Model for synchronizer of marked pairs in fork-join network

Mo del for sync hronizer of mark ed pairs in fork-join net w ork S. V. Vysh enski † 1 , P .V. Grigoriev ‡ , and Y u.Y u. Dub ensk a y a § † Institute of Nuclear Ph ysics, Mosc o w State Univ ersit y , Mosco w 119899, Russia ‡ General Ph ysics Institute, Russian Academ y of Sciences , V a vilo v str., 38, Mosco w 119991, Russia § Institute of Precise Mec ha nics and Computer T ec hnology , Russian Academ y of Sciences, Leninskiy av., 51, M osco w 11999 1 , Russia Abstract W e in tro duce a mo del for sync hronizer of marke d p airs, whic h is a no de f or j oining r esults of parallel pr o cessing in t wo -branc h f ork-join queueing net w ork. A distribution for num b er of j obs in the syn c hro- nizer is obtained. Calculations are p erformed assuming that: arriv als to the netw ork form a Poisson pr o cess, eac h bran ch op erates like an M/M/N queueing system. It is sho wn that a m ean quant it y of jobs in the synchronizer is b ounded b elo w b y the v alue, defined by param- eters of the netw ork (which con tains the synchronizer) and do es not dep end up on p erformance and particular prop erties of the synchro- nizer. A domain of net w ork parameters is foun d, where the flow of jobs d eparting from the synchronizer do es not manifest a statistically significan t difference from the P oisson type, despite the correlation b et w een job flo ws from b oth branc hes of the fork-join net w ork. 1 svysh@pn.sinp.msu.ru 1 Ìî äåëü ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð â ñåòè ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå Ñ.Â. Âûøåíñêèé † 1 , Ï.Â. ðèãîðüåâ ‡ , Þ.Þ. Äóáåíñê àÿ † ÍÈÈ ÿäåðíîé èçèêè ÌÓ , Ìîñêâà 119899 ‡ Èíñòèòóò îáùåé èçèêè  ÀÍ, Âàâèëîâà 38, Ìîñêâà 119991  Èíñòèòóò òî÷íîé ìåõ àíèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè  ÀÍ, Ëåíèíñêèé ïðîñï. 51, Ìîñêâà 119991 Ñò àòüÿ ïóáëèêó åòñ ÿ â æóðíàëå Îáîçðåíèå ïðèêëàäíîé è ïðî ìûøëåííîé ìàòå ìàòèêè, 2008 Àííîò àöèÿ Ïðåäëî æ åíà ìî äåëü ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð  óç- ëà îáúåäèíåíèÿ ðåçó ëü ò àòîâ ïàðàëëåëüíîé îáðàáîòêè äâóõ ïîòîê îâ â ñåò ÿõ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ òèïà ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå (fork-join). Íàéäåíî ðàñïðåäåëåíèå ê îëè÷åñòâà çàÿâîê â ñèíõðîíè- çàòîðå.  àñ÷åòû ïðîâåäåíû äëÿ ñò àöèîíàðíîãî ðåæèìà â ñëåäóþ- ùèõ ïðåäïîëî æ åíèÿõ: íà âõ î ä ñåòè ïîñòóïàåò ïîòîê çàÿâîê ïó àñ- ñîíîâñê îãî òèïà, ñèñòåìû â îáåèõ âåòâÿõ ñåòè îòíîñ ÿòñ ÿ ê òèïó M / M / N . Ïîê àçàíî, ÷òî ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå îãðàíè÷åíî ñíèçó çíà ÷åíèåì, ê îòîðîå îïðåäåëÿåòñ ÿ ïàðàìåòðàìè ñåòè, ñî äåð æ àùåé ñèíõðîíèçàòîð, è íå çàâèñèò îò ïðîèçâî äèòåëü- íîñòè è îñîáåííîñòåé ñèíõðîíèçàòîðà. Íàéäåíà îáëàñòü ïàðàìåò- ðîâ ñåòè, â ê îòîðîé ê îððåëÿöèÿ ìåæäó ïîòîê àìè çàÿâîê èç ðàçíûõ âåòâåé ñåòè íå ïðèâî äèò ê ñò àòèñòè÷åñêè çíà ÷èìîìó îòêëîíåíèþ ïîòîê à íà âûõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà îò ïó àññîíîâñê îãî òèïà. Ñî äåð æ àíèå 1 Ââåäåíèå 3 2 Ìî äåëü ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð 5 3 Ïîòîê íà âõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà 7 4 Êîëè÷åñòâî çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå 10 5 Ïîòîê íà âûõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà 10 6 Îáñóæäåíèå ðåçó ëü ò àòîâ 10 A Ïðîâåðê à ñò àòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç 13 2 f S a b 8 8 out èñ. 1: Ñåòü ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå ñ äâóìÿ âåòâÿìè. 1 Ââåäåíèå  ðàáîòå [1℄ ïðåäëî æ åí íîâûé óíêöèîíàëüíûé ýëåìåíò ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà îáúåäèíåíèÿ ðåçó ëü ò àòîâ ïà- ðàëëåëüíîé îáðàáîòêè äâóõ ïîòîê îâ çàÿâîê â ñåò ÿõ ìàññîâîãî îáñëóæè- âàíèÿ òèïà ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå (Î) èëè fork-join. Îê àçàëîñü, ÷òî äàæ å ñàìîå àáñòðàêòíîå ïðåäñò àâëåíèå î ñèíõðîíèçàòîðå ïîçâîëÿåò ïðè- ìåíèòü èçâåñòíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ àíàëèçà íàãðóçî÷íûõ õ àðàêòåðèñòèê ñåòè Î, ê îòîðàÿ ñî äåð æèò ò àê îé ñèíõðîíèçàòîð.  