Complexite des boreliens `a coupes denombrables

Complexit ´ e des bor ´ eliens ` a coupes d ´ enombrab les. Dominique LECOMTE Fund. Math. 165 (2000), 139-174 R ´ esum ´ e. Nous donno ns, pour chaque niv eau de complex it ´ e Γ , une caract ´ erisation du type “test d’Hurewicz” des bor ´ eliens d’un produit de deu x espaces polona is ayant toutes leurs co upes d ´ enombrables n e pouv an t pas ˆ etre ren dus Γ par changemen t des deux topologies polonaises. 1 Introdu ction. Cet arti cle fait suite ` a une ´ etude enta m ´ ee dans [Le1], [Le2] et [Le3] . Il a pou r objet de r ´ epond re ` a une conjec ture faite dans ce dernier , et peut pour l’essentiel ˆ etre lu ind ´ ependamment de ces articles. Cependa nt, la lecture pr ´ ealable de ces articles peut ´ ecl airer plusieurs points techniqu es pr ´ esents dans les ar gu ments d ´ evel opp ´ es ici. Ces tra v au x se s ituent dan s le c adre de l a th ´ eorie desc ripti v e des ense m- bles. Je ren vo ie le lecteur ` a [Ku] pour les notions de base de th ´ eorie descripti v e c lassiqu e et ` a [Mo] pour les notions de th ´ eorie descripti v e effe cti ve . Pour d ´ eterminer la complexit ´ e exacte d’un bor ´ elien, on est amen ´ e ` a montrer qu’il n’est pas d’une classe de B aire donn ´ ee. Le th ´ eor ` eme d’Hure wicz , rappel ´ e ci-dessous, donne un crit ` ere pour la classe des G δ (cf [SR]) : Th ´ eor ` eme. Soient X un espace polonais et A un bor ´ elien de X . Les conditi ons suivan tes sont ´ equiva lentes : (a) Le bor ´ elien A n’es t pas Π 0 2 . (b) Il e xiste une injectio n continue u : 2 ω → X telle que u − 1 ( A ) = { α ∈ 2 ω / ∃ n ∀ m ≥ n α ( m ) = 0 } . Cet ex emple des suites nulles ` a partir d’un certain rang peut ˆ etre remplac ´ e par n’importe quel ensemble infini d ´ enombrab le sans p oint isol ´ e de 2 ω . Il est ap pel ´ e “test d’Hur e wicz” pou r la cl asse d es G δ . Ce th ´ eor ` eme a ´ et ´ e g ´ en ´ eralis ´ e aux autres classes de Bair e par A. Louv eau et J. Saint Raymon d (cf [Lo-SR]). On s ’int ´ eresse ici ` a une hi ´ erarchie analogu e ` a celle de Baire , sauf q u’au lie u de p artir des ou vert s- ferm ´ es d’un espace polonais de dimension 0, on part des produits de deux bor ´ eliens, chacun d’entre eux ´ etant i nclus da ns un es pace polo nais. L ’analog ie de vien t plu s cla ire q uand on sa it qu’ ´ etant donn ´ es un espace polonais X et un bor ´ elien A de X , on peut trouver une topologie polonaise plus fine que la topologie initiale sur X (topologi e ayant donc les m ˆ emes bor ´ eliens), de dimension 0, et qui rende A ouvert-fe rm ´ e. Pour notre probl ` eme, le fait de trav ailler dans les espaces de dimension 0 n’est donc pas une restric tion r ´ eelle. La d ´ efinition qui suit appara ˆ ıt alors naturelle . 1 D ´ efinition. Soient X et Y des esp aces polonais , et A un bor ´ elien de X × Y . Si Γ est une cla sse de Bair e, on di ra que A est potentiel lement dans Γ ( ce q u’on notera A ∈ pot (Γ)) s’il e xis te de s topolo gie s polonais es de dimension 0, σ ( sur X ) et τ ( sur Y ) , plus fines que les topolo gies initia les, telles que A , consid ´ er ´ e comme partie de ( X , σ ) × ( Y , τ ) , soit dans Γ . La m oti v atio n pour l’ ´ etude de ces classes de W adg e potentiel les trou ve son origine dans l’ ´ etude des relatio ns d’ ´ equi v alence bor ´ eliennes, et plus pr ´ ecis ´ ement dans l’ ´ etude du pr ´ e-ordre sui v