Non-unitary representations, Baum-Connes morphism and unconditional completions

Représen tations non unitaires, morphisme de Baum-Connes et omplétions inonditionnelles Maria P aula Gomez Apariio Résumé Nous mon trons la bijetivité du morphisme de Baum-Connes tordu par une représen tation non unitaire, déni dans [GA08℄, p our une grande lasse de group es v érian t la onjeture de Baum-Connes et qui on tien t en partiulier tous les group es de Lie réel semi-simples, tous les group es h yp erb oliques, ainsi que des group es ininis disrets a y an t la propriété (T) de Kazhdan. Nous dénisons une op ération de tenso- risation par une représen tation de dimension nie non unitaire sur le mem bre de gau he du morphisme de Baum-Connes et nous mon trons que son analogue en K -théorie est forémen t déni sur la K -théorie des algèbres de group e tordues in tro duites dans [ GA07b℄. Abstrat W e sho w that the Baum-Connes morphism t wisted b y a non-unitary represen tation, dened in [GA08 ℄, is an isomorphism for a large lass of groups satisfying the Baum-Connes onjeture. Su h lass on tains all the real semi-simple Lie groups, all h yp erb oli groups and man y in- nite disret groups ha ving Kazhdan's prop ert y (T). W e dene a ten- sorisation b y a non-unitary nite dimensional represen tation on the left handside of the Baum-Connes morphism and w e sho w that its analogue in K -theory m ust b e dened on the K -theory of the t wisted group algebras in tro dued in [GA07b℄. 2000 MSC. 22D12, 22D15, 46L80, 19K35 Keywor ds and phr ases : Non-unitary represen tations, Bana h algebras, K K -theory , Baum-Connes onjeture 1 In tro dution Soit G un group e lo alemen t ompat et ρ une représen tation de G , pas néessairemen t unitaire, sur un espae de dimension nie V . Dans [GA07b ℄ (v oir aussi [GA08 ℄ et [GA07a ℄), nous a v ons déni un analogue tor du p ar ρ de la C ∗ -algèbre réduite de G , que nous a v ons noté A ρ r ( G ) , en onsidéran t la omplétion de l'espae v etoriel C c ( G ) des fontions on tin ues à supp ort ompat sur G p our la norme donnée par la form ule k f k A ρ r ( G ) = k ( λ G ⊗ ρ )( f ) k L ( L 2 ( G ) ⊗ V ) , p our tout f ∈ C c ( G ) et où λ G est le représen tation régulière gau he de G . Nous a v ons ensuite déni un morphisme µ ρ,r : K top ( G ) → K ( A ρ r ( G )) , qui oïnide a v e le morphisme de Baum-Connes µ r (f. [BCH94 ℄), si ρ est unitaire. Nous a v ons alors mon tré que µ ρ,r est injetif p our tout group e G p our lequel il existe un élémen t γ de Kasparo v (f. [GA08, Théorème 3.8℄ et [T u99℄ p our la dénition d'un élémen t γ ). Nous a v ons en plus mon tré que si et élémen t γ est égal à 1 dans K K G ( C , C ) , alors µ ρ,r est un isomor- phisme (f. [GA08 , Théorème 3.7℄). L'existene d'un élémen t γ de Kasparo v a été mon trée p our une lasse très large de group es, notée C dans [ Laf02 ℄ (v oir aussi [GA08 ℄ et [ GA07a ℄), qui on tien t en partiulier tous les group es de Lie semi-simples, ainsi que tous les sous-group es fermés d'un group e de Lie semi-simple. Cette lasse on tien t don, en partiulier, des group es a y an t la propriété (T) de Kazhdan (f. [Kaz67℄, [dlHV89 ℄). Cep endan t, dès qu'un group e lo alemen t ompat G a la propriété (T), la représen tation triviale étan t isolée dans le dual unitaire de G , il est imp ossible de onstruire une homotopie en tre un élémen t γ de Kasparo v et 1 dans K K G ( C , C ) . Cei im- plique que les résultats de [GA08℄ ne son t pas sussan ts p our mon trer la surjetivité de µ ρ,r p our des group es a y an t la propriété (T). Dans et artile, nous allons mon trer que le morphisme de Baum-Connes tordu µ ρ,r est un isomorphisme p our b eauoup de group es on ten us dans la lasse C et a y an t la propriété (T). Plus préisémen t, nous allons mon trer le théorème suiv an t Théorème 1. Soit G un group e lo alemen t ompat satisfaisan t les deux onditions suiv an tes : 1. il existe une omplétion inonditionnelle de C c ( G ) qui est une sous- algèbre de C ∗ r ( G ) dense et stable par alul fontionnel holomorphe (ou plus préisémen t faiblemen t pleine dans C ∗ r ( G ) , v oir dénition 2.2 ) ; 2. p our toute omplétion inonditionnelle B ( G ) de C c ( G ) le morphisme µ B : K top ( G ) → K ( B ( G ) ) est un isomorphisme. 2 Soit ρ une représen tation de dimension nie de G . Alors le morphisme de Baum-Connes tordu par ρ µ ρ,r : K top ( G ) → K ( A ρ r ( G )) , est un isomorphisme. On rapp elle que Laorgue dans [ Laf02 , Théorème 0.02℄ a démon tré que, p our toute omplétion inonditionnelle B ( G ) , le morphisme µ B : K top ( G ) → K ( B ( G )) , est bijetif p our une lasse de group es qu'il note C ′ . On rapp elle ii que la lasse C ′ est onstituée par les group es a-T-menables et par tous les group es lo alemen t ompats agissan t de façon on tin ue, isométrique et propre sur un des espaes suiv an ts :  sur une v ariété riemannienne omplète simplemen t onnexe, don t la ourbure setionnelle est négativ e ou n ulle et b ornée inférieuremen t, et don t la dériv ée du tenseur de ourbure (suiv an t la onnexion induite de la onnexion de Levi-Civita sur le bré tangen t) est b ornée, ou  sur un immeuble ane de Bruhat-Tits uniformémen t lo alemen t ni, ou  sur un espae métrique uniformémen t lo alemen t ni, faiblemen t géo- désique, faiblemen t b olique et v érian t une ondition supplémen taire de b oliité forte. Cette lasse on tien t, en partiulier, tous les group es de Lie semi-simples réels, ainsi que tous les sous-group es fermés d'un group e de Lie semi-simple réel. D'autre part, si G est group e de Lie semi-simple réel, Laorgue a onstuit une v arian te de l'algèbre de S h w artz généralisée S ( G ) (f. [Laf02 ℄), qui est une sous-algèbre dense et stable par alul fontionnel holomorphe dans C ∗ r ( G ) . Cei implique que le morphisme K ( S ( G )) → K ( C ∗ r ( G )) , induit par l'inlusion, est un isomorphisme, et don que le morphisme µ ρ,r est aussi un isomorphisme. De plus, µ ρ,r est un isomorphisme p our tout group e de la lasse C ′ a y an t la propriété (RD) ; dans e as 'est une v arian te de l'algèbre de Jolissain t asso iée à G [ Jol90 ℄ qui est une omplétion inondi- tionnelle, dense et stable par alul fontionnel holomorphe dans C ∗ r ( G ) . En 3 partiulier, µ ρ,r est