íà- ñòî ÿùåé ðàáîòå ïðåäëî æ åíà ìî äåëü, â ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè äåò àëèçè- ðóþùàÿ ó ñòðîéñòâî ñèíõðîíèçàòîðà. Ââåäåíèå ò àê îé ìî äåëè ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà ñåòè Î.  ÷àñòíîñòè  ïðîâåñòè àíàëèç íåïó àññîíîâñêèõ ñâîéñòâ ïîòîê îâ çàÿâîê â ñåò ÿõ Î.  àññìîòðèì ñåòü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ òèïà Î, ïîê àçàííóþ íà ðèñóíê å 1 . Ïðåäïîëî æèì, ÷òî íà âõ î ä ñåòè ïîñòóïàåò ïó àññîíîâñêèé ïî- òîê ïðîìàðêèðîâàííûõ (íàïðèìåð, ïðîíóìåðîâàííûõ) çàÿâîê ñ èíòåí- ñèâíîñòüþ λ > 0 .  òî÷ê å ðàçâåòâëåíèÿ f ê àæäàÿ çàÿâê à ðàçäåëÿåòñ ÿ íà äâå çàÿâêè ñ î äèíàê îâûìè íîìåðàìè, ñîâïàäàþùèìè ñ íîìåðîì èñ- õ î äíîé çàÿâêè. Ýòè äâå çàÿâêè î äíîâðåìåííî ïîñòóïàþò íà âõ î ä âåòâåé a è b , ê îòîðûå ïðåäñò àâëÿþò ñîáîé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ M / M / N a è M / M / N b , ã äå N a , N b ≥ 1 çàäàþò ê îëè÷åñòâà ïàðàëëåëüíûõ ê àíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ â âåòâÿõ a è b . Î÷åðåäè â âåòâÿõ a è b ïî ä÷èíÿþò- ñ ÿ äèñöèïëèíå FIF O. Ñåòü óíêöèîíèðó åò â ñò àöèîíàðíîì ðåæèìå. Äëÿ îáúåäèíåíèÿ ðåçó ëü ò àòîâ ïàðàëëåëüíîé îáðàáîòêè äâóõ ïîòîê îâ â âåòâÿõ a è b ñåòè ñëóæèò óçåë S , íàçâàííûé â íàøåé ðàáîòå [1℄ ñèíõðîíèçàòîðî ì ìàðêèðîâàííûõ ïàð . Ñåòü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ Î ïðåäñò àâëÿåò ñîáîé ó äîáíóþ ìî- äåëü äëÿ ðàñ÷åò à íàãðóçî÷íûõ õ àðàêòåðèñòèê ðàãìåíòîâ ðàçëè÷íûõ èíîðìàöèîííûõ, ê îììóíèê àöèîííûõ è ïðîèçâî äñòâåííûõ ñèñòåì.  ÷àñò- 3 íîñòè, ò àê îé ðàãìåíò õ àðàêòåðåí äëÿ ñèñòåì, óíêöèîíàëüíîñòü ê îòî- ðûõ ïðèíÿòî çàäàâàòü íà ÿçûê å ïîòîê îâ ðàáîò (w orko w).  áîëüøèíñòâå ðàáîò î ñåò ÿõ Î [2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 , 9 , 10 ℄ ðåøàåòñ ÿ çàäà ÷à âû÷èñëåíèÿ âðåìåíè îòêëèê à ñåòè, òî åñòü ïðîìåæóòê à âðåìå- íè, ðàçäåëÿþùåãî ìîìåíòû ðàçâåòâëåíèÿ è îáúåäèíåíèÿ ïîòîê îâ çàÿâîê â âåòâÿõ ñåòè, à ò àêæ å ðàñïðåäåëåíèå äëÿ îáùåãî ê îëè÷åñòâà çàÿâîê â ñåòè Î.  ýòèõ ðàáîò àõ íå ê îíêðåòèçèðîâàëñ ÿ ìåõ àíèçì îáúåäèíåíèÿ ïîòîê îâ çàÿâîê è íå èññëåäîâàëèñü ñò àòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòîãî ïðî- öåññà.  íàñòî ÿùåé ðàáîòå ïðåäëàã àåòñ ÿ ìî äåëü äëÿ ñèíõðîíèçàòîðà ìàð- êèðîâàííûõ ïàð ê àê îò äåëüíîãî óíêöèîíàëüíîãî ýëåìåíò à ñåòè Î. Ê îñíîâíûì ðåçó ëü ò àò àì íàñòî ÿùåé ñò àòüè îòíîñ ÿòñ ÿ: ïðåäñò àâëåíèå èäå- àëüíîãî ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð â âèäå ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ áåñê îíå÷íûì ê îëè÷åñòâîì ê àíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ, íà- õ î æäåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ñåòè, â ê îòîðîé îò ëè÷èå âûõ î äíîãî ïîòîê à ñèíõðîíèçàòîðà îò ïó àññîíîâñê îãî íå ÿâëÿåòñ ÿ ñò àòèñòè÷åñêè çíà ÷èìûì.  òîé æ å îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ïðåäëî æ åíî ïðèáëèæ åíèå äëÿ ðàñïðåäåëå- íèÿ ê îëè÷åñòâà çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå. Ïîëó÷åííûå ðåçó ëü ò àòû ïîç- âîëÿþò ðåøàòü ñëåäóþùèå çàäà ÷è: ðàñ÷åò ðåñóðñîâ äëÿ áåñïåðåáîéíîé ðàáîòû ñåòè Î, îïòèìèçàöèÿ ðåñóðñîâ äëÿ ðàáîòû ñåòè Î, èññëåäîâà- íèå âçàèìî äåéñòâèå ñåòè Î ñ áîëåå êðóïíîé ñåòüþ, ñî äåð æ àùåé äàííóþ ñåòü Î. Äàëüíåéøåå èçëî æ åíèå ïîñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ðàçäåëå 2 ïðèâåäåí îáùèé àëãîðèòì ðàáîòû ñèíõðîíèçàòîðà è ïðåäëî æ åíà ìî äåëü èäåàëüíîãî (áåñê îíå÷íî áûñòðîãî) ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð.  ðàçäåëå 3 èññëåäóþòñ ÿ ñò àòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïîòîê îâ çàÿâîê íà âõ î- äå ñèíõðîíèçàòîðà. Äëÿ ñåòè Î ïðè N a = N b = 1 ïóòåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà ïîê àçàíî, ÷òî ïîòîê íà âõ î- äå ñèíõðîíèçàòîðà íå ÿâëÿåòñ ÿ ïó àññîíîâñêèì. Äëÿ ñåòè Î ñ ïàðàìåò- ðàìè N a , N b > 1 ìåòî äàì ìî äåëèðîâàíèÿ ïîê àçàíî, ÷òî âõ î äíîé ïîòîê ñèíõðîíèçàòîðà ÿâëÿåòñ ÿ ïî÷òè ïóàññîíîâñêèì (ñì. Ïðèëî æ åíèå A) ïðè íåê îòîðûõ ê îìáèíàöèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòè.  