3 t 3  1105 18 X ( t ) 9 + 4565 12 X ( t ) 8 + (2.178) + 72793 72 X ( t ) 7 + 35963 24 X ( t ) 6 + 19370 21 1440 X ( t ) 5 + (2.179 ) + 7397 10 X ( t ) 4 + 42701 180 X ( t ) 3 + 4553 120 X ( t ) 2 + 41 24 X ( t )  . (2.180 ) – si b = 4 H 3 ( t ) = (1 − θ ( t )) 3 t 3  89505 128 X ( t ) 9 + 74925 16 X ( t ) 8 + (2.181 ) + 21743 1 16 X ( t ) 7 + 71351 1 32 X ( t ) 6 + 14467 311 640 X ( t ) 5 + (2.182 ) + 58007 3 40 X ( t ) 4 + 41542 79 720 X ( t ) 3 + 59588 45 X ( t ) 2 + (2.183 ) + 2641 18 X ( t ) + 79 18  . (2.184 ) – si b = 5 H 3 ( t ) = (1 − θ ( t )) 2 t 3  35360 9 X ( t ) 9 + 21028 0 9 X ( t ) 8 + (2.185) + 53242 6 9 X ( t ) 7 + 82729 X ( t ) 6 + 83032 67 120 X ( t ) 5 + (2.186) + 12565 331 360 X ( t ) 4 + 48511 07 480 X ( t ) 3 + 46821 32 X ( t ) 2 + (2.187 ) + 291 4 X ( t )  . (2.188 ) – si b ≥ 6 H 3 ( t ) = 1 − θ ( t ) t 3  1105( b − 1) 6 X ( t ) 9 1152 + (2.189) + 5(1259 b − 1922)( b − 1) 5 X ( t ) 8 1152 + (2.190) + ( b − 1) 4 (15106 b 2 − 47108 b + 3 6643) X ( t ) 7 1152 + (2 .191) + ( b − 1) 3 (9867 b 3 − 47368 b 2 + 75592 b − 40080) X ( t ) 6 576 + (2.192) + ( b − 1) 2 (75529 b 4 − 499564 b 3 + 1234860 b 2 − 1351152 b + 5 51736) X ( t ) 5 5760 + (2.193) + ( b − 1)(33791 b 5 − 291742 b 4 + 1002991 b 3 − 1715000 b 2 + 1457088 b − 491520) X ( t ) 4 5760 + (2 .194) + ( b − 2) 2 (2056 b 4 − 14424 b 3 + 37353 b 2 − 42148 b + 17404) X 3 1440 + (2.195) + ( b − 2) 2 (56 b 4 − 514 b 3 + 1753 b 2 − 2623 b + 1444) X ( t ) 2 360 + (2.196) + ( b − 2) 2 ( b − 3) 2 ( b − 4) 2 X ( t ) 240  . (2.197) 2.3. ´ ENUM ´ ERA TION R ´ ECURSIVE 35 Remarque 2.3.34. L e s SGEs H ℓ des comp osan tes lisses d ’exc ` es ℓ p our b ≥ ℓ + 3 ad- metten t une mˆ eme expression fonction de b . Lemme 2.3.35. L es f j k de la r emar que 2.3.21 sont des p olynˆ omes de L aur ent de de gr ´ e minimum ´ eg al ` a  − (3 j + 2 k ) − 1 si ( j, k ) = ( − 1 , 1) − (3 j + 2 k ) si ( j, k ) 6 = ( − 1 , 1) . (2.198 ) Pr e uve. La preuve est imm´ ediate par la r ´ ecurr ence des f j k du th ´ eor ` eme 2.3.2 4 . ♦ Lemme 2.3.36. Consid´ er ons les famil les de c omp osantes d’exc` es j i et ayant k i sommets mar qu´ es, − 1 ≤ j i ≤ ℓ − 1 et 1 ≤ k i ≤ b , c omp osantes qui se r e c ombinent en c omp osante b -uniforme d’exc` es ℓ et sans hyp er ar ˆ e te multiple. Seules les famil les ayant exactement ( b − 2) hyp er arbr es enr acin´ es su ﬃsent ` a la d´ etermination du c o eﬃcient du terme de de gr ´ e minimum − 3 ℓ de f ℓ . E t c es famil les ave c c el les ayant exactement ( b − 3) hyp er arbr es enr acin´ es suﬃsent ` a la d´ etermination du c o eﬃcie nt du terme de de gr ´ e ( − 3 ℓ + 1) de f ℓ . Pr e uve. Notons p a r m − 1 , 1 le nom br e de h yp erarbres d’un e famille ﬁx ´ ee. Alors le d e gr´ e minim um des termes (dans f ℓ ) li ´ ees ` a la famille consid ´ er´ ee est − X i (3 j i + 2 k i ) − m − 1 , 1 − 1 = − (3 ℓ + 3) + ( b − m − 1 , 1 ) − 1 , (2.199 ) d’apr ` es le lemme pr´ ec´ edent et la d´ ecomp osition relat ´ ee dans l’expression ˆ J du th ´ eor ` eme 2.3.24 . ♦ Ce dern ie r lemme nous p ermet d ’e xpliciter les deux pr emie rs co eﬃcie nts d e f ℓ ` a sa v oir celui du terme de d e gr´ e resp ectiv emen t − 3 ℓ puis ( − 3 ℓ +1) p our les comp osan tes complexes ( ℓ ≥ 1) . Notre motiv ation p our mieux insp ecter ces co eﬃcien ts vien t de leur imp ortance dans la litt ´ erature p our faire de l’ ´ enum ´ eration asymp to tique comme soulign´ e dans [28, page 42] : le premier co eﬃcien t est li´ e ` a ce qui est aussi d´ en o mm´ e co eﬃcie nt de W right- Stepano v e (voi r [4]) ou encore co eﬃcie nt d e W right- T ak´ acs-Louc hard et son expression asymptotique a fait l’ob jet d ’ ´ etude [6, 7] p ermettan t alors d’obtenir des ´ en um´ er a tions de comp osan tes d ’exc ` es tendant ve rs l’inﬁ ni a ve c le nombre d e sommets [24] . Th´ eor ` eme 2.3.37. L a SGE H ℓ des c omp osantes d’exc` es ℓ ≥ 1 e st tel le que : H ℓ ( t ) = 1 t ℓ    λ ℓ ( b − 1) 2 ℓ 3 ℓθ ( t ) 3 ℓ − ( κ ℓ − ν ℓ ( b − 2))( b − 1) 2 ℓ − 1 (3 ℓ − 1) θ ( t ) 3 ℓ − 1 + ⌊ ℓ +1 b − 1 +1 ⌋ X j = − 3 ℓ +2 c j ( ℓ, b ) θ ( t ) j    , (2 .200) ave c λ 0 = 1 2 (2.201 ) λ ℓ = 1 2 λ ℓ − 1 (3 ℓ − 1) + 1 2 ℓ − 1 X p =0 λ p λ ℓ − 1 − p p our ℓ = 1 , 2 . . . (2.202 ) 36 CHAPITRE 2. ´ ENUM ´ ERA TION E XACTE ν 1 = 1 3! + 1 2! λ 0 (2.203 ) ν ℓ = + 1 6 ℓ − 2 X s =0 ℓ − 2 − s X p =0 λ s λ p λ ℓ − 2 − s − p (2.204 ) + 1 2 λ ℓ − 1 + 1 2 ℓ − 2 X p =0 (3 p + 2) λ p λ ℓ − 2 − p (2.205 ) + 1 6 (3 ℓ − 4)(3 ℓ − 2) λ ℓ − 2 p our ℓ = 2 , 3 , . . . , (2.206 ) soit µ 0 tel q u e : µ 0 = b − 1 (2.20 7) alors κ ℓ = 1 2 ((3 ℓ − 2) µ ℓ − 1 + (3 bℓ − b − 2 ℓ ) λ ℓ − 1 ) + ℓ − 1 X p =0 µ p λ ℓ − 1 − p , (2.208 ) o` u µ ℓ est ` a c alculer au b esoin µ ℓ = κ ℓ − ν ℓ ( b − 2) + λ ℓ ( b − 2 3 ) p our ℓ = 1 , 2 . . . (2.209 ) (Notons que κ ℓ = κ ℓ ( b ) ) . Dans ce c hapitre, nous a v ons ob t enu des ´ en um´ erations explicites des hyp erarbres enracin ´ es (d o nc auss i de ceux non enracin´ es) , d es forˆ ets de ( k + 1) hyp erarbres enracin ´ es (donc par d´ eduction des for ˆ ets d’h yp erarbres e nr a cin´ es) et des h yp ercycles. La complexit ´ e rencon tr´ ee dans les expressions des ´ en um´ erations exp li cites nous a men´ e ` a expliciter non pas le n o mbre mˆ eme des comp osan tes d ’e xc` es donn´ e, mais leur s´ erie g ´ en´ eratrice via la notion d e s comp osan tes lisses, et p ermettre ainsi de pr oc ´ eder ` a l’´ enum ´ eration en utilisan t la formule d’in v ersion de Lagrange. Si la d´ etermination des S GEs a pu ˆ etre automatis ´ ee grˆ ace entre autre ` a la grande expressivit ´ e des S GEs p our d´ ecrire des d´ ecomp osit ions des stru ct ur e s ` a ´ en um´ er e r, la complexit ´ e des expressions explicites n o us force ` a p r ´ ef ´ erer des ´ equiv alents asymptotiques. L’ ´ enum ´ eration asymptotique est trait ´ ee d ans le c hapitre suiv an t. Chapitre 3 ´ En um ´ eration asymptotiq ue Dans ce c hapitre, notre but est de fournir un ´ equiv ale nt asymptotique du nom br e de comp osan tes d’exc ` es ℓ quand la taille , c’est ` a dire le nombre d e s o mmets, est grande. Notre motiv ation vient , d’une part, de la diﬃcult ´ e du calcul du nombre exact p our des comp osan tes de grande taille, et d’autre part, de la connaissance des S GEs des comp o- san tes lisses p ermettan t d e faire de l’estimation asymptotique via la formule d’inv ersion de Lagrange, la f o rmule int ´ egrale de Cauc h y en analyse complexe et, ici, notammen t p ar la m ´ etho de du p o int col p our obtenir nos r´ esultats. Les notions relativ es ` a l’utilisation des s ´ eries g´ en´ eratrices p our l’ ´ en um´ eration asymptotique apparaissent dans [26], en particulier ici les r´ esultats asym ptot iques s o nt obten us via la m´ etho de du p oin t col - v oir [15, 8] p our plus de pr ´ ecisions sur les m ´ etho des asymptotiques. Le plan de ce c hapitre est le s uiv an t : nous commen¸ cons par l’ ´ enum ´ eration asympto- tique des h yp erarbres e nr a cin´ es, p uis encha ˆ ın o ns av ec celle des h yp ercycles e t d´ emont rons un encadrement des co eﬃcie nts [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) , ℓ ≥ 1 , p our ﬁ nale ment apr ` es ´ etablir le nom bre asymptotique des comp osan tes complexes d’exc ` es donn´ e. 3.1 ´ En um ´ eration asymptotique des h yp erarbres Dans cette section, ´ etan t vue l’imp ortance des hyp erarbres enracin ´ es p our l’ ´ en um´ er- ation exacte des h yp ergraphes, nous pro c ´ edons ` a l’ ´ enum ´ eration asymp to tique d e ces com- p osan tes les plus s imples. La m ´ etho de d u p oin t col, p our f a ire de l’ ´ enum ´ eration asympto- tique, est ici illustr ´ ee et v alid ´ ee parce que le r ´ esultat s e v ´ eriﬁe au ssi par une autre preuve : via la form ule de Stirlin g , connaissant l’expr essio n d u nombre des hyp erarbres enracin´ es ` a un nom bre de sommets donn ´ e. Nous commen¸ cons par un exemple, en ﬁ xan t la v aleur d e b = 3 , et d´ eterminons le d´ ev elopp emen t asymp to tique d es co eﬃcien ts d e la SGE des hyp erarbres enr ac in´ es 3- uniformes. Prop os ition 3.1.1. L e nombr e des hyp er arbr es 3 -uniformes e nr acin´ es ayant (2 s + 1) sommets e st d´ etermin´ e ` a p artir du c o eﬃcient de z 2 s +1 du d´ evelopp ement de la SGE T 3 ( z ) = z exp  T 3 ( z ) 2 2  . (3.1) 37 38 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE Ce c o eﬃcient admet le d´ eve lopp ement asympto tique, quand ( s → ∞ ) , suivant  z 2 s +1  T 3 ( z ) = e s +1 / 2 2 s √ 2 π s  1 − 17 24 s + 481 1152 s 2 − 96133 41472 0 s 3 + . . .  . (3.2) Pr e uve. (Via Stirling) P ar le corollaire 2.2.4 , le nom bre des hyp erarbres 3-uniformes en- racin ´ es ay an t s h yp erar ˆ etes et n = n ( s ) = 2 s + 1 sommets est n ! 2 s s ! n s − 1 = n ! 2 s s ! (2 s + 1) s − 1 . (3.3 ) Le co e ﬃcient d e z 2 s +1 de la S GE T 3 ( z ) est d onc  z 2 s +1  T 3 ( z ) = (2 s + 1) s − 1 2 s s ! . (3.4) P ar l’expansion de Stirling nous obtenons  z 2 s +1  T 3 ( z ) = (1 + 1 2 s ) s − 1 e s 2 s √ 2 π s 1  1 + 1 12 s + 1 288 s 2 − 139 51840 s 3 − . . .  . (3.5 ) Comme (1 + 1 2 s ) s − 1 = e 1 / 2  1 − 5 8 s + 139 384 s 2 − 207 1024 s 3 + . . .  (3.6) nous obtenons l’expansion asymptotique du co eﬃcien t z 2 s +1 de T 3 ( z ) suiv ant  z 2 s +1  T 3 ( z ) = e s +1 / 2 2 s √ 2 π s  1 − 17 24 s + 481 1152 s 2 − 96133 41472 0 s 3 + . . .  . (3.7) ♦ Nous retrouvons un e v ersion de cette prop osition 3.1.1 via la formule d’inv ersion d e Lagrange et via la formule int ´ egrale de Cauc hy : Prop os ition 3.1.2. L e nombr e des hyp er arbr es 3 -uniformes e nr acin´ es ayant (2 s + 1) sommets est d´ etermin´ e ` a p artir du c o eﬃcie nt de z 2 s +1 du d ´ evelopp ement de la SGE T 3 ( z ) d ´ eﬁnie p ar l’´ equation (3.1) . Ce c o e ﬃcient est, p our ( s → ∞ ) , tel que  z 2 s +1  T 3 ( z ) = exp( s + 1 / 2) √ π (2 s + 1) 3 / 2  1 + O ( 1 (2 s + 1) 1 / 6 )  . (3 .8) Pr e uve. (M ´ etho de du p oin t col) P ar la d ´ eﬁn it ion imp lic ite ( 3.1) de la SGE T 3 ( z ) , la formule d’in ve rsion d e Lagrange donne :  z 2 s +1  T 3 ( z ) = 1 2 s + 1  t 2 s  exp  ( s + 1 / 2) t 2  . (3.9) Dans le s e cond mem bre d e cet te ´ equation, en extra ya nt le co e ﬃcient de t 2 s par la formule in t ´ egrale de Cauc h y , nous trouv ons  z 2 s +1  T 3 ( z ) = 1 2 iπ (2 s + 1) I exp  ( s + 1 / 2) t 2  t 2 s +1 d t , (3.10) 3.1. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES HYPERARBRES 39 o ` u le con tour in t ´ egral en c ercle l’origine du plan complexe. Ainsi, le co eﬃci ent de la SGE s’ ´ ecrit  z 2 s +1  T 3 ( z ) = 1 2 iπ (2 s + 1) I exp  ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))  d t . (3.11) Le param ` etre s , qu i d ´ enombre les hyp e rarˆ etes, est destin´ e ` a tendre v ers l’inﬁn i. Nous soup¸ conn o ns dans l’ ´ equation pr´ ec ´ eden te un context e dans lequel la m´ etho de du p oint col p eut ˆ etre appliqu ´ ee. Notons que la d ´ eriv ´ ee de l’exp o sant dans l’int ´ egrande de l’ ´ equation s’ann ule en deux p oin ts t = ± 1 : d d t ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 )) = 2( s + 1 / 2)( t − 1 t ) . (3.12) Nous pr e nons alors comme con tour in t ´ egral le carr´ e cen tr ´ e en 0 , aux cˆ ot ´ es parall ` eles aux axes et de d ia gonale 2 √ 2 . Ce carr ´ e passe par les p oin ts cols t = ± 1 . Dans la ﬁgure 3.1 , en r epr ´ esen tan t quand t pr e nd ses v aleurs sur ce con tour la v ale ur d e la partie r´ eelle de ( t 2 − ln ( t 2 )) , nous vo yons q ue quand s est grand la con tribution, d a ns le mo dule de l’in t ´ egrande, des piques aux deux p oin ts cols est tr ` es accen tu ´ ee, alors deux v oisinages limit ´ es autour de c hacun des p oin ts cols suﬃront p our capturer l’asymptotique du coeﬃcient rec herc h´ e. Notons l’ ´ equation param ´ etrique du carr´ e γ 1, v, 1**2-v**2-ln(1**2+v**2) -1, v, 1**2-v**2-ln(1**2+v**2) u, 1, u**2-1**2-ln(u**2+1**2) u, -1, u**2-1**2-ln(u**2+1**2) 1, v, -1 -1, v, -1 u, 1, -1 u, -1, -1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Fig. 3.1 – La v ale ur de ℜ ( t 2 − ln( t 2 )) sur le conto ur carr´ e c hoisi. γ :        γ 1 : t = 1 + iv , v ↑∈ [ − 1 , 1] γ − 1 : t = − 1 + iv , v ↓∈ [ − 1 , 1] γ i : u + i , u ↓∈ [ − 1 , 1] γ − i : u + i , u ↑∈ [ − 1 , 1] . (3.13) 40 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE Soit ˆ γ 1 un v oisinage de t = 1 du chemin γ 1 . Pour av oir l’ordre de grandeur, n ous appro- c hons, dans l’in t ´ egrande, l’exp osa nt par ℜ (( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))) = ℜ (( s + 1 / 2)(1 + 2( t − 1) 2 + O (( t − 1) 4 ))) . (3.14) Nous consid ´ erons alors l’in t ´ egrale I 1 = 1 2 iπ (2 s + 1) Z ˆ γ 1 exp  ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))  d t (3.15) = exp( s + 1 / 2) 2 iπ (2 s + 1) Z ˆ γ 1 exp  ℜ ((2 s + 1)(( t − 1) 2 + O (( t − 1) 4 )))  d t . (3.16) En eﬀet, av ec le c hangemen t de v ariable ( t = 1 + ir √ 2 s +1 d t = i √ 2 s +1 d r , (3.17) nous a v ons I 1 = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2 Z κ s − κ s exp  − r 2 + O ( r 4 (2 s + 1) )  d r (3.18) = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2 Z κ s − κ s exp  − r 2  (1 + O ( r 4 (2 s + 1) ))d r (3.19) = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2  Z κ s − κ s exp  − r 2  d r + Z κ s − κ s exp  − r 2  O ( r 4 (2 s + 1) )d r  . (3 .20) r ´ etant une v ariable r´ eelle, Z κ s − κ s exp  − r 2  O ( r 4 (2 s + 1) )d r = Z κ s − κ s O ( r 4 (2 s + 1) )d r (3.21) = O ( κ s 5 (2 s + 1) ) . (3.22) Ainsi, sur la p ortion ˆ γ 1 du c hemin γ 1 , appro c her l’exp o sant p ermet d’a v oir I 1 = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2  Z κ s − κ s exp  − r 2  d r + O ( κ s 5 (2 s + 1) )  . (3.23) Comme Z ∞ κ s exp( − r 2 )d r ≤ Z ∞ κ s exp( − κ s r )d r (3.24) ≤ 1 κ s Z ∞ κ s 2 exp( − r )d r (3.25) = O ( exp( − κ s 2 ) κ s ) , (3.26) 3.1. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES HYPERARBRES 41 en prenan t κ s = (2 s + 1) 1 / 6 p our d´ eﬁn ir ˆ γ 1 , nous tr o uvons sur ce c hemin I 1 = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2  Z ∞ −∞ exp  − r 2  d r + O ( 1 (2 s + 1) 1 / 6 )  . (3.27) Nous y reconnaissons l’int ´ egrale de Gauss et p ouv ons ´ ecrire que I 1 = exp( s + 1 / 2) 2 √ π (2 s + 1) 3 / 2  1 + O ( 1 (2 s + 1) 1 / 6 )  . (3.28) Des lignes d e p reuv e similaires s’app li quent p our la p ortion γ − 1 du contour. S ur cette p ortion, en pr enan t le v oisinage ˆ γ − 1 cen tr ´ e sur le p oin t col − 1 et de longueur deux fois κ s , qui p eut ˆ etre pr is ´ egale ` a (2 s + 1) 1 / 3 , l’exp osan t de l’in t ´ egrande p eut ˆ etre appro c h ´ e et nous obtenons I − 1 = 1 2 iπ (2 s + 1) Z ˆ γ − 1 exp  ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))  d t (3.29) = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2  Z κ s − κ s exp  − r 2  d r + O ( κ s 5 (2 s + 1) )  (3.30) = exp( s + 1 / 2) 2 √ π (2 s + 1) 3 / 2  1 + O ( 1 (2 s + 1) 1 / 6 )  . (3.31) Soit la p ortio n de γ 1 γ ′ 1 : t = 1 + iv , v ↑∈ [ κ s / √ 2 s + 1 , 1] . (3.32) Nous appro ximons l’exp osan t de l’int ´ egrande su r cette portion au p oin t t = 1+ iκ s / √ 2 s + 1 .     1 2 iπ (2 s + 1) Z γ ′ 1 exp  ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))  d t     = (3.33) ≤ 1 2 π (2 s + 1) Z 1 κ s / √ 2 s +1 exp  ( s + 1 / 2)( 1 − v 2 − ln(1 + v 2 ))  d v = (3.34 ) = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) Z 1 κ s / √ 2 s +1 exp  ( s + 1 / 2)( − 2 v 2 + O ( v 4 ))  d v = (3.35) = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2 Z √ 2 s +1 κ s exp  − r 2 + O ( r 4 (2 s + 1) )  d r = (3.36) = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2 Z √ 2 s +1 κ s exp  − r 2  (1 + O ( r 4 (2 s + 1) ))d r = (3.37) = exp( s + 1 / 2) 2 π (2 s + 1) 3 / 2 O ( exp( − κ s 2 ) κ s ) . (3.38) L’ordre de grandeur ci-dessus est v alide p our κ s = (2 s + 1) 1 / 6 et il souligne que, sur la p ortion de γ 1 , la con tribution de l’in t´ egrale est exp onen tiellemen t p etite en dehors de ˆ γ 1 . Soit la p ortio n de γ i γ ′ i : t = u + i, u ↓∈ [0 , 1] . (3.39) 42 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE Nous appro ximons l’exp osan t de l’in t ´ egrande sur cette p ortion au p oint t = 1 + i .     