un isomorphisme p our tout group e h yp erb olique et p our tous les sous-group es disrets et o ompats de S L 3 ( F ) , où F est un orps lo al, de S L 3 ( H ) et de E 6( − 26) (f. [Laf00 ℄, [Cha03℄, [dlHV89 ℄). Les résultats de et artile omplèten t les résultats de [ GA08 ℄. Le mor- phisme de Baum-Connes tordu est alors un isomorphisme p our la plupart des group es p our lesquels on sait mon trer la onjeture de Baum-Connes et on p eut même esp érer que les deux soien t v ériés toujours au même temps. Nous esp érons ainsi que le morphisme de Baum-Connes tordu par n'imp orte quelle représen tation de dimension nie, soit un isomorphisme au moins p our tout group e appartenan t à la lasse C . D'autre part, dans [V al88 ℄, V alette a déni une ation de l'anneau des re- présen tations non unitaires de dimension nie de G , que nous notons R F ( G ) , sur le mem bre de gau he du morphisme de Baum-Connes, K top ( G ) , qui gé- néralise l'ation induite par pro duit tensoriel par une représen tation de di- mension nie dans le as des group es ompats. Dans le as des group es de Lie onnexes, il dénit une ation de R F ( G ) sur l'image de l'élémen t γ de Kasparo v dans K ( C ∗ r ( G )) qu'il in terprète ensuite en termes de fonteurs de Zu k erman. En général, p our toute représen tation de dimension nie ( ρ, V ) de G , on aimerait dénir un endomorphisme de K ( C ∗ r ( G )) qui soit analogue au morphisme induit par pro duit tensoriel par ρ sur l'anneau des représen ta- tions de G . Cei dénirait un esp èe d'analogue en K -théorie des fonteurs de translation de Zu k erman 1 (f. [Zu77 ℄, [KV95 , Chapter VI I℄). Cep en- dan t, omme ρ n'est pas supp osée unitaire, le pro duit tensoriel par ρ induit un morphisme de C c ( G ) dans C ∗ r ( G ) ⊗ End ( V ) qui n'est pas déni sur C ∗ r ( G ) et don t le domaine de dénition est l'algèbre tordue A ρ r ( G ) . On a don un morphisme d'algèbres de Bana h de A ρ r ( G ) dans C ∗ r ( G ) ⊗ End( V ) , qui, par équiv alene de Morita, induit un morphisme en K -théorie Λ ρ : K ( A ρ r ( G )) → K ( C ∗ r ( G )) . De plus, l'ation de R F ( G ) sur K top ( G ) est dénie de façon très natu- relle. Dans le as des représen tations unitaires, ette ation a été dénie par Kasparo v (f. [Kas88 ℄). Dans le as général, p our toute représen tation de dimension nie ρ de G nous allons dénir un endomorphisme Υ ρ : K top ( G ) → K top ( G ) , qui oïnide a v e le pro duit tensoriel par ρ lorsque est unitaire. L'ation de R F ( G ) sur K top ( G ) induite par Υ ρ que nous allons alors dénir oïnide a v e l'ation dénie par V alette dans [V al88 ℄. 1 Dans le adre de la K -théorie les fonteurs de Zu k erman on t été onsidérés par Bost. 4 Le but de la deuxième partie de et artile est de mon trer le théorème suiv an t Théorème 2. Soit G un group e lo alemen t ompat et ρ une représen tation non unitaire de dimension nie de G . Alors le diagramme suiv an t K top ( G ) µ ρ,r / / Υ ρ   K ( A ρ r ( G )) Λ ρ   K top ( G ) µ r / / K ( C ∗ r ( G )) , est omm utatif. Remeriemen ts. Les résultats de et artile, ainsi que eux de [ GA08 ℄, fon t partie des tra v aux présen tés p our l'obten tion de mon do torat réalisé sous la diretion de Vinen t Laorgue. Je v oudrais le remerier de m'a v oir suggéré e sujet, ainsi que p our tous ses onseils. Je remerie aussi Alain V alette p our m'a v oir indiqué [V al88 ℄ et p our ses ommen taires. 1 Rapp els et notations Soit G un group e lo alemen t ompat et soit dg une mesure de Haar à gau he sur G . On note ∆ la fontion mo dulaire de G , 'est-à-dire que dg − 1 = ∆( g ) − 1 p our tout g ∈ G . On app elle longueur sur G toute fontion ℓ : G → [0 , + ∞ [ on tin ue et telle que ℓ ( g 1 g 2 ) ≤ ℓ ( g 1 ) + ℓ ( g 2 ) , p our tout g 1 , g 2 ∈ G . Étan t donnée une G - C ∗ -algèbre A , p our tout g ∈ G et a ∈ A , on note g .a , ou g ( a ) , l'ation de g sur a . On onsidère l'espae v etoriel des fontions on tin ues à supp ort ompat sur G à v aleurs dans A , que l'on note C c ( G, A ) , m uni de la struture d'algèbre in v olutiv e don t la m ultipliation est donnée par la form ule ( f 1 ∗ f 2 )( g ) = Z G f 1 ( g 1 ) g 1 ( f 2 ( g − 1 1 g )) d g 1 , p our f 1 , f 2 ∈ C c ( G, A ) et l'in v olution par la form ule f ∗ ( g ) = g ( f ( g − 1 )) ∗ ∆( g − 1 ) , p our f ∈ C c ( G, A ) , g ∈ G . In tuitiv emen t, on représen te tout élémen t f ∈ C c ( G, A ) par l'in tégrale formelle R G f ( g ) e g dg , où e g est une lettre formelle qui satisfait les onditions suiv an tes e g e g ′ = e g g ′ , e ∗ g = ( e g ) − 1 = e g − 1 et e g ae − 1 g = g .a, 5 p our tout g ∈ G et p our tout a ∈ A . Soien t A et B des G - C ∗ -algèbres. P our toute longueur ℓ sur G , on note ι le morphisme ι : K K G ( A, B ) → K K ban G,ℓ ( A, B ) , déni dans [Laf02 , Prop osition 1.6.1℄. Si A , B et D son t des G -algèbres de Bana h, on note A ⊗ π D le pro duit ten- soriel pro jetif, 'est-à-dire le omplété-séparé du pro duit tensorile algébrique A ⊗ alg C D p our la plus grande semi-norme k . k telle que k a ⊗ d k ≤ k a k A k d k D , p our tout a ∈ A et d ∈ D . On note alors σ D le morphisme σ D : K K ban G,ℓ ( A, B ) → K K ban G,ℓ ( A ⊗ π D , B ⊗ π D ) , déni dans [Laf02 , Dénition 1.2.2℄. De plus, on note Σ le morphisme Σ : K K ban ( A, B ) → Hom  K ( A ) , K ( B )  , déni dans [Laf02 , Prop osition 1.2.9℄ et qui induit l'ation de la K K -bana hique sur la K -théorie. Soit ρ une représen tation de G sur un espae v etoriel omplexe V de di- mension nie et m uni d'une struture hermitienne. Dans [GA08 ℄, nous a v ons déni des pro duits roisés tordus par la représen tation ρ en onsidéran t l'ap- pliation suiv an te C c ( G, A ) → C c ( G, A ) ⊗ End( V ) Z G f ( g ) e g dg 7→ Z G f ( g ) e g ⊗ ρ ( g ) dg . On rapp elle la dén tion des pro duits roisés tordus Dénition 1.1. Le pro duit roisé (resp. pro duit roisé réduit) de A et G tordu par la représen tation ρ , noté A ⋊ ρ G (resp. A ⋊ ρ r G ), est le omplété (séparé) de C c ( G, A ) p our la norme : k Z G a ( g ) e g dg k A ⋊ ρ G = k Z G a ( g ) e g ⊗ ρ ( g ) dg k C ∗ ( G,A ) ⊗ End( V ) , (resp. k . k C ∗ r ( G,A ) ⊗ End( V ) ) où C ∗ ( G, A ) ⊗ End( V ) (resp. C ∗ r ( G, A ) ⊗ End( V ) ) est le pro duit tensoriel minimal de C ∗ -algèbres. Si A = C , alors on note A ρ ( G ) := C ⋊ ρ G et