ant sur la collec tion des relations d’ ´ equi v alen ce bor ´ eliennes d ´ efinies sur un espace polona is : E ≤ F ⇔ ∃ f bor ´ elienne E = ( f × f ) − 1 ( F ) . A l’aide de la n otion d e classe de W adge potenti elle, A. L ouv eau mo ntre d ans [Lo3] que la collec- tion des relatio ns d’ ´ equi v alenc e Σ 0 ξ n’est pas co-final e, et il en d ´ eduit qu’il n’exist e pas de relat ion maximum pour ≤ . On c herche ` a ´ etablir des r ´ esu ltats analo gues au th ´ eor ` eme d’Hure wicz pour les classes de Baire potent ielles. L e r ´ esulta t principal de cet article ´ etab lit l’analogue du th ´ eor ` eme d’Hure wicz pour la classe des ensemble s potentielle ment G δ . Dans [L e3], il y a la Conjectur e. Il exist e un bor ´ elien B de 2 ω × 2 ω , tel que pour tous espaces polonais X et Y , et pour tout bor ´ elien A de X × Y ` a coupe s verticales d ´ enombr ables , on a l’ ´ equiva lence entr e les conditio ns suivan tes : (a) Le bor ´ elien A n’es t pas pot ( Π 0 2 ) . (b) Il e xiste des fonction s continues u : 2 ω → X et v : 2 ω → Y telles que B ∩ ( u × v ) − 1 ( A ) = B . L ’e ssenti el de cet articl e va consiste r ` a analyse r les bor ´ eliens non pot ( Π 0 2 ) ayant leurs coupes horizo ntales et vertical es d ´ enombrable s pour arri ver pro gressi vement ` a montrer le Th ´ eor ` eme 7. Il e xiste un bor ´ elien B de ω ω × ω ω , tel que pour tous espac es polona is X et Y , et pour tout bor ´ elien A de X × Y dont les coupes horizontale s et vertical es sont d ´ enombr ables , on a l’ ´ equiva lence entr e les conditio ns suivantes : (a) Le bor ´ elien A n’es t pas pot ( Π 0 2 ) . (b) Il existe u : ω ω → X et v : ω ω → Y , hom ´ eomorph ismes sur leurs images , tels que l’on ait B ∩ ( u × v ) − 1 ( A ) = B . Ce bor ´ elien B sera une “versi on unifor me” du test d’Hure wicz, c’est- ` a-dire un ensemble dont toutes les coupe s vert icales sont infinies d ´ enombrables sans point isol ´ e. Plus pr ´ ecis ´ ement, B sera r ´ eunion d ´ enombrable de graphes d’hom ´ eomorph ismes de domain e ouv ert-fe rm ´ e. On verra aussi qu’ess entiell ement, dans tout bor ´ elien ayant ses coupe s horizo ntales et vertic ales d ´ enombrab les et n’ ´ etant pas pot ( Π 0 2 ) , on p eut trouver , ` a un chang ement de topolo gie pr ` es, une telle r ´ eunion se r ´ eduisan t ` a A au sens du th ´ eor ` eme 7. On cher chera entre autres ` a r ´ eduire de telles r ´ eunions entre elles. L ’h ypoth ` ese de d ´ enombrabilit ´ e des coupes dans le th ´ eor ` eme 7 peut sembler moins naturelle que par exemple l’hypoth ` ese “ A est pot ( Σ 0 2 ) ”. Mais cette derni ` ere n’est pas suffisant e. En eff et, les bor ´ eliens ` a coupes vertic ales (ou horizont ales) d ´ enombrables sont pot ( Σ 0 2 ) (v oir [L o2]). Nous m on- trons qu e le th ´ eor ` eme 7 de vient fau x si on suppos e seulement A ` a cou pes v ertica les d ´ enombrab les, en utilisa nt l’injecti vi t ´ e de u et v . 