1 2 iπ (2 s + 1) Z γ ′ i exp  ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))  d t     = (3.40) ≤ 1 2 π (2 s + 1) Z 0 1 exp  ( s + 1 / 2)( u 2 − 1 − ln( u 2 + 1))  d v = (3 .41) = exp( − ( s + 1 / 2) ln (2 )) 2 π (2 s + 1) Z 0 1 exp  ( s + 1 / 2)( − (1 − u ) + O (( u − 1) 2 ))  d u = (3.42 ) = exp( − ( s + 1 / 2) ln (2 )) 2 π (2 s + 1) Z 0 1 exp  ( s + 1 / 2)( − r + O ( r 2 ))  d r = (3.43) = exp( − ( s + 1 / 2) ln (2 )) π (2 s + 1) 2 Z 0 s +1 / 2 exp  − r + O ( r 2 ( s + 1 / 2) )  d r = (3.44) = exp( − ( s + 1 / 2) ln (2 )) π (2 s + 1) 2 Z 0 s +1 / 2 exp( − r )( 1 + O ( r 2 ( s + 1 / 2) ))d r = (3.45) = O (exp( − ( s + 1 / 2) ln (2))) . (3.46) Ainsi, sur les p ortio ns γ i ∪ γ − i du con tour γ , la con tribution ` a l’asymptotique est exp o- nen tiellemen t p etit e : 1 2 iπ (2 s + 1) Z γ i ∪ γ − i exp  ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))  d t = O ( 1 2 s +1 / 2 ) . (3 .47) De m ˆ eme, s ur les p ortions ( γ 1 \ ˆ γ 1 ) ∪ ( γ − 1 \ ˆ γ − 1 ) d u cont our γ , la con tribution ` a l’asymp- totique est exp onen tiellemen t p etite par rapp ort ` a celle des p ortio ns limit ´ ees ˆ γ 1 ∪ ˆ γ − 1 : 1 2 iπ (2 s + 1) Z ( γ 1 \ ˆ γ 1 ) ∪ ( γ − 1 \ ˆ γ − 1 ) exp  ( s + 1 / 2)( t 2 − ln( t 2 ))  d t = (3.48) = exp( s + 1 / 2) (2 s + 1) 2 / 3 O ( exp( − (2 s + 1) 2 / 6 ) (2 s + 1) 1 / 6 ) . (3.49) Ces deux ordres de grandeu r ´ etan t exp onen tiellemen t p etits par rapp ort ` a la con tribution de l’in t ´ egrale s ur les p ortions ˆ γ 1 ∪ ˆ γ − 1 , l’in t ´ egrale sur le conto ur γ v aut  z 2 s +1  T 3 ( z ) = exp( s + 1 / 2) √ π (2 s + 1) 3 / 2  1 + O ( 1 (2 s + 1) 1 / 6 )  . (3.50) ♦ La m ´ etho de du point col, p o ur l a d ´ emonstration de cette prop osition, p ermet aussi d’a v oir un d ´ eve lopp emen t asymp to tique complet du co eﬃcien t  z 2 s +1  T 3 ( z ) . Notons qu e dans les deux prop ositions, le terme principal est iden tique m a is l’ ´ echell e asymptotique est diﬀ ´ erente : par l’expansion de Stirling, l’ ´ ec helle est plus pr´ ecise car c’est en 1 /s , et p ar la m ´ etho de du p oin t col, l’´ ec helle est, ` a priori, en 1 /s 1 / 6 . La prop osition 3.1.2 est un cas particulier du th´ eor` eme suiv an t : 3.1. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES HYPERARBRES 43 Th´ eor ` eme 3.1.3. L e nombr e des hyp er arbr es ( b -uniformes) enr acin ´ es ayant ( s ( b − 1) + 1) sommets e st d´ etermin´ e ` a p artir du c o eﬃcient de z s ( b − 1)+1 du d´ evelopp ement de la SGE T ( z ) = z exp  T ( z ) b − 1 ( b − 1)!  . (3.51) Ce c o eﬃcient e st, p our ( s → ∞ ) , tel q ue h z s ( b − 1)+1 i T ( z ) = exp  n b − 1  n [( b − 2)!] s √ 2 sπ  1 + O ( 1 s 1 / 6 )  , (3.52) ave c n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 . Pr e uve. La d ´ eﬁnition implicite (3.51) d o nn e, p a r la form ule d’inv ersion de Lagrange av ec la formule int ´ egrale de Cauch y , un e expression int ´ egrale du co eﬃcie nt  z s ( b +1)+1  de la SGE T ( z ) : [ z n ] T ( z ) = 1 2 iπ n I exp  n b − 1 t b − 1 ( b − 2)! − s ln( t b − 1 )  d t t , (3.53) a v ec n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 et a vec un con tour qui encercle l’origine du plan complexe. Cette formulatio n in t ´ egrale se simpliﬁe en adoptan t la notation τ ( t ) que nou s rap pelons ci-apr ` es τ ( t ) = t b − 1 ( b − 2)! . (3.54) En eﬀet, nous obtenons l’expression su iv an te du co eﬃcie nt [ z n ] T ( z ) = (3.55) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s I exp  τ ( t ) b − 1  exp ( s ( τ ( t ) − ln( τ ( t )))) d t t (3.56) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s ( b − 1) I exp  τ ( t ) b − 1  exp ( s ( τ ( t ) − ln( τ ( t )))) d τ ( t ) τ ( t ) . (3.57) Comme la d´ eriv ´ ee logarithmique de la fonction τ est d τ τ = ( b − 1) d t t , (3.58) τ d´ eﬁnit un changemen t de v ariable, et p our garder un conto ur simp le , il faut multiplier par ( b − 1) : [ z n ] T ( z ) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s I exp  τ b − 1  exp ( s ( τ − ln( τ ))) d τ τ , (3.59) soit, en gardan t la notatio n t ` a la place d e τ , [ z n ] T ( z ) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s I exp  t b − 1  exp ( s ( t − ln( t ))) d t t . (3.6 0) 44 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE Le param ` etre s dans l’exp osan t, nous indique que le p oin t col ` a consid ´ erer est t = 1, soit la s o lution de l’ ´ equation d d t ( t − ln ( t )) = 1 − 1 t = 0 . (3.61) P our le c hoix du con tour d’int ´ egration passant par ce p oin t col t = 1 , nous prenons un demi cercle “gauc h e” γ : γ :  γ 1 : t = 1 + iv , v ↑∈ [ − 2 , 2] γ 0 : t = 1 + 2 exp ( iα ) , α ↑∈ [ π / 2 , 3 π / 2] . (3.62) 1, v, 1-ln(1**2+v**2)/2 1+2*cos(u), 2*sin(u), 1+2*cos(u)-ln((1+2*cos(u))**2+(2*sin(u))**2)/2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fig. 3.2 – La v aleur d e ℜ ( t − ln( t )) sur le con tour (demi cercle gauc he) γ . Dans la ﬁ g ur e 3.2 , nous v o y ons qu e la contribution , p our le co eﬃci ent rec herc h ´ e de la SGE, d ans le mo dule de l’int ´ egrande sera tr` es accent u´ ee au p oin t col p our ( s → ∞ ) . Notons κ s tel que : ˆ γ 1 : t = 1 + iv , v ↑∈ [ − κ s , κ s ] . (3.63) La con tribution, au coeﬃcient, de l’in t ´ egrale sur cette p ortion de chemin de γ est I 1 = (3.64) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s Z ˆ γ 1 exp  t b − 1  exp ( s ( t − ln( t ))) d t t = (3.65) = exp( s + 1 / ( b − 1)) 2 iπ n [( b − 2)!] s Z ˆ γ 1 exp  s (( t − 1) 2 / 2 + O (( t − 1) 4 ))  d t , (3.66) soit, a v ec le c hangement d e v ariable ( t = 1 + ir √ 2 √ s d t = i √ 2 √ s d r , (3.67) 3.1. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES HYPERARBRES 45 I 1 = exp( s + 1 / ( b − 1)) π n [( b − 2)!] s √ 2 s Z κ s − κ s exp  − r 2 + O ( r 4 s )  d r (3.68) = exp( s + 1 / ( b − 1)) π n [( b − 2)!] s √ 2 s Z κ s − κ s exp( − r 2 )(1 + O ( r 4 s ))d r (3.69) = exp( s + 1 / ( b − 1)) π n [( b − 2)!] s √ 2 s  Z κ s − κ s exp( − r 2 )d r + Z κ s − κ s O ( r 4 s )d r  . (3.70) Ainsi, sur la p ortion ˆ γ 1 , ap procher l’exp osan t donne l’ordre de grandeur de l’int ´ egrale : I 1 = exp( s + 1 / ( b − 1)) π n [( b − 2)!] s √ 2 s  Z κ s − κ s exp( − r 2 )d r + O ( κ 5 s s )  . (3.71) En prenant κ s = s 1 / 6 et en compl ´ etan t le domaine d’int ´ egration, p our obtenir la droite r ´ eelle d ans l’in t ´ egrale et ab outir ains i ` a l’int ´ egrale de Gauss, il s’ensuit la con tribu t ion de l’in t ´ egrale restrein te ` a la p ortion ˆ γ 1 : I 1 = exp( s + 1 / ( b − 1)) n [( b − 2)!] s √ 2 sπ  1 + O ( 1 s 1 / 6 )  . (3.72) P our a v oir le r´ esu lt at, il faut encore n ´ egliger la con tribution de l’int ´ egrale sur le restant du con tour d´ eﬁni en (3.62) , ` a sa v oir γ 1 \ ˆ γ 1 puis γ 0 . 1. S ur la p ortion γ 1 \ ˆ γ 1 du con tour, la con tribution au co eﬃci ent est I ′ 1 = (3.73) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s Z γ 1 \ ˆ γ 1 exp  t b − 1  exp ( s ( t − ln( t ))) d t t = (3.74) = 2 exp( s + 1 / ( b − 1)) π n [( b − 2)!] s √ 2 s Z √ 2 s κ s exp( − r 2 )(1 + O ( r 4 s ))d r = (3.75) = exp( s + 1 / ( b − 1)) n [( b − 2)!] s √ 2 s O ( exp( − κ 2 s ) κ s ) . ( 3.76) 2. S ur la p ortion γ 0 , consid ´ erons le c hemin γ ′ 0 : t = 1 + 2 exp ( iα ) , α ↑∈ [ π / 2 , π ] , (3.77) 46 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE la con tribution sur ce c hemin au coeﬃcient est I 0 = (3.78) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s Z γ ′ 0 exp  t b − 1  exp ( s ( t − ln( t ))) d t t = (3.79) = O ( exp(1 / ( b − 1)) 2 π n [( b − 2)!] s Z γ ′ 0 exp ( s ( t − ln( t ))) d t ) = (3.80) = O ( e 1 / ( b − 1) π n [( b − 2)!] s (3.81) Z π π / 2 e s (1+2 cos( α ) − ln((1+cos( α )) 2 +4 sin( α ) 2 ) / 2) d α ) = (3.8 2) = O ( e s − s ln( √ 5)+1 / ( b − 1) π n [( b − 2)!] s Z π π / 2 e − 8 s 5 ( α − π 2 ) d α ) = (3.83) = O ( e s − s ln( √ 5)+1 / ( b − 1) π n [( b − 2)!] s ) = (3.84) = O ( e s +1 / ( b − 1) π n [( b − 2)!] s 5 s/ 2 ) . (3.85) Nous trouv ons le m ˆ eme ord re de grandeur sur la p ortion γ 0 \ γ ′ 0 : ˆ I 0 = (3.86) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s Z γ ′ 0 \ γ ′ 0 exp  t b − 1  exp ( s ( t − ln( t ))) d t t = (3.87) = O ( e s − s ln( √ 5)+1 / ( b − 1) π n [( b − 2)!] s Z 3 π / 2 π e 8 s 5 ( α − 3 π 2 ) d α ) = (3.88) = O ( e s +1 / ( b − 1) π n [( b − 2)!] s 5 s/ 2 ) . (3.89) Ainsi, la contribution au co eﬃcie nt de la p ortion γ 1 \ ˆ γ 1 a v ec celle de la p ortion γ 0 son t exp onen tiellemen t p etit es par r a pp ort ` a celle de la seule p ortion ˆ γ 1 du cont our γ . Nous d ´ edu iso ns, l’ordre de grandeur I 1 du coeﬃcient de la S G E : h z s ( b − 1)+1 i T ( z ) = exp  n b − 1  n [( b − 2)!] s √ 2 sπ  1 + O ( 1 s 1 / 6 )  . (3.90) ♦ P ar d´ eﬁnition d’un e SGE A ( z ) ´ en um´ erant des stru c tures A ´ etiquet ´ ees, le nombre de ces structures de taille n est n ! fois le co eﬃcien t [ z n ] A ( z ) . Ainsi, connaissant l’´ equiv alen t asymptotique d u factoriel par la formule d e Stirling, n ! ∼ n n e − n √ 2 π n , et connaissant un ´ equiv alent asymp t otique du co eﬃcien t [ z n ] T ( z ) par le th ´ eor` eme 3.1.3 pr´ ec ´ edent, il se d ´ edu it le nom bre asymptotique d es hyp erarbres enr ac in´ es donc de celui d e s hyp erarbres non enracin ´ es (cons ´ equence directe de la p roposition) . 3.2. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES HYPER CYCLES 47 Th´ eor ` eme 3.1.4. L e nombr e d’hyp er arbr es enr acin ´ es ayant s hyp er ar ˆ e tes et n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 sommets, p our ( s → ∞ ) , est : n ! [ z n ] T ( z ) ∼ √ b − 1 s s ( b − 1) exp (( b − 2)( s + 1 / ( b − 1)))  ( b − 1) b − 1 ( b − 2)!  s . (3.91) Pr e uve. Pour pr o uver ce th ´ eor` eme il suﬃt de r ema rqu er que n ! ∼ n n exp( − n ) √ 2 π n , (3.92) et que [ z n ] T ( z ) ∼ exp  n b − 1  n [( b − 2)!] s √ 2 sπ . (3.93) donc n ! [ z n ] T ( z ) ∼ n n − 1 p n/s [( b − 2)!] s exp  n − n b − 1  . (3.94) Et l’expression (3.91) s’ensuit. ♦ Le nom bre des hyp erarbres non enracin ´ es a y an t n sommets diﬀ ` ere d’un fact eur n en moins que celui des hyperarb res enracin ´ es a y ant le mˆ eme nom br e de sommets, il devient clair que Th´ eor ` eme 3.1.5. L e nombr e d’hyp er arbr e s ayant s hyp er ar ˆ etes et n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 sommets, asymp totiquement quand ( s → ∞ ) , est : n ! [ z n ] H − 1 ◦ T ( z ) ∼ 1 √ b − 1 s s ( b − 1) − 1 exp ( ( b − 2)( s + 1 / ( b − 1)))  ( b − 1) b − 1 ( b − 2)!  s . (3.95 ) Ainsi, le nombre asymptotique des hyperarb res non enr ac in´ es est d´ etermin´ e indir ec te- men t par la m ´ etho de du p oin t co l car nous a v ons appliqu´ e cette m ´ etho de p our d ´ eterminer l’asymptotique du coeﬃcient [ z n ] T ( z ) d e la S GE relativ e aux hyp erarbres enracin ´ es. L e p oin t de d´ epart d e l’estimation asymp t otique ´ etan t l’application d e la formule d’in v ersion de Lagrange ` a la SGE p ouv ant ˆ etre exprim´ ee en fonction d e T ( z ) , p our av oir u ne expres- sion int ´ egrale du co eﬃcien t ` a estimer. Ay ant ` a disp osition la S GE d es h yp ercycles lisses, l’estimatio n asymptotique d u n om bre des h yp ercycles est aussi accessible et elle est faite dans la section su iv an te. 3.2 ´ En um ´ eration asymptotique des h yp ercycles Dans cette section, p our ´ en um´ erer asymptotiquemen t les hyp ercycle s, nous estimons le n -i ` eme coeﬃcient d e la SGE H 0 ◦ T ( z ) qu e nous a v ons d´ etermin ´ ee dans le c hapitre pr´ ec ´ edent (v oir (2.15) ) et qui est rapp el ´ ee ci-apr` es H 0 ( t ) = − ln s 1 − t b − 1 ( b − 2)! ! − t b − 1 2( b − 2)! . (3.96) 48 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE Disp osan t de la formule d’in v ersion de Lagrange et d e la form ule int ´ egrale d e Cauc hy , par la m ´ etho de du p oint col, n ous d ´ eterminons u n ´ equiv alen t asymptotique du coeﬃcient de la SGE H 0 ◦ T ( z ) . Nous r ´ esumons la m ´ etho de du p oin t col, illustr´ ee par d es preuve s de la sectio n pr´ ec ´ edente , comme suit : 1. Fixer un con tour passan t par le p oint col (susceptible de con v enir ` a la m´ etho de). 2. ´ Etablir le terme prin c ipal de l’asymptotique dans un voi sinage, ` a pr´ eciser, du p oin t col du con tour. 3. N´ egliger la contribution de l’in t ´ egrale sur le c hemin restant d u conto ur , c’est ` a d ire excluan t la p ortion d u v oisinage d´ eﬁ ni plus haut. 4. Con c lure. P ar une v arian te d e cette m ´ etho de, en autorisant que le con tour ne passe pas exacte- men t sur le p oin t col mais dans un v oisinage pro c he, nous trouv ons : Prop os ition 3.2.1. L e nombr e des hyp er cycles ayant s ( b − 1) sommets est d´ etermin ´ e ` a p artir du c o eﬃcient de z s ( b − 1) du d´ evelopp ement de la SGE H 0 ◦ T ( z ) ave c H 0 ( t ) = − ln s 1 − t b − 1 ( b − 2)! ! − t b − 1 2( b − 2)! . (3.97) Ce c o eﬃcient e st, p our ( s → ∞ ) , tel que [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) = ( b − 1) exp( s ) 4 n [( b − 2)!] s { 1 + O (1 /s ) } , (3.98) ave c n = n ( s ) = s ( b − 1) . Pr e uve. La S GE H 0 (3.97) des hyp ercycle s lisses p ermet, grˆ ace ` a la f o rmule d ’in v ersion de Lagrange, d’exprimer le n -i ` eme ( n = n ( s ) = s ( b − 1)) co eﬃcien t [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) sous forme d’une in t ´ egrale : [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) = b − 1 4 iπ n I τ ( t ) 1 − τ ( t ) exp  n τ ( t ) b − 1 − n ln( t )  d t t (3.99) a v ec u n con tour in t´ egral qui encercle, dans le sens d irec t, l’origine du plan complexe et τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! . En eﬀet, la d ´ eriv´ ee de la SGE H 0 est d d t H 0 ( t ) = τ ( t ) 2 t (1 − τ ( t )) . (3.100 ) Nous trouv ons alors [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) = (3.101 ) = 1 4 iπ n I τ ( t ) 1 − τ ( t ) exp  nτ ( t ) b − 1 − n ln( τ ( t )( b − 2)!) b − 1  d τ ( t ) τ ( t ) = (3.102 ) = b − 1 4 iπ n [( b − 2)!] s I t 1 − t exp( s ( t − ln( t ))) d t t = (3.103) = b − 1 4 iπ n [( b − 2)!] s I 1 1 − t exp( s ( t − ln( t )))d t . (3.104) 3.2. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES HYPER CYCLES 49 Sous cette forme int ´ egrale, nous observ ons que l’int ´ egrande pr´ esente un p oin t col qui est d ´ etermin´ e par la racine de la d´ eriv´ ee de l’exp osan t et u n p oint singulier d´ etermin´ e p a r la racine de (1 − t ) . Soit t = 1 est ` a la fois u n p oin t col et un p oin t singulier. P our appliquer la m ´ etho de du p oin t col, nous adoptons la form ulation int ´ egrale suiv an te du coeﬃcient : [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) = b − 1 4 iπ n [( b − 2)!] s I exp  s ( t − ln( t ) − ln(1 − t ) s )  d t . (3.105) Notons par h s le facteur d u param` etre s dans l’exp osan t de l’in t ´ egrale pr ´ ec ´ edente : h s ( t ) = t − ln( t ) − ln(1 − t ) s . (3.106) P our iden tiﬁer d ’ ´ ev en tuel p oint col, il faut trouv er la racine de h s ′ ( t ) = 0 . La d´ eriv´ ee h s ′ ´ etan t : h s ′ ( t ) = 1 − 1 t + 1 s (1 − t ) , (3.107) nous iden tiﬁons le p oin t col, d e mo dule strictement inf ´ erieur ` a 1 p our ( s → ∞ ) , t s = 1 − √ 4 s + 1 − 1 2 s . (3.108 ) Nous faisons alors le c hoix d’un con tour γ , similaire ` a celui d e la preuve d u th´ eor` eme 3.1.3 , mais con tournant le p oin t col t s : γ :    γ 1 : t = t s + exp( iα ) / 2 , ↓∈ [ π / 2 , 3 π / 2] γ 2 : t = t s + iv , v ↑∈ [ − 3 , − 1 / 2] ∪ [1 / 2 , 3] γ 0 : t = t s + 3 exp( iα ) , α ↑∈ [ π / 2 , 3 π / 2 ] . (3.109 ) Nous v o yons, sur l’exemple de la ﬁgure 3.3 , que le mo dule de l’int ´ egrand e capturera l’essen tiel de l’asymptotique p our le param` etre ( s → ∞ ) . Nous qualiﬁons la m´ etho de comme m´ etho de du p oin t col d a ns la mesure o ` u l’in t ´ egration sur le con tour γ 1 est ´ egale ` a l’in t ´ egration sur le segmen t t ↑∈ [ t s − i/ 2 , t s + i/ 2] . Le co ntour γ d ’in t ´ egration (3.10 9 ) ´ etan t ﬁx ´ e, il n o us faut d ´ eterminer le t erme principal de l’asymptotique du coeﬃcient p ort´ e par la p ortion γ 1 du con tour autour du p oint col t s . Notons I 1 la v aleur d e l’in t ´ egrale sur la p ortion γ 1 , c’est ` a dire I 1 = b − 1 4 iπ n [( b − 2)!] s Z γ 1 1 1 − t exp( st ) t s d t , (3.110 ) soit, a v ec le c hangement d e v ariable    t 7→ 1 + t s d t 7→ d t s γ 1 7→ ¯ γ 1 : t = st s − s + se iα / 2 , α ↓∈ [ π / 2 , 3 π / 2] , (3.111 ) 50 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE .75+3*cos( u), 3*sin(u), .75+3*cos(u)-ln((.75+3*cos(u))**2+(3*sin(u))**2)/2-ln((.25-3*cos(u))**2+(3*sin(u))**2)/2/8 .75+.5*cos(u), . 