A ρ r ( G ) := C ⋊ ρ r G. 6 R emar que 1.2 . L'algèbre A ρ r ( G ) oïnide a v e le omplété-séparé de C c ( G ) par la norme k f k = k ( λ G ⊗ ρ )( f ) k L ( L 2 ( G ) ⊗ V ) , où λ G est la représen tation régulière gau he de G . De même, p our tout f ∈ C c ( G ) , k f k A ρ ( G ) = sup ( π, H ) k ( π ⊗ ρ )( f ) k L ( H ⊗ V ) , où ( π , H ) parourt l'ensem ble des représen tations unitaires de G . Soien t A et B des G - C ∗ -algèbres. On note j ρ et j ρ,r les morphismes de desen te tor dus j ρ : K K G ( A, B ) → K K ban ( A ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) , j ρ,r : K K G ( A, B ) → K K ban ( A ⋊ ρ r G, B ⋊ ρ r G ) , dénis dans [GA08, Dénition 2.9℄. Considérons main tenan t E G l'espae lassian t p our les ations propres de G . P our toute G - C ∗ -algèbre A , on note K top ( G, A ) la K -homologie G - équiv arian te de E G à v aleurs dans A in tro duite dans [BCH94 ℄, 'est-à-dire K top ( G, A ) = lim − → K K G ( C 0 ( X ) , A ) , où la limite indutiv e est prise parmi les G -espae propres X qui son t des sous-espaes fermés de E G tels que X/G est ompat. Dans [GA08 , Dénition 2.17℄, nous a v ons déni deux morphismes de group es µ A ρ : K top ( G, A ) → K ( A ⋊ ρ G ) et µ A ρ,r : K top ( G, A ) → K ( A ⋊ ρ r G ) , de la façon suiv an te : Soit X est un espae G -propre et G -ompat. Soit c une fontion on tin ue à supp ort ompat sur X à v aleurs dans R + telle que, p our tout x ∈ X , R G c ( g − 1 x ) dg = 1 (on rapp elle qu'une fontion a v e es propriétés existe pare que X/G est ompat, v oir [ T u99℄). On onsidère la fontion sur G × X p ( g , x ) := p c ( x ) c ( g − 1 x ) , qui dénit un pro jeteur de C c ( G, C 0 ( X )) . On note p ρ (resp. p ρ,r ) l'élémen t de K ( C 0 ( X ) ⋊ ρ G ) (resp. K ( C 0 ( X ) ⋊ ρ r G ) ) qu'il dénit. Soit x ∈ K K G ( C 0 ( X ) , A ) . Alors µ A ρ et µ A ρ,r son t donnés, à passage à la limite indutiv e près, par les form ules µ A ρ,r ( x ) = Σ( j ρ,r ( x ))( p ρ,r ) et µ A ρ,r ( x ) = Σ( j ρ,r ( x ))( p ρ,r ) , 7 où, Σ : K K ban  C 0 ( X ) ⋊ ρ G, A ⋊ ρ G  → Hom  K  C 0 ( X ) ⋊ ρ G  , K  A ⋊ ρ G   , est donné par l'ation de K K ban sur la K -théorie ; de même p our les pro duits roisés tordus réduits. Si A = C , on note µ ρ (resp. µ ρ,r ) le morphisme µ C ρ (resp. µ C ρ,r ) p our sim- plier les notations. Nous allons mon trer que µ ρ est un isomorphisme p our une large lasse de group es v érian t la onjeture de Baum-Connes et qui on tien t des group es a y an t la propriété (T). T out le long de et artile, un group e lo alemen t ompat G sera toujours dénom brable à l'inni. Une représen tation ρ de dimension nie de G sera une représen tation de G sur un espae v etoriel omplexe de dimension nie m uni d'une norme hermitienne. On note ( ρ, V ) toute représen tation de G sur un espae V , p our simplier les notations et quand on v eut préiser l'espae sur lequel G agit. Si A est une C ∗ -algèbre, on note e A son algèbre unitarisée. 2 Morphisme de Baum-Connes tordu 2.1 Complétions inonditionnelles On rapp elle la dénition de omplétion inonditionnelle in tro duite dans [Laf02 ℄. Dénition 2.1. Soit G un group e lo alemen t ompat. Une algèbre de Ba- na h B ( G ) est une omplétion inonditionnelle de C c ( G ) , si elle on tien t C c ( G ) omme sous-algèbre dense et si, quels que soien t f 1 , f 2 ∈ C c ( G ) tels que | f 1 ( g ) | ≤ | f 2 ( g ) | p our tout g ∈ G , on a k f 1 k B ( G ) ≤ k f 2 k B ( G ) , autremen t dit, si p our tout f ∈ C c ( G ) , k f k B ( G ) ne dép end que de ( g 7→ | f ( g ) | ) . Dénition 2.2. Soit B une algèbre de Bana h et C une sous-algèbre dense. Soit A une sous-algèbre de B qui est une omplétion de C p our une norme telle que k x k B ≤ k x k A p our tout x ∈ C . L'algèbre A est une sous-algèbre faiblemen t pleine de B relativ emen t à C , si p our tout n ∈ N ∗ et p our tout x ∈ M n ( C ) , ρ M n ( A ) ( x ) = ρ M n ( B ) ( x ) , où ρ denote le ra y on sp etral. R emar que 2.3 . P ar dénition une sous-algèbre faiblemen t pleine d'une al- gèbre de Bana h est dense. 8 L'in térêt de ette notion est donné par la prop osition suiv an te démon trée dans [Laf02, Lemme 1.7.2℄ Prop osition 2.4. Soient A, B , C  omme dans la dénition 2.2. Notons θ : C → B et θ 1 : C → A les inlusions évidentes. Soit τ l'unique morphisme d'algèbr es de Banah de A dans B tel que τ ◦ θ 1 = θ . Si A est une sous-algèbr e faiblement pleine de B alors le morphisme induit p ar τ en K -thé orie τ ∗ : K ( A ) → K ( B ) , est surje tif. R emar que 2.5 . La notion de faiblement pleine est un p eu plus faible que le fait d'être dense et stable par alul fontionnel holomorphe, mais, grâe à la prop osition 2.4 , elle est susan te p our nos prop os. On p eut omparer ette notion a v e la notion de sous-algèbre dense et pleine dénie dans [ Laf02 , Dénition 4.4.5℄. V oir aussi le théorème A.2.1 et la prop osition A.2.2 de [Bos90℄. On v eut mon trer le théorème suiv an t Théorème 2.6. Soit G un gr oup e lo  alement  omp at et ( ρ, V ) une r epr ésen- tation de dimension nie de G . Soit C c ( G ) l'esp a e des fontions  ontinues à supp ort  omp at sur G . S'il existe une sous-algèbr e faiblement pleine de C ∗ r ( G ) qui est une  omplétion in onditionnel le de C c ( G ) , alors il existe une sous-algèbr e faiblement pleine de A ρ r ( G ) qui est aussi une  omplétion in on- ditionnel le de C c ( G ) . Soien t G un group e lo alemen t ompat et ( ρ, V ) une représen tation de dimension nie de G . Supp osons qu'il existe B ( G ) une omplétion inondi- tionnelle de C c ( G ) qui est une sous-algèbre faiblemen t pleine de C ∗ r ( G ) et notons i l'inlusion. On note B ( G, End( V )) la omplétion de C c ( G, End( V )) p our la norme k f k B ( G, End( V )) = k g 7→ k f ( g ) k End( V ) k B ( G ) , p our f ∈ C c ( G, End( V )) . D'après [Laf02 , Prop osition 1.6.4℄, il existe un morphisme d'algèbres de Ba- na h de B ( G, End ( V )) dans C ∗ r ( G, End ( V )) prolongean t Id C c ( G, End( V )) . On note τ e morphisme. Lemme 2.7. L'algèbr e de Banah B ( G, End( V )) est une sous-algèbr e faible- ment pleine de C ∗ r ( G, End( V )) . 