ðàçäåëå 4 ïî÷òè ïó àññîíîâ- ñê îå ïðèáëèæ åíèå äëÿ âõ î äíîãî ïîòîê à ñèíõðîíèçàòîðà ïîçâîëèëî ïðè- ìåíèòü èçâåñòíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ê îëè÷åñòâà òðåáîâàíèé â ñèíõðîíèçàòîðå. Ïîê àçàíî, ÷òî äàæ å â èäåàëü- íîì ñèíõðîíèçàòîðå ñðåäíåå ÷èñëî çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå îãðàíè÷åíî ñíèçó çíà ÷åíèåì, ê îòîðîå îïðåäåëÿåòñ ÿ ëèøü ïàðàìåòðàìè ñåòè Î, ñî- äåð æ àùåé ñèíõðîíèçàòîð, è íå çàâèñèò îò ñâîéñòâ ñèíõðîíèçàòîðà.  ðàçäåëå 5 íàéäåíû ó ñëîâèÿ, ïðè ê îòîðûõ ïîòîê íà âûõ î äå ñèíõðîíèçàòî- ðà ÿâëÿåòñ ÿ ïî÷òè ïó àññîíîâñêèì.  ðàçäåëå 6 ïîëó÷åííûå â íàñòî ÿùåé ñò àòüå ðåçó ëü ò àòû ñðàâíèâàþòñ ÿ ñ èçâåñòíûìè èç ëèòåðàòóðû, à ò àêæ å 4 îáñóæäàþòñ ÿ âîçìî æíûå ïðèìåíåíèÿ.  Ïðèëî æ åíèè A äàíî îïðåäåëå- íèå ïî÷òè ïó àññîíîâñê îãî ïîòîê à, à ò àêæ å èçëî æ åíû èñïîëüçîâàííûå ìå- òî äû ÷èñëåííîãî ìî äåëèðîâàíèÿ äëÿ ïðîâåðêè ñò àòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç. 2 Ìî äåëü ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð Ïðîöåññ îáúåäèíåíèÿ äâóõ ïîòîê îâ ìàðêèðîâàííûõ çàÿâîê â ðàçíûõ ñå- ò ÿõ ìî æ åò ïðîèñ õ î äèòü ïî-ðàçíîìó .  íàñòî ÿùåé ðàáîòå ìû ïðåäëàã àåì ïðèáëèæ åííîå îïèñàíèå ýòîãî ïðîöåññà ñ ïîìîùüþ íîâîãî óíêöèîíàëü- íîãî ýëåìåíò à  ñèíõðîíèçàòîðà S ìàðêèðîâàííûõ ïàð (ðèñ. 1). Áó äåì ñ÷èò àòü, ÷òî ýòîò ñèíõðîíèçàòîð S ñîñòîèò èç ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà è ìîíèòîðà M , ê îòîðûé îòñëåæèâàåò è èçìåíÿåò ñîñòî ÿíèå ïàìÿòè ñèí- õðîíèçàòîðà. Ïîëàã àåì, ÷òî ìîíèòîð M ñðàáàòûâàåò ìãíîâåííî, à ðàç- ìåð ïàìÿòè íåîãðàíè÷åí. Èìåííî ïîýòîìó ìû íàçûâàåì ñèíõðîíèçàòîð èäå àëüíûì . Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ðàáîò àåò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàÿâêè èç âåòâåé a è b ïîñòóïàþò íà âõ î ä ñèíõðîíèçàòîðà S ìàðêèðî- âàííûõ ïàð è ñî õðàíÿþòñ ÿ â åãî ïàìÿòè. Ïàðó çàÿâîê ðàçëè÷íûõ òèïîâ ( a è b ) ñ î äèíàê îâûìè íîìåðàìè áó äåì íàçûâàòü ïàðòíåð àìè . Ïàðòíåðà, äîñòèãøåãî ñèíõðîíèçàòîðà ïåðâûì èç ïàðû ïàðòíåðîâ, áó äåì íàçûâàòü ïåðâûì ïàðòíåðî ì . Ïàðòíåðà, äîñòèãøåãî ñèíõðîíèçàòîðà âòîðûì èç ïàðû ïàðòíåðîâ, áó äåì íàçûâàòü âòîðûì ïàðòíåðî ì . Ïîñëå ñî õðàíåíèÿ âíîâü ïîñòóïèâøåé çàÿâêè â ïàìÿòè, ìîíèòîð M ïðîèçâî äèò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ: • îïðåäåëÿåòñ ÿ íîìåð è òèï ( a èëè b ) íîâîé çàÿâêè, • åñëè â ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà óæ å èìååòñ ÿ (ïåðâûé) ïàðòíåð äëÿ íîâîé çàÿâêè, òî îáà ïàðòíåðà íàéäåííîé ïàðû ó äàëÿþòñ ÿ èç ïà- ìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà è ïåðåäàþòñ ÿ íà âûõ î ä ñèíõðîíèçàòîðà. • åñëè ïàðòíåð äëÿ íîâîé çàÿâêè â ïàìÿòè îòñóòñòâó åò , òî íîâàÿ çà- ÿâê à (òî åñòü ïåðâûé ïàðòíåð èç ïàðû) îñò àåòñ ÿ â ïàìÿòè ñèíõðî- íèçàòîðà æäàòü ñâîåãî âòîðîãî ïàðòíåðà. Èñ õ î äÿ èç ïðèâåäåííîãî àëãîðèòìà ðàáîòû ñèíõðîíèçàòîðà, îïðåäå- ëèì âðåìÿ t ïðåáûâàíèÿ ïàðû â ñèíõðîíèçàòîðå ê àê ðàçíèöó âî âðåìåíè ìåæäó ïðèõ î äîì âòîðîãî è ïåðâîãî ïàðòíåðîâ èç ïàðû. Ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåì a è b îïèñûâàåòñ ÿ ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñê îé òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ è íå ïðåäñò àâëÿåò ñëî æíîñòè. Ó ñòðîé- ñòâî èäåàëüíîãî ñèíõðîíèçàòîðà ìî æíî îïèñàòü ïðè ïîìîùè ñëåäóþùåé ìî äåëè. 5 S 0 8 a 8 out 8 b a b 8 K(S) 0 M èñ. 2: Ìî äåëü S 0 ñèíõðîíèçàòîðà ê àê ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ áåñê îíå÷íûì ÷èñëîì ê àíàëîâ. Ìî äåëü S 0 ñèíõðîíèçàòîðà ê àê ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæè- âàíèÿ ñ áåñê îíå÷íûì ÷èñëîì ê àíàëîâ. Íà ðèñóíê å 2 ïàìÿòü ñèí- õðîíèçàòîðà ðåàëèçîâàíà â âèäå áåñê îíå÷íîãî ÷èñëà ïàðàëëåëüíûõ ê àíà- ëîâ îáñëóæèâàíèÿ. K ( S 0 )  ÷èñëî ê àíàëîâ, çàíÿòûõ â íåê îòîðûé ìîìåíò âðåìåíè.  