5*sin(u), .75+.5*cos(u)-ln((.75+.5*cos(u))**2+(.5*sin(u))**2)/2-ln((.25-.5*cos(u))**2+(.5*sin(u))**2)/2/8 .75, v, .75-ln((.75)**2+(v)**2)/2-ln((.25)**2+(v)**2)/2/8 .75, -v, .75-ln((.75)**2+(v)**2)/2-ln((.25)**2+(v)**2)/2/8 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Fig. 3.3 – La v aleur de ℜ ( t − ln( t ) − ln(1 − t ) /s ) sur le con tour γ p our s = 8 . I 1 = − ( b − 1) exp( s ) 4 iπ n [( b − 2)!] s Z ¯ γ 1 exp( O ( t 2 /s )) d t t (3.112 ) = − ( b − 1) exp( s ) 4 iπ n [( b − 2)!] s Z ¯ γ 1 d t t (1 + O ( t 2 /s )) (3.113 ) = ( b − 1) exp( s ) 4 n [( b − 2)!] s { 1 + O (1 /s ) } . (3 .114) Ainsi, la con tribution de l’in t ´ egrale sur γ 1 est I 1 = ( b − 1) exp( s ) 4 n [( b − 2)!] s { 1 + O (1 /s ) } . (3.115 ) Il nous reste ` a n´ egliger la con tribution de l’in t ´ egrale sur le con tour restant , ` a sa v oir sur γ 2 et sur γ 0 . Notons I 2 l’in t ´ egrale sur la p ortion γ 2 , alors I 2 = (3.116 ) = b − 1 4 iπ n [( b − 2)!] s Z γ 2 exp( sh s ( t ))d t = (3.117 ) = ( b − 1) exp( s ) 4 iπ n [( b − 2)!] s Z γ 2 exp ( sh s ( t ) − s ) d t . (3.118 ) Rapp elons l’´ equation p a ram´ etrique de la p ortion γ 2 du con tour (3.109) : γ 2 : t = t s + iv , v ↑∈ [ − 3 , − 1 / 2] ∪ [1 / 2 , 3] . (3.119 ) 3.2. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES HYPER CYCLES 51 Sur γ 2 , la partie r´ eelle ℜ ( h s ( t ) − 1) , p our ( s → ∞ ) , exprim´ ee a v ec le param` etre v de l’ ´ equation p r ´ ec ´ eden te, est telle qu e : d’un cot ´ e, si v ∈ [ − 3 , − 1 / 2] , ℜ ( h s ( t ) − 1) . ln(8) 5 ( v + 3) − ln( √ 10) (3.120 ) et d’un autre cot ´ e, si v ∈ [1 / 2 , 3] , ℜ ( h s ( t ) − 1) . − ln(8) 5 ( v − 3) − ln( √ 10) . (3.121 ) La v aleur de l’in t ´ egrande I 2 est donc telle qu e I 2 = (3.122 ) = O ( ( b − 1) exp( s ) 4 π n [( b − 2)!] s 10 s/ 2 Z − 1 / 2 − 3 e s ln(8)( v +3) / 5 d v ) + (3.123 ) + O ( ( b − 1) exp ( s ) 4 π n [( b − 2)!] s 10 s/ 2 Z 3 − 1 / 2 e − s ln(8)( v − 3) / 5 d v ) = (3.124 ) = O ( ( b − 1) exp( s ) 4 π n [( b − 2)!] s 10 s/ 2 ) . (3.125 ) Ainsi, la con tribu ti on au co eﬃcien t de l’int ´ egrale sur la p ortion γ 2 du con tour γ est exp onen tiellemen t plus p etite qu e celle I 1 sur la p ortion ˆ γ 1 . Nous tr o uvons aussi que la con tribution d e l’int ´ egrale sur la p ortion γ 0 , d´ eﬁnie en (3.109) , est exp onen tiellemen t p lus p etite que I 1 . P our le mon trer, notons I 0 cette con tri- bution : I 0 = (3.1 26) = b − 1 4 iπ n [( b − 2)!] s Z γ 0 exp ( sh s ( t )) d t = (3.1 27) = ( b − 1) exp( s ) 4 iπ n [( b − 2)!] s Z γ 0 exp ( sh s ( t ) − s ) d t . (3.128 ) Rapp elons l’´ equation param ´ etrique du demi cercle γ 0 γ 0 : t = t s + 3 exp( iα ) , α ↑∈ [ π / 2 , 3 π / 2 ] . (3.129 ) Av ec cette notation, en pr e nant α comme v ariable, la partie r´ eelle du facteur d e s d e l’exp osan t ( h s ( t ) − 1) est telle que : – Dans u n v oisinage de t = t s + 3 i , soit encore dans un v oisinage de α = π / 2 , ℜ ( h s ( t ) − 1) = − ln( √ 10) − 27 10 ( α − π 2 ) + O (( α − π 2 ) 2 ) . (3.130) – Et d ans un v oisinage de t = t s − 3 i , soit encore dans un v oisinage de α = 3 π / 2 , ℜ ( h s ( t ) − 1) = − ln( √ 10) + 27 10 ( α − 3 π 2 ) + O (( α − 3 π 2 ) 2 ) . (3. 131) 52 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE Ainsi, l’in t ´ egrale I 0 est telle que I 0 = (3.132) = O ( ( b − 1) exp ( s ) 4 π n [( b − 2)!] s 10 s/ 2 (3.133 ) ( Z π π / 2 e − 27 s 10 ( α − π 2 ) d α + Z 3 π / 2 π e 27 s 10 ( α − 3 π 2 ) d α ) ) = (3.134) = O ( ( b − 1) exp ( s ) 4 π n [( b − 2)!] s 10 s/ 2 ) . (3.135 ) I 0 est donc au ssi exp onent iellemen t p etit par rapp ort ` a I 1 . Nous concluons alors que I 1 est l’ordre de grandeu r du co eﬃc ient de la S GE et [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) = ( b − 1) exp ( s ) 4 n [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s )  . (3.136 ) ♦ Notons qu e ce r ´ esultat est v alide d ans le cas des graphes en p renan t simplement b = 2 et ainsi obtenir l’asymptotique du coeﬃcien t d e la SGE W 0 ◦ T ( z ) d es unicycles. Comme nous av ons vu p our les hyp erarbres enracin ´ es, le nom bre asymptotique d es h yp ercycles se d´ eduit aussi de l’asymptotique du co eﬃcien t de sa SGE H 0 ◦ T ( z ) , d o nn´ e par la prop ositio n 3.2.1 , grˆ ace ` a la formule de Stirling : Th´ eor ` eme 3.2.2. L e nombr e d’hyp er cycles ayant s hyp er arˆ etes et n = n ( s ) = s ( b − 1) sommets, p our ( s → ∞ ) , est : n ! [ z n ] H 0 ◦ T ( z ) ∼ p 2 π ( b − 1) 4 s s ( b − 1) − 1 / 2 exp( s ( b − 2))  ( b − 1) b − 1 ( b − 2)!  s . (3.137 ) Ainsi, n ous a v ons un e fois d e plus la conﬁrm a tion que l’analyse complexe, la m´ etho de du p oin t col p our in spirer la rec herc he d’un contour d’int ´ egration, convien t p our faire de l’ ´ en um´ eration asymptotique : par cette m´ etho de a ´ et ´ e ´ etabli, th ´ eor ` eme 3.1.3, le nom bre asymptotique d e s hyp erarbres et , th´ eor` eme 3.2.2 , le nombre asymptotique des hyp er- cycles quand la taille des s tructures est grand e. Ces ´ enum ´ erations asymp t otiques ont pu ˆ etre faites parce qu e nous disp osons des S GEs des structures lisses corresp ondan tes. La m ´ etho de du p oin t col, ` a priori, p ermettra aussi de trouv er un con tour ab outissan t ` a u n r ´ esultat d’´ enum ´ eration asymptotique des comp osan tes complexes d’exc ` es ℓ ≥ 1 donn´ e, sac han t que nous disp osons d ’un moy en “pratique” (un p rog ramme) p our d´ eterminer l’ex- pression d e la SGE H ℓ des structur es lisses corresp ondantes. Dans l a section suiv an te, nous pro c ´ edons ` a l’ ´ en um´ eration asymp to tique des comp osan tes complexes selon leur exc` es. 3.3 ´ En um ´ eration asymptotique des comp osan tes complexes Les p reuv es vues j usqu’ici p our a v oir l’asymptotique d e s h yp erarbres et d es hyp er- cycles n´ ecessiten t la connaissance des SGEs des comp osan tes lisses corresp ondant. Un 3.3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES COMPOSANTES COMPLEXES 53 sc h ´ ema de preuve similaire p ermet aussi d’obtenir des r´ esu lt ats d’ ´ enum ´ eration asymp - totique des comp osa ntes complexes, une d es diﬃcult ´ es ici ´ etan t d ’ ´ enoncer un r ´ esultat g ´ en ´ erique p our tout exc` es. Dans cette section, n o us commen¸ cons p ar g ´ en´ eraliser un r ´ esultat d’encadr e ment d e s co e ﬃcient s des S GEs W ℓ ◦ T ( z ) (cas d es graphes) obten u par W righ t E.M dans [22] aux hyp ergraphes puis nous ´ enon¸ cons u n lemme p our l’asymptotique des co eﬃcien ts de la S GE des s ´ equences de m cha ˆ ınes, et enﬁn nous ´ enon¸ cons le r´ esultat d’´ enum ´ eration asymptotique. 3.3.1 Encadremen t des co eﬃcien ts de la SGE des comp osan t es com- plexes Dans cette sous-section, n o us tirons proﬁ t de la p ossibilit ´ e, par le th´ eor` eme 2.3.3 7 vu dans le chapitre 2, de d ´ eterminer les premiers co eﬃcien ts d e la SGE, sou s la forme (2.120), des comp osan tes complexes d’exc ` es d o nn´ e. Bien que dans ce chapitre, un langage analytique domine ` a des ﬁns d’ ´ enum ´ eration asymptotique, dans cette sous-section en particulier, nous retrouv ons un raisonnement plus c ombinato ire (lecture b ijec tiv e de SGE) comme dans le c hapitre pr´ ec ´ eden t. Nous sou li gnons en particulier, l’int ´ erˆ et de la lecture com binatoire (vo ir la p reuv e du th´ eor` eme 2.3.2 ) d e la f o rmule d’inv ersion de Lagrange comme illustration cl ´ e p our a v oir l’encadrement des co eﬃcien ts. P our les nota tions de l’ ´ enonc´ e du th´ eor` eme qui suit, rep renons ici les notations u til is´ ees p our les d´ eclinaisons d es formes des SGEs H ℓ : H ℓ ( t ) = (3.138 ) = (1 − θ ( t )) r ℓ t ℓ 3 ℓ X p =0 A ℓ,p  1 − θ ( t ) θ ( t )  p = (3.13 9) = 1 t ℓ r ℓ X j = − 3 ℓ c j ( ℓ, b ) θ ( t ) j = (3.140 ) = f ℓ ◦ θ ( t ) t ℓ , (3 .141) a v ec r ℓ = ⌊ ( ℓ + 1) / ( b − 1) + 1 ⌋ et θ ( t ) = 1 − t b − 1 / ( b − 2)! . Dans le th ´ eor ` eme suiv an t, nous ´ enon¸ cons l’encadrement des co eﬃcien ts de la S GE H ℓ ◦ T ( z ) d es comp osan tes complexes d ’exc ` es ℓ ≥ 1 . Th´ eor ` eme 3.3.1. L e nombr e n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) de c omp osantes c omp lexes d’exc` es ℓ ayant n sommets admet l’enc adr ement suivant : L a major ation n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) ≤ ( n − 1)! h t n + ℓ i  3 ℓ ( b − 1) A ℓ, 3 ℓ θ ( t ) 3 ℓ +1 Φ( t ) n  (3.142 ) et la minor ation ( n − 1)! h t n + ℓ i  B ℓ θ ( t ) 3 ℓ +1 − C ℓ θ ( t ) 3 ℓ  Φ( t ) n  ≤ n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) , (3.143) 54 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE o` u B ℓ = 3 ℓ ( b − 1) A ℓ, 3 ℓ , (3.144 ) C ℓ = (9 ℓ 2 + ℓ ) A ℓ, 3 ℓ + ( b − 1)(3 ℓ − 1)( r ℓ A ℓ, 3 ℓ − A ℓ, 3 ℓ − 1 ) , (3.145) et Φ( t ) = exp  t b − 1 ( b − 1)!  . (3.146) En fait, B ℓ et − C ℓ d ´ esignent r esp e ctiv e ment les c o eﬃcients de x − 3 ℓ − 1 et de x − 3 ℓ dans − ( b − 1)(1 − x ) f ℓ ′ ( x ) − ℓf ℓ ( x ) , ( 3.147) f ℓ ( x ) = (1 − x ) r ℓ 3 ℓ X p =0 A ℓ,p  1 − x x  p . (3.148) Pr e uve. Le nom bre des comp osan tes d’exc ` es ℓ ≥ 1 a y ant n sommets est d´ etermin´ e grˆ ace ` a la form ule d’in version d e Lagrange : n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = (3.149 ) = ( n − 1)!  t n − 1   Φ( t ) n d d t f ℓ ◦ θ ( t ) t ℓ  = (3.150 ) = ( n − 1)!  t n − 1   Φ( t ) n t ℓ +1 ( − ( b − 1)(1 − θ ( t )) f ℓ ′ ◦ θ ( t ) − ℓf ℓ ◦ θ ( t ))  = (3.151) = ( n − 1)! h t n + ℓ i  Φ( t ) n ( − ( b − 1)(1 − θ ( t )) f ℓ ′ ◦ θ ( t ) − ℓf ℓ ◦ θ ( t ))  . (3.152 ) Notons p our ℓ ≥ 1 , R ℓ ( x ) = − ( b − 1)(1 − x ) f ℓ ′ ( x ) − ℓf ℓ ( x ) (3.153 ) alors R ℓ est u n p olynˆ ome de Lau ren t de degr´ e minimum ( − 3 ℓ − 1) , de degr ´ e maxim um b orn ´ e par r ℓ = ⌊ ( ℓ + 1) / ( b − 1) + 1 ⌋ , et ` a c o eﬃcien ts rationnels. Le nom bre de comp osan tes ci-dessus s’ ´ ecrit : n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = ( n − 1)! h t n + ℓ i ( R ℓ ◦ θ ( t )Φ( t ) n ) . (3.154 ) Il s’ensuit que les co eﬃcien ts d e la S GE R ℓ ◦ θ ( t ) son t tous p ositifs ou nuls, ce que nous notons p our une s ´ erie en la v ariable t comme suit : R ℓ ◦ θ ( t )  t 0 . (3.155) En eﬀet, la m ultiplication par Φ ( t ) n qui appara ˆ ıt d ans le second membre de (3.1 54 ) sou- ligne la d´ ecomp osition des structures ` a ´ en um´ erer, comme dans la preuve de la formule d’in ve rsion de Lagrange (th ´ eor ` eme 2.3.2 ) : sur les structures lisses son t greﬀ´ es d es h y- p erarbres enracin ´ es. Ains i, R ℓ ◦ θ ( t ) est une SGE ´ en um´ erant d e s structures lisses R ℓ . Connaissan t les caract ´ eristiques du p olynˆ ome de Laurent R ℓ , n o us sommes assur´ es d e l’existence d’un nom bre a 3 ℓ +1 tel que a 3 ℓ +1 θ ( t ) 3 ℓ +1 − R ℓ ◦ θ ( t )  t 0 . (3.156) 3.3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES COMPOSANTES COMPLEXES 55 En eﬀet, il existe u n en tier N tel que les S GEs { θ ( t ) − 3 ℓ − 1 , θ ( t ) − 3 ℓ , . . . , θ ( t ) − 1 , (1 − θ ( t )) , . . . , (1 − θ ( t )) N } (3.157) formen t une ´ ec helle de d ´ ecomp osition de R ℓ ◦ θ ( t )  t 0 . Com binatoiremen t, cette ´ equation (3.156) d it que a 3 ℓ +1 θ ( t ) − 3 ℓ − 1 compte des s t ru ct ur e s lisses com binatoires b eauco up plu s nom breus e s ` a u n n o mbre de sommets donn ´ e que R ℓ . Prenons a 3 ℓ +1 le plus p etit nom bre v ´ eriﬁant cette p ropri ´ et ´ e (3.1 56 ) , formellemen t a 3 ℓ +1 = min { a ∈ I R , a θ ( t ) 3 ℓ +1 − R ℓ ◦ θ ( t )  t 0 } . (3.158 ) L’ ´ equation (3.156) souligne alors l’existence de stru ct ur es com binatoires lisses (` a un e p ond ´ eration m ultiplicativ e pr` es) R 1 ℓ ´ en um´ er´ ees par la SGE R 1 ℓ ◦ θ ( t ) d´ eﬁnie par son premier mem bre : R 1 ℓ ( x ) = a 3 ℓ +1 x 3 ℓ +1 − R ℓ ( x ) . (3.159) Comme a 3 ℓ +1 est choisi comme ´ etan t le plus p etit, n o us sommes assur ´ es de trou v er un nom bre a 3 ℓ tel que R ℓ ◦ θ ( t ) −  a 3 ℓ +1 θ ( t ) 3 ℓ +1 − a 3 ℓ θ ( t ) 3 ℓ   t 0 , (3.160) soit a 3 ℓ θ ( t ) 3 ℓ − R 1 ℓ ◦ θ ( t )  t 0 . (3.16 1) Prenons ici aussi d ans (3.160) a 3 ℓ comme ´ etan t le plu s p etit : a 3 ℓ = min { a ∈ I R , a θ ( t ) 3 ℓ − R 1 ℓ ◦ θ ( t )  t 0 } . (3.162) Le pro c ´ ed ´ e se r´ eit ` ere et a v ec un p lus p etit n o mbre a 3 ℓ − 1 donne  a 3 ℓ +1 θ ( t ) 3 ℓ +1 − a 3 ℓ θ ( t ) 3 ℓ + a 3 ℓ − 1 θ ( t ) 3 ℓ − 1  − R ℓ ◦ θ ( t )  t 0 , (3.163) soit a 3 ℓ − 1 θ ( t ) 3 ℓ − 1 − R 2 ℓ ◦ θ ( t )  t 0 , (3.164) a v ec R 2 ℓ ( x ) = R ℓ ( x ) −  a 3 ℓ +1 x 3 ℓ +1 − a 3 ℓ x 3 ℓ  . (3.165) Le pro c ´ ed ´ e se r´ eit ` ere et s’arrˆ ete apr ` es a v oir d´ etermin´ e a 1 ou bien quand on obtient des structures R j 0 ℓ ´ en um´ er´ ees par la SGE R j 0 ℓ ◦ θ ( t ) , R j 0 ℓ ´ etan t un p olynˆ ome. Ainsi, ` a un signe pr` es, R j 0 ℓ ( x ) v aut R ℓ ( x ) −  a 3 ℓ +1 x 3 ℓ +1 − a 3 ℓ x 3 ℓ + . . . + ( − 1) j 0 − 3 ℓ +1 a j 0 x j 0  . (3.166 ) En y faisan t un e identiﬁca tion des a j a v ec les co eﬃcien ts d u p olynˆ ome de Laurent R ℓ , nous obtenons en particulier les d eux in´ egalit ´ es du th ´ eor` eme d ´ eﬁnissant l’encadremen t comme cons´ equence im m ´ ediate d e la pr o pr i ´ et ´ e de p ositivit ´ e imp os ´ ee ` a la d ´ eﬁn it ion des a j (qui par cette identiﬁcati on son t rationnels) : 56 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE – la ma joratio n est, par (3.1 60 ) , n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = (3 .167) = ( n − 1)! h t n + ℓ i ( R ℓ ◦ θ ( t )Φ( t ) n ) ≤ (3.168) ≤ ( n − 1)! h t n + ℓ i ( a 3 ℓ +1 θ ( t ) 3 ℓ +1 Φ( t ) n ) (3.169 ) – et la minoration est, par (3.163) , n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = (3.170 ) = ( n − 1)! h t n + ℓ i ( R ℓ ◦ θ ( t )Φ( t ) n ) ≥ (3.171) ≥ ( n − 1)! h t n + ℓ i (( a 3 ℓ +1 θ ( t ) 3 ℓ +1 − a 3 ℓ θ ( t ) 3 ℓ )Φ( t ) n ) . (3.172 ) ♦ Dans cette p reuv e, le raisonnement se base sur un pro c ´ ed´ e d’inclusion exclusion p our compter des s tructures lisses qui con tiennent u n nom bre ﬁni de c ha ˆ ınes : toutes les struc- tures son t compt ´ ees en exc` es comme si chacune av ait 3 ℓ c ha ˆ ınes ; des extra structures seron t alors inclues dans le compte ainsi fait et ces extra structures p euven t ` a leur tour ˆ etre compt ´ ees en exc ` es comme si c hacune a v ait (3 ℓ − 1) c ha ˆ ınes ; etc. Nous retiendrons la version de la ma j o ration s uiv an te : Th´ eor ` eme 3.3.2. L e nombr e n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) des c omp osantes c omplexes d’exc` es ℓ ayant n sommets admet la major ation suivante : n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) ≤ 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( n − 1)! h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) 3 ℓ +1 Φ( t ) n  , (3.17 3) ave c τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! . Pr e uve. La p reuv e est similaire ` a celle du th´ eor` eme d’encadrement pr ´ ec ´ edent en faisan t la remarque que les structures compt ´ ees on t toutes au moins une hyperarˆ ete donc la preuve est v alide en faisan t le remp la cemen t R ℓ ( x ) ← R ℓ ( x ) / (1 − x ) dans l’ ´ equation (3.153) . ♦ 3.3.2 La con tribution asymptotique de ( m − 1) cha ˆ ınes Dans la justiﬁcation du t h´ eor` eme 3.3.2 , l ’utilit ´ e de la classiﬁcation des structures selo n le nom bre de cha ˆ ınes e st mise en ´ evidence p our p roc´ eder par inclusion exc lusion et ab outir ainsi ` a l a conclusion de l’imp ortance, r e lat ´ ee par l e th ´ eor ` eme pr´ ec ´ edent, de la co ntribution des structures ` a 3 ℓ c ha ˆ ınes dans le nombre des comp osan tes d’exc ` es ℓ . La cont ribu tio n dans l’asymptotique du co eﬃcien t de la SGE H ℓ ◦ T ( z ) pro vient essen tiellemen t du terme a v ec le facteur θ ( t ) − 3 ℓ dans (2.153) . Cette remarque est in tuitiv e p ar la forme mˆ eme de la SGE H ℓ et est appu y ´ ee bijectiv emen t par le th´ eor ` eme pr ´ ec ´ edent. Cette relation, en tre 3.3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES COMPOSANTES COMPLEXES 57 les structures maximisant le nom bre de cha ˆ ın es et l’asymptotique du co eﬃcien t de la SGE, a ´ et ´ e mise ` a proﬁt par exemple d ans [18] et dans [19] av ec les notions de stru ct ur e s qualiﬁ ´ ees de “ cle an ” ou “ uncle an ” . Pour tirer pr o ﬁt de la d´ ecomp osabilit ´ e des str uctures en c ha ˆ ınes, nous disp osons du lemme suiv an t : Lemme 3.3.3. Pour ( s → ∞ ) , nous avons l’asympto tique du c o eﬃc i ent suivant h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) m Φ( t ) n  = e s + m 2 − ℓ b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  , (3.174) ave c n = n ( s ) = s ( b − 1) − ℓ , τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! , Φ( t ) = exp( τ ( t ) / ( b − 1)) et m ≥ 2 . Pr e uve. La form ule int ´ egrale de Cauc h y donne h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) m Φ( t ) n  = (3.175 ) 1 2 iπ I τ ( t ) (1 − τ ( t )) m exp  n τ ( t ) b − 1 − ( n + ℓ ) ln( t )  d t t . (3 .176) Comme n = n ( s ) = s ( b − 1) − ℓ , l’ ´ equation pr´ ec ´ edente devien t h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) m Φ( t ) n  = (3.177 ) = 1 2 iπ [( b − 2)!] s I τ ( t ) (1 − τ ( t )) m exp ( sτ ( t ) − s ln( τ ( t ))) exp( ℓτ ( t ) / ( b − 1)) d t t = (3.178) = 1 2 iπ [( b − 2)!] s ( b − 1) I τ ( t ) (1 − τ ( t )) m exp ( sτ ( t ) − s ln( τ ( t ))) exp( ℓτ ( t ) / ( b − 1)) d τ ( t ) τ ( t ) = (3.17 9) = 1 2 iπ [( b − 2)!] s I 1 (1 − t ) m exp ( st − s ln( t )) exp( ℓt/ ( b − 1)) d t , (3.180 ) o ` u le con tour d’int ´ egration encercle, u ne fois d a ns le sens direct, l’origine du plan com- plexe. Av ec l’int ´ egrale ainsi r epr ´ esen t ´ ee, nous remarquon s d e nouveau q ue 1 est ` a la fois p oin t col et p oint singulier. P our d´ eterminer un con tour d’int ´ egratio n m e nant au terme principal de l’asymptotique, nous adoptons l’´ ecriture in t ´ egrale suiv an te : h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) m Φ( t ) n  = (3.181 ) = 1 2 iπ [( b − 2)!] s I exp ( s ( t − ln( t ) − m ln(1 − t ) /s )) exp( ℓt/ ( b − 1)) d t . (3. 