9 Démonstr ation. Soit m = dim C ( V ) . Comme B ( G ) est faiblemen t pleine dans C ∗ r ( G ) , on a ρ M n ( B ( G )) ( x ) = ρ M n ( C ∗ r ( G )) ( x ) , p our tout n ∈ N ∗ et p our tout x ∈ M n ( C c ( G )) . Don, p our tout k ∈ N ∗ , et p our tout x ∈ M k m ( C c ( G )) , ρ M k (M m ( B ( G ))) ( x ) = ρ M k (M m ( C ∗ r ( G ))) ( x ) . Or, on a des isomorphismes d'algèbres de Bana h à équiv alene de norme près (resp. de C ∗ -algèbres) B ( G, End( V )) ≃ M m ( B ( G )) et C ∗ r ( G, End ( V )) ≃ M m ( C ∗ r ( G )) , et don ei implique que B ( G, End ( V )) est faiblemen t pleine dans C ∗ r ( G, End( V )) . Considérons main tenan t la omplétion de C c ( G ) p our la norme donnée par : k f k B ρ ( G ) = k g 7→ | f ( g ) |k ρ ( g ) k End ( V ) k B ( G ) , p our f ∈ C c ( G ) . On note ette algèbre B ρ ( G ) et on remarque que 'est une omplétion inonditionnelle. Théorème 2.8. L'algèbr e B ρ ( G ) est une sous-algèbr e faiblement pleine de A ρ r ( G ) . Démonstr ation. On onsidère l'appliation suiv an te : C c ( G ) → C c ( G, End ( V )) f 7→ ( g 7→ f ( g ) ρ ( g )) , et on note τ 1 le morphisme d'algèbres de Bana h de B ρ ( G ) dans B ( G, End ( V )) qu'elle induit. Soit τ 2 : A ρ r ( G ) → C ∗ r ( G ) ⊗ End( V ) le morphisme isométrique induit par l'appliation f 7→ R G f ( g ) e g ⊗ ρ ( g ) dg . On a le diagramme omm utatif suiv an t : B ( G, End ( V )) τ / / C ∗ r ( G, End( V )) ≃ / / C ∗ r ( G ) ⊗ End ( V ) B ρ ( G ) ψ / / τ 1 O O A ρ r ( G ) , τ 2 O O où ψ : B ρ ( G ) → A ρ r ( G ) est l'unique morphisme on tin u d'algèbres de Bana h prolongean t Id C c ( G ) . On v eut mon trer que ψ est un morphisme faiblemen t 10 plein. Le morphisme τ 1 : B ρ ( G ) → B ( G, End( V )) est isométrique, don p our tout p our tout n ∈ N ∗ et x ∈ M n ( C c ( G )) , ρ M n ( B ρ ( G )) ( x ) = ρ M n ( B ( G, End ( V ))) (M n ( τ 1 )( x )) . De plus, omme B ( G ) est pleine dans C ∗ r ( G ) , le lemme 2.7 implique, ρ M n ( B ( G, End ( V ))) (M n ( τ 1 )( x )) = ρ M n ( C ∗ r ( G, End( V )) (M n ( τ ◦ τ 1 )( x )) et par omm utativité du diagramme on a ρ M n ( C ∗ r ( G, End( V ))) (M n ( τ ◦ τ 1 )( x )) = ρ M n ( C ∗ r ( G ) ⊗ End( V )) (M n ( τ 2 ◦ ψ )( x )) . Or, omme τ 2 est isométrique le mem bre de droite de la dernière égalité est égal à ρ M n ( A ρ r ( G )) (M n ( ψ )( x )) , d'où l'égalité ρ M n ( B ρ ( G )) ( x ) = ρ M n ( A ρ r ( G )) (M n ( ψ )( x )) , = ρ M n ( A ρ r ( G )) ( x ) la dernière égalité pro v enan t du fait que x ∈ M n ( C c ( G )) et que M n ( ψ ) pro- longe Id M n ( C c ( G )) . 2.2 Appliations à Baum-Connes tordu On donne main tenan t une prop osition qui nous p ermettra d'appliquer les résultats prééden ts à l'étude de la bijetivité du morphisme de Baum- Connes tordu réduit. Étan t donné une G - C ∗ -algèbre B et une omp étion inonditionnelle B ( G ) , on note B ρ ( G, B ) la omplétion de C c ( G, B ) p our la norme k f k B ρ ( G,B ) = k g 7→ k f ( g ) k B k ρ ( g ) k End( V ) k B ( G ) , p our f ∈ C c ( G, B ) . Prop osition 2.9. Pour toute G - C ∗ -algèbr e B , on a le diagr amme  ommu- tatif suivant K top ( G, B ) µ B B ρ / / µ B ρ,r ( ( P P P P P P P P P P P P K ( B ρ ( G, B )) ψ B, ∗   K ( B ⋊ ρ r G ) , où µ B B ρ est la variante du morphisme de Baum-Connes à  o eients dé- nie dans [L af02 , Se tion 1.7.1℄ p our les  omplétions in onditionnel les, et ψ B : B ρ ( G, B ) → A ρ r ( G, B ) est l'unique morphisme d'algèbr es de Banah pr olonge ant l'identité. 11 Démonstr ation. La démonstration est analogue à elle de la prop osition 1.7.6 de [Laf02℄. Soit A une G - C ∗ -algèbre et soit ψ A : B ρ ( G, A ) → A ⋊ ρ r G, prolongean t l'iden tité sur C c ( G, A ) . On rapp elle que l'on note ι l'appliation ι : K K G ( A, B ) → K K ban G ( A, B ) , dénie par Laorgue (f. [Laf02 , Prop osition 1.6.1℄). On a alors que, p our tout élémen t α ∈ K K G ( A, B ) , ψ B , ∗ ( j B ρ ( ι ( α ))) = ψ ∗ A ( j ρ r ( α )) , dans K K ban ( B ρ ( G, A ) , B ⋊ ρ r G ) . En eet, on onstruit une homotopie en tre les élémen ts ψ B , ∗ ( j ρ ( ι ( α ))) et ψ ∗ A ( j ρ r ( α )) de E ban ( B ρ ( G, A ) , B ⋊ ρ r G ) , à l'aide de nes (v oir [Laf02 ℄, [GA08 ℄). Soit ( E , T ) un représen tan t de α dans K K G ( A, B ) . On onsidère l'appliation C c ( G, E ) ⊗ C c ( G, B ) → C c ( G, E ) x ⊗ b 7→ x.b. Grâe au lemme 1.6.6 de [Laf02 ℄, on mon tre failemen t qu'elle p eut être prolongée en un morphisme de B ⋊ ρ r G -mo dules de Bana h à droite τ : B ρ ( G, E ) > ⊗ π ^ B ρ ( G ) ^ B ⋊ ρ r G → ( E ⋊ ρ r G ) > , qui est de norme inférieure ou égale à 1 . On p ose C ( τ ) > := { ( h, x ) ∈ ( E ⋊ ρ r G )[0 , 1] × ψ B , ∗  j B ρ ( ι ( α ))  > | h (0) = τ ( x ) } , le ne asso ié à e morphisme. De même, on dénit C ( τ ) > , omme le ne asso ié au morphisme τ : ^ B ⋊ ρ r G ⊗ π ^ B ρ ( G ) B ρ ( G, E ) < → ( E ⋊ ρ r G ) < . Soit C ( τ , T ) , l'op érateur sur C ( τ ) déni par C ( τ , T ) > ( h, e ⊗ b ) =  ( g , t ) 7→ T ( h ( t )( g )) ,  g 7→ T ( e ( g ))  ⊗ b  , p our h ∈ ( E ⋊ ρ r G ) > [0 , 1 ] et x = e ⊗ b ∈ ψ B , ∗  j B ρ ( ι ( α ))  ; de même p our C ( τ , T ) < . 12 On a alors que ( C ( τ ) , C ( τ , T )) appartien t à E ban  B ρ ( G, A ) , ( B ⋊ ρ r G )[0 , 1]  . En eet, soit Φ l'appliation Φ : C c ( G, K ( E )) → L ( C ( τ )) S 7→  ( h, x ) → ( t 7→ c S ρ ( h ( t )) , ψ B , ∗ ( b S ) x  , où c S ρ et b S son t les élémen t de L B ⋊ ρ r G ( E ⋊ ρ r G ) et de L B ρ ( G ) ( B ρ ( G, E )) dénis à partir de S ∈ C c ( G, K ( E ) dans [GA08 , Dénition 2.5℄ et [Laf02 , Lemme 1.5.6℄, resp etiv emen t. On mon tre alors que l'image de Φ est on ten ue dans les op érateurs ompats de C ( τ ) , en remarquan t les deux faits suiv an ts 1. Si E est un G - ( A, B ) -bimo dule de Bana h et S = ( S g ) g ∈ G appartien t à C c ( G, K ( E )) , alors k c S ρ k L ( E ⋊ ρ r G ) ≤ k g 7→ k S g k K ( E ) k ρ ( g ) k End( V ) k L 1 ( G ) = k g 7→ k S g k K ( E ) k L 1 ,ρ ( G ) , où on note L 1 ,ρ ( G ) la omplétion de C c ( G ) p our la norme L 1 p ondérée k f k L 1 ,ρ ( G ) = Z G | f ( g ) |k ρ ( g ) k End ( V ) dg , qui est une omplétion inonditionnelle de C c ( G ) . 