ýòîé ìî äåëè âðå ìåíå ì îáñ ëóæèâàíèÿ ÿâëÿåòñ ÿ âðåìÿ t ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå.  òå÷åíèå ýòîãî âðåìåíè ïåðâûé ïàðòíåð î æèäàåò â ñèíõðîíèçàòîðå ñâîåãî âòîðîãî ïàðòíåðà. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâûé ïàðòíåð ïîêèäàåò ñèíõðîíèçàòîð, ê àê òîëüê î ïðèõ î äèò åãî âòîðîé ïàðòíåð, âíå çàâèñèìîñòè îò ê îëè÷åñòâà îñò àëüíûõ ïåðâûõ ïàðòíåðîâ â ñèíõðîíèçà- òîðå è èõ âðåìåíè î æèäàíèÿ. Ò åì ñàìûì, ïåðâûå ïàðòíåðû íå îáðàçóþò î÷åðåäè â òðàäèöèîííîì ñìûñëå ýòîãî òåðìèíà, à ìîìåíòû âûõ î äà èç ñèíõðîíèçàòîðà îïðåäåëÿþòñ ÿ òîëüê î âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ. Ò àêèì îáðàçîì, â òåðìèíàõ ìî äåëè S 0 ñèíõðîíèçàòîð ïðåäñò àâëåí â âèäå âèðòó àëüíîé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ áåñê îíå÷íûì ÷èñëîì ê àíàëîâ. Âèðòó àëüíîñòü îçíà ÷àåò , ÷òî ðåàëüíîãî îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê íå ïðîèçâî äèòñ ÿ. Ïðîñòî ïåðâûå ïàðòíåðû î æèäàþò âòîðûõ ïàðò- íåðîâ. Ïðè ýòîì ïîñòóïëåíèå â ñèíõðîíèçàòîð ïåðâîãî ïàðòíåðà îïðåäå- ëÿåò ìîìåíò íà ÷àëà îáñëóæèâàíèÿ ïàðû, à ïîñòóïëåíèå â ñèíõðîíèçà- òîð âòîðîãî ïàðòíåðà îïðåäåëÿåò ìîìåíò îê îí÷àíèÿ îáñëóæèâàíèÿ ïàðû. Ìî æíî ñê àçàòü, ÷òî âèðòóàëüíûé ïîòîê in ( S 0 ) çàÿâîê íà âõ î äå ìî äåëè S 0 ñîâïàäàåò ñ ðåàëüíûì ïîòîê îì ïåðâûõ ïàðòíåðîâ ïàð, ïîñòóïàþùèõ â ñèíõðîíèçàòîð. À âèðòóàëüíûé ïîòîê çàÿâîê out ( S 0 ) íà âûõ î äå ìî äåëè S 0 ñîâïàäàåò ñ ðåàëüíûì ïîòîê îì âòîðûõ ïàðòíåðîâ ïàð, ïîñòóïàþùèõ â ñèíõðîíèçàòîð. Ò àê àÿ ìî äåëü ïîçâîëèò íàì ïðèìåíèòü äëÿ ðàñ÷åò à õ àðàêòåðèñòèê ñèíõðîíèçàòîðà õ îðîøî èçâåñòíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò [11 ℄, ðàçâè- òûé äëÿ ñèñòåì G 1 /G 0 / ∞ , ã äå G 1  ïðîèçâîëüíûé çàê îí ðàñïðåäåëåíèÿ 6 èíòåðâàëîâ ìåæäó ïðèõ î äàìè ïåðâûõ ïàðòíåðîâ, G 0  ïðîèçâîëüíûé çà- ê îí ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè t ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå. 3 Ïîòîê íà âõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà Ïîòîê çàÿâîê íà âõ î äå ìî äåëè S 0 (òî åñòü âèðòó àëüíûé ïîòîê in ( S 0 ) ) ñîâ- ïàäàåò ñ ïîòîê îì ïåðâûõ ïàðòíåðîâ ìàðêèðîâàííûõ ïàð.  ñò àöèîíàð- íîì ðåæèìå ñåòè Î ñê îðîñòü λ 1 ïîñòóïëåíèÿ â ñèíõðîíèçàòîð ïåðâûõ ïàðòíåðîâ ê àæäîé ïàðû: λ 1 = p a λ a + p b λ b = λ , ã äå λ a = λ b = λ  ñê îðîñòü ïîñòóïëåíèÿ çàÿâîê â âåòâü a èëè b , à p a è p b = 1 − p a  âåðî ÿòíîñòè ïðè- õ î äà ïåðâîãî ïàðòíåðà â ñèíõðîíèçàòîð èç âåòâè a èëè b ñîîòâåòñòâåííî. Ò àêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü ïîòîê à in ( S 0 ) ðàâíà λ in = λ . Åñëè áû ïîòîê in ( S 0 ) îê àçàëñ ÿ ïó àññîíîâñêèì, òî ýòî ïîçâîëèëî áû íàì çàìåíèòü ìî äåëü S 0 = G 1 /G 0 / ∞ áîëåå ïðîñòîé ìî äåëüþ S 0 = M / G 0 / ∞ , à çíà ÷èò , ÿâíî ðàññ÷èò àòü ðàñïðåäåëåíèå ê îëè÷åñòâà çàÿâîê â ñèíõðîíè- çàòîðå [12℄. Ïîê àæ åì, î äíàê î, ÷òî ïîòîê ïåðâûõ ïàðòíåðîâ íå âñåã äà ÿâëÿåòñ ÿ ïó àññîíîâñêèì.  àññìîòðèì ñåòü Î ñ äâóìÿ âåòâÿìè { M / M / 1 ; M / M / 1 } â ê àæäîé èç ê îòîðûõ èìååòñ ÿ ïî î äíîìó ê àíàëó îáñëóæèâàíèÿ N a = N b = 1 , à íà âõ î ä ñåòè ïîñòóïàåò ïó àññîíîâñêèé ïîòîê èíòåíñèâíîñòè λ (ðèñ. 1). Êàê ìû î æèäàåì, ïðè N a = N b = 1 îòêëîíåíèÿ ïîòîê à in ( S 0 ) îò ïó àññîíîâñê îãî ìàê ñèìàëüíû.  ñò àöèîíàðíîì ðåæèìå ñîñòî ÿíèå âåòâè i ( i ïðèíèìàåò çíà ÷åíèÿ a èëè b ) â íåê îòîðûé ìîìåíò âðåìåíè áó äåì õ à- ðàêòåðèçîâàòü íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì ÷èñëîì q i  ê îëè÷åñòâîì òðåáî- âàíèé, íàõ î äÿùèõ ñ ÿ â âåòâè i . Ñîñòî ÿíèå îáåèõ âåòâåé, ðàññìàòðèâàåìûõ ñîâìåñòíî, õ àðàêòåðèçó åòñ ÿ ïàðîé ÷èñåë ( q a , q b ) . Âåðî ÿòíîñòü ñîñòî ÿíèÿ ( q a , q b ) ðàâíà P ( q a , q b ) . Èíòåíñèâíîñòè îáñëóæèâàíèÿ â âåòâÿõ ðàâíû µ a è µ b . Îáîçíà ÷èì ψ a = λ / ( N a µ a ) è ψ b = λ/ ( N a µ b ) .  ñò àöèîíàðíîì ðåæèìå âåðî ÿòíîñòè P ( q a , q b ) íå çàâèñ ÿò îò âðåìåíè, à ψ a < 1 è ψ b < 1 . Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå âåðî ÿòíîñòåé P ( q a , q b ) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èê- ñèðîâàííîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ ñåòè Î: λ, µ a , µ b . Ýò à çàäà ÷à ðåøàëàñü ÷èñëåííî [1 ℄ ïóòåì èòåðàöèîííîãî ïîèñê à ñò àöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ñèñòå- ìû óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà äëÿ ñåòè Î { M / M / 1 ; M / M / 1 } : ïðè q a = q b = 0 : λP (0 , 0) = µ a P (1 , 0 ) + µ b P (0 , 1 ) , ïðè q b > 0 : ( λ + µ b ) P (0 , q b ) = µ a P (1 , q b ) + µ b P (0 , q b + 1) , ïðè q a > 0 : ( λ + µ a ) P ( q a , 0) = µ a P ( q a + 1 , 0) + µ b P ( q a , 1) , ïðè q a q b > 0 : ( λ + µ a + µ b ) P ( q a , q b ) = λP ( q a − 1 , q b − 1) + µ a P ( q a + 1 , q b ) + µ b P ( q a , q b + 1) . Èñïîëüçó ÿ ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé, ïîê àæ åì, ÷òî ïîòîê in ( S 0 ) íà âõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà îò ëè÷àåòñ ÿ îò ïó àññîíîâñê îãî ïîòîê à. 7  àññìîòðèì ó ñëîâíóþ âåðî ÿòíîñòü P ond ïî ÿâëåíèÿ ïåðâîãî ïàðòíåðà â òå÷åíèå ìàëîãî èíòåðâàëà âðåìåíè dτ ñðàçó ïîñëå ïî ÿâëåíèÿ ïðåäûäó- ùåãî ïåðâîãî ïàðòíåðà: P ond = µ 2 a P ( q b > q a > 1) + µ 2 b P ( q a > q b > 1 ) + ( µ 2 a + µ 2 b ) P ( q a = q b > 1) µ a P ( q b > q a > 0 ) + µ b P ( q a > q b > 0 ) + ( µ a + µ b ) P ( q a = q b > 0) dτ . Äëÿ ïó àññîíîâñê îãî ïîòîê à ñ èíòåíñèâíîñòüþ λ , âåðî ÿòíîñòü P ond íå îò ëè÷àëàñü áû îò áåçó ñëîâíîé âåðî ÿòíîñòè P = λdτ ïî ÿâëåíèÿ ñî- áûòèÿ â òå÷åíèå èíòåðâàëà âðåìåíè dτ . Îäíàê î, ê àê ïîê àçûâàåò ðå- øåíèå óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñåòè Î { M / M / 1 ; M / M / 1 } , ïðè ëþáûõ èññëåäîâàííûõ íàìè ê îìáèíàöèÿõ ïà- ðàìåòðîâ λ, µ a , µ b ñåòè âûïîëíÿåòñ ÿ ñîîòíîøåíèå: P ond < P . Ýòî ñî- îòíîøåíèå ïðîèëëþñòðèðîâàíî íà ðèñóíê å 3 , ã äå ïîê àçàíà çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé ðàçíèöû ∆ P /P = ( P − P ond ) /P áåçó ñëîâíîé è ó ñëîâíîé âåðî ÿòíîñòåé îò ψ a äëÿ ÷åòûðåõ çíà ÷åíèé ψ b : 0.05; 0.35; 0.65 è 0.90. Êàê âèäíî èç ãðàèê îâ, ñàìîå çíà ÷èòåëüíîå óìåíüøåíèå âåðî ÿòíîñòè ïðîèñ- õ î äèò â ñëó÷àÿõ, ê îã äà èíòåíñèâíîñòè îáñëóæèâàíèÿ â îáåèõ âåòâÿõ ñåòè Î ñîâïàäàþò ( ψ a = ψ b ).  ýòèõ ñëó÷àÿõ äîëÿ ìàëûõ èíòåðâàëîâ ìåæäó ñîáûòèÿìè (ïî ÿâëåíèÿìè ïåðâûõ ïàðòíåðîâ) äîëæíà óìåíüøàòüñ ÿ, à èñ- õ î äíîå ýê ñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå  çàìåòíî èñê àæ àòüñ ÿ, îñîáåííî â îêðåñòíîñòè íó ëÿ.  åçó ëü ò àòû ýê ñïåðèìåíòîâ ïî èìèò àöèîííîìó ìî äå- ëèðîâàíèþ ïðè λ = 0 . 3 è µ a = µ b = 0 . 8 (÷òî ñîîòâåòñòâó åò çíà ÷åíèÿì ψ a = ψ b = 0 . 375 ) ïî äòâåð æäàþò ýòîò âûâî ä. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ñåòè Î { M / M / N a ; M / M / N b } ìåòî äàìè èìèò à- öèîííîãî ìî äåëèðîâàíèÿ ïîñòðîåíà ò àáëèöà 1, ê àæäàÿ ñòðîê à ê îòîðîé çàäàåò îáëàñòü ïàðàìåòðîâ ñåòè Î, â ê îòîðîé âõ î äíîé ïîòîê ìî äåëè S 0 ÿâëÿåòñ ÿ ïî÷òè ïó àññîíîâñêèì (ñì. Ïðèëî æ åíèå A) ñ òî÷íîñòüþ α = 0 . 01 è èíòåíñèâíîñòüþ λ in = λ . Ò àáëèöà 1: Îáëàñòè ïî÷òè ïó àññîíîâñê îãî (ñ òî÷íîñòüþ 0.01) ïîòîê à in ( S 0 ) . N a N b ψ a ψ b [1, 2℄ [1, 2℄ (0, 0.2℄ ∪ [0.75, 1) (0, 0.2℄ [1, 2℄ [1, 2℄ (0, 0.2℄ (0, 0.2℄ ∪ [0.75, 1) [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 0.75℄ (0, 1) [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 1) (0, 0.75℄ [6, ∞ ) [6, ∞ ) (0, 1) (0, 1) 8 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Ψ α A B C D ∆ P P èñ. 3: Îòêëîíåíèå ∆ P /P ïîòîê à in ( S 0 ) îò ïó àññîíîâñê îãî äëÿ ñåòè N a = N b = 1 â çàâèñèìîñòè îò ψ a ïðè ψ b = 0 , 05 (A), ψ b = 0 , 35 (B), ψ b = 0 , 65 (C) è ψ b = 0 , 90 (D). 9 4 Êîëè÷åñòâî çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå Êàê âèäíî èç ò àáëèöû 1 , ñóùåñòâóþò îáøèðíûå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ñåòè Î, â ê îòîðûõ âõ î äíîé ïîòîê ìî äåëè S 0 ñèíõðîíèçàòîðà ìî æíî ïðèáëè- æ åííî ñ÷èò àòü ïó àññîíîâñêèì.  ýòèõ îáëàñò ÿõ ïàðàìåòðîâ äëÿ ìî äåëè S 0 ïðèíèìàåì ïðèáëèæ åíèå S 0 = M / G 0 / ∞ .  