182) Notons alors h , le facteur du param ` etre s dans l’exposant d e cette expression in t ´ egrale : h ( t ) = t − ln( t ) − m s ln(1 − t ) . ( 3.183) Le p oin t col ` a consid´ erer est r a cine de h ′ ( t ) = 0 . Comme la d´ eriv´ ee h ′ est h ′ ( t ) = 1 − 1 t + 1 ( s/m )(1 − t ) , (3.184) 58 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE le p oin t col de plus p etit mo dule (strictemen t inf´ erieur ` a 1 ) est t 0 = 1 − p 4( s/m ) + 1 − 1 2( s/m ) . (3.185) Nous pr e nons alors u n con tour γ similaire ` a (3.62) , celui qui a servi p our l’´ enum ´ eration asymptotique des h yp erarbres en rac in´ es : γ :  γ 1 : t = t 0 + iv /s , v ↑∈ [ − 3 s, 3 s ] γ 0 : t = t 0 + 3 exp( iα ) , α ↑∈ [ π / 2 , 3 π / 2 ] . (3.186 ) Soit une p ortion ˆ γ 1 du c hemin γ 1 : ˆ γ 1 : t = t 0 + iv /s , v ↑∈ [ − κ s , κ s ] , (3.187 ) a v ec κ s , un nom br e p ositif qui sera pr ´ ecis ´ e plus tard. Notons I 1 la v aleur d e l’int ´ egrale sur cette p ortion ˆ γ 1 : I 1 = 1 2 iπ [( b − 2)!] s Z ˆ γ 1 exp( sh ( t )) exp( ℓt/ ( b − 1)) d t , (3.188) soit, a v ec le c hangement d e v ariable    t 7→ 1 + t s d t 7→ d t s γ 1 7→ γ ′ 1 : t = st 0 − s + iv , v ↑∈ [ − 3 s, 3 s ] , (3.189 ) I 1 = exp( − ℓt 0 b − 1 ) 2 sπ [( b − 2)!] s Z κ s − κ s exp( sf ( v ))d v , (3.190) a v ec f ( v ) = h ( t 0 + iv /s ) − ℓiv / ( bs 2 − s 2 ) . (3.191 ) Comme ℜ ( f ( v )) = (3 .192) = ℜ ( h ( t 0 + iv /s )) = (3.193 ) = t 0 − 1 2 ln( t 2 0 + ( v /s ) 2 ) − m s ln((1 − t 0 ) 2 + ( v /s ) 2 ) = (3.194 ) = 1 + m 2 s ln( s m ) + m 2 s + O ( 1 s 3 / 2 ) + (3.1 95) − v 2 s 2 (1 + 3 m 1 / 2 2 s 1 / 2 + 5 m s + 11 m 3 / 2 16 s 3 / 2 + O ( 1 s 2 )) + (3.196) + O ( v 4 s 3 ) , (3.197 ) 3.3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES COMPOSANTES COMPLEXES 59 I 1 = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 sπ [( b − 2)!] s × (3.198) × Z κ s − κ s e − v 2 s (1+ 3 m 1 / 2 2 s 1 / 2 + 5 m s + 11 m 3 / 2 16 s 3 / 2 ) (1 + O ( v 2 s 3 ))d v . (3.199) Notons C ( s ) = 1 s (1 + 3 m 1 / 2 2 s 1 / 2 + 5 m s + 11 m 3 / 2 16 s 3 / 2 ) (3.200 ) alors par le changemen t de v ariable    v = r √ C ( s ) d v = d r √ C ( s ) , (3.201 ) l’in t ´ egrale I 1 est telle que I 1 = (3.202 ) = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 sπ [( b − 2)!] s p C ( s ) Z κ s √ C ( s ) − κ s √ C ( s ) e − r 2 (1 + O ( r 2 C ( s ) s 3 ))d r = (3.203 ) = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 sπ [( b − 2)!] s p C ( s ) ( Z κ s √ C ( s ) − κ s √ C ( s ) e − r 2 d r + O ( κ s 3 C ( s ) 3 / 2 C ( s ) s 3 ) ) = (3.204 ) = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 sπ [( b − 2)!] s p C ( s ) ( Z κ s √ C ( s ) − κ s √ C ( s ) e − r 2 d r + O ( κ s 3 C ( s ) 1 / 2 s 3 ) ) . (3.205) Comme p our ( s → ∞ ) , C ( s ) ∼ 1 /s , nous obtenons I 1 = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 √ s 2 sπ [( b − 2)!] s ( Z κ s / √ s − κ s / √ s e − r 2 d r + O ( κ s 3 s 7 / 2 ) ) . (3.206) Cette ordre asymptotique est v alide, p our m ≥ 1 ﬁx´ e, en p renan t κ s = s et s e r ´ e ´ ecrit alors : I 1 = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 √ s 2 sπ [( b − 2)!] s ( Z √ s − √ s e − r 2 d r + O ( 1 s 1 / 2 ) ) . (3.207) Ainsi, l’ ´ equiv alen t asymptotique de l’int ´ egrale I 1 sur le s e gment ˆ γ 1 de longueur deux fois ( κ s = s ) est : I 1 = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  . (3.208) P our obtenir le r ´ esultat, il faut encore n ´ egliger la con tribution de l’in t ´ egrale sur le con tour restan t. 60 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE 1. S ur la p ortion γ 1 \ ˆ γ 1 , la contribution I ′ 1 est I ′ 1 = 1 2 iπ [( b − 2)!] s Z γ 1 \ ˆ γ 1 exp( sh ( t )) exp( ℓt/ ( b − 1)) d t , (3.209) a v ec γ 1 \ ˆ γ 1 : t = t 0 + iv /s , v ↑∈ [ − 3 s, − κ s ] ∪ [ κ s , 3 s ] (3.2 10) ou bien (comme nous a v ons pris κ s = s ) γ 1 \ ˆ γ 1 : t = t 0 + iv , v ↑∈ [ − 3 , − 1] ∪ [1 , 3] . (3.211 ) L’in t ´ egrale I ′ 1 , p our ( s → ∞ ) , devien t alors I ′ 1 = e s + m/ 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  Z − 1 − 3 + Z 3 1  exp( s ˆ f ( v )) d v , (3.212 ) a v ec la fonction ˆ f d´ eﬁn ie comme suit ˆ f ( v ) = h ( t 0 + iv ) − iℓ sb − s − 1 − m (1 + ln( s/m )) 2 s + ln( s ) 2 s . (3.213) Sur l’inte rv alle v ∈ [ − 3 , − 1] , nous p ouvons caract ´ eriser la partie r´ eelle ℜ ( ˆ f ( v )) comme suit : ℜ ( f ( v )) = (3 .214) = ℜ ( h ( t 0 + iv ) − 1 − m (1 − ln( s/m )) 2 s + ln( s ) 2 s . (3.21 5) . ln(2) 4 ( v + 1) − ln(2) 2 . (3.216 ) Et sur l’in terv alle v ∈ [1 , 3] , nous obtenons la caract ´ erisation suiv an te : ℜ ( f ( v )) = (3 .217) = ℜ ( h ( t 0 + iv ) − 1 − m (1 − ln( s/m )) 2 s + ln( s ) 2 s . (3.21 8) . − ln(2) 4 ( v − 1) − ln(2) 2 . (3 .219) Des deux ma jorations pr´ ec ´ edente s, nou s en d´ edu isons q ue l’in t ´ egrale I ′ 1 v ´ eriﬁe I ′ 1 = O ( e s + m/ 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s 1 2 s/ 2 × (3.2 20) ×  Z − 1 − 3 e s ln(2)( v +1) / 4 d v + Z 3 1 e − s ln(2)( v − 1) / 4 d v  ) (3.221 ) et l’ordre de grandeur asymp to tique de l’int ´ egrale I ′ 1 est I ′ 1 = O ( e s + m/ 2 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s 1 2 s/ 2 ) , (3.222 ) c’est ` a dir e qu e l’in t´ egrale I ′ 1 est d’un facteur exp onen tiellemen t n´ eglige able par rapp ort ` a I 1 . Nous mon trons de mˆ eme p our le cont our r e stant. 3.3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES COMPOSANTES COMPLEXES 61 2. S ur la p ortion γ 0 , d ´ eﬁnie ` a l’ ´ equation (3.186) , la contribution I 0 est I 0 = (3.223 ) = 1 2 iπ [( b − 2)!] s Z γ 0 exp( sh ( t )) exp( ℓt/ ( b − 1)) d t = (3 .224) = e s + m/ 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s ( Z π π / 2 + Z 3 π / 2 π ) exp( s ¯ f ( α ) )d α , (3.225) a v ec la fonction ¯ f d´ eﬁn ie comme suit ¯ f ( α ) = h ( t 0 + 3 e iα ) − 3 ℓe iα sb − s + i α s − 1 − m (1 + ln( s/m )) 2 s + ln( s ) 2 s . (3.226 ) Sur l’in terv alle α ∈ [ π / 2 , π ] , nous a v ons la partie r´ eelle ℜ ( ¯ f ( α ) ) telle q ue ℜ ( ¯ f ( α )) = (3.227 ) = ℜ ( h ( t 0 + 3 e iα )) − 3 ℓ cos( α ) sb − s − 1 − m (1 + ln( s m )) 2 s + ln( s ) 2 s = (3.228 ) = − ln( √ 10) − ( 27 10 + O ( 1 √ s ))( α − π 2 ) + O ( 1 √ s ) + O (( α − π 2 ) 2 ) . (3.229 ) Et sur l’in terv alle α ∈ [ π , 3 π / 2] , nous a v ons la partie r ´ eelle ℜ ( ¯ f ( α ) ) telle q ue ℜ ( ¯ f ( α ) ) = (3.230 ) = − ln ( √ 10) + ( 27 10 + O ( 1 √ s ))( α − 3 π 2 ) + O ( 1 √ s ) + O (( α − 3 π 2 ) 2 ) . (3.231) Aussi, l’in t ´ egrale I 0 est telle que I 0 = (3.232 ) = O ( e s + m/ 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s 1 10 s/ 2 (3.233 ) ( Z π π / 2 e − 27 s ( α − π/ 2) / 10 d α + Z 3 π / 2 π e 27 s ( α − 3 π/ 2) / 10 d α ) ) = (3.2 34) = O ( e s + m/ 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s 1 10 s/ 2 ) . (3.235 ) I 0 est donc auss i exp onen tiellemen t p etit par rapp ort ` a I 1 . Nous concluons qu e I 1 est l’ordre de grandeur du co eﬃcien t : h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) m Φ( t ) n  = e s + m 2 − ℓt 0 b − 1 ( s/m ) m/ 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  . (3.236) ♦ Ce lemme oﬀre la p ossibilit ´ e de faire le saut entre l’´ enum ´ eration exacte de nos structur es d ´ ecomp osables en c ha ˆ ınes et leur ´ enum ´ eration asymptotique. 62 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE 3.3.3 ´ Enonc´ e du th´ eor ` eme d’ ´ en um ´ eration asymptotique Prop os ition 3.3.4. L e c o eﬃci ent [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) du SGE des c omp osantes d’exc ` es ℓ admet l’´ equivalent asympt otique suiv a nt [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = (3.237 ) 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1) n e s + 3 ℓ +1 2 − ℓ b − 1 ( s 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  , (3.2 38) ave c n = n ( s ) = s ( b − 1) − ℓ , o` u s est le nombr e d’hyp er arˆ etes. Pr e uve. P ar le th´ eor` eme 3.3.2 , l’´ equiv alen t asymptotique du co eﬃci ent r ec h e rch ´ e e st p ort ´ e par I = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1) n h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) 3 ℓ +1 Φ( t ) n  , (3.239) a v ec τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! et Φ( t ) = exp( τ ( t ) / ( b − 1)) . Et par le lemme 3.3.3 , a v ec m = 3 ℓ + 1 , n o us obtenons l’ ´ equiv alen t asymptotique de I suiv an t : I = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1) n e s + 3 ℓ +1 2 − ℓ b − 1 ( s 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  . (3.240) ♦ Th´ eor ` eme 3.3.5. L e nombr e n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) des c omp osantes c omplexes d’exc` es ℓ , ayant s hyp er ar ˆ etes et n = n ( s ) = s ( b − 1) − ℓ sommets, admet l’´ equivalent asymptotique suivant : n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = (3.241 ) 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 √ 2 sne sb − 2 s + ℓ/ ( b − 1) [ s ( b − 1)] s ( b − 1) − ℓ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  (3.242 ) A ℓ, 3 ℓ d ´ eﬁni dans la forme (2.22) de la SGE H ℓ , se d´ etermine p ar le th´ eor` eme 2.3.37 . 3.3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE DES COMPOSANTES COMPLEXES 63 Pr e uve. Nous a v ons par le th´ eor` eme 3.3.2 et par le lemme 3.3.3 a v ec m = 3 ℓ + 1 n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = (3 .243) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( n − 1)! e s + 3 ℓ +1 2 − ℓ b − 1 s 3 ℓ +1 3 ℓ +1 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  = (3.244 ) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1) ( n e ) n √ 2 π n n e s − ℓ b − 1 ( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 2 √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  = (3.245) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( n e ) n e s − ℓ b − 1 ( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 √ 2 sn [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  = (3.24 6) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( n e ) n e s − ℓ b − 1 ( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 √ 2 sn [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  = (3.24 7) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( n e ) n e − n b − 1 ( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 √ 2 sn [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  = (3.248) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( n e ( b − 2) / ( b − 1 ) ) n ( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 √ 2 sn [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  . (3.249) Comme p our ( s → ∞ ) n n = ( s ( b − 1) − ℓ ) s ( b − 1) − ℓ = [ s ( b − 1)] s ( b − 1) − ℓ exp( − ℓ ) , (3. 250) l’ ´ equiv alen t asymptotique r e cherc h ´ e s’ ´ ecrit n ! [ z n ] H ℓ ◦ T ( z ) = (3.25 1) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1) [ s ( b − 1)] s ( b − 1) − ℓ e − ℓ e n ( b − 2) / ( b − 1) ( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 √ 2 sn [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  = (3.252) = 3 ℓA ℓ, 3 ℓ ( b − 1)( es 3 ℓ +1 ) 3 ℓ +1 2 √ 2 sne sb − 2 s + ℓ/ ( b − 1) [ s ( b − 1)] s ( b − 1) − ℓ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 √ s )  . (3.253) ♦ Dans ce c hapitre, qui est l’enc ha ˆ ınement de l’´ enum ´ eration exacte, des ´ en um´ erations asymptotiques ont ´ et ´ e obtenues a v ec un recours ` a l’analyse complexe. Nous soulignons en particulier l’utilisation de la m´ etho de du p oint c ol p our toutes les ´ enum ´ erations asymp to - tiques faites : des hyp e rarb res enr ac in´ es aux h yp ercycles et aux comp osan tes complexes selon leurs exc` es. Notons que le chemin que nous a v ons c hoisi ici d´ evo ile compl ` etemen t la “magie” de la form ule de transfert d onnan t ` a partir des SGEs et de leur forme, le terme asymptotique pr incipal vo ire l’expansion compl ` ete d e ses coeﬃcients : en p a rti- culier, les con tours d’int ´ egration c hoisis p euv ent servir p our expliciter des expansions compl ` etes. En p ersp ectiv e imm ´ ediate du tra v ail fait dans ce c hapitre est la consid´ eration de l’ ´ enum ´ eration asymptotique des comp osan tes complexes d’exc ` es inﬁ ni et suﬃ sammen t p eu denses p our que les pr e uves donn´ ees ici r este nt v alides - un tel r ´ esultat parait d a ns 64 CHAPITRE 3. ´ ENUM ´ ERA TION AS YM PTO TIQUE [21, 27]. Ainsi, la plupart des tra v aux faits sur les graphes p eut trouv er un e g´ en´ eralisation par une d´ emarche similaire ` a celle suivie jusqu ’i ci : passant par une r´ ecurrence des SGEs, iden tiﬁant la forme d es SGEs, puis p ar la form ule d’in v ersion de Lagrange et la formule in t ´ egrale de Cauc hy , ´ etablir une expression int ´ egrale d e s co eﬃcien ts et en d´ eduir e alors une p ortion du con tour capturant la con tribu t ion pr incipale de l’in t ´ egrale. Dans le c hapitre su iv an t, n o us illustrons par les hypergraph es al ´ eatoires q u’eﬀe cti- v emen t, les tra v au x et r ´ esultats existan t sur les graphes p euv ent ˆ etre g ´ en ´ eralis ´ es aux h yp ergraphes et ainsi, r e visit´ es et compris via les SGEs et l’analyse complexe p our obte- nir des caract ´ eristiques asymptotiques des str uctures. Chapitre 4 Hyp ergraphes al ´ eatoires “On s‘appu ie de l’histoire. Mais notre histoire n ’e st pas notre co de. Nous dev ons n o us d ´ eﬁer de prouv er ce qui doit se faire p a r ce qui s’est fait. Car c’est pr´ ecis ´ emen t de ce qui s’est fait que n o us nous plaignons” (1788). Dans ce c hapitre, nou s adoptons une vision d ynamique des h yp ergraphes : d ans la pro c haine s e ction, les h yp erar ˆ etes d ’une comp osan te son t r´ ecursiv emen t enlev´ ees jusq u‘` a ce qu’il n’en reste plu s et dans un e autre section, les hyp e rarˆ etes s o nt a jout ´ ees une par une jusqu ’` a l’obten tion d’un e certaine propri´ et ´ e dans la structure. Notre outil pr incipal p our mener n o tre ´ etude restent les S GEs (v oir [30, 26]) qu i p ermetten t par exemple dans [13] d’obtenir div erses caract ´ erisations statistiques. 4.1 Hyp ergraphes et h yp ercouplage glouton Cette secti on est une g´ en´ eralisation au x hyper g raph e s de r´ esultats de [11] s ur l‘analyse en mo y enne de la p erformance d e l’algorithme glouton de couplage. D ´ eﬁnition 4.1.1. Un hyp ercouplage est un e collection d ’h yp erar ˆ etes deux ` a d eux dis- join tes. Le probl` eme d e trouv er dans un graphe u n couplage qui maximise le nombre de ses ar ˆ etes est conn u en inform a tique. Ce p robl ` eme admet une version a v ec les hypergraph es : maximum hyp er c oupla ge , consistan t ` a trouve r un hyp erco up la ge, a y an t un nom bre maxi- m um d’hyp e rarˆ etes, dans un h yp ergraphe. L’algorithme 3 est u n algorithme glouton et il four nit un r´ esultat qui, de m ani ` ere g ´ en ´ erale, n’est pas optim um, m a is pr´ esen te l’a v an tage de la rapidit ´ e et garan tit tout de m ˆ eme que l’h yp ercouplage qu’il ret ourn e soit au moins maximal ` a d ´ efaut d’ ˆ etre maxim um 65 66 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Algorithme 3 : Hyp ercouplage glouton sur hyp e rgraph e En tr´ ees : Une comp osan te. Sorties : Un hyp ercouplage maximal. d´ ebut Initialiser a v ec un hypercoup la ge vide. r´ ep ´ eter Choisir al ´ eatoiremen t une h yp erar ˆ ete ` a placer dans l’h yp ercouplage. Supp rimer cette h yp erar ˆ ete et celles qui lu i ´ etaien t adjacen tes. jusqu’` a i l n ’y a plus d’hyp er ar ˆ ete retourner l’hyp er c ouplage c onstruit ﬁn p our l’h yp ergraphe. Notons aussi que c’est un algorithme non d ´ eterministe car le choix d’une h yp erar ˆ ete ` a a j o uter d a ns l’h yp ercouplage est al ´ eatoire. Dans cette section, nous prop osons d e faire l’analyse de la p erformance de cet algo- rithme glouton en d´ eterminant la taille m o yenne des h yp ercouplages qu ’i l retourne, soit le nom bre moy en d’hyper a rˆ etes cont enus dans ces hyp ercouplage s. Un e telle analyse ` a ´ et ´ e faite dans [11] p our le cas d e s graphes. Dans la sous-section qui su it, est pr ´ esent ´ e le formalisme math ´ ematique p our pro c ´ ed e r ` a cette analyse d e l’algorithme glouton. 