2. Dans le lemme 1.5.6 de [ Laf02℄, on p eut  hoisir les y i et les ξ i tels que k g 7→ k S g − S 0 ,g k K ( E ) k B ρ ( G ) + k g 7→ k S g − S 0 ,g k K ( E ) k L 1 ,ρ ( G ) ≤ ǫ. Il est ensuite fail de v oir que, p our a ∈ B ρ ( G, A ) et g ∈ G , Φ( S 1 ) = [ a, C ( τ , T )] , Φ( S 2 ) = a  1 − ( C ( τ , T )) 2  , et Φ( S 3 ) = a  g ( C ( τ , T )) − C ( τ , T )  , où p our a ∈ C c ( G, A ) et g ∈ G , S 1 :=  t 7→ a ( t )( t ( T ) − T ) + [ a ( t ) , T ]  , S 2 :=  t 7→ a ( t ) t (1 − T 2 )  , et S 3 :=  t 7→ a ( t ) t (( g T ) − T )  , de sorte que S i ∈ C c ( G, K ( E )) p our i = 1 , .., 3 . On a don que [ a, C ( τ , T )] , a  1 − ( C ( τ , T )) 2  et a  g ( C ( τ , T )) − C ( τ , T )  , 13 appartiennen t à l'image de Φ (v oir aussi [GA08 , Lemme 2.7 et Lemme 2.14℄). Il est lair alors que C ( τ , T ) réalise une homotopie en tre les élémen ts ψ B , ∗ ( j ρ ( ι ( α ))) et ψ ∗ A ( j ρ r ( α )) . En partiulier, p our tout sous-espae X de E G fermé et G -ompat, on a l'égalité ψ B , ∗ ( j B ρ ( ι ( α ))) = ψ ∗ C 0 ( X ) ( j ρ r ( α )) , dans K K ban ( B ρ ( G, C 0 ( X )) , B ⋊ ρ r G ) p our tout α ∈ K K G ( C 0 ( X ) , B ) . Cei implique alors que µ ρ,r = ψ B , ∗ ◦ µ B ρ . Nous p ouv ons main tenan t mon trer le résultat prinipal de ette setion qui est donné par le théorème suiv an t Théorème 2.10. Soit G un gr oup e lo  alement  omp at satisfaisant les deux  onditions suivantes : 1. il existe une  omplétion in onditionnel le de C c ( G ) qui est une sous- algèbr e faiblement pleine de C ∗ r ( G ) ; 2. p our toute  omplétion in onditionnel le B ( G ) de C c ( G ) le morphisme déni p ar L aor gue µ B : K top ( G ) → K ( B ( G ) ) est un isomorphisme. Soit ρ une r epr ésentation de dimension nie de G . A lors le morphisme de Baum-Connes r é duit tor du p ar r app ort à ρ µ ρ,r : K top ( G ) → K ( A ρ r ( G )) , est un isomorphisme. Démonstr ation. Soit B ( G ) une omplétion inonditionnelle de C c ( G ) stable par alul fontionnel holomorphe dans C ∗ r ( G ) . Soit B ρ ( G ) la omplétion in- onditionnelle de C c ( G ) dénie omme i-dessus. Alors, d'après le théorème 2.8, le morphisme d'algèbres de Bana h ψ : B ρ ( G ) → A ρ r ( G ) induit un iso- morphisme en K -théorie. De plus, d'après la prop osition 2.9, µ ρ,r = ψ ∗ ◦ µ B ρ , don µ ρ,r est bien un isomorphisme. Dans [Laf02 ℄, Laorgue a démon tré que les group es appartenan t à la lasse C ′ v érien t la ondition 2 du théorème 2.10 (f. [Laf02 , Théorème 0.0.2℄). De plus, il a mon tré que si G est un group e de Lie rédutif réel, une v arian te de l'algèbre de S h w artz généralisée (f. [Laf02 , Chapitre 4℄), qui est une omplétion inonditionnelle de C c ( G ) , est aussi une sous-algèbre de Bana h faiblemen t pleine de C ∗ r ( G ) . De plus, si un group e disret Γ a la propriété (RD), une v arian te de l'algèbre de Jolissain t, H s (Γ) , qui est aussi une omplétion inonditionnelle, est une sous-algèbre de Bana h faiblemen t pleine de C ∗ r (Γ) . On a alors le orollaire suiv an t 14 Corollaire 2.11. Pour toute r epr ésentation de dimension nie ρ , le mor- phisme de Baum-Connes r é duit tor du µ ρ,r est un isomorphisme p our les gr oup es suivants :  les gr oup es r é dutifs r é els,  tous les gr oup es disr ets app artenant à la lasse C ′ et p ossé dant la pr o- priété (RD), don, en p artiulier les sous-gr oup es disr ets  o  omp ats de S p ( n, 1) , F 4( − 20) , S L 3 ( F ) où F est un  orps lo  al, S L 3 ( H ) et E 6( − 26) , et tous les gr oup es hyp erb oliques. 3 A tion sur K top ( G ) par le pro duit tensoriel par ρ 3.1 Dénitions et énoné du théorème prinipal Étan t donné un group e lo alemen t ompat G et une représen tation de dimension nie ( ρ, V ) de G , nous allons onsidérer la longueur ℓ sur G dénie de la façon suiv an te : p our tout g ∈ G on p ose ℓ ( g ) := max  log( k ρ ( g − 1 ) k End( V ) ) , lo g ( k ρ ( g ) k End( V ) )  . On a alors k ρ ( g ) v k V ≤ e ℓ ( g ) k v k V , p our tout v ∈ V et p our tout g ∈ G . Le ouple ( V , 0 ) dénit alors un élémen t de E ban G,ℓ ( C , C ) (f. [Laf02 , Dénition 1.2.2℄). On note [ V ] sa lasse dans K K ban G,ℓ ( C , C ) . Dénition 3.1. Soit A une G - C ∗ -algèbre. La représen tation ( ρ, V ) de G dénit un morphisme de group es de K ( A ⋊ ρ r G ) dans K ( C ∗ r ( G, A )) . En eet, soit C ∗ r ( G, A ) ⊗ V le C ∗ r ( G, A ) ⊗ C -mo dule hilb ertien onstruit par pro duit tensoriel externe. D'après la dénition de A ⋊ ρ r G , il est lair que l'appliation e g 7→  h ⊗ v 7→ e g ∗ h ⊗ ρ ( g ) v  , p our tout g ∈ G , h ∈ C c ( G, A ) et v ∈ V , induit un morphisme d'algèbres de Bana h A ⋊ ρ r G → L C ∗ r ( G,A ) ( C ∗ r ( G, A ) ⊗ V ) . Le pro duit tensoriel hilb ertien C ∗ r ( G, A ) ⊗ V est alors un ( A ⋊ ρ r G, C ∗ r ( G, A )) - bimo dule de Bana h (f. [Laf02 ℄), et le ouple ( C ∗ r ( G, A ) ⊗ V , 0) dénit alors un élémen t de E ban ( A ⋊ ρ r G, C ∗ r ( G, A )) . On note [ C ∗ r ( G, A ) ⊗ V ] sa lasse dans K K ban ( A ⋊ ρ r G, C ∗ r ( G, A )) . Soit Σ : K K ban ( A ⋊ ρ r G, C ∗ r ( G, A )) → Hom  K ( A ⋊ ρ r G ) , K ( C ∗ r ( G, A ))  , 15 donné par l'ation de la K K -théorie bana hique sur la K -théorie (f. [Laf02 , Prop osition 1.2.9℄). On a alors un morphisme Σ([ C ∗ r ( G, A ) ⊗ V ]) : K ( A ⋊ ρ r G ) → K ( C ∗ r ( G, A )) , que l'on note Λ ρ,r . R emar que 3.2 . La représen tation ( ρ, V ) étan t de dimension nie, on aurait pu dénir le morphisme prééden t de la manière suiv an te : soit τ le mor- phisme d'algèbres de Bana h de A ⋊ ρ r G dans C ∗ r ( G, A ) ⊗ End( V ) induit par l'appliation e g 7→ e g ⊗ ρ ( g ) . On note τ ∗ le morphisme de group es induit par τ de K ( A ⋊ ρ r G ) dans K  C ∗ r ( G, A ) ⊗ End( V )  . Comme C ∗ r ( G, A ) ⊗ End( V ) ≃ M n ( C ∗ r ( G, A )) où n est la dimension de l'espae v etoriel V , alors, par équiv alene de Morita, τ induit un morphisme, τ ∗ : K ( A ⋊ ρ r G ) → K ( C ∗ r ( G, A )) . Il est faile de v oir que τ ∗ est égal au morphisme Λ ρ,r déni par la prop osition 3.1. R emar que 3.3 . De façon analogue, ( ρ, V ) dénit un morphisme de group es Λ ρ : K ( A ⋊ ρ G ) → K ( C ∗ ( G, A )) , où A ⋊ ρ G est le pro duit roisé tordu maximal. D'autre part, une ation de R F ( G ) sur K top ( G ) est dénie de façon très naturelle. Dans le as des représen tations unitaires, ette ation a été dénie par Kasparo v. En eet, p our tout group e lo alemen t ompat G , l'anneau des représen tations de Kasparo v K K G ( C , C ) , déni dans [ Kas88℄ et noté R ( G ) , est le group e ab élien formé des lasses d'homotopie de représen tations de F redholm unitaires de G , sur lequel le pro duit de Kasparo v dénit une struture d'anneau omm utatif. L'anneau des