ýòîì ïðèáëèæ åíèè ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé òî÷íûé ðåçó ëü ò àò [12 , 11℄. Âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñèíõðîíèçàòîðå íàõ î äèòñ ÿ k = 0 , ..., ∞ çà- ÿâîê, î æèäàþùèõ ñâîèõ âòîðûõ ïàðòíåðîâ, ðàâíà p k = ( ρ k /k !) exp( − ρ ) , (1) ã äå ρ = λ T çàäàåò ñðåäíåå çíà ÷åíèå ê îëè÷åñòâà çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå, à T - ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå.  ðàáîòå [ 1 ℄ ïîëó÷å- íû ïðèáëèæ åííûå âûðàæ åíèÿ äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî ÿòíîñòè âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè T . Èç (1), ñëåäó åò , ÷òî ñðåäíåå çíà ÷åíèå ê îëè÷åñòâà çàÿâîê, íàõ î äÿùèõ- ñ ÿ â ðåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå, îãðàíè÷åíî ñíèçó íåíó ëåâîé âåëè÷èíîé ρ , ê îòîðàÿ ðàññ÷èò àíà äëÿ èäåàëüíîãî (ìãíîâåííî ñðàáàòûâàþùåãî) ñèí- õðîíèçàòîðà S 0 . Ýò à âåëè÷èíà õ àðàêòåðèçó åò ìèíèìàëüíûé ðàçìåð ïà- ìÿòè, íåîá õ î äèìûé äëÿ ðàáîòû ñèíõðîíèçàòîðà, çàâèñèò òîëüê î îò ïàðà- ìåòðîâ ñåòè Î, ñî äåð æ àùåé ñèíõðîíèçàòîð, è íå ìî æ åò áûòü óìåíüøåíà çà ñ÷åò ïîâûøåíèÿ ïðîèçâî äèòåëüíîñòè ðåàëüíîãî ñèíõðîíèçàòîðà. 5 Ïîòîê íà âûõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà Ïîòîê çàÿâîê íà âûõ î äå ìî äåëè S 0 (òî åñòü âèðòó àëüíûé ïîòîê out ( S 0 ) ) ñîâïàäàåò ñ ïîòîê îì âòîðûõ ïàðòíåðîâ ìàðêèðîâàííûõ ïàð. Êàê è â ñëó- ÷àå âõ î äíîãî ïîòîê à in ( S 0 ) â ðàçäåëå 3, ìî æíî ïîê àçàòü, ÷òî èíòåíñèâ- íîñòü ïîòîê à out ( S 0 ) íà âûõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà ðàâíà λ out = λ . Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ñåòè Î { M / M / N a ; M / M / N b } ìåòî äàìè èìè- ò àöèîííîãî ìî äåëèðîâàíèÿ ïîñòðîåíà ò àáëèöà 2, ê àæäàÿ ñòðîê à ê îòîðîé çàäàåò îáëàñòü ïàðàìåòðîâ ñåòè Î, â ê îòîðîé âûõ î äíîé ïîòîê ìî äåëè S 0 ÿâëÿåòñ ÿ ïî÷òè ïó àññîíîâñêèì (ñì. Ïðèëî æ åíèå A) ñ òî÷íîñòüþ α = 0 . 01 è èíòåíñèâíîñòüþ λ out = λ . 6 Îáñóæäåíèå ðåçó ëü ò àòîâ  ïðîöèòèðîâàííûõ âî ââåäåíèè ðàáîò àõ ïðîöåññ îáúåäèíåíèÿ ïàðíûõ çàÿâîê â ñåò ÿõ Î íå ðàññìàòðèâàëñ ÿ.  îñíîâíîì àâòîðû âû÷èñëÿëè 10 Ò àáëèöà 2: Îáëàñòè ïî÷òè ïó àññîíîâñê îãî (ñ òî÷íîñòüþ 0.01) ïîòîê à out ( S 0 ) . N a N b ψ a ψ b [1, 2℄ [1, 2℄ (0, 0.2℄ ∪ [0.75, 1) (0, 0.2℄, åñëè | ψ b − ψ a | ≥ 0 . 1 [1, 2℄ [1, 2℄ (0, 0.2℄, åñëè | ψ a − ψ b | ≥ 0 . 1 (0, 0.2℄ ∪ [0.75, 1) [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 0.75℄ (0, 1) [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 1) (0, 0.75℄ [6, ∞ ) [6, ∞ ) (0, 1) (0, 1) ìàê ñèìóì èç âðåìåí ïðî õ î æäåíèÿ âñåõ âåòâåé ñåòè Î, íå èíòåðåñó ÿñü ïðîöåññàìè, ïðîèñ õ î äÿùèìè â òî÷ê å S è ïîñëå íåå. Ïðåäëî æ åííàÿ íà- ìè ìî äåëü íîâîãî óíêöèîíàëüíîãî ýëåìåíò à, ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêè- ðîâàííûõ ïàð, ïîçâîëèëà íå òîëüê î îöåíèòü ðåñóðñû, íåîá õ î äèìûå äëÿ áåñïåðåáîéíîé ðàáîòû ñåòè Î, íî è îïðåäåëèòü ó ñëîâèÿ, ïðè ê îòîðûõ ñèíõðîíèçàòîð (âìåñòå ñ ìî äåëüþ âñåé ñåòè Î) ìî æ åò âñòðàèâàòüñ ÿ â áîëåå êðóïíûå âíåøíèå ñåòè â ê à ÷åñòâå ìàðê îâñê îé ïî äñèñòåìû. Îöåíê à ðåñóðñîâ, íåîá õ î äèìûõ äëÿ óíêöèîíèðîâàíèÿ ñåòè Î áåç ïîòåðè èíîðìàöèè. Ìî äåëü S 0 ñèíõðîíèçàòîðà ñ áåñê îíå÷- íûì ê îëè÷åñòâîì ê àíàëîâ îê àçûâàåòñ ÿ ïðèãî äíîé äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà (ê îíå÷íîå) ê îëè÷åñòâî ê àíàëîâ K max , íåîá õ î- äèìûõ íà ïðàêòèê å. Ïó ñòü â ñèíõðîíèçàòîðå äîïó ñê àåòñ ÿ ïîòåð ÿ äîëè ǫ îò îáùåãî ÷èñëà çàÿâîê, ïîñòóïàþùèõ íà âõ î ä ñèíõðîíèçàòîðà. Íàéäåì ðàçìåð K max ïà- ìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà ò àê îé, ê îòîðûé ã àðàíòèðó åò , ÷òî ïîòåðè çàÿâîê íå ïðåâûñ ÿò ýòîãî ïîðîã à: P ( k > K max ) < ǫ. Îòñþ äà ñ ïîìîùüþ (1) ïîëó- ÷àåì óðàâíåíèå äëÿ íàõ î æäåíèÿ K max ( ǫ, ρ ) : 1 − K max X n =0 ρ n n ! exp ( − ρ ) < ǫ. Àíàëîãè÷íî ìî æíî íàéòè ïàðàìåòðû âåòâåé a è b , ïðè ê îòîðûõ îáåñ- ïå÷èâàåòñ ÿ çàäàííûé óðîâåíü ïîòåðü èíîðìàöèè. Îïòèìèçàöèÿ ðåñóðñîâ ñåòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìî äåëè ñèí- õðîíèçàòîðà. Ïðèâåäåì íåñê îëüê î ïðèìåðîâ ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ ðå- 11 ñóðñîâ ìåæäó ñîñò àâíûìè ÷àñò ÿìè ñåòè Î: ñèíõðîíèçàòîðîì, âåòâüþ a è âåòâüþ b . Ïðåäïîëî æèì, ÷òî â âåòâÿõ a è b , íàõ î äèòñ ÿ q a è q b çàÿâîê ñîîòâåò- ñòâåííî, à â ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà íàõ î äèòñ ÿ K ( S 0 ) çàÿâîê. Ïó ñòü ðàç- ìåùåíèå çàÿâîê â âåòâÿõ a è b , à ò àêæ å çàÿâîê â ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà S 0 ðåàëèçîâàíî ïðè ïîìîùè îáùåé ïàìÿòè îãðàíè÷åííîãî îáúåìà M max : q max a + q max b + K max ( S 0 ) = M max .  