4.1.1 D´ eﬁnitions et notions Dans cette section, notre but est d’appr´ ecier la v ariable al ´ eatoire qu’est le nom bre d’h yp erarˆ etes con ten ues dans l’h yp ercouplage p rodu it p a r l’algorithme 3 glouton, quand l’h yp ergraphe d e d ´ epart est une comp o sante d’exc ` es ℓ et a y ant u n grand n om bre s d’hy- p erar ˆ etes (donc un grand n om bre de s o mmets n = n ( s ) = s ( b − 1) − ℓ ) . Nous ﬁxons ici les notations p our faire l’analyse : – Y ( ℓ ) n : la v ariable al´ eatoire corresp ondan t ` a la taille de l’hyp ercouplage pro duit par l’algorithme glouton quand l’en tr ´ ee de l’algorithme est choisie u niform ´ emen t parmi les comp osan tes d’exc ` es ℓ , a y ant n sommets et s hyp erar ˆ etes tels que n = n ( s ) = s ( b − 1) − ℓ . – f ( ℓ ) n : la fonction g ´ en ´ eratrice d e probabilit ´ e (F GP) asso ci ´ ee ` a la v ariable al ´ eatoire Y ( ℓ ) n , f ( ℓ ) n ( z ) = X y ≥ 0 P ( Y ( ℓ ) n = y ) z y , (4. 1) o ` u – z d´ enote la v ariable li´ ee au n om bre d ’h yp erar ˆ etes d’u n h yp ercouplage. La d´ eriv´ ee de la fonction g ´ en´ eratrice de pr o babilit´ e (4.1) ´ ev alu ´ ee en z = 1 est l’esp´ erance E ( ℓ ) n de la v ariable al ´ eatoire Y ( ℓ ) n , soit du n o mbre d’h yp erar ˆ etes d a ns un h yp ercouplage pro duit par l’alg orithme glouton quand l’en tr ´ ee est c hoisie uniform ´ ement parm i les com- p osan tes d ’exc ` es ℓ a y ant n sommets. Comme la fonction d e probabilit´ e v aut 1 quand elle est ´ ev alu´ ee en z = 1, p our ´ etud ie r la r´ ecurrence sur n aﬁn d ’obte nir une estimation 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 67 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Fig. 4.1 – Une trace d ’un d´ eroulement de l’alg orithme 3 sur une comp osan te exp lic it ´ ee dans l’annexe. asymptotique de l’esp ´ erance Y ( ℓ ) n , n ous introdu iso ns la SGE G ( ℓ ) biv ari ´ ee G ( ℓ ) ( x, z ) = X n ≥ 0 c ( ℓ ) n f ( ℓ ) n ( z ) x n n ! , (4.2) a v ec – c ( ℓ ) n : le n o mbre de comp osan tes d’exc ` es ℓ a ya nt n sommets, – x : d´ enote la v ariable li ´ ee au nombre de sommets de l’hypergraph e d ’e xc` es ℓ donn´ e en en tr ´ ee. 68 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Une p ropri ´ et ´ e des F GPs f ( ℓ ) n nous am ` ene ` a d ´ eﬁn ir la fonction g´ en´ eratrice de la mo ye nn e : E ( ℓ ) ( x ) = ∂ ∂ z G ( ℓ ) ( x, z )     z =1 = X n ≥ 0 E ( ℓ ) n c ( ℓ ) n x n n ! . (4.3) Nous a v ons aussi la propri´ et ´ e de la SGE G ( ℓ ) suiv an te : G ( ℓ ) ( x, 1) = H ℓ ◦ T ( x ) , (4.4) a v ec H ℓ ◦ T ( x ) , la SGE des comp osan tes d ’e xc ` es ℓ , et T ( x ) , la SGE des h yp erarbres enracin ´ es, d o nt n o us rapp elons la d´ eﬁnition implicite comme su it : T ( x ) = x exp  T ( x ) b − 1 ( b − 1)!  . (4.5) Remarque 4.1.2. Notons la traduction, soit la lecture p ar rapp ort aux deux v ariables, des op ´ erations sur les SGEs (4.2) biv ari´ ees d ans G ( j ) ( x, z ) + G ( k ) ( x, z ) = X n ( c ( j ) n f ( j ) n ( z ) + c ( k ) n f ( k ) n ( z )) x n n ! (4.6) G ( j ) ( x, z ) × G ( k ) ( x, z ) = X n X i  n i  c ( j ) i c ( k ) n − i f ( j ) i ( z ) f ( k ) n − i ( z ) x n n ! . (4.7) La lecture com binatoire p our les sommets ´ etiquet ´ es p our les deux op´ erations d’add it ion et d e multiplica tion su it la justiﬁcation du dictionnaire de [26]. Un e lecture com bina- toire comme l’union et le p rodu it, est alors imm´ ediate par les propri´ et ´ es d’une fonction g ´ en ´ eratrice d e probabilit ´ e si les v ariables consid ´ er´ ees son t ind´ ep endante s. Au ssi, pour uti- liser les SGEs biv ari ´ ees G ( ℓ ) , il est imp ortan t de ga rantir ce tte ind´ ep endance des v ariables al ´ eatoires consid´ er ´ ees dans la d´ ecomp osition souhait ´ ee. Dans la pro c haine sous-section, nous d onnons la d´ ecomp osition qui nous ser vira p our l’analyse. 4.1.2 D´ ecomposition ou r´ ecurrence Dans le c hapitre sur l’´ enum ´ eration exacte, nous a v ons ´ etabli u ne r ´ ecurrence des SGEs H ℓ des comp osan tes d’exc ` es ℓ en partan t de la d ´ ecomp osition su gg ´ er´ ee par le marquage d’une h yp erarˆ ete : c’est la d ´ ecomp osition utilis ´ ee par W righ t dans [22] p our les grap hes. Cette d ´ ecomp osition ne se traduit p a s facilemen t (directemen t) av ec les SGEs biv ari ´ ees G ( ℓ ) car un e fois la d´ ecomp osition faite, n ous p erd o ns la lecture combinato ire dans les c om- p osan tes disso ci ´ ees : les v ariables al ´ eatoires ne corresp ondent pas aux d iﬀ ´ eren tes tailles des h yp ercouplages pro duits a ve c ces comp osan tes en en tr´ ee d e l’algorithme glouton. L’algorithme 3 d’hyper c ouplage glouton s ugg ` ere u ne n ouv elle d´ ecomp ositi on des struc- tures : u ne comp osan te d’exc ` es ℓ a y an t un e hyp erar ˆ ete marqu ´ ee, se d ´ ecomp ose, non pas 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 69 seulemen t en ignorant l’hyp erar ˆ ete m a is aussi toutes les hyperarˆ etes qu i lui ´ etaien t ad- jacen tes, en d es comp osan tes d’exc ` es plus p etit. P our ´ etablir une b ijec tion, il nous faut p ouv oir r e com biner les comp osan tes d issoci ´ ees, en la comp osan te d’exc ` es ℓ de d´ epart. P our pr oc ´ eder bijectiv emen t ` a cette recom binaison d es comp osan tes diss oci ´ ees, nous de- v ons marq uer un ou plusieurs sommets de ces comp osan tes p our les lier ` a l’hyp erar ˆ ete marqu ´ ee en cr ´ eant d ’autres hyperarˆ etes, chac un e p ouv an t av oir b 0 = 1 , . . . , b − 1 som- mets en comm un av ec cette h yp erar ˆ ete marqu´ ee, k = 1 , . . . , b − b 0 sommets (parmi ceux marqu ´ es) en comm un a v ec u ne ou plu sie ur s comp osan tes disso ci ´ ees et b − b 0 − k racines d’h yp erarbres. La d ´ ecomp osition est donc descriptible par des ensem bles de comp osan tes a y an t k = 1 , . . . , b − 1 sommets marqu´ es. P ar exemple, dans le cas o ` u l’exc ` es v aut ℓ = − 1 , soit l’analyse de l’algorithme quan d en ent r´ ee un hyp erarbre est c hoisi uniform´ ement, une telle d ´ ecomp osition se traduit par la p roposition qui suit : Prop os ition 4.1.3. L e mar quage d’une hyp er ar ˆ ete d’un hyp er arbr e se tr ad uit c omme suit : 1 b − 1  − H − 1 ◦ T ( x ) + x d d x H − 1 ◦ T ( x )  = x b b ! exp  b T ( x ) b − 1 ( b − 1)!  . (4.8) Prop os ition 4.1.4. Pour tout ℓ ≥ 0 , la SGE H ℓ des c omp osantes d’exc` es ℓ satisfait la r elation : 1 b − 1  ℓH ℓ ◦ T ( x ) + x d d x H ℓ ◦ T ( x )  = x b b ! exp  b T ( x ) b − 1 ( b − 1)!  × (4.9) × h Cyc ℓ +1 i exp   ℓ X j =0 b − 1 X k =1 Cyc j + k β k (Cyc , x ) x k d k d x k H j ◦ T ( x )+ ( 4.10) + b − 1 X k =2 Cyc k − 1 β k (Cyc , x ) x k d k d x k H − 1 ◦ T ( x ) ! , (4 .11) ave c β k (Cyc , x ) = (4.12) 1 k !  b T ( x ) b − 2 ( b − 2)!  k ℓ X p =0 1 p !  pb T ( x ) b − 2 ( b − 2)! Cyc  p + (4 .13) +  b 2  k ( k − 1)!  b T ( x ) b − 2 ( b − 2)!  k − 1  T ( x ) b − 3 ( b − 3)!  ℓ − 1 X p =0 1 p !  pb T ( x ) b − 2 ( b − 2)!  p Cyc p +1 + (4.14) +  k 2  b ( k − 2)!  b T ( x ) b − 2 ( b − 2)!  k − 2  T ( x ) b − 3 ( b − 3)!  ℓ − 1 X p =0 1 p !  pb T ( x ) b − 2 ( b − 2)!  p Cyc p +1 + (4.15) + . . . (4.16) Les d´ ecomp ositions donn´ ees dans ces deux prop ositions son t v alides en notan t que T ( x ) = d d x H − 1 ◦ T ( x ) , puis en substituant les H ℓ ◦ T ( x ) par les SGEs G ( ℓ ) ( x, z ) corres- p ondan tes (des d´ eriv´ ees droites en x deviennen t des d´ eriv´ ees p a rtielles) ` a un facteur z 70 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S pr` es car une h yp erar ˆ ete a ´ et ´ e choisie et mise dans l’h yp ercouplage : la d´ ecomp osition est en accord a v ec l’ind´ ep endance des v ariables al ´ eatoires dans les diﬀ´ erente s comp osan tes . Nous a v ons donc : Prop os ition 4.1.5. Dans le c as des hyp er arbr es, 1 b − 1  − G ( − 1) ( x, z ) + x ∂ ∂ x G ( − 1) ( x, z )  = z x b b ! exp b ( x ∂ ∂ x G ( − 1) ( x, z )) b − 1 ( b − 1)! ! . (4 .17) En tre autres motiv ations, aﬁn d ’a ll ´ eger les notations, nou s adoptons les n ot ations d e s op ´ erateurs de marqu ag es suiv an tes : D ´ eﬁnition 4.1.6. Dans d e s structures, n ous traduisons le marqu ag e de k s o mmets or- donn´ es par l’op ´ erateur su r des SGEs ϑ x k = x k ∂ k ∂ x k , (4.18) si x d ´ esigne la v ariable li ´ ee aux sommets. En particulier, p our le marquage d’un sommet ϑ x = x ∂ ∂ x . (4.19) Et nous adopterons cette n ot ation de m a rqu a ge selon la notation de la v ariable utilis ´ ee : ϑ t = t ∂ ∂ t ou encore ϑ y = y ∂ ∂ y . D ´ eﬁnition 4.1.7. Dans le cas d es structures d’exc ` es ℓ , nous traduisons le m a rqu a ge d’une h yp erar ˆ ete par l’op ´ erateur sur d es SGEs ϑ w ( ℓ ) = ℓ + ϑ x b − 1 , (4.20) si w d´ esigne la v ariable li ´ ee aux hyp e rarˆ etes et x , celle li ´ ee aux sommets. 4.1.3 La p erformance gloutonne sur les h yp erarbres Th´ eor ` eme 4.1.8. L a SGE E ( − 1) ( x ) = T ( x ) g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1)     y = T ( x ) b − 1 ( b − 2)! (4.21) de la moyenne de la variable al´ eatoir e Y ( − 1) n est d´ etermin´ ee p ar la r ´ ecurr enc e ( b − 1)(1 + y ) ( b − 2) / ( b − 1 ) g − 1 ′ ( y ) = 1 b , (4 .22) p ar laquel le g − 1 ( y ) est uniquement d´ etermin´ ee ave c la c ondition g − 1 (0) = 0 . 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 71 Pr e uve. En d iﬀ ´ eren c iant p ar rap port ` a la v ariable z , l’ ´ equation d e la prop osition pr´ ec ´ e- den te, puis en ﬁxan t la v aleur z = 1 , nous obtenons 1 b − 1  − ∂ ∂ z G ( − 1) ( x, z ) + ϑ x ∂ ∂ z G ( − 1) ( x, z )      z =1 = (4.23) ( x b b ! exp b ( ϑ x G ( − 1) ( x, z )) b − 1 ( b − 1)! ! + (4.24) + z b ( ϑ x G ( − 1) ( x, z )) b − 2 ( b − 2)! !  ϑ x ∂ ∂ z G ( − 1) ( x, z )  × (4.25) × x b b ! exp b ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 1 ( b − 1)! !)     z =1 , (4.26) soit ϑ w ( − 1) E ( − 1) ( x ) = (4.27) = x b b ! exp  b T ( x ) b − 1 ( b − 1)!   1 +  b T ( x ) b − 2 ( b − 2)!   ϑ x E ( − 1) ( x )   = (4.28) = T ( x ) b b !  1 +  b T ( x ) b − 2 ( b − 2)!   ϑ x E ( − 1) ( x )   , (4.29) soit en passan t les occurr ences de E ( − 1) au premier mem bre b  − E ( − 1) ( x ) +  1 − T ( x ) 2 b − 2 [( b − 2)!] 2  ϑ x E ( − 1) ( x )  = T ( x ) b ( b − 2)! (4.30) et − E ( − 1) ( x ) T ( x ) + 1 −  T ( x ) b − 1 ( b − 2)!  2 ! ϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) = 1 b T ( x ) b − 1 ( b − 2)! . (4.31) D ´ eterminons alors E ( − 1) ( x ) sous la form e E ( − 1) ( x ) = T ( x ) g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1)     y = T ( x ) b − 1 ( b − 2)! . (4.32) Notons que p our une fonction f , s i τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! , ϑ x ( T ( x ) f ◦ τ ◦ T ( x )) = (4.33) = ( ϑ x T ( x )) ×  f ◦ τ ◦ T ( x ) + T ( x ) × τ ′ ◦ T ( x ) × f ′ ◦ τ ◦ T ( x )  = (4.34) = T ( x )  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  f ( y )     y = τ ◦ T ( x ) . ( 4.35) 72 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S (4.32) p ermet le c hangemen t d e v ariable                T ( x ) b − 1 ( b − 2)! → y E ( − 1) ( x ) T ( x ) → g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) ϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) →  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) . (4.36) qui, si nous le p ortons dans l’´ equation (4.31), donne − g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) +  1 − y 2   1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y   g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1)  = y b . (4.3 7) D’o` u nous d´ eduisons ( b − 1)(1 + y ) ( b − 2) / ( b − 1 ) g − 1 ′ ( y ) = 1 b . (4 .38) ♦ La r´ esolution de la r´ ecurrence, que d´ eﬁnit l’´ equation diﬀ´ erentiel le (4.22) , est imm´ ed ia te et nous donne : Th´ eor ` eme 4.1.9. Dans le c as des hyp er arbr es, l’expr ession de la SGE, de la moyenne de la variable al´ eatoir e Y ( − 1) n , est E ( − 1) ( x ) = T ( x ) b    1 − 1  1 + T ( x ) b − 1 ( b − 2)!  1 / ( b − 1)    . (4.39) Notons que ce r´ esultat g ´ en ´ eralise celui de [11] qui est le cas des arbres ( b = 2) , dans quel cas, l’expression d e la SGE est E ( − 1) ( x ) = T ( x ) 2 2(1 + T ( x )) . (4.40) Disp osons de la SGE E ( − 1) ( x ) , de la mo y enne de la v ariable al ´ eatoi re Y ( − 1) n , qui s’ex- prime en la s ´ erie T ( x ) des hyperarb res enracin ´ es, nous sommes en mesure de pro c ´ eder ` a l’analyse du comp orte ment asymptotique de cette mo y enne via le comp ortemen t asymp- totique du coeﬃcient d e la s ´ erie. Th´ eor ` eme 4.1.10. L’´ e q uivalent asympto tique du c o eﬃcient [ x n ] E ( − 1) ( x ) de la SGE li´ ee ` a la moyenne de la variable al´ eatoir e Y ( − 1) n est : [ x n ] E ( − 1) ( x ) = e n/ ( b − 1) (1 − b/ 2 b/ ( b − 1) ) nb [( b − 2)!] s √ 2 π s  1 + O ( 1 s 1 / 6 )  , (4.41) ave c s le nombr e d’hyp er ar ˆ etes et n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 . 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 73 Pr e uve. Notons ˆ E ( − 1) ( t ) la S GE lisse corresp ondan t ` a E ( − 1) ( x ) . Alors, E ( − 1) ( x ) = ˆ E ( − 1) ◦ T ( x ) et ˆ E ( − 1) ( t ) = t b    1 − 1  1 + t b − 1 ( b − 2)!  1 / ( b − 1)    . (4.42) La d ´ eriv´ ee de la SGE ˆ E ( − 1) ( t ) est d d t ˆ E ( − 1) ( t ) = 1 b − 1 b (1 + τ ( t )) 1 / ( b − 1) + τ ( t ) b (1 + τ ( t )) b/ ( b − 1) (4.43) = 1 b − 1 b (1 + τ ( t )) b/ ( b − 1) , (4.4 4) a v ec τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! . Notons alors ˆ ˆ E ( − 1) ( y ) = (4.45) = 1 b − 1 b ( 1 + y ) b/ ( b − 1) = (4.46) =  1 b − 1 2 b/ ( b − 1) b  + 1 ( b − 1)2 1 / ( b − 1) 2 2 ( y − 1) + . . . . (4.47) Soien t s , l’en tier corresp ondan t au nom bre d ’h yp erar ˆ etes et n = n ( s ) = s ( b − 1) + 1 , le nom bre de sommets, alors la formule d’in v ersion de Lagrange donne le coeﬃcient [ z n ] E ( − 1) ( x ) = (4.48) = 1 2 iπ n I ˆ ˆ E ( − 1) ◦ τ ( t ) exp( nτ ( t ) / ( b − 1)) t n − 1 d t t = (4 .49) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s I ˆ ˆ E ( − 1) ◦ τ ( t ) exp( nτ ( t ) / ( b − 1)) ( b − 1) τ ( t ) s d τ ( t ) τ ( t ) , (4.50) a v ec un con tour d’in t ´ egration, suﬃsamment p etit, qui encercle u ne fois l’origine dans le sens direct. Ainsi, [ x n ] E ( − 1) ( x ) = (4.51) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s I ˆ ˆ E ( − 1) ( t ) exp( nt/ ( b − 1)) t s d t t = (4.52) = 1 2 iπ n [( b − 2)!] s I ˆ ˆ E ( − 1) ( t ) exp ( t/ ( b − 1)) exp( st ) t s d t t . (4.53) L’expression d e la d ´ eriv´ ee (4.4 5 ) nous indiqu e que l’ordre de grandeur asymp to tique rec herc h´ e est celui de l’int ´ egrale I = 1 − 1 / (2 b/ ( b − 1) ) 2 nbiπ [( b − 2)!] s I exp( t/ ( b − 1)) exp( st ) t s d t , (4.54) 74 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S qui corresp ond au facteur pr` es ` a (3.60) . Aussi nous obtenons I = e n/ ( b − 1) (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) nb [( b − 2)!] s √ 2 π s  1 + O ( 1 s 1 / 6 )  , (4.5 5) soit l’ordre de grandeur recherc h ´ e. ♦ Connaissan t le comp ortemen t asymptotique du coeﬃcient de la S GE E ( − 1) ( x ) de la mo y enne de la v ariable a l´ eatoire Y ( − 1) n et c elui de la SGE H − 1 ◦ T ( x ) , d ´ eduite du th´ eor` eme 3.1.3 , p a r la d ´ eﬁnition (4.3) , il d ´ ecoule : Th´ eor ` eme 4.1.11. L a moyenne E ( − 1) n de la variable al ´ eatoir e Y ( − 1) n c or r esp ondant ` a la tail le de l’hyp er c ouplage pr o duit p ar l’algorithme glouton quand l’entr ´ ee de l’algorithme est c h oisie uniform´ ement p armi les hyp er arbr es ayant n sommets, est tel le que E ( − 1) n ∼  1 − 1 / 2 b/ ( b − 1)  n b . (4.5 6) 4.1.4 La p erformance gloutonne sur les ℓ -comp osan t es ( ℓ ≥ 0 ﬁx´ e) In tro duisons, p our l’analyse dans le cas des structur es d’exc ` es ℓ ≥ 0 en particulier, les fonctions F ( ℓ ) ( x, z ) , p our r´ edu ire la longueur des f o rmules d´ ecriv ant des d´ ecomp osit ions. D ´ eﬁnition 4.1.12. Notons F ( ℓ ) la SGE biv ari´ ee F ( ℓ ) ( x, z ) = (4.57) h Cyc ℓ +1 i exp   ℓ X j =0 b − 1 X k =1 Cyc j + k ¯ β k ◦ G ( − 1) ( x, z ) ϑ x k G ( j ) ( x, z )+ (4.58) + b − 1 X k =2 Cyc k − 1 ¯ β k ◦ G ( − 1) ( x, z ) ϑ x k G ( − 1) ( x, z ) ! , (4.59 ) a v ec ¯ β k ( Z ) = (4.60) 1 k !  