représen tations unitaires de dimension nie de G s'en v oie sur R ( G ) ; si G est un group e ompat, ette appliation est un isomorphisme (v oir par exemple [ Hig98 , P aragraph 8℄). De plus, p our toutes G - C ∗ -algèbres A et B , le pro duit de Kasparo v dénit une struture de R ( G ) -mo dule sur le group e K K G ( A, B ) . En partiulier, si X est un G -espae propre (et G -ompat), le group e K K G ( C 0 ( X ) , C ) est 16 m uni d'une struture de mo dule sur R ( G ) . En passan t à la limite indutiv e, il est lair que le pro duit de Kasparo v dénit alors une struture de R ( G ) - mo dule sur K top ( G ) , e qui dénit une ation de l'anneau des représen tations unitair es de dimension nie de G sur K top ( G ) . Nous allons généraliser ette ation au as des représen tations non unitaires de G . Supp osons d'ab ord que G soit un group e de Lie onnexe et K un sous- group e ompat maximal de G tels que l'espae G/K soit une v ariété de dimension paire m unie d'une struture spin C G -équiv arian te. Dans e as, il est lair que K top ( G ) est m uni d'une struture de mo dule sur R F ( G ) . En eet, K top ( G ) est isomorphe à R ( K ) , l'anneau des représen tations unitaires de K et toute représen tation de dimension nie ρ non unitaire dénit un endomorphisme de R ( K ) : omme K est un group e ompat, la restrition de ρ sur K est équiv alen te à une représen tation unitaire de K et don ρ | K dénit un élémen t de R ( K ) . Le pro duit tensoriel par ρ | K , R ( K ) → R ( K ) [ σ ] 7→ [ ρ | K ⊗ σ ] , induit un endomorphisme Υ ρ de K top ( G ) qui dénit l'ation R F ( G ) sur K top ( G ) . Dans le as général, étan t donné un G -espae X qui soit G -propre et G - ompat, on onsidère le bré triviale G -équiv arian t au dessus de X de bre V , que l'on note V . On a alors le lemme suiv an t Lemme 3.4. L e br é V p eut êtr e muni d'une strutur e hermitienne G - é quivariante. Démonstr ation. Soit b ∈ C c ( X , R + ) une fontion à supp ort ompat sur X telle que R G b ( g − 1 x ) dg = 1 p our tout x ∈ X . Soit K le supp ort de b qui est une partie ompate de X . On m unit V d'une struture hermitienne quelonque au dessus de K que l'on note h ., . i 1 ,x p our tout x ∈ K . Soien t x ∈ X et v 1 , v 2 appartenan t à la bre de V au dessus de x notée V x . On p ose : h v 1 , v 2 i 2 ,x := Z G b ( g − 1 x )  ρ ( g − 1 ) v 1 , ρ ( g − 1 ) v 2  1 ,g − 1 x dg . Cei dénit une struture hermitienne G -équiv arian te au dessus de V . En 17 eet, p our g 1 ∈ G , x ∈ X et v 1 , v 2 ∈ V x g 1  v 1 , v 2  2 ,x =  ρ ( g − 1 1 ) v 1 , ρ ( g − 1 1 ) v 2  2 ,g − 1 1 x = Z G b ( g − 1 g − 1 1 x )  ρ ( g − 1 g − 1 1 ) v 1 , ρ ( g − 1 g − 1 1 ) v 2  1 ,g − 1 g − 1 1 x dg = Z G b ( h − 1 x )  ρ ( h − 1 ) v 1 , ρ ( h − 1 ) v 2  1 ,h − 1 x dg =  v 1 , v 2  2 ,x . On onsidère main tenan t l'espae C 0 ( X , V ) des setions de V qui s'an- n ulen t à l'inni, où V est m uni de la struture hermitienne G -équiv arian te, h ., . i 2 , dénie i-dessus. Lemme 3.5. L e  ouple ( C 0 ( X , V ) , 0) dénit un élément de E G ( C 0 ( X ) , C 0 ( X )) . On note [ C 0 ( X , V )] sa lasse dans K K G ( C 0 ( X ) , C 0 ( X )) . Démonstr ation. En eet, C 0 ( X ) agit sur C 0 ( X , V ) (à gau he et à droite) par m ultipliation p oin t par p oin t. On dénit un pro duit salaire sur C 0 ( X , V ) à v aleurs dans C 0 ( X ) de la façon suiv an te : étan t données s 1 et s 2 deux setions de V qui s'ann ulen t à l'inni, h s 1 , s 2 i = ( x 7→ h s 1 ( x ) , s 2 ( x ) i 2 ,x ) . Ce pro duit salaire fait de C 0 ( X , V ) un C 0 ( X ) -mo dule hilb ertien G -équiv arian t. L'ation de C 0 ( X ) à gau he omm ute a v e l'ation à droite trivialemen t. Main tenan t, si A est une G - C ∗ -algèbre, omme [ C 0 ( X , V )] est un élémen t de K K G ( C 0 ( X ) , C 0 ( X )) , le pro duit de Kasparo v par [ C 0 ( X , V )] induit un morphisme de group es K K G ( C 0 ( X ) , A ) [ C 0 ( X, V )] ⊗ C 0 ( X ) / / K K G ( C 0 ( X ) , A ) . En passan t à la limite indutiv e on obtien t un morphisme Υ ρ : K top ( G, A ) − → K top ( G, A ) . Nous allons démon trer le théorème suiv an t 18 Théorème 3.6. L e morphisme de gr oup es de K top ( G, A ) dans lui-même in- duit p ar le pr o duit de Kasp ar ov p ar [ C 0 ( X , V )] r end  ommutatifs les deux diagr ammes suivants K top ( G, A ) µ A ρ,r / / Υ ρ   K ( A ⋊ ρ r G ) Λ ρ,r   K top ( G, A ) µ A r / / K ( C ∗ r ( G, A )) et K top ( G, A ) µ A ρ / / Υ ρ   K ( A ⋊ ρ G ) Λ ρ   K top ( G, A ) µ A / / K ( C ∗ ( G, A )) . Nous allons d'ab ord mon trer un résultat analogue p our les algèbres L 1 qui implique le théorème 3.6. 3.2 Algèbres L 1 . Rapp els et notations Étan t donnés un group e lo alemen t ompat G et une G - C ∗ -algèbre A , on rapp elle que l'appliation iden tité sur l'espae des fontions on tin ues à supp ort ompat sur G à v aleurs dans A , C c ( G, A ) , se prolonge en un mor- phisme d'algèbres de Bana h de L 1 ( G, A ) dans C ∗ r ( G, A ) (resp. C ∗ ( G, A ) ), et don L 1 ( G, A ) est une sous-algèbre dense de C ∗ r ( G, A ) (resp. C ∗ ( G, A ) ). De même, si on note L 1 ,ρ ( G, A ) la omplétion de C c ( G, A ) p our la norme k f k L 1 ,ρ ( G,A ) = Z G k f ( g ) k A k ρ ( g ) k End( V ) dg , p our f ∈ C c ( G, A ) , alors l'appliation iden tité de C c ( G, A ) se prolonge en un morphisme d'algèbres de Bana h de L 1 ,ρ ( G, A ) dans le pro duit roisé tordu A ⋊ ρ r G (resp. A ⋊ ρ G ), et don L 1 ,ρ ( G, A ) est une sous-algèbre dense de A ⋊ ρ r G (resp. A ⋊ ρ G ). Nous allons mon trer un énoné p our les algèbres L 1 ( G, A ) et L 1 ,ρ ( G, A ) analogue à elui du théorème 3.6 qui v a impliquer le théorème 3.6. R emar que 3.7 . Si ρ est une représen tation unitaire, alors, p our toute G - C ∗ - algèbre A , L 1 ,ρ ( G, A ) = L 1 ( G, A ) . On rapp elle que les algèbres L 1 ( G ) et L 1 ,ρ ( G ) son t des omplétions inon- ditionnelles de C c ( G ) et don que Laorgue a déni dans [Laf02 , Prop osition- Dénition 1.5.5℄, des morphismes de desen te p our es algèbres : j L 1 : K K ban G,ℓ ( A, B ) → K K ban ( L 1 ,ρ ( G, A ) , L 1 ( G, B )) j L 1 ,ρ : K K ban G ( A, B ) → K K ban ( L 1 ,ρ ( G, A ) , L 1 ,ρ ( G, B )) , p our A et B des G - C ∗ -algèbres et p our ℓ la longueur sur G dénit par la norme de ρ . 