ýòîì ñëó÷àå ëåãê î ðàçðåøèìà çàäà ÷à âûáîðà ò àê îãî íàáîðà ïàðàìåò- ðîâ ñåòè Î ( N a , N b ), ïðè ê îòîðîì îáùèå ïîòåðè ǫ èíîðìàöèè â ñåòè ïðèíèìàþò ìèíèìàëüíîå çíà ÷åíèå. Åñëè èñ õ î äèòü èç èê ñèðîâàííîãî äîïó ñòèìîãî ïîðîã à ǫ ïîòåðü èí- îðìàöèè, ìî æíî íàéòè ìèíèìàëüíîå çíà ÷åíèå îáúåìà M max îáùåé ïà- ìÿòè, ïðè ê îòîðîì îáåñïå÷èâàåòñ ÿ çàäàííûé ïîðîã ïîòåðü. Åñëè æ å öåíà ðåàëèçàöèè ê àæäîãî èç ïàðàëëåëüíûõ ê àíàëîâ îáñëó- æèâàíèÿ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àåòñ ÿ â âåòâÿõ a è b , òî ìî æíî ðåøàòü çàäà- ÷ó îïòèìèçàöèè öåíû âñåé ñåòè (âêëþ÷àÿ ñèíõðîíèçàòîð) ïðè çàäàííîì çíà ÷åíèè ǫ èëè ïðè çàäàííîì çíà ÷åíèè M max . Ò åïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, ê îã äà ñðåäíåå âðåìÿ T ïðåáûâàíèÿ â ñèí- õðîíèçàòîðå âåëèê î ïî ñðàâíåíèþ ñ 1 /λ . Ýòî îçíà ÷àåò ÷òî î äíà èç âåòâåé (íàïðèìåð, a ) ñåòè Î ðàáîò àåò çíà ÷èòåëüíî áûñòðåå, ÷åì äðóã àÿ. Ò îã äà âåòâü b ñò àíîâèòñ ÿ óçêèì ìåñòîì. Äëÿ ïîâûøåíèÿ ïðîèçâî äèòåëüíîñòè ñåòè èìååò ñìûñë óâåëè÷èòü N b . Åñëè æ å îáùàÿ öåíà âàæíåå ïðîèçâî- äèòåëüíîñòè, òî åñòü ñìûñë óìåíüøèòü N a .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñåòè Î ïî÷òè íå èçìåíèòñ ÿ, óìåíüøåíèå ïàðàìåòðà N a ïðèâåäåò ëèøü ê ïåðåðàñïðåäåëåíèþ îáùåé ïàìÿòè ìåæäó ñðåäíèìè çíà- ÷åíèÿìè ê îëè÷åñòâà q a çàÿâîê â âåòâè a è ê îëè÷åñòâà çàÿâîê K ( S 0 ) â ñèíõðîíèçàòîðå. Âñòðàèâàåìîñòü ìî äåëè ñèíõðîíèçàòîðà âî âíåøíþþ ñåòü.  ðàçäåëå 5 íàéäåíà îáøèðíàÿ îáëàñòü ïàðàìåòðîâ ñåòè Î, â ê îòîðîé âûõ î äíîé ïîòîê ìî äåëè S 0 ñèíõðîíèçàòîðà ìî æíî ïðèáëèæ åííî ñ÷èò àòü ïó àññîíîâñêèì, ïðè ó ñëîâèè, ÷òî íà âõ î ä ñåòè ïîñòóïàåò ïó àññîíîâñêèé ïîòîê. Ýòî îçíà ÷àåò , ÷òî ïðåäëî æ åííàÿ ìî äåëü ñèíõðîíèçàòîðà ñ ïàðà- ìåòðàìè èç íàéäåííîé îáëàñòè ìî æ åò âñòðàèâàòüñ ÿ (âìåñòå ñ ìî äåëüþ âñåé ñåòè Î) â áîëåå êðóïíûå âíåøíèå ñåòè â ê à ÷åñòâå ìàðê îâñê îé ïî ä- ñèñòåìû. Ýòî ñâîéñòâî ìàðê îâîñòè ñóùåñòâåííî óïðîùàåò äàëüíåéøèé àíàëèç âíåøíåé ñåòè. Íàì ïðèÿòíî ïîáëàãî äàðèòü À.Â. Êîëî äçåÿ, À.Â. Êíÿçåâà, Ê.Þ. Ïëà- òîâà, È.À. Êðàâ÷åíê î è À.Ô.  îíæèíà çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. 12 A Ïðîâåðê à ñò àòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç Ò àáëèöà 3: Çíà ÷åíèÿ ñò àòèñòè÷åñêèõ êðèòåðèåâ in( S 0 ) out( S 0 ) ψ a ψ b χ 2 S t χ 2 S t λ = 0 . 3 , N a = 1 , N b = 1 0.75 0.75 167 1.86 192 0.46 0.75 0.5 130 0.53 118 2.32 0.75 0.25 61 2.02 56.3 2.08 0.75 0.2 46 1.89 43.3 2.12 0.1 0.2 35 2.09 49.2 1.83 0.1 0.1 46.6 1.80 55.4 1.98 0.375 0.375 110 2.36 212.3 1.5 λ = 1 . 5 , N a = 3 , N b = 5 0.83 0.3 30 0.30 37.82 0.56 0.91 0.6 44.2 1.57 31.33 2.20 0.83 0.75 51.9 3.42 60.02 3.26 0.83 0.83 54.5 3.04 74.13 3.53 0.625 0.6 45 1.38 48.47 2.17 0.5 0.5 42.3 1.07 23.07 2.17 0.25 0.25 30 1.68 19.17 0.45 λ = 2 , N a = 8 , N b = 8 0.5 0.36 33.3 0.28 33.56 0.28 0.83 0.625 31.75 2.09 24.07 2.07 0.93 0.71 35.15 1.95 28.20 1.92 0.83 0.83 25.4 1.89 45.39 2.05 0.9 0.93 32.7 2.20 48.26 0.65 0.42 0.83 30.5 0.20 38.78 2.17 Îïðåäåëåíèå. Ïðè îïèñàíèè ðåçó ëü ò àòîâ èìèò àöèîííîãî ìî äåëèðî- âàíèÿ áó äåì íàçûâàòü ïîòîê çàÿâîê ïî÷òè ïóàññîíîâñêèì ñ òî÷íîñòüþ α , åñëè î äíîâðåìåííî ïðèíèìàþòñ ÿ (ñ óðîâíåì çíà ÷èìîñòè α ) äâå ñëåäó- þùèå ñò àòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû: 1. ðàñïðåäåëåíèå èíòåðâàëîâ ìåæäó ìîìåíò àìè ïîñòóïëåíèÿ çàÿâîê ÿâëÿåòñ ÿ ýê ñïîíåíöèàëüíûì (ñîã ëàñíî êðèòåðèþ Ïèðñîíà); 2. ê îýèöèåíò ê îððåëÿöèè ñîñåäíèõ èíòåðâàëîâ ìåæäó ìîìåíò àìè ïîñòóïëåíèÿ çàÿâîê ðàâåí íó ëþ (ñîã ëàñíî êðèòåðèþ Ñòüþ äåíò à). Äëÿ ìî äåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â ñåòè Î (ðèñ. 1) ïðèìå- íÿëñ ÿ âõ î äíîé ïîòîê èç 10 5 çàÿâîê ñ ýê ñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì 13 âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ, ïîëó÷åííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì äàò÷èê à ñëó÷àé- íûõ ÷èñåë. Ïð ÿìàÿ ïðîâåðê à ýòîãî âõ î äíîãî ïîòîê à ïîê àçàëà, ÷òî îí ÿâëÿåòñ ÿ ïî÷òè ïó àññîíîâñêèì ñ òî÷íîñòüþ α = 0 . 