b Z b − 2 ( b − 2)!  k ℓ X p =0 1 p !  pb Z b − 2 ( b − 2)! Cyc  p + (4.61) +  b 2  k 1  ( b − 2) bZ 1 ( k − 1)!  b Z b − 2 ( b − 2)!  k − 1 ℓ − 1 X p =0 1 p !  pb Z b − 2 ( b − 2)!  p Cyc p +1 + (4.62) +  b 1  k 2  ( b − 2) bZ 1 ( k − 1)!  b Z b − 2 ( b − 2)!  k − 1 ℓ − 1 X p =0 1 p !  pb Z b − 2 ( b − 2)!  p Cyc p +1 + (4.63) + . . . (4.64) 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 75 Cette d ´ eﬁn iti on des SGEs F ( ℓ ) p ermet de formuler de mani ` ere concise les ´ equations des prop ositions 4.1.3 et 4.1.4 en ´ ev aluant l’ ´ equation su iv an te en z = 1 : ϑ w ( ℓ ) G ( ℓ ) ( w, z ) = z x b b ! exp b ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 1 ( b − 1)! ! F ( ℓ ) ( x, z ) , (4.6 5) qui est l’ ´ ecriture des d ´ ecomp ositions relat ´ ees dans ces prop ositions av ec les SGEs G ( j ) ( x, z ) . Th´ eor ` eme 4.1.13. Pour ℓ ≥ 0 , la SGE E ( ℓ ) ( x ) de la p erformanc e moyenne de l’algo- rithme glouton de c ouplage, quand l’entr ´ ee est choisie uniform´ ement p armi les ℓ -c omp o- santes, est tel le que E ( ℓ ) ( x ) = 1 T ( x ) ℓ g ℓ ( y )(1 + y ) ℓ/ ( b − 1)     y = T ( x ) b − 1 / ( b − 2)! , (4.66) ave c la fonction g ℓ d ´ etermin´ ee, u niquement ave c la c ondition g ℓ (0) = 0 , p ar une r´ ecurr enc e g ℓ ′ ( y )(1 + y ) ( ℓ + b − 1) / ( b − 1) = J ℓ ( y ) . (4.67) Pr e uve. Nous obtenons , en d iﬀ ´ erenciant (4.65) par rap port ` a z pu is en y ﬁxant alors z = 1 , une r´ ecurrence des E ( ℓ ) ( x ) : ϑ w ( ℓ ) E ( ℓ ) ( x ) = x b b ! exp  b T ( x ) b − 1 ( b − 1)!   (4.68) F ( ℓ ) ( x, 1) + bϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) b − 2 ( b − 2)! F ( ℓ ) ( x, 1) + ∂ ∂ z F ( ℓ ) ( x, z )     z =1  , (4.69) soit ϑ w ( ℓ ) E ( ℓ ) ( x ) = (4.70) T ( x ) b b ! F ( ℓ ) ( x, 1) 1 + b ϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) τ ◦ T ( x ) ! + T ( x ) b b ! ∂ ∂ z F ( ℓ ) ( x, z )     z =1 . (4.71) Soit ¯ F ( ℓ − 1) ( x ) = ∂ ∂ z F ( ℓ ) ( x, z )     z =1 − b τ ◦ T ( x ) T ( x ) ϑ x E ( ℓ ) ( x ) (4.72 ) alors, ϑ w ( ℓ ) E ( ℓ ) ( x ) − ( τ ◦ T ( x )) 2 b − 1 ϑ x E ( ℓ ) ( x ) = (4.73) = T ( x ) b b ! F ( ℓ ) ( x, 1) 1 + b ϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) τ ◦ T ( x ) ! + T ( x ) b b ! ¯ F ( ℓ − 1) ( x ) = (4.74) = 1 + b ϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) τ ◦ T ( x ) ! ϑ w ( ℓ ) H ℓ ◦ T ( x ) + T ( x ) b b ! ¯ F ( ℓ − 1) ( x ) = (4.75) = 1 + b ϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) τ ◦ T ( x ) ! ϑ w ( ℓ ) H ℓ ◦ T ( x ) + T ( x ) b − 1 b ! T ( x ) ℓ ¯ ¯ F ( ℓ − 1) ◦ τ ◦ T ( x ) , (4.76) 76 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S a v ec la fonction ¯ ¯ F ( ℓ − 1) telle que ¯ ¯ F ( ℓ − 1) ◦ τ ◦ T ( x ) = T ( x ) ℓ +1 ¯ F ( ℓ − 1) ( x ) . (4.77) Nous obtenons alors ϑ w ( ℓ ) E ( ℓ ) ( x ) − ( τ ◦ T ( x )) 2 b − 1 ϑ x E ( ℓ ) ( x ) = (4.78) 1 + b ϑ x E ( − 1) ( x ) T ( x ) τ ◦ T ( x ) ! ϑ w ( ℓ ) H ℓ ◦ T ( x ) + (4.79) + τ ◦ T ( x ) b ( b − 1) T ( x ) ℓ ¯ ¯ F ( ℓ − 1) ◦ τ ◦ T ( x ) . (4.80 ) Ainsi, la forme E ( ℓ ) ( x ) = 1 T ( x ) ℓ g ℓ ( y )(1 + y ) ℓ/ ( b − 1)     y = T ( x ) b − 1 ( b − 2)! (4.81) p ermet le c hangement de v ariable            T ( x ) b − 1 ( b − 2)! → y T ( x ) ℓ E ( ℓ ) ( x ) → g ℓ ( y )(1 + y ) ℓ/ ( b − 1) T ( x ) ℓ ϑ x E ( ℓ ) ( x ) →  − ℓ + ( b − 1) ϑ y 1 − y   g ℓ ( y )(1 + y ) ℓ/ ( b − 1)  , (4.82) p our a vo ir y g ℓ ′ ( y )(1 + y ) ( ℓ + b − 1) / ( b − 1) = (4.83) (1 + by  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) ) y ¯ J ℓ ( y ) + y b ( b − 1) ¯ ¯ F ( ℓ − 1) ( y ) , (4.84) a v ec ¯ J ℓ ◦ τ ◦ T ( x ) = T ( x ) ℓ ϑ w ( ℓ ) H ℓ ◦ T ( x ) τ ◦ T ( x ) . (4.85) Ce qui p ermet de conclure sur la r ´ ecurrence d es g ℓ , donc des E ( ℓ ) du th ´ eor` eme en id en- tiﬁan t J ℓ ( y ) = (1 + by  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) ) ¯ J ℓ ( y ) + ¯ ¯ F ( ℓ − 1) ( y ) / ( b 2 − b ) . (4.86) ♦ Prop os ition 4.1.14. L a fonction g 0 , tel le que E (0) ( x ) = g 0 ( y )     y = T ( x ) b − 1 / ( b − 2)! , (4.87) admet u n d ´ evelopp ement en y = 1 qui c ommenc e c omme suit : g 0 ( y ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 b ((1 − y ) 2 + . . . (4.88) 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 77 Pr e uve. Pour ℓ = 0 , l’ ´ equation (4.86 ) donn e J 0 telle que g 0 ′ ( y ) = J 0 ( y ) (1 + y ) . (4.89 ) Nous a v ons J 0 ( y ) = (1 + by  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) ) ¯ J 0 ( y ) + ¯ ¯ F ( − 1) ( y ) b 2 − b (4.90) et ` a partir de (4.8 5 ) , ¯ J 0 ( y ) = y 2(1 − y ) 2 = 1 2(1 − y ) 2 + . . . (4.91 ) En remarquant que g − 1 ( y ) = 1 b  (1 + y ) 1 / ( b − 1) − 1  , (4.92) nous a v ons aussi le d ´ ev elopp emen t en y = 1 suiv an t : by  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) = 1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) (1 − y ) + . . . (4.93) Le premier terme du second mem bre de (4.90) admet donc u n d´ eve lopp emen t en y = 1 qui commence comme suit : (1 + by  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) ) ¯ J 0 ( y ) = 1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) 2(1 − y ) 3 + . . . (4 .94) V o y ons maintenan t commen t commence le d´ evelo pp ement en y = 1 du second terme, ` a sa v oir ¯ ¯ F ( − 1) ( y ) / ( b 2 − b ) , du second mem bre de ( 4.90) . Si ℓ = 0 , dans les d ´ eﬁnitions (4.7 7 ) et (4.72) nous obtenons : ¯ ¯ F ( − 1) ◦ τ ◦ T ( x ) = T ( x ) ¯ F ( − 1) ( x ) (4.95) = T ( x ) ∂ ∂ z F (0) ( x, z )     z =1 − bτ ◦ T ( x ) ϑ x E (0) ( x ) . (4.96) Dans T ( x ) ∂ ∂ z F (0) ( x, z )   z =1 , les termes (des recom binaisons) qui c ontribuen t au co e ﬃcient de (1 / (1 − y )) de p lus grande puissance dans le d´ ev elopp emen t de ¯ ¯ F ( − 1) ( y ) , en y = 1 , se d ´ edu isen t des recom binaisons qui con tribu en t le plu s a v ec les SGEs univ ari ´ ees. Le passage aux SGEs G ( j ) biv ari ´ ees, puis l’application d e ∂ ∂ z ()   z =1 on t p our eﬀet de changer exactemen t u n terme ϑ x k H j ◦ T ( x ) en ϑ x k E j ( x ) . I c i, p our ℓ = 0 , ces termes ou encore ces constructions pro viennent de T ( x )   1 2 b ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 2 ( b − 2)! ! 2 + b 2 ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 3 ( b − 3)!   ϑ x 2 G ( − 1) ( x, z ) (4.97) 78 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S et son t  1 2 ( bτ ◦ T ( x )) 2 + b ( b − 2) 2 τ ◦ T ( x )  ϑ x 2 E ( − 1) ( x ) T ( x ) . (4.98) P ar le c hangemen t d e v ariable T ( x ) b − 1 ( b − 2)! → y , (4.99) nous a v ons ϑ x 2 E ( − 1) ( x ) T ( x ) → (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )( b − 1) b (1 − y ) 3 + . . . (4.100 ) Nous trouv ons un d ´ ev elopp emen t en y = 1 su iv ant : ¯ ¯ F (0) ( y ) b ( b − 1) = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )( b − 1) b (1 − y ) 3 + . . . (4.101 ) Ce qui, a v ec (4.94) , donnen t J 0 ( y ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 b (1 − y ) 3 + . . . (4.102 ) donc g 0 ′ ( y ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 2 b (1 − y ) 3 + . . . (4 .103) et g 0 ( y ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 b ((1 − y ) 2 + . . . (4.104) ♦ Prop os ition 4.1.15. L’´ equivalent asymptotique du c o eﬃcient [ x n ] E (0) ( x ) de la SGE li´ ee ` a la moyenne de la variable al´ eatoir e Y (0) n est : [ x n ] E (0) ( x ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )( e/ 3) 3 / 2 e s 2 3 b √ π [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  , (4.105) ave c s , le nombr e d’hyp er arˆ etes, et n = n ( s ) = s ( b − 1) . Pr e uve. Notons ¯ E (0) , la SGE lisse asso ci ´ ee ` a la SGE E (0) . Alors, ¯ E (0) ( t ) = g 0 ◦ τ ( t ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 b (1 − τ ( t )) 2 + . . . . (4.106) et d d t ¯ E (0) ( t ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 2 b (1 − τ ( t )) 3 ( b − 1) τ ( t ) t + . . . . (4.107) 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 79 La form ule d’in ve rsion d e Lagrange donne [ x n ] E (0) ( x ) = (4.108 ) = ( b − 1)(3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 biπ n I  τ ( t ) (1 − τ ( t )) 3 + . . .  e sτ ( t ) t n d t t = (4.109) = ( b − 1)(3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 biπ n [( b − 2)!] s ( b − 1) I  τ ( t ) (1 − τ ( t )) 3 + . . .  e sτ ( t ) τ ( t ) s d τ ( t ) τ ( t ) . (4.110) Nous en d ´ eduisons que [ x n ] E (0) ( x ) = (4.111 ) = ( b − 1)(3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 biπ n [( b − 2)!] s I  1 (1 − t ) 3 + . . .  exp( st ) t s d t . (4.112) L’asymptotique de ce coeﬃcient est d onc p ort ´ e par ( b − 1)(3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 biπ n [( b − 2)!] s I 1 (1 − t ) 3 exp( st ) t s d t . (4.113 ) Cette expression a ´ et´ e d´ ej` a r e ncontr ´ ee au f a cteur pr ` es dans la pr euv e du lemme 3.3.3 . P ar ce lemme, n o us trouvons a v ec les v aleurs ℓ = 0 et m = 3 , l’ ´ equiv alen t asymp to tique suiv an t : ( b − 1)(3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 3 biπ n [( b − 2)!] s I 1 (1 − t ) 3 exp( st ) t s d t = (4.114) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )( e/ 3) 3 / 2 e s 2 3 b √ π [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  . (4.115 ) Ainsi, nous concluons l’ ´ equiv alent asymptotique du co eﬃci ent : [ x n ] E (0) ( x ) = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )( e/ 3) 3 / 2 e s 2 3 b √ π [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  . (4.116) ♦ Nous a vo ns le co eﬃcien t [ x n ] E (0) ( x ) par cette p rop o sition et l’asymptotique du co ef- ﬁcien t [ x n ] H 0 ◦ T ( x ) par la prop osition 3.2.1 . Nous trouv ons alors par la d´ eﬁ nitio n de la SGE E (0) ( x ) : Th´ eor ` eme 4.1.16. L a moyenne E (0) n de la variable al ´ eatoir e Y (0) n c or r esp ondant ` a la tail le de l’hyp e r c oupla ge pr o duit p ar l’algorithme glouton, quand l’entr´ ee de l’algorithme est c h oisie uniform´ ement p armi les hyp er c ycles ` a n sommets, est tel le qu e E (0) n ∼ (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )( e/ 3) 3 / 2 2 b √ π s , (4.117) ave c s , tel que n = s ( b − 1) . 80 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Prop os ition 4.1.17. Pour ℓ ≥ 1 , la fonction g ℓ , tel le que E ( ℓ ) ( x ) = 1 T ( x ) ℓ g ℓ ( y )(1 + y ) ℓ/ ( b − 1)     y = T ( x ) b − 1 / ( b − 2)! , (4.118) admette u n d ´ evelopp ement en y = 1 qui c ommenc e c omme suit : g ℓ ( y ) = ˆ b ℓ ( b − 1) 2 ℓ (3 ℓ + 2)(1 − y ) 3 ℓ +2 + . . . , (4.119 ) o` u ˆ b ℓ admet la r´ ecurr enc e ˆ b 0 = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 2 b , (4.120) ˆ b ℓ = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) λ ℓ 2 ℓ/ ( b − 1) 2 + (4 .121) + (3 ℓ + 1) ˆ b ℓ − 1 2 ( ℓ − 1) / ( b − 1) + 2 P ℓ − 1 p =0 λ ℓ − 1 − p ˆ b p 2 p/ ( b − 1) 2 ℓ/ ( b − 1) 2 , (4.122) λ j ´ e tant la notation d´ eﬁnie dans le th ´ eor` eme 2.3.37 . Pr e uve. Dans la r´ ecurr e nce (4.83) de la p reuv e du th ´ eor` eme 4.1.13 , nous remarqu ons que p our d´ eterminer E ( ℓ ) , il suﬃt d ’i nt ´ egrer g ℓ ′ ( y ) = (1 + by  1+( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1+ y ) 1 / ( b − 1) ) ¯ J ℓ ( y ) (1 + y ) ( ℓ + b − 1) / ( b − 1) + ¯ ¯ F ( ℓ − 1) ( y ) b ( b − 1)(1 + y ) ( ℓ + b − 1) / ( b − 1) . (4.123) Or, d ans cette ´ equation, le premier terme du second membre admet un d´ evelo pp ement en y = 1 qui commence comme suit : (1 + by  1+( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1+ y ) 1 / ( b − 1) ) ¯ J ℓ ( y ) (1 + y ) ( ℓ + b − 1) / ( b − 1) = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) λ ℓ ( b − 1) 2 ℓ 2 ℓ/ ( b − 1) 2(1 − y ) 3 ℓ +3 + . . . (4.12 4) car (1 + by  1 + ( b − 1) ϑ y 1 − y  g − 1 ( y ) (1 + y ) 1 / ( b − 1) ) = 1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) (1 − y ) + . . . (4.125) et ¯ J ℓ ( y ) = λ ℓ ( b − 1) 2 ℓ (1 − y ) 3 ℓ +2 + . . . , (4.126 ) a v ec la notation λ ℓ du th ´ eor ` eme 2.3.37 . Nous trouvo ns ensuite que le d ´ ebut du d´ ev elop- p emen t en y = 1 d u second terme du second mem bre de (4.1 23 ) est : ¯ ¯ F ( ℓ − 1) ( y ) b ( b − 1)(1 + y ) ( ℓ + b − 1) / ( b − 1) = (4.127 ) ( b − 1) 2 ℓ n (3 ℓ + 1) ˆ b ℓ − 1 2 ( ℓ − 1) / ( b − 1) + 2 P ℓ − 1 p =0 λ ℓ − 1 − p ˆ b p 2 p/ ( b − 1) o 2 ℓ/ ( b − 1) 2(1 − y ) 3 ℓ +3 + . . . (4.128) 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 81 Comme dans le lemme 2.3.36 , si u ne comp osan te ℓ sub it la d´ ecomp osition (suppression d’h yp erarˆ etes) sugg ´ er ´ ee par l’algorithme 3 pro duisant une famille, index ´ ee par i , de com- p osan tes d ’exc ` es j i et ay an t k i marquages (compt´ es a v ec l’ordre de m ultiplicit ´ e d ´ eﬁn i par le nombre d’h yp erar ˆ etes s upprim ´ ees auxquelles un sommet marqu´ e appartenait) alors, en supp osan t q ue ( j i , k i ) 6 = ( − 1 , 1) , le degr´ e maximum de (1 / (1 − y )) du d´ ev elopp emen t en y = 1 d’une SGE li ´ ee ` a la description de telles familles, v aut au plus X i (3 j i + 2 k i ) = (3 ℓ + 3) − X i k i . (4.129 ) Comme la SGE ¯ ¯ F , (4.77) , est li ´ ee ` a de telles familles sauf ` a cell e r ´ eduite ` a u ne comp osan te d’exc ` es ℓ et a y an t un seul marquage, le d eg r´ e est au plus , av ec P i k i = 2 , 3 ℓ + 3 − 2 + 2 = 3 ℓ + 3 , (4. 130) o ` u le 2 ra jout ´ e est ` a cause d’un facteur en ϑ x k E ( j ) ( x ) rempla¸ can t un facteur en ϑ x k H j ◦ T ( x ) par la d ´ eriv ation ∂ ∂ z dans (4.72 ) . Si b ≥ 3 , nous distinguons deu x t yp es de familles telles que P i k i = 2 a v ec d es k i d’ordre 1 (cette restriction est motiv ´ ee parce qu e nous ne sommes int ´ eress ´ es que p ar le co eﬃcien t du terme en (1 / (1 − y )) a ve c la plu s grande puissance) : – S i les deux marques ap partie nn en t ` a une m ˆ eme comp osan te, alors les familles sont li ´ ees ` a des constru ct ions d´ ecrites d ans C 1 ( ℓ − 1) ( x, z ) = (4.131 ) T ( x ) ℓ +1   1 2 b ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 2 ( b − 2)! ! 2 + b 2 ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 3 ( b − 3)!   × (4.132) × ϑ x 2 G ( ℓ − 1) ( x, z ) . (4.133 ) – S i les deux marqu es appartiennent ` a deux comp osan tes d istincte s, alors les familles son t li ´ ees ` a des constru ct ions d´ ecrites dans C 2 ( ℓ − 1) ( x, z ) = (4.13 4) T ( x ) ℓ +1    1 2 b ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 2 ( b − 2)! ! 2 + b 2 ϑ x G ( − 1) ( x, z ) b − 3 ( b − 3)!    × (4.135 ) × ℓ − 1 X p =0 ϑ x G ( p ) ( x, z ) × ϑ x G ( ℓ − 1 − p ) ( x, z ) . ( 4.136) D’un cot ´ e, l’application de ∂ ∂ z () | z =1 ` a (4.131) nous p ermet d e pr´ eciser les construc- tions contribuan t au co eﬃcie nt d e (1 / (1 − y )) p ortan t la plus grande pu issance . ` A partir de (4.13 1 ) , nous iden tiﬁons alors les constructions d ´ ecrites dans l’expression su iv an te  1 2 ( bτ ◦ T ( x )) 2 + b ( b − 2) 2 τ ◦ T ( x )  T ( x ) ℓ − 1 ϑ x 2 E ( ℓ − 1) ( x ) . (4.137 ) 82 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Notons par ˆ b j ( b − 1) 2 j / (3 j + 2) , le co e ﬃcient d e (1 / (1 − y )) p ortan t la plu s grand e puissance de g j ( y ) dans le d´ ev elopp emen t de ce d ernier, ce que nous a v ons ´ ecrit g j ( y ) = ˆ b j ( b − 1) 2 j (3 j + 2)(1 − y ) 3 j +2 + . . . , (4.138) a v ec ˆ b 0 = (3 b − 2)(1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) 2 2 b . (4.139 ) Ces constructions, iden tiﬁ ´ ees d ans (4.137) , con tribuent d onc au coeﬃcient par b ( b − 1) 2 ℓ +1 (3 ℓ + 1) ˆ b ℓ − 1 2 ( ℓ − 1) / ( b − 1) . (4.140) De l’autre cot ´ e, l’application de ∂ ∂ z () | z =1 ` a (4.134) n o us p ermet d’obtenir les autres constructions qui p ermettent de d ´ eterminer ce coeﬃcient de (1 / (1 − y )) p ortan t la plus grande pu issance. Aussi, nous ident iﬁons les constructions d´ ecrites dans l’expression su i- v ante : T ( x ) ℓ − 1  1 2 ( bτ ◦ T ( x )) 2 + b ( b − 2) 2 τ ◦ T ( x )  × (4.141) × 2 ℓ − 1 X p =0 ϑ x E ( p ) ( x ) × ϑ x H ℓ − 1 − p ◦ T ( x ) . (4.142 ) Ces constructions con tribuent au co e ﬃcient par 2 b ( b − 1) 2 ℓ +1 ℓ − 1 X p =0 λ ℓ − 1 − p ˆ b p 2 p/ ( b − 1) , (4.143 ) o ` u nous adoptons la notatio n λ ℓ , du th´ eor` eme 2.3.37 , r el ativ e au co eﬃcien t d u terme en (1 − τ ◦ T ( x )) − 3 ℓ p ortan t l’asymptotique du coeﬃcient d e H ℓ ◦ T ( x ) : H ℓ ( t ) = 1 t ℓ  λ ℓ ( b − 1) 2 ℓ 3 ℓ 1 (1 − τ ( t )) 3 ℓ + . . .  , (4.144) a v ec                  λ 0 = 1 2 , λ 1 = 5 8 , λ ℓ = 3 ℓ 2 λ ℓ − 1 + 1 2 ℓ − 2 X p =1 λ p λ ℓ − 1 − p , p our ℓ = 2 , 3 . . . (4.145 ) La con tribution de ˆ ˆ F ( y ) / ( b ( b − 1)(1 + y ) ( ℓ + b − 1) / ( b − 1) ) au coeﬃcien t est d o nc ( b − 1) 2 ℓ n (3 ℓ + 1) ˆ b ℓ − 1 2 ( ℓ − 1) / ( b − 1) + 2 P ℓ − 1 p =0 λ ℓ − 1 − p ˆ b p 2 p/ ( b − 1) o 2 ℓ/ ( b − 1) 2 . (4.146) 4.1. HYPER GRAPHES ET HYPERCOUPLA GE GLOUTON 83 Nous obtenons alors par (4.124) et (4.127) la r ´ ecurr e nce ˆ b ℓ = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) λ ℓ 2 ℓ/ ( b − 1) 2 + (4.147 ) + (3 ℓ + 1) ˆ b ℓ − 1 2 ( ℓ − 1) / ( b − 1) + 2 P ℓ − 1 p =0 λ ℓ − 1 − p ˆ b p 2 p/ ( b − 1) 2 ℓ/ ( b − 1) 2 . (4.148 ) ♦ Ainsi, par exemple, nous trouv ons : Exemple 4.1.18. P our ℓ = 1 , ˆ b 1 = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) λ 1 + 5 ˆ b 0 2 1 / ( b − 1) 2 , (4.1 49) soit ˆ b 1 2 1 / ( b − 1) = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )(7 b − 4) λ 1 2 b . (4 .150) Exemple 4.1.19. Et p our ℓ = 2 , ˆ b 2 2 2 / ( b − 1) = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) λ 2 2 + 8 ˆ b 1 2 1 / ( b − 1) + 2 λ 1 ˆ b 0 2 , (4.151) soit ˆ b 2 2 2 / ( b − 1) = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )(65 b − 34) λ 2 12 b . (4.152 ) Exemple 4.1.20. P our ℓ = 3 , ˆ b 3 2 3 / ( b − 1) = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )(293 b − 144) 11 λ 3 442 b . (4.153) Exemple 4.1.21. P our ℓ = 4 , ˆ b 4 2 4 / ( b − 1) = (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )(7081 b − 3314) 7 λ 4 5424 b . (4.154) Prop os ition 4.1.22. L a r´ ecurr enc e des ˆ b ℓ , g ℓ ( y ) = ˆ b ℓ ( b − 1) 2 ℓ (3 ℓ + 2)(1 − y ) 3 ℓ +2 + . . . , (4.155 ) s’´ ecrit enc or e 2 ˆ b ℓ 2 ℓ/ ( b − 1) (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) = σ ℓ ( b )3 λ ℓ , (4.156 ) 84 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S ave c λ ℓ , tel que          λ 0 = 1 2 , λ ℓ = 1 2 λ ℓ − 1 (3 ℓ − 1) + 1 2 ℓ − 1 X p =0 λ p λ ℓ − 1 − p , p our ℓ = 1 , 2 . . . (4.157 ) et                    σ 0 ( b ) = 3 b − 2 3 b , σ ℓ ( b ) = 1 3 + 1 2 λ ℓ − 1 (3 ℓ + 1) σ ℓ − 1 ( b ) 3 λ ℓ + + 1 2 ℓ − 1 X p =0 λ ℓ − 1 − p λ p { σ p ( b ) + σ ℓ − 1 − p ( b ) } 3 λ ℓ , p our ℓ = 1 , 2 . . . (4.158 ) Prop os ition 4.1.23. L e c o eﬃcie nt de la SGE E ( ℓ ) ( x ) qui c o de la moyenne de la variable al ´ eatoir e Y ( ℓ ) n admet l’´ eq uivalent asymp totique suivant : [ x n ] E ( ℓ ) ( x ) = (4.1 59) ( b − 1) 2 ℓ +1 (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) σ ℓ ( b )3 λ ℓ e s + 3 ℓ +3 2 − ℓ b − 1 ( s/ (3 ℓ + 3)) (3 ℓ +3) / 2 4 √ sπ [( b − 2)!] s × (4.160 ) ×  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  . (4.161 ) Pr e uve. Comme la SGE lisse ˆ E ( ℓ ) corresp ondan t ` a la SGE T ( x ) ℓ E ( ℓ ) ( x ) est telle que ˆ E ( t ) = g ℓ ◦ τ ( t )(1 + τ ( t )) ℓ/ ( b − 1) = ( b − 1) 2 ℓ (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) σ ℓ ( b )3 λ ℓ 2(3 ℓ + 2)(1 − τ ( t )) 3 ℓ +2 + . . . (4. 162) et d d t ˆ E ( t ) = ( b − 1) 2 ℓ (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) σ ℓ ( b )3 λ ℓ 2(1 − τ ( t )) 3 ℓ +3 ( b − 1) τ ( t ) t + . . . (4.16 3) P ar la formule d ’in v ersion de Lagrange, l’asymptotique d u co eﬃcien t [ x n ] E ( ℓ ) ( x ) est p ort ´ e par celui de I = ( b − 1) 2 ℓ +1 (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) σ ℓ ( b )3 λ ℓ 2 n h t n + ℓ i  τ ( t ) (1 − τ ( t )) m Φ( t ) n  , (4.1 64) a v ec τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! , Φ( t ) = exp( τ ( t ) / ( b − 1)) et m = 3 ℓ + 3 . En notan t n = n ( s ) = 4.2. HYPER GRAPHES ´ EV OLUANTS 85 s ( b − 1) − ℓ , nous obtenons le r ´ esultat p a r le lemme 3.3.3 car I = (4.165 ) = ( b − 1) 2 ℓ +1 (1 − 1 / 2 b ( b − 1) ) σ ℓ ( b )3 λ ℓ e s + m 2 − ℓ b − 1 ( s/m ) m 2 4 n √ sπ [( b − 2)!] s  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  = (4.166) = ( b − 1) 2 ℓ +1 (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) ) σ ℓ ( b )3 λ ℓ e s + 3 ℓ +3 2 − ℓ b − 1 ( s/ (3 ℓ + 3)) (3 ℓ +3) / 2 4 n √ sπ [( b − 2)!] s × (4.167) ×  1 + O ( 1 s 1 / 2 )  . (4.168 ) ♦ P ar les asymptotiques des coeﬃcien ts [ x n ] E ( ℓ ) ( x ) de la prop osition pr´ ec ´ edente et [ x n ] H ℓ ◦ T ( x ) d e la prop osition 3.3.4 , nous trouv ons : Th´ eor ` eme 4.1.24. L a moyenne E ( ℓ ) n de la variable al´ eatoir e Y ( ℓ ) n c or r esp ondant ` a la tail le de l’hyp e r c oupla ge pr o duit p ar l’algorithme glouton, quand l’entr´ ee de l’algorithme est c h oisie uniform´ ement p armi les hyp er c ycles ` a n sommets est tel le qu e E ( ℓ ) n ∼ σ ℓ ( b ) e (1 − 1 / 2 b/ ( b − 1) )( 3 ℓ +1 3 ℓ +3 ) 3 ℓ +1 2 2( ℓ + 1) ! s , (4.169 ) ave c s , le nombr e d’hyp er ar ˆ etes quand n est le nombr e de sommets, soit n = n ( s ) = s ( b − 1) − ℓ , et les σ ℓ d ´ eﬁnis dans l’´ enonc´ e de la pr op osition 4.1.22 . 4.2 Hyp ergraphes ´ ev oluan ts Dans cette secti on nous g ´ en ´ eralisons un r ´ esultat de [14] sur l es graphes ´ ev oluan ts. P lu- sieurs r´ esultats su r les graphes al´ eatoires [5] seraien t aussi accessibles p our hyp ergraphes par l’appro c he sugg ´ er ´ ee dans [14] . Algorithme 4 : G ´ en ´ eration d’hyp ergraphe jusqu’` a l’apparition du premier cycle En tr´ ees : En tier n , le nombre des sommets ´ etiquet ´ es. Sorties : F or ˆ et d’h yp erarbre non enr ac in´ e et u n cycle a v ec une hyperarˆ ete in t ´ erieure marqu ´ ee. d´ ebut Initialiser a v ec un hypergrap he ` a n sommets sans h yp erar ˆ ete. r´ ep ´ eter Ajouter une nouve l le hyp erar ˆ ete al ´ eatoire jusqu’` a une c omp osante d’exc` es ≥ 0 a ´ et´ e form ´ e e ﬁn Marquer la derni ` ere hyperarˆ ete a jout ´ ee d a ns l’h yp ergraphe. retourner l’hyp er gr aphe 86 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S 4.2.1 D´ eﬁnitions et notions Dans cette section, nous disp osons de la SGE ˆ H − 1 ( w, z ) biv ari ´ ee des hyper a rb res : ˆ H − 1 ( w, z ) = H − 1 ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) w 1 / ( b − 1) , (4.170) a v ec – z : d ´ enote la v ariable li´ ee au n om bre d e sommets de l’h yp ergraphe, – w : d ´ enote la v ariable li ´ ee au nom bre de ses h yp erar ˆ etes, – T : la SGE des h yp erarbres enracin´ es T ( z ) = z exp  T ( z ) b − 1 ( b − 1)!  , (4.171 ) – H − 1 : la SGE “lisse” d es hyperarb res H − 1 ( t ) = t  1 − τ ( t ) b  , (4.172) o ` u τ ( t ) = t b − 1 ( b − 2)! . D ´ eﬁnition 4.2.1. D ´ enotons Ψ n l’op ´ erateur Ψ n F = X m ≥ 1 f m,n m  N m  , av ec N =  n b  , (4.17 3) et F ( w , z ) la SGE biv ari´ ee F ( w , z ) = X n,m ≥ 0 f m,n w m z n n ! . (4.174) Cet op ´ erateur Ψ n admet une form ulation in t ´ egrale suiv an te : D ´ eﬁnition 4.2.2. l’op ´ erateur Ψ n est Ψ n F = Z ∞ 0 1 (1 + t ) N F n ( t ) d t t (1 + t ) , (4.1 75) o ` u N =  n b  (4.176 ) et F n ( w ) = n ! [ z n ] F ( w, z ) = n ! 2 iπ I F ( w , z ) z n +1 d z . (4.177) L’ ´ equiv alence des deux d´ eﬁn itio ns s e justiﬁe, comme soulign´ e dans [14] , p ar la β fonction in t ´ egrale : La su bstitution u = t/ (1 + t ) transforme R ∞ 0 t m − 1 d t / (1 + t ) N +1 en Z 1 0 u m − 1 (1 − u ) N − m d u = B ( N + 1 − m, m ) = 1 m  N m  . (4.178) 4.2. HYPER GRAPHES ´ EV OLUANTS 87 D ´ eﬁnition 4.2.3. Un hyp ergraphe ´ ev oluant est u n hyper g raph e dont les hyp erar ˆ etes appara ˆ ıssent une par une. Ces hypergraph es ´ ev oluant s son t ` a priori diﬀ ´ erents des h yp ergraphes o ` u c hacune des hyp erar ˆ etes existe a v ec un e certaine p robabilit ´ e p (mo d ` ele b inomia l d’hyp e rgraph e al ´ eatoire ´ etudier dans [10]) . 4.2.2 L’atten te mo y enne de l’apparition du premier cycle P our obtenir un e expression de l’esp ´ erance d u nombre d’hyp erar ˆ etes a j o ut´ ees par l’algorithme 4 , nous consid´ erons la SGE biv ari ´ ee li ´ ees aux structures r enco ntr ´ ees lors du d ´ eroulement d e l’algorithme telles que le pro cessus d e cr ´ eation d’une nouv elle h yp erar ˆ ete con tin u. Ces stru ct ur es rencon tr´ ees n e sont autres qu e des for ˆ ets d’hyp erarbres, c hacune de c es structures a y an t m hyperarˆ etes p eut ap para ˆ ıtre en suiv ant m ! historiques distinctes selon l’ordre d e cr ´ eation des m hyp erar ˆ etes. Sac han t qu’un hypergraph e ay an t n sommets admet m h yp erar ˆ etes ordonn´ ees, la probab il it ´ e qu’il s’agit d’u ne for ˆ et d’hyp erarbres est m ! f m,n m !  N m  = f m,n  N m  , ( 4.179) a v ec N =  n b  et a v ec f m,n le n o mbre de forˆ ets d’hyper a rb res c hacun a y an t n sommets et m h yp erar ˆ etes. Nous obtenons alors le nombre mo y en d’hyper a rˆ etes a jout ´ ees en sommant le terme (4.17 9 ) p our m ≥ 0 : E n = X m ≥ 0 f m,n  N m  . (4.180) Notons F la SGE des for ˆ ets d’hyp erarbres F ( w , z ) = exp H − 1 ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) w 1 / ( b − 1) ! = X m ≥ 0 ,n ≥ 1 f m,n w m z n n ! , (4.181) alors l’applicatio n de l’op ´ erateur Ψ n ` a F donne pr esque l’expression de la mo y enne E n : Ψ n F = X m ≥ 1 f m,n m  N m  , (4.182 ) une expression plus p roche de la mo y enne E n est Ψ n ϑ w F = X m ≥ 1 f m,n  N m  . (4.183 ) Ainsi, nous v o y ons que la moy enne E n s’exprime a v ec l’op´ erateur Ψ n comme : E n = 1 + Ψ n ϑ w F . (4 .184) 88 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Notons alors que ϑ w F ( w , z ) = F ( w, z ) T ( w 1 / ( b − 1) z ) b w 1 / ( b − 1) b ! (4.185 ) = T ( w 1 / ( b − 1) z ) b w 1 / ( b − 1) b ! exp H − 1 ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) w 1 / ( b − 1) ! . ( 4.186) Notons ˆ f n ( w ) , le co eﬃci ent [ z n ] ϑ w F ( w , z ) : ˆ f n ( w ) = [ z n ] T ( w 1 / ( b − 1) z ) b w 1 / ( b − 1) b ! exp H − 1 ◦ T ( w 1 / ( b − 1) z ) w 1 / ( b − 1) ! . (4.1 87) Une application d’u ne version de la form ule d ’in v ersion de Lagrange 2.3.2 , r ´ eadapt ´ ee ` a cette SGE biv ari´ ee av ec une seconde v ariable relativ e au nom bre d’hyp erar ˆ etes, d onne ˆ f n ( w ) = (4.188 ) = 1 n  t n − 1   d d t  w t b b ! exp  ¯ H − 1 ( w, t )   exp  nw τ ( t ) b − 1  = (4.189) = 1 2 inπ I w d d t  t b b ! e ¯ H − 1 ( w, t )  e nw τ ( t ) b − 1 − n ln( t ) d t , (4.190) a v ec τ ( t ) = t b − 1 / ( b − 2)! , ¯ H − 1 ( w, t ) = t  1 − w τ ( t ) b  . (4.191) Nous u tili serons un e autre formulatio n de la v ersion de l’inv er sio n de Lagrange qui ne comptabilise p a s les h yp erar ˆ etes en mettan t la v ariable w du cot ´ e d es forˆ ets, mais du cot ´ e de la structure cen trale. ´ Ec hanger la mani` ere d e comptabiliser les h yp erar ˆ etes p our les comptabiliser du cot ´ e d e la structure cen trale, s e traduira par une m ultiplication p ar w n/ ( b − 1) , n/ ( b − 1) ´ etan t le n om bre d’hyp erar ˆ etes d ans une forˆ et ` a n sommets p our garan tir la pr´ esence d’au moins u n cycle, et u n changemen t de t en tw − 1 / ( b − 1) . Nous obtenons alors une version de l’inv ersion de Lagrange s uiv an t : ˆ f n ( w ) = (4 .192) = w n b − 1 n  t n − 1   d d t  1 w 1 ( b − 1) t b b ! exp  ¯ H − 1 ( w, t w 1 b − 1 )  e n τ ( t ) b − 1  = (4.193 ) = w n − 1 b − 1 n  t n − 1   d d t  t b b ! exp  ¯ H − 1 ( w, t w 1 b − 1 )  exp  n τ ( t ) b − 1  . (4.194) De mani ` ere analytique, cela s’ ´ ecrit ˆ f n ( w ) = w n − 1 b − 1 2 iπ n × (4.195 ) × I  d d t  t b b ! exp  ¯ H − 1 ( w, t w 1 b − 1 )  exp  n τ ( t ) b − 1 − n ln( t )  d t . (4.19 6) 4.2. HYPER GRAPHES ´ EV OLUANTS 89 Nous a v ons d d t  t b b ! exp  ¯ H − 1 ( w, t w 1 b − 1 )  = (4.197 ) = d d t  t b b ! exp  t w 1 b − 1  1 − τ ( t ) b  = (4.198 ) =  t b − 1 ( b − 1)! + t b b ! w 1 b − 1 (1 − τ ( t ))  exp  t w 1 b − 1  1 − τ ( t ) b  = (4.199) = τ ( t ) b − 1  1 + t bw 1 b − 1 (1 − τ ( t ))  exp  t w 1 b − 1  1 − τ ( t ) b  . (4.200) Et ˆ f n ( w ) se met sous la forme suiv an te : ˆ f n ( w ) = w n − 1 b − 1 2 iπ n ( b − 1) × (4.201 ) × I τ ( t )  1 + t bw 1 b − 1 (1 − τ ( t ))  e tw − 1 b − 1 “ 1 − τ ( t ) b ” e n τ ( t ) b − 1 − n ln( t ) d t . (4.2 02) P our ´ ev aluer Ψ n ϑ w F qui s’ ´ ecrit sous la forme in t ´ egrale suiv ante : Ψ n ϑ w F = Z ∞ 0 1 (1 + w ) N F n ( w ) d w w (1 + w ) , (4.203 ) a v ec N =  n b  et F n ( w ) = n ! ˆ f n ( w ) , (4.204 ) nous comp ensons ce facteur n ! dans l’estimati on de ˆ f n par le c hangemen t de v ariable              w → e b − 1 ( wn ) b − 1 d w w → − ( b − 1) d w w n ! ˆ f n ( w ) → n ! ˆ f n ( e b − 1 ( wn ) b − 1 ) (4.205 ) et nous obtenons Ψ n ϑ w F = Z ∞ 0 ( b − 1) n ! ˆ f n ( e b − 1 ( wn ) b − 1 ) w (1 + e b − 1 ( wn ) b − 1 ) N +1 d w . (4.206) Dans ce c hangemen t de v ariable (4.205 ) , n o us a v ons ˆ f n ( e b − 1 ( wn ) b − 1 ) = e n − 1 2 iπ n n ( b − 1) w n − 1 I g ( w, t ) e nh ( t ) d t , (4.207 ) a v ec g ( w, t ) = τ ( t )  1 + nw t eb (1 − τ ( t ))  (4.208 ) 90 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S et h ( t ) = τ ( t ) b − 1 − ln( t ) + wt e (1 − τ ( t ) b ) . ( 4.209) La d ´ eriv´ ee d e cette fonction h est h ′ ( t ) = τ ( t ) t − 1 t + w e (1 − τ ( t )) = (1 − τ ( t ))( w e − 1 t ) . (4 .210) La d ´ eriv´ ee seconde de la fonction h est h ′′ ( t ) = − ( b − 1) τ ( t ) t ( w e − 1 t ) + (1 − τ ( t ))( 1 t 2 ) . (4.211) Nous distinguons alors d eux cas : 1. S i w ≤ e [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) , alors la d ´ eriv´ ee seconde au p oint col t 0 = [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) est p ositiv e h ′′ ( t 0 ) = − ( b − 1) 1 [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) ( w e − 1 [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) ) . (4.212) Alors nous f a isons passer le con tour d’int ´ egration vertica lement par le p oin t col t 0 . 2. S i w ≥ e [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) , alors la d ´ eriv ´ ee seconde au p oint col t 1 = e/w est p ositiv e h ′′ ( t 1 ) = +(1 − e b − 1 w b − 1 ( b − 2)! ) w 2 e 2 . (4.2 13) Alors nous f a isons passer le con tour d’int ´ egration vertica lement par le p oin t col t 1 . Dans c haque cas, nous u til isons le con tour d ’i nt ´ egration suiv an t selon t j : γ :  γ 1 : t = t j + iv /n , v ↑∈ [ − 3 nt j , 3 nt j ] γ 0 : t = t j + 3 t j exp( iα ) , α ↑∈ [ π / 2 , 3 π / 2] . (4.214 ) Notons ˆ γ 1 , u ne p ortion du chemin γ 1 : ˆ γ 1 : t = t j + iv /n , v ↑∈ [ − κ s , κ s ] , (4.215 ) a v ec κ s , un nom bre p ositif qui sera pr´ ecis ´ e plus tard. Soit alors la v aleur I 1 de l’in t ´ egrale (4.207) restrein te ` a cette p ortion ˆ γ 1 : I 1 = e n − 1 2 iπ n n ( b − 1) w n − 1 Z ˆ γ 1 g ( w, t ) e nh ( t ) d t . (4.21 6) Ce qui, si l’int ´ egrande est appro c h ´ ee au p oin t col, donne I 1 = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) 2 iπ n n ( b − 1) w n − 1 Z ˆ γ 1 exp  nh ′′ ( t j )( t − t j ) 2 / 2 + O ( nh (4) ( t j )( t − t j ) 4  d t , (4.217) 4.2. HYPER GRAPHES ´ EV OLUANTS 91 soit, a v ec la v ariable d ’i nt ´ egration v I 1 = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) 2 π n n +1 ( b − 1) w n − 1 Z κ s − κ s exp  − h ′′ ( t j ) v 2 2 n + O ( h (4) ( t j ) v 4 n 3 )  d v . (4 .218) Soit, encore par le change ment de v ariable    v → q 2 n h ′′ ( t j ) r d v → q 2 n h ′′ ( t j ) d r (4.219 ) et en n ot ant C w ,n = q h ′′ ( t j ) / (2 n ) , ( 4.220) I 1 = (4.221 ) = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) π n n ( b − 1) w n − 1 p 2 nh ′′ ( t j ) Z κ s C w,n − κ s C w,n e − r 2 + O ( h (4) ( t j ) h ′′ ( t j ) 2 r 4 n ) d r = (4.222) = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) π n n ( b − 1) w n − 1 p 2 nh ′′ ( t j ) Z κ s C w,n − κ s C w,n e − r 2 1 + O ( h (4) ( t j ) h ′′ ( t j ) 2 r 4 n ) ! d r = (4.223) = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) π n n ( b − 1) w n − 1 p 2 nh ′′ ( t j ) × (4.224 ) × ( Z κ s C w,n − κ s C w,n e − r 2 d r + O ( h (4) ( t j ) h ′′ ( t j ) 2 ( κ s C w ,n ) 5 n ) ) . (4.2 25) Alors l’in t ´ egrale I 1 devien t I 1 = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) π n n ( b − 1) w n − 1 p 2 nh ′′ ( t j ) × (4.226 ) × ( Z κ s C w,n − κ s C w,n e − r 2 d r + O ( h (4) ( t j ) q h ′′ ( t j ) κ s 5 n 7 / 2 ) ) . (4.227 ) En prenant κ s = n 2 / 3 , nous obtenons I 1 = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) n n ( b − 1) w n − 1 p π 2 nh ′′ ( t j )  1 + O ( h (4) ( t j ) q h ′′ ( t j ) 1 n 1 / 6 )  . (4.228 ) Sur le con tour restan t, la con tribution ´ etan t exp onen tiellemen t p etit, nous obtenons que I 1 est l’ordre asymptotique d e (4.207) : s i w ≤ e/ [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) , alors on prend ra j = 0 soit le p oin t col t 0 = [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) , sinon on p rendra j = 1 soit le p oint col t 1 = e/w . Et l’ordre asymptotique de (4.207 ) est ˆ f n ( e b − 1 ( wn ) b − 1 ) = e n − 1 g ( w, t j ) e nh ( t j ) n n ( b − 1) w n − 1 p π 2 nh ′′ ( t j )  1 + O ( h (4) ( t j ) q h ′′ ( t j ) 1 n 1 / 6 )  . (4.229 ) 92 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Aﬁn d’estimer asymptotiquement l’esp ´ erance, nou s p ortons le terme asymptotique pr in- cipal de l’ ´ equation pr´ ec ´ eden te dans (4.206) et nous a v ons alors ` a consid´ er e r l’in t ´ egrale ainsi obten ue suiv an te : I = n ! e n − 1 n n √ π 2 n Z ∞ 0 g ( w, t j ) (1 + e b − 1 ( wn ) b − 1 ) N +1 e nh ( t j ) − n ln( w ) p h ′′ ( t j ) d w , (4.230 ) a v ec t j = ( [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) si w ≤ e [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) e/w si w ≥ e [( b − 2)!] 