19 P ar abus de notation, p our toutes G - C ∗ -algèbre A et B , nous allons dénir un troisième morphisme de desen te j ρ : K K G ( A, B ) → K K ban ( L 1 ,ρ ( G, A ) , L 1 ,ρ ( G, B )) , omme la omp osée de ι et j L 1 ,ρ , 'est-à-dire j ρ := j L 1 ,ρ ◦ ι . Ce morphisme est l'analogue sur L 1 ,ρ du morphisme de desen te tordu déni dans [GA08 , Dénition 2.9℄. Soit X une partie G -ompate de E G . Soit c une fontion on tin ue à supp ort ompat sur X et à v aleurs dans R + telle que, p our tout x ∈ X , R G c ( g − 1 x ) dg = 1 . Soit p la fontion sur G × X dénie par la form ule p ( g , x ) = p c ( x ) c ( g − 1 x ) . La fontion p dénit alors un pro jeteur de C c ( G, C 0 ( X )) , que l'on note p par abus de notation. On note ∆ ρ l'élémen t de K ( L 1 ,ρ ( G, C 0 ( X ))) qu'il dénit. On rapp elle alors que, p our toute G - C ∗ -algèbre A , la v arian te du morphisme de Baum-Connes à v aleurs dans K ( L 1 ,ρ ( G, A )) dénie par Laorgue dans [Laf02 , 1.7℄, est donnée, à passage à la limite indutiv e près, par le morphisme µ A L 1 ,ρ : K K G ( C 0 ( X ) , A ) → K ( L 1 ,ρ ( G, A )) , déni par la form ule µ L 1 ,ρ ( α ) = Σ( j ρ ( α ))(∆ ρ ) , p our tout élémen t α dans K K G ( C 0 ( X ) , A ) . P our mon trer qu'un énoné analogue à l'énoné du théorème 3.6 p our les algèbres L 1 implique le théorème 3.6 , on aura b esoin du lemme de ompati- bilité suiv an t Lemme 3.8. L es diagr ammes K top ( G, A ) µ A ρ,r ( ( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q µ A L 1 ,ρ / / K ( L 1 ,ρ ( G, A )) i ∗   K ( A ⋊ ρ r G ) et K top ( G, A ) µ A ρ ( ( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q µ A L 1 ,ρ / / K ( L 1 ,ρ ( G, A )) i ′ ∗   K ( A ⋊ ρ G ) où i : L 1 ,ρ ( G, A ) → A ⋊ ρ r G (r esp. i ′ : L 1 ,ρ ( G, A ) → A ⋊ ρ G ) est le pr olonge- ment de l'appli ation identité sur C c ( G, A ) , sont  ommutatifs. Démonstr ation. La démonstration est analogue à la démonstration de la pro- p osition 2.9. 20 R emar que 3.9 . Le lemme 3.8 et la remarque 3.7 impliquen t en partiulier que si ρ est une représen tation unitaire alors µ A ρ,r = µ A r (resp. µ A ρ = µ A ) p our toute G - C ∗ -algèbre A et don le morphisme de Baum-Connes tordu oïnide a v e le morphisme de Baum-Connes lassique. 3.3 Démonstration du théorème 3.6 Soit X une partie G -ompate de E G . On v a mon trer le théorème suiv an t Théorème 3.10. Pour toute G - C ∗ -algèbr e A , le morphisme, noté Υ ρ , qui à un élément α ∈ K K G ( C 0 ( X ) , A ) asso ie le pr o duit de Kasp ar ov [ C 0 ( X , V )] ⊗ C 0 ( X ) α dans K K G ( C 0 ( X ) , A ) r end  ommutatif le diagr amme suivant K K G ( C 0 ( X ) , A ) µ A ρ,r / / Υ ρ   K ( A ⋊ ρ r G ) Λ ρ,r   K K G ( C 0 ( X ) , A ) µ A r / / K ( C ∗ r ( G, A )) . La preuv e rep ose sur un résultat analogue p our les algèbres L 1 que nous allons énoner plus bas et qui implique aussi la omm utativité du diagramme du théorème 3.6 p our les pro duits roisés maximaux de façon analogue. P our énoner le résultat p our les algèbres L 1 , nous a v ons b esoin de la dénition suiv an te. Dénition 3.11. P our toute G - C ∗ -algèbre A , la représen tation ( ρ, V ) de G dénit le morphisme de group es suiv an t, Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  : K ( L 1 ,ρ ( G, A )) → K ( L 1 ( G, A )) , où, on rapp elle que, dans e as, Σ : K K ban  L 1 ,ρ ( G, A ) , L 1 ( G, A )  → Hom  K ( L 1 ,ρ ( G, A )) , K ( L 1 ( G, A ))  . En eet, [ V ] est un élémen t de K K ban G,ℓ ( C , C ) et don j L 1 ( σ A ([ V ])) appartien t à K K ban ( L 1 ,ρ ( G, A ) , L 1 ( G, A )) . Nous allons alors mon trer le théorème suiv an t qui est l'analogue p our les algèbres L 1 du théorème 3.10 annoné dans la setion 3.2 . Théorème 3.12. Pour toute G - C ∗ -algèbr e A et p our toute p artie G - omp ate X de E G , le diagr amme K K G ( C 0 ( X ) , A ) µ A L 1 ,ρ / / Υ ρ   K ( L 1 ,ρ ( G, A )) Σ( j L 1 ( σ A ([ V ])))   K K G ( C 0 ( X ) , A ) µ A L 1 / / K ( L 1 ( G, A )) , 21 est  ommutatif. Mon trons d'ab ord que le théorème 3.12 implique le théorème 3.10. Soien t i 1 : L 1 ( G, A ) → C ∗ r ( G, A ) et i 2 : L 1 ,ρ ( G, A ) → A ⋊ ρ r G, les inlusions naturelles qui prolongen t l'appliation iden tité sur C c ( G, A ) . La fontorialité de Σ implique que le morphisme Λ ρ,r de K ( A ⋊ ρ r G ) dans K ( C ∗ r ( G, A )) rend omm utatif le diagramme suiv an t : K ( L 1 ,ρ ( G, A )) i 2 , ∗ / / Σ( j L 1 ( σ A ([ V ])))   K ( A ⋊ ρ r G ) Λ ρ,r   K ( L 1 ( G, A )) i 1 , ∗ / / K ( C ∗ r ( G, A )) . En eet, il est faile de v oir que i ∗ 2 ([ C ∗ r ( G, A ) ⊗ V ]) = i 1 , ∗  j L 1 ( σ A ([ V ]))  , dans K K ban ( L 1 ,ρ ( G, A ) , C ∗ r ( G, A )) . D'où, Σ([ C ∗ r ( G, A ) ⊗ V ]) i 2 , ∗ = i ∗ 2  Σ([ C ∗ r ( G, A ) ⊗ V )]  , = Σ( i ∗ 2 ([ C ∗ r ( G, A ) ⊗ V ])) , = Σ( i 1 , ∗  j L 1 ( σ A ([ V ]))  , = i 1 , ∗  Σ( j L 1 ( σ A ([ V ])))  , et omme Λ ρ,r = Σ([ C ∗ r ( G ) ⊗ V ]) par dénition, alors le diagramme est om- m utatif e qui prouv e que le théorème 3.12 implique le théorème 3.10 . Il en est de même dans le as des pro duits roisés maximaux. La démonstration du théorème 3.12 rep ose sur le lemme et la prop osition suiv an ts Lemme 3.13. L es éléments ι ([ C 0 ( X , V )]) et σ C 0 ( X ) ([ V ]) sont é gaux dans K K ban G,ℓ ( C 0 ( X ) , C 0 ( X )) . Ce lemme implique en partiulier que les élémen ts j L 1 ( ι ([ C 0 ( X , V )])) et j L 1 ( σ C 0 ( X ) ([ V ])) dans K K ban ( L 1 ,ρ ( G, C 0 ( X )) , L 1 ( G, C 0 ( X ))) son t égaux et don qu'ils agissen t de la même manière sur l'élémen t ∆ ρ de K ( L 1 ,ρ ( G, C 0 ( X ))) , 'est-à-dire Σ( j L 1 ( ι ([ C 0 ( X , V )])))(∆ ρ ) = Σ( j L 1 ( σ C 0 ( X ) ([ V ])))(∆ ρ ) . 