01 . Ïðè ïðîâåðê å ñò à- òèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç î ñîâïàäåíèè ýìïèðè÷åñê îãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ãèïî- òåòè÷åñêèì (òî åñòü ýê ñïîíåíöèàëüíûì) ïî êðèòåðèþ Ïèðñîíà, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçáèâàëàñü íà 30 îòðåçê îâ ðàâ- íîé âåðî ÿòíîñòè. Ïðîâåð ÿëîñü íàëè÷èå ñâîéñòâ ïó àññîíîâñê îãî ïîòîê à ó ýìïèðè÷åñêè íàáëþ äàåìûõ âõ î äíîãî in( S 0 ) è âûõ î äíîãî out( S 0 ) ïîòîê îâ çàÿâîê â ìî äåëè ñèíõðîíèçàòîðà S 0 . Äëÿ ýòîãî ïðè ìíîãèõ ê îìáèíàöèÿõ çíà ÷åíèé ïàðàìåòðîâ ñåòè Î ( λ, N a , N b , ψ a , ψ b ) ðàññ÷èòûâàëèñü: çíà ÷å- íèå χ 2 êðèòåðèÿ Ïèðñîíà; à ò àêæ å çíà ÷åíèå S t êðèòåðèÿ Ñòüþ äåíò à äëÿ ê îýèöèåíò à ê îððåëÿöèè ñîñåäíèõ èíòåðâàëîâ â ïîòîê å çàÿâîê. Äëÿ îáîèõ êðèòåðèåâ ïðèíèìàëñ ÿ óðîâåíü çíà ÷èìîñòè α = 0 . 01 . Ïðè ýòîì ãðàíè÷íûì çíà ÷åíèåì êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ÿâëÿåòñ ÿ âåëè÷èíà χ 2 0 = 4 9 . 6 , à ãðàíè÷íûì çíà ÷åíèåì êðèòåðèÿ Ñòüþ äåíò à  âåëè÷èíà S t 0 = 2 . 33 .  ò àáëèöå 3 ïðèâåäåíû äàííûå, ðàññ÷èò àííûå ïðè íåê îòîðûõ çíà ÷å- íèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòè. Ñòîëáöû, îáîçíà ÷åííûå in( S 0 ) è out( S 0 ), îò- íîñ ÿòñ ÿ ê ïðîâåðê å äâóõ ãèïîòåç (ñì. îïðåäåëåíèå ïî÷òè ïó àññîíîâñê îãî ïîòîê à) î ñâîéñòâàõ ïîòîê îâ çàÿâîê. Æèðíûì øðèòîì âûäåëåíû òå çíà ÷åíèÿ êðèòåðèåâ, ïðè ê îòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïîòåçû áûëè îò- âåðãíóòû: χ 2 > χ 2 0 èëè S t > S t 0 . Àíàëîãè÷íûå äàííûå áûëè èñïîëüçîâà- íû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ò àáëèö 1 è 2. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1℄ Âûøåíñêèé Ñ.Â., ðèãîðüåâ Ï.Â., Äóáåíñêàÿ Þ.Þ. Èäåàëü- íûé ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð â ñåòè ðàçâåòâëåíèå- îáúåäèíåíèå.  ïå÷àòè, 2008. v1 [s.DM℄, h [2℄ Flatto L., Hahn S. T w o parallel queues reated b y arriv als with t w o demands. SIAM J. Appl. Math., 1984, v. 44, p. 1041. [3℄ Ba  el li F., Makowski A. M. Simple omputables b ounds for the fork- join queue. Pro . John Hopkins Conf. Information Siene, p. 536. Baltimore: John Hopkins Univ. Press, 1985. [4℄ R aghavan N.R.S., Viswanadham N. Generalized queueing net w ork analysis of in tegrated supply  hains. In t. J. Pro d. Res., 2001, v. 39, p. 205. 14 [5℄ Nelson R., T antawi A. N. Appro ximate analysis of fork/join syn hronization in parallel queues. IEEE T rans. Comput., 1988, v. 37, p. 739. [6℄ V arma S., Makowski A. In terp olation appro ximations for symmetri fork-join queues. P erf. Ev al., 1994, v. 20, p. 245. [7℄ A yhan H., Se o D.-W. Laplae transform and momen ts of w aiting times in (max,+) linear systems with P oisson input. Queueing systems, 2001, v. 37, p. 405. [8℄ Knessl C. On the diusion appro ximation to a fork and join queueing mo del. SIAM J. Appl. Math., 1991, v. 51, p. 160. [9℄ Nguyen V. Pro essing net w orks with parallel and sequen tial tasks: hea vy tra analysis and Bro wnian limits. Ann. Appl. Prob., 1993, v. 3, p. 28. [10℄ Ko S.-S., Serfozo R.F. Resp onse times in M/M/s fork-join net w orks. A dv. Appl. Prob., 2004, v. 36, p. 854. [11℄ Êëåéíðîê Ë. Âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû ñ î÷åðåäÿìè. Ì.: Ìèð, 1979. [12℄ A dan I., R esing J. Queueing Theory . Departmen t of Mathematis & Computer Siene, Eindho v en Univ ersit y of T e hnology , 2002. h ttp://www.win.tue.nl/ ˜ iadan/queueing.p df [13℄ Êî  ìàí À., Êðþîí  . Ìàññîâîå îáñëóæèâàíèå. Ò åîðèÿ è ïðèëî æ å- íèÿ. Ì.: Ìèð, 1965. 15