1 / ( b − 1) , (4.231 ) g ( w, t ) = τ ( t )  1 + nw t eb (1 − τ ( t ))  , (4.2 32) h ( t ) = τ ( t ) b − 1 − ln( t ) + w e t (1 − τ ( t ) b ) , ( 4.233) la d ´ eriv ´ ee seconde de cette d erni ` ere ´ etan t h ′′ ( t ) = − ( b − 1) τ ( t ) t ( w e − 1 t ) + (1 − τ ( t ))( 1 t 2 ) . (4.234) P our ´ ev aluer cette int ´ egrale (4.230) , nou s distinguerons les deux interv alles ]0 , λ 0 [ et ] λ 0 , ∞ [ a vec λ 0 = e/ (( b − 2)!) 1 / ( b − 1) . S oit alors I a la v aleur d e l’in t ´ egrale sur ]0 , λ 0 [ : I a = n ! e n − 1 n n √ π 2 n Z λ 0 0 1 (1 + e b − 1 ( wn ) b − 1 ) N +1 e nh ( t j ) − n ln( w ) p h ′′ ( t j ) d w , (4.235 ) o ` u h ( t j ) = 1 b − 1 − ln( t j ) + ( b − 1) t j w be = − b − 2 b − 1 + ln( λ 0 ) + ( b − 1) w bλ 0 (4.236 ) et h ′′ ( t j ) = ( b − 1) 1 t j 2 (1 − wt j e ) = ( b − 1)  λ 0 e  2 (1 − w λ 0 ) . (4.237 ) Cette derni ` ere admet une racine en w = λ 0 . P ar les ´ equiv alen ts suiv an ts : N + 1 ∼ n b − 1 n b ! (4.238 ) et ((1 + e b − 1 ( wn ) b − 1 ) n b − 1 ) n/b ! ∼ e n b ! ( e w ) b − 1 , (4.239) 4.2. HYPER GRAPHES ´ EV OLUANTS 93 nous obtenons I a ∼ n ! e n − 1 n n √ π 2 n Z λ 0 0 e − n b ! ( e w ) b − 1 + nh ( t j ) − n ln( w ) p h ′′ ( t j ) d w (4.240 ) ∼ n ! e n − 1 [( b − 2)!] 1 ( b − 1) λ 0 n n ( b − 1) 1 2 √ π 2 n × (4.241 ) × Z λ 0 0 e − n b ( b − 1) “ λ 0 w ” b − 1 + n b − 1 b w λ 0 − n b − 2 b − 1 − n ln( w λ 0 ) q 1 − w λ 0 d w λ 0 (4.242 ) ∼ n ! e n − 1 [( b − 2)!] 1 ( b − 1) λ 0 n n ( b − 1) 1 2 √ π 2 n Z 1 0 e − n b ( b − 1) ( 1 w ) b − 1 + n b − 1 b w − n b − 2 b − 1 − n ln( w ) √ 1 − w d w (4. 243) ∼ n ! e n n n ( b − 1) 1 2 √ π 2 n Z 1 0 e n ˆ h ( w ) √ 1 − w d w , (4.244 ) a v ec ˆ h , d´ eﬁn ie par ˆ h ( w ) = − 1 b ( b − 1)  1 w  b − 1 + b − 1 b w − b − 2 b − 1 − ln( w ) , (4.245) qui s’ann ule p our w = 1 . La d ´ eriv´ ee de cett e f o nction est ˆ h ′ ( w ) = 1 b  1 w  b + b − 1 b − 1 w , (4.24 6) qui s’ann ule p our la v aleur de w = 1 . La d´ eriv´ ee seconde de ˆ h est ˆ h ′′ ( w ) = −  1 w  b +1 + 1 w 2 , (4.247) qui s’annule p our la v aleur w = 1 donc le p oin t col est d ’o rdr e 2 . La d ´ eriv´ ee troisi ` eme de ˆ h est ˆ h ′′′ ( w ) = ( b + 1)  1 w  b +2 − 2 w 3 , (4.248) donc ˆ h ′′′ (1) > 0 (1 est un point d’inﬂexion de ˆ h qui est cr o issante ) . Notons alo rs l’in t ´ egrale I ′ a , la restriction de d e l’in t ´ egrale I a dans un v oisinage de 1 , suiv an te : I ′ a = n ! e n n n ( b − 1) 1 2 √ π 2 n Z 1 1 − ǫ n e − n (( b − 1)(1 − w ) 3 / 6+ O ((1 − w ) 4 )) √ 1 − w d w (4.249 ) = n ! e n n n ( b − 1) 1 2 √ π 2 n Z ǫ n 0 e − n (( b − 1) w 3 / 6+ O ( w 4 )) √ w d w (4.250) = n ! e n n n ( b − 1) 1 2 √ π 2 n Z ǫ n 0 e − n ( b − 1) w 3 / 6 √ w  1 + O ( nw 4 ))  d w . (4.251 ) 94 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Ceci, par le changemen t de v ariable ( w → r ( n ( b − 1) / 6) 1 / 3 d w → d r ( n ( b − 1) / 6) 1 / 3 , (4.252 ) donne I ′ a = n ! e n 6 1 6 n n ( b − 1) 2 3 n 1 6 √ π 2 n Z ǫ n ( n ( b − 1) / 6) 1 / 3 0 e − r 3 √ r  1 + O ( r 4 n 1 / 3 )  d r . (4.2 53) En prenant ǫ n = n − 1 / 4 nous ob t enons I ′ a = O ( 1 n 1 / 6 ) . (4.254 ) Nous en d´ ed uisons que la v aleur asymp to tique de I a est : I a = O ( 1 n 1 / 6 ) . (4.25 5) La mo ye nn e r ec h e rch ´ ee est alors d´ etermin´ ee p ar l’ ´ ev aluation de la v aleur de l’int ´ egrale (4.230) restrein te ` a l’in terv alle ] λ 0 , ∞ [ . Notons ˆ I a , cette in t ´ egrale su r cet in terv alle : ˆ I a = n ! e n − 1 n n √ π 2 n Z ∞ λ 0 g ( w, e/w ) (1 + e b − 1 ( wn ) b − 1 ) N +1 e nh ( t j ) − n ln( w ) p h ′′ ( t j ) d w , (4.256 ) o ` u g ( w, e/w ) = e b − 1 w b − 1 ( b − 2)!  1 + n b  1 − e b − 1 w b − 1 ( b − 2)!  , (4.257 ) h ( t j ) = e b − 1 w b − 1 b ! + ln( w ) , (4.2 58) et h ′′ ( t j ) = +(1 − e b − 1 w b − 1 ( b − 2)! )( w 2 e 2 ) . (4.259) Cette d erni ` ere admet une racine en w = λ 0 = e/ (( b − 2)!) 1 / ( b − 1) . Par les ´ equiv ale nts suiv an ts N + 1 ∼ n b − 1 n b ! (4.260 ) et ((1 + e b − 1 ( wn ) b − 1 ) n b − 1 ) n/b ! ∼ e n b ! ( e w ) b − 1 , (4.261) nous obtenons ˆ I a ∼ n ! e n − 1 n n √ π 2 n Z ∞ λ 0 g ( w, e/w ) p h ′′ ( t j ) e − n b ! ( e w ) b − 1 + nh ( t j ) − n ln( w ) d w (4.262 ) ∼ n ! e n n n √ π 2 n Z ∞ λ 0 g ( w, e/w ) q 1 − e b − 1 w b − 1 ( b − 2)! e − n b ! ( e w ) b − 1 + n e b − 1 w b − 1 b ! d w w . (4.263) 4.2. HYPER GRAPHES ´ EV OLUANTS 95 Ceci, par le changemen t de v ariable              w → e ( w ( b − 2)!) 1 / ( b − 1) d w w → − d w ( b − 1) w g ( w, e/w ) → w  1 + n b (1 − w )  , (4.264 ) donne ˆ I a ∼ n ! e n n n ( b − 1) √ π 2 n Z 1 0 1 + n b − n b w √ 1 − w d w = n ! e n n n ( b − 1) √ π 2 n  6 b + 2 n 3 b  . (4 .265) Soit, Th´ eor ` eme 4.2.4. L e nombr e moyen d’hyp er ar ˆ e tes au moment de l’app aritio n du pr emier cycle dans un hyp er gr aphe ´ evoluant ` a n sommet est asymp totiquement ˆ I a ∼ 2 n 3 b ( b − 1) . (4.2 66) 96 CHAPITRE 4. HYPER GRAPHES AL ´ EA TOIRE S Chapitre 5 Annexe 5.1 Preuv es d es deux iden tit ´ es com binatoires Lemme 5.1.1. Pour j, a ∈ I N ∗ (donc j + a > 0 ) , 1 θ j = j − 1 X i =0  j + a i  (1 − θ ) j + a − i θ j − i + a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) a − i . (5.1) Pr e uve. 1 θ j = j − 1 X i =0  j + a i  (1 − θ ) j + a − i θ j − i + a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) a − i (5.2) = (1 − θ ) a  1 − θ θ  j j + a X i =0  j + a i   θ 1 − θ  i − j + a X i = j  j + a i  (1 − θ ) j + a − i θ j − i + a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) a − i (5.3) = (1 − θ ) a  1 − θ θ  j  1 + θ 1 − θ  j + a − j + a X i = j  j + a i  (1 − θ ) j + a − i θ j − i + a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) a − i (5.4) = (1 − θ ) a  1 − θ θ  j  1 1 − θ  j + a − j + a X i = j  j + a i  (1 − θ ) j + a − i θ j − i + a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) a − i (5.5) = 1 θ j − j + a X i = j  j + a i  (1 − θ ) j + a − i θ j − i + a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) a − i (5.6) = 1 θ j − (1 − θ ) a j + a X i = j  j + a i  (1 − θ ) j − i θ j − i + (1 − θ ) a a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) − i . (5.7) Il suﬃt d e montrer j + a X i = j  j + a i  (1 − θ ) j − i θ j − i = a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) − i (5.8) a X k =0  j + a j + k  (1 − θ ) − k θ − k = a X i =0  j + a − i − 1 j − 1  (1 − θ ) − i (5.9) a X k =0  j + a j + k   θ 1 − θ  k = a X i =0  j + a − i − 1 j − 1   1 1 − θ  i . (5.10) 97 98 CHAPITRE 5. ANNEXE Comme a X i =0  j + a − i − 1 j − 1   1 1 − θ  i = a X i =0  j + a − i − 1 j − 1   1 + θ 1 − θ  i (5.11) = a X i =0 (  j + a − i − 1 j − 1  i X t =0  i t   θ 1 − θ  t ) (5.12) et  j + a j + k  =  j + a − k − 1 j − 1  +  j + a − k − 2 j  +  j + a − k − 2 j + 1  + · · · +  j + a − k − 2 j + k  (5.13)  j + a j + k  =  j + a − k − 1 j − 1  + k X r =0  j + a − k + r − 1 j + r  (5.14) nous obtenons l’iden tit ´ e. ♦ Lemme 5.1.2. Si a − j ≥ 0 alors θ j = a X i =0  a − j − i − 1 − j − 1  (1 − θ ) a − i , (5.15) o` u si k ∈ I N et t ∈ Z Z alors  t k  =  t t − k  = t ( t − 1) · · · ( t − k + 1) k ! . (5.16) Pr e uve. θ j = a X i =0  a − j − i − 1 a − i  (1 − θ ) a − i (5.17) = a X r =0  r − j − 1 r  (1 − θ ) r (5.18) = a X r =0  j r  ( − 1) r (1 − θ ) r (5.19) = j X r =0  j r  ( − 1) r (1 − θ ) r (5.20) = ( 1 − (1 − θ )) j . (5.21) ♦ 5.2. L’HYPER GRAPHE UTILIS ´ E POUR LE D ´ ER OULEMENT DE L’ALGORITHME GLOUTON D’HYPER COUPLA GE 99 5.2 L’h yp ergraphe utilis ´ e p our le d´ eroulemen t de l’algo- rithme glouton d’h yp ercouplage #les 55 hyperar etes de l’hyper graphe 4-unifo rme 27 29 34 10 22 12 32 30 29 18 4 27 22 15 3 18 18 3 13 2 4 23 8 33 26 13 28 3 32 17 31 1 11 7 32 21 6 26 4 22 18 26 3 33 21 2 12 23 6 12 8 4 4 22 10 19 19 27 15 20 15 0 9 26 32 30 0 34 20 19 2 0 17 24 33 19 13 33 26 25 7 29 6 17 14 2 9 6 34 25 18 8 28 27 3 26 28 14 23 12 17 23 6 21 26 31 19 29 21 3 13 16 9 31 7 11 17 13 11 19 32 31 13 24 0 4 17 14 4 6 31 27 13 14 25 16 10 9 22 13 0 2 34 31 9 23 14 22 11 33 31 7 23 21 7 4 100 CHAPITRE 5. ANNEXE 15 34 8 22 30 0 12 22 25 28 9 12 15 30 2 27 32 1 24 6 24 15 6 0 25 2 8 14 0 27 18 28 26 4 15 34 4 33 7 32 19 24 15 33 16 12 34 17 31 1 9 2 13 0 16 33 26 17 21 10 29 25 2 5 Bibliographi e [1] Cayley A. A theorem on trees. Q u a rt. J. M a th. Oxfor d Ser. , 23 :376–37 8, 1889. [2] Joy an A. Une th´ eorie com binatoire des s´ eries formelles. A dv. in M a th , 42 :1–82, 1981. [3] R´ enyi A. O n connected graphs i. P ubl. Math. Inst. Hungarian A c ad. Sc i . , 4 :385 –388, 1959. [4] V obly ˘ ı V. A. W r ig ht and stepanov- wright coeﬃcients. Mathematic al Notes , 42 :969– 974, 1987 . [5] Bollob` as B. R andom Gr aphs . Academic Press, London, 1985 . [6] Canﬁ eld E. R. Bender E. A. and McKa y B. D. T he asymptotic num b er of lab eled connected graphs with a giv e n umber of v ertices and edges. R ando m Structur es and Algor ithms , 1 :127–1 69, 1990. [7] Canﬁ eld E. R. Bender E. A. and McKa y B. D. Asymptoti c prop erties of lab eled connected graphs. R andom Structur es and Algo rithms , 3 :183–20 2, 1992. [8] Norman Bleistein and Ric hard A.Handelsman. A symp totic Exp ansion s of Inte g r als . Do v er, 1986. [9] Berge C. Gr aphs and hyp er gr aphs . North-Holland Mathematical Library , 1976. [10] Am in Co ja-Oghlan, Cristopher Mo ore, and Vishal Sanw ala ni. Coun ting conn ec ted graphs and hyp ergraphs via the probabilistic metho d. [11] Martin Dyer, Alan F rieze, and Boris Pittel. The a v erage p erformance of the greedy matc hing algorithm. The A nnals of Applie d Pr ob ability , 3 :526–552, 1993. [12] K n uth D. E. The Art O f Computer Pr o gr amming . 2nd E ditio n, Addition-W esley , 1973. [13] P hilipp e Fla j o let and Andrew M. Od lyzk o. Rand o m mapping statistics. [14] K n uth D. E. Fla jolet P . and Pittel B. The ﬁrst cycles in an ev olving graph . Discr ete Math , 75 :167–215, 1989. [15] De Bruij n N. G. A symp totic Metho ds in An alysis . Do v er, New-Y ork, 1982. [16] L a b elle G. Une n ouv elle d´ emonstration combinato ire des formules d ’in v ersion de lagrange. A dv. in Math , 42 :217–247, 1981. [17] S eli v ano v B. I. Perec hislenie o dnoro dn ykh hip ergrafo v c p rotsto ˘ ı ciklo v o ˘ ı strukturo ˘ ı. Kombinatorny ˘ ı Ana liz 2 , p ag es 60–67, 1972. 101 102 BIBLIOGRAPHIE [18] Luczak T. Janson S., Knuth D. E. and Pittel B. The birth of the gian t comp onen t. R andom Structur es and Algorithm s , 4 :233–35 8, 1993. [19] K aro´ n ski M. and Luczak T. The num b er of sp arsely edges connected u niform h y- p ergraphs. Discr ete Math , 171 :153–1 68, 1997. [20] K aro´ n ski M. and Luczak T . Random hypergraph s, 2000. [21] K aro´ n ski M. and Luczak T. The phase transition in a random hypergraph . J. Comput. Appl. Math. , 142 :125 –135, 2002 . [22] W right E. M. The num b er of connected s parsely edged graphs. Journal of Gr aph The ory , 1 :317–330, 1977. [23] W right E. M. T he num b er of connected sparsely edged graphs. ii. smo oth graphs and blo c ks. Journal of Gr aph The ory , 2 :299–30 5, 1978. [24] W right E. M . The n umb er of co nn e cted sparsely edged graphs. iii. asymptotic r esults. Journal of Gr aph The ory , 4 :393 –407, 1980 . [25] Bagaev G. N. Random graphs with degree of connectedness equal 2. Discr ete Ana- lysis , 22 :3–14, 1973. [26] Fla jolet P . and Sedgewic k R. Analytic com binatorics. T o app ear c hapters are a v aila ble as In ria researc h rep orts. S e e h ttp ://alg o.inria.fr/ﬂa j o let/Publications/b o oks.h tml. [27] An driamampianina T. and Ra v elomanana V. E n umeration of connected un ifo rm h yp ergraphs, 2005 . [28] R a velo manana Vlady . Graphes multic ycliques ´ etiquet ´ es : Asp ects com binatoires et probabilistes, 2001. [29] Mo on J. W. V arious p roofs of ca yley’s formula for counting trees. A seminar on gr aph the ory , pages 70–78 , 1967. [30] Herb ert S. Wilf. g e ner atingfunctionolo gy . Academic Press, 1990 . Hyp ergraphes al´ eatoires et algorithmiques R ´ esum ´ e : Les hypergraph es sont des stru ct ur e s d´ ecomp osables ou d esc rip t ibles donc p euv en t ˆ etre ´ en um´ er´ es r´ ecurs iv emen t. Ici, a v ec les fonctions g ´ en ´ eratrices exp onent ielles, nous obtenons des r´ esultats d’´ enum ´ erations exactes et asymptotiques des hyp ergraphes connexes ` a nom bre de sommets et ` a nombre d’hyperarˆ etes donn´ es. Dans un cadre com bi- natoire, par un raisonnemen t d’inclusion exclusion, n o us ab outissons ` a un encadrement des nom br es des comp osan tes d’h yp ergraphes : c’est un e g ´ en´ eralisation de l’encadrement de W r ig ht p our les graphes. P our obtenir les r´ esultats asymptotiques, la m ´ etho de du p oin t col p ermet, en passant par l’analyse complexe, d’obtenir des d´ emonstrations qu i son t au ﬁ nal tr` es lisibles grˆ ace ` a l’utilisation des fonctions g ´ en´ eratrices. Soulignons que nous a v ons ainsi caract ´ eris ´ e : – les comp osan tes ` a nom bre d e sommets et ` a nom bre d’hyp erar ˆ etes donn´ es par rap- p ort ` a la taill e m o yenne d’un hyp ercouplage al ´ eatoire de ces s t ru ct ur e s, – les hyp ergraphes al ´ eatoires ( ´ evo luant h yp erar ˆ ete p a r h yp erar ˆ ete) par rapp ort au nom bre mo y en d’h yp erar ˆ etes p our l’apparition d u premier cycle. Cette th` ese laisse en visager la p ossibilit ´ e d e mieux conna ˆ ıtre les ph´ enom` enes de seuil a v ec des h yp ergraphes, ceci en s’in spiran t d e s lignes de preuv es qui s’y trouv en t. Mots-cl ´ es : Hyp ergraphes uniformes, ´ enum ´ eration exacte, ´ enum ´ eration asymptotique, h yp ercouplages al ´ eatoires, hyp e rgraph es al ´ eatoires, hyp ergraphes ´ evo luants, analyse com- binatoire, fonctions g ´ en ´ eratrices, form ule d’inv ersion de Lagrange, encadremen t p a r in- clusion exclusion, m ´ etho de du p oin t col. Random h yp ergraphs a nd algorithmics Abstract : Hyp ergraphs are structures that can b e decomp osed or describ ed ; in other w ords they are recur siv ely coun table. Here, we get exact and asym ptot ic en umeration results on h yp ergraphs by means of exp onen tial generating fun c tions. The num b er of h y- p ergraph comp onen ts is b ounded, as a generalisation of W r ig ht inequ a lities for graph s : the p roof is a combinatorial und e rstand ing of the structure b y inclusion exclusion. Asymp - totic results are obtained, pro ofs are at the end ve ry easy to read thanks to generating functions, through complex analysis b y saddle p oin t metho d. W e c haracterized : – th e comp onen ts with a giv en num b er of v ertices and of h yp eredges by the exp ecte d size of a r andom h yp ermatc hing in these structures. – th e random hyp ergraphs (ev olving hyp eredge by h yp eredge) according to the ex- p ected n um b er of h yp eredges when the ﬁrst cycle app ea rs in th e ev olving stru ct ur e. This wo rk is an op en road to further works on random h yp ergraphs such as threshold phenomenon, for whic h to ol s us e d here seem to b e suﬃcient at ﬁrst sigh t. 104 BIBLIOGRAPHIE Keyw ords : Uniform h yp ergraphs, exact en umeration, asymptotic en umeration, random h yp ermatc hings, evolving hyp ergraphs, combinatorial analysis, generating fun c tions, La- grangian in v ersion formula, b ound ing by in cl usion exclusion, saddle p oin t metho d.

Random hypergraphs and algorithmics

Original Paper

Comments & Academic Discussion

Leave a Comment

Original Paper

Related Papers

Comments & Academic Discussion

Leave a Comment