22 Démonstr ation. Nous allons mon trer que ι ([ C 0 ( X , V )]) et σ C 0 ( X ) ([ V ]) son t homotop es dans E ban G,ℓ ( C 0 ( X ) , C 0 ( X )) . Soit s une fontion sur X à v aleurs dans V qui s'ann ule à l'inni. On p ose : k s k 0 := k s k C 0 ( X,V ) = sup x ∈ X k s ( x ) k V k s k 1 := k s k C 0 ( X, V ) = sup x ∈ X k s ( x ) k V . Soit H t , p our t ∈ [0 , 1] , l'espae de Hilb ert des fontions sur X à v aleurs dans V qui s'ann ulen t à l'inni p our la norme : k s k t = t k s k 1 + (1 − t ) k s k 0 . Alors, H = ( H t ) t ∈ [0 , 1] ∈ E ban G,ℓ  C 0 ( X ) , C 0 ( X )[0 , 1]  . Il est lair que H réalise l'homotopie  her hée. Prop osition 3.14. Soient A et B des C ∗ -algèbr es et soit α un élément de K K G ( A, B ) . A lors le diagr amme K ( L 1 ,ρ ( G, A )) Σ( j ρ ( α )) / / Σ( j L 1 ( σ A ([ V ])))   K ( L 1 ,ρ ( G, B )) Σ( j L 1 ( σ B ([ V ])))   K ( L 1 ( G, A )) Σ( j L 1 ( α )) / / K ( L 1 ( G, B )) est  ommutatif. Démonstr ation. Soit α ∈ K K G ( A, B ) . D'après le lemme 1.6.11 de [Laf02 ℄, il existe une G - C ∗ -algèbre que l'on note A 1 , deux morphismes G -équiv arian ts θ : A 1 → A et η : A 1 → B et un élémen t α 1 dans K K G ( A, A 1 ) , tels que θ ∗ ( α 1 ) = Id A 1 dans K K G ( A 1 , A 1 ) , θ ∗ ( α 1 ) = Id A dans K K G ( A, A ) , et θ ∗ ( α ) = [ η ] dans K K G ( A, B ) . On p eut érire alors le diagramme suiv an t en K K -théorie A 1 θ y y r r r r r r r r r r r r η % % L L L L L L L L L L L L σ A 1 ([ V ])          A α / / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ σ A ([ V ])          α 1 * *    r f ^ W B σ B ([ V ])          A 1 θ y y r r r r r r r r r r r r η % % L L L L L L L L L L L L A α / / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ α 1 * *    r f ^ W B 23 où les è hes en p oin tillés désignen t des élémen ts en K K -théorie qui ne son t pas néessairemen t donnés par des morphismes d'algèbres. Lemme 3.15. Comme [ V ] ∈ K K ban G,l ( C , C ) , on a alors les deux é galités sui- vantes θ ∗ ( σ A ([ V ])) = θ ∗ ( σ A 1 ([ V ])) et η ∗ ( σ B ([ V ])) = η ∗ ( σ A 1 ([ V ])) , dans K K ban G,ℓ ( A 1 , A ) et K K ban G,ℓ ( A 1 , B ) . Démonstr ation. Le lemme déoule de la fontorialité de K K ban . On rapp elle que nous a v ons noté j ρ = j L 1 ,ρ ◦ ι p our simplier les notations. Le fait que Σ , j L 1 et j L 1 ,ρ soien t fontoriels nous p ermet, d'une part, d'érire le diagramme suiv an t : K ( L 1 ,ρ ( G, A 1 )) j ρ ( θ ) ∗ v v l l l l l l l l l l l l l R R R R R R R j ρ ( η ) ∗ ) ) R R R R R R R Σ( j L 1 ( σ A 1 [ V ]))   K ( L 1 ,ρ ( G, A )) Σ( j ρ ( α )) / / Σ( j L 1 ( σ A ([ V ])))   K ( L 1 ,ρ ( G, B )) Σ( j L 1 ( σ B ([ V ])))   K ( L 1 ( G, A 1 )) l l l l l l l j L 1 ( ι ( θ )) ∗ v v l l l l l l l j L 1 ( ι ( η )) ∗ ) ) R R R R R R R R R R R R R K ( L 1 ( G, A )) Σ( j L 1 ( ι ( α ))) / / K ( L 1 ( G, B )) et d'autre part de mon trer que j L 1 ( ι ( θ )) ∗ et j ρ ( θ ) ∗ son t in v ersibles (v oir dé- monstration du Lemme 1.6.11 de [Laf02 ℄). On v a mon trer que e diagramme est omm utatif en le déoupan t en moreaux. Lemme 3.16. On a les é galités suivantes : j L 1 ( ι ( η )) ∗ ◦ j L 1 ( ι ( θ )) − 1 ∗ = Σ  j L 1 ( ι ( α ))  , et j ρ ( η ) ∗ ◦ j ρ ( θ ) − 1 ∗ = Σ  j ρ ( α )  . 24 Démonstr ation. P ar fontorialité et par dénition de η et de θ : Σ( j L 1 ( ι ( α ))) ◦ j L 1 ( ι ( θ )) ∗ = Σ  j L 1 ( ι ( θ )) ∗ ( j L 1 ( ι ( α )))  = Σ  j L 1 ( ι ( θ ∗ ( α )))  , = Σ  j L 1 ( ι ( η ))  , = j L 1 ( ι ( η )) ∗ . La deuxième égalité se démon tre de façon omplètemen t analogue. Lemme 3.17. On a les é galités suivantes : Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  ◦ j L 1 ,ρ ( ι ( θ )) ∗ = j L 1 ( ι ( θ )) ∗ ◦ Σ  j L 1 ( σ A 1 ([ V ]))  , et Σ  j L 1 ( σ B ([ V ]))  ◦ j L 1 ,ρ ( ι ( η )) ∗ = j L 1 ( ι ( η )) ∗ ◦ Σ  j L 1 ( σ A 1 ([ V ]))  . Démonstr ation. La fontorialité et le lemme 3.15 p ermetten t d'a v oir les éga- lités suiv an tes : Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  ◦ j L 1 ,ρ ( ι ( θ )) ∗ = Σ  j L 1 ( θ ∗ ( σ A ([ V ])))  , = Σ  j L 1 ( θ ∗ ( σ A 1 ([ V ])))  , = j L 1 ( ι ( θ )) ∗ ◦ Σ  j L 1 ( σ A 1 ([ V ]))  , et d'autre part : j L 1 ( ι ( η )) ∗ ◦ Σ  j L 1 ( σ A 1 ([ V ]))  , = Σ  j L 1 ( η ∗ ( σ A 1 ([ V ])))  , = Σ  j L 1 ( η ∗ ( σ B ([ V ])))  , = Σ  j L 1 ( σ B ([ V ]))  ◦ j L 1 ( ι ( η )) ∗ . Main tenan t on est prêt p our onlure. D'après les deux lemmes préé- den ts, on a : Σ( j L 1 ( ι ( α ))) ◦ Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  ◦ j L 1 ,ρ ( ι ( θ )) ∗ , = Σ( j L 1 ( ι ( α ))) ◦ j L 1 ( ι ( θ )) ∗ ◦ Σ  j L 1 ( σ A 1 ([ V ]))  , et ei implique don que : Σ  j L 1 ( ι ( α ))  ◦ Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  , = j L 1 ( ι ( η )) ∗ ◦ Σ  j L 1 ( σ A 1 ([ V ]))  ◦ j L 1 ,ρ ( ι ( θ )) − 1 ∗ , = Σ  j L 1 ( σ B ([ V ]))  ◦ j L 1 ρ ( ι ( η )) ∗ ◦ j L 1 ,ρ ( ι ( θ )) − 1 ∗ , = Σ  j L 1 σ B ([ V ]))  ◦ Σ  j L 1 ,ρ ( ι ( α ))  . Et ei termine la démonstration de la prop osition 3.14 . 25 Démonstr ation du thé or ème 3.12 . On v a main tenan t mon trer le théorème 3.12. Nous allons noter [ V ] := [ C 0 ( X , V )] p our simplier les notations. Soit α un élémen t de K K G ( C 0 ( X ) , A ) . La ompatibilité de Σ a v e le pro duit de Kasparo v (v oir [Laf02 , Prop osition 1.6.10℄) implique les égalités suiv an tes µ L 1 ([ V ] ⊗ α ) = Σ  j L 1 ( ι ([ V ] ⊗ α ))  (∆) , = Σ  j L 1 ( ι ( α ))  ◦ Σ  j L 1 ( ι ([ V ]))  (∆) , où ∆ est l'élémen t de K  L 1 ( G, C 0 ( X ))  déni par p . Mais d'après le lemme 3.13 on a Σ  j L 1 ( ι ( α ))  ◦ Σ  j L 1 ( ι ([ V ]))  (∆) = Σ  j L 1 ( ι ( α ))  ◦ Σ  j L 1 ( σ C 0 ( X ) [ V ])  (∆) , et la prop osition 3.14 appliquée à C 0 ( X ) et à A implique que le dernier mem bre de ette égalité est égal à Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  ◦ Σ  j ρ ( α )  (∆) . On a alors, µ L 1 ([ V ] ⊗ α ) = Σ  j L 1 ( ι ( α ))  ◦ Σ  j L 1 ( σ C 0 ( X ) [ V ])  (∆) , = Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  ◦ Σ  j ρ ( α )  (∆) , = Σ  j L 1 ( σ A ([ V ]))  ◦ µ L 1 ,ρ ( α ) , et 'est exatemen t e qu'on v oulait démon trer. Dans la page suiv an te, nous ériv ons un diagramme réapitulatif de la dé- monstration. 26 K K G ( C 0 ( X ) , A ) Υ ρ   Σ ◦ j ρ / / Σ ◦ j L 1 ◦ ι " " E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Hom  K  L 1 ,ρ ( G, C 0 ( X ))  , K  L 1 ,ρ ( G, A )   ( . )(∆ ρ ) / / Σ( j L 1 ( σ A [ V ]))   K ( L 1 ,ρ ( G, A )) Σ( j L 1 ( σ A [ V ]))   Hom  K  L 1 ( G, C 0 ( X ))  , K  L 1 ( G, A )   Σ( j L 1 ( ι [ V ]))   Σ( j L 1 ( σ C 0 ( X ) [ V ])) / / Hom  K  L 1 ,ρ ( G, C 0 ( X ))  , K  L 1 ( G, A )   ( . )(∆ ρ ) " " E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E K K G ( C 0 ( X ) , A ) Σ ◦ j L 1 ◦ ι / / Hom  K  L 1 ( G, C 0 ( X ))  , K  L 1 ( G, A )   ( . )(∆) / / K ( L 1 ( G, A )) Référenes [BCH94℄ P . Baum, A. Connes, and N. Higson, Classifying sp a e for pr op er ations and K -the ory of gr oup C ∗ -algebr as , C ∗ -algebras : 1943 1993 (San An tonio, TX, 1993), Con temp. 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