2 Pour te rminer cette intro ductio n, nous plac ¸ ons le th ´ eor ` eme 7 dans un conte xte plus g ´ en ´ eral. Il vient en effet compl ´ eter l’ ´ etude des bor ´ eliens ` a coupe s ve rticale s d ´ enombrabl es commenc ´ ee dans [Le3]. Je ren v oi e le lecteur ` a cet article pour les rappels concern ant la hi ´ erarchie de W adge, qui af fine celle de Baire. On peut m ontrer que les seules classe s de W adge non stables par passage au compl ´ ementaire contenue s dans ∆ 0 2 = Σ 0 2 ∩ Π 0 2 sont les dif f ´ erences transfinies d’ouv erts. On peut d ´ efinir sans probl ` eme la notion d’ens emble potent iellemen t dans Γ , o ` u Γ est une classe de W adg e, en utilisan t la m ˆ eme d ´ efinition que pr ´ ec ´ edemment. L ’a nalogu e du th ´ eor ` eme 7 pour les dif f ´ erences transfinies d’ouv erts e st montr ´ e da ns [Le3] (v oir th ´ eor ` emes 3.5 et 3.6). A ce ci pr ` es que l’hypo th ` ese est moi ns forte ( “ A est potentiellemen t ∆ 0 3 ” au lieu d e “ A a ses coupe s hor izonta les et ver ticales d ´ enombrabl es”), et que la conclusio n est moins forte (on n’a pas l’injecti vit ´ e des fonctions de r ´ eduction ). Comme cons ´ equence de ces r ´ esultats, on obtient le r ´ esultat de synth ` ese sui v ant : Cor ollair e 9. Soit Γ une classe de W adg e non stable par passag e au compl ´ ementair e. Alor s il e xiste un bor ´ elien B Γ de ω ω × ω ω et un ferm ´ e F Γ conten ant B Γ , tels que pour tous espaces polonais X et Y , et pour tout bor ´ elien A de X × Y ayant ses coupe s horizontale s et verti cales d ´ enombr ables , on a l’ ´ equiva lence entr e les conditio ns suivantes : (a) Le bor ´ elien A n’es t pas pot (Γ) . (b) Il exist e des fon ctions contin ues u : ω ω → X et v : ω ω → Y telles qu e F Γ ∩ ( u × v ) − 1 ( A ) = B Γ . Il est ` a noter que B Γ et F Γ v ont ˆ etre do nn ´ es de m ani ` ere e xplic ite, et que B Γ a ses c oupes hori- zontal es et v ertical es d ´ enombrables si Γ ⊆ Π 0 2 , ce qui est le cas significatif. On a donc en particulie r que B Γ / ∈ pot (Γ) si Γ ⊆ Π 0 2 . D’autre part, si Γ est auto- duale (c’est- ` a-dire si Γ est stable par passage au compl ´ ementaire), ne pas ˆ etre dans Γ signifie ne pas ˆ etre dans l’une des deux classes non auto- duales succ ´ edant ` a Γ dans l’ordre de W adge (l’inclusion des classes). L ’ ´ etude des classes de W adge auto-d uales peut donc ˆ e tre ramen ´ ee ` a celle des classes de W adge non auto-dual es. Question. Un probl ` eme ou ve rt est de sav oir s i on peut suppr imer l’hypoth ` ese “ A a ses coupes hori- zontal es et vertic ales d ´ enombrables” dans le corollaire 9. 2 Analyse des bor ´ eliens ` a coupes d ´ enombrables n’ ´ etant pas pot ( Π 0 2 ) . La d ´ efinition qui suit donne un sens pr ´ ecis ` a l’expre ssion “version uniforme du test d’Hurewicz ” ´ ev oqu ´ ee dans l’introdu ction. D ´ efinition. On dira que ( Z, T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) est une situation g ´ en ´ er al e si (a) Z et T sont des espaces polonais parfaits de dimension 0 non vides. (b) g m,p est un hom ´ eomorph isme de domaine D g m,p (r es pective ment d’imag e) ouvert-ferm ´ e de Z (r es pective ment de T ). (c) P our m ∈ ω , ( D g m,p ) p ∈ ω est une suite de domaines de ux ` a deux disjoints d ont la r ´ eunion est dense dans Z . On note g m la fonction obten ue par r ecolle ment des g m,p , pour p enti er . (d) Il e xis te un G δ dense G ( g ) de T m ∈ ω D g m tel que g [ x ] := { g m ( x ) / m ∈ ω } soit sans poi nt isol ´ e, pour tout x de G ( g ) . 3 L ’id ´ ee v a ˆ etre de che rcher le bor ´ elien B du th ´ eor ` eme 7 so us la for me S m ∈ ω Gr ( g m ⌈ G ( g )) , o ` u ( Z, T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) est une s ituatio n g ´ en ´ erale. Et aussi de montrer que dans chaqu e bor ´ elien A , dont toutes les coupes sont d ´ enombrables et n’ ´ etant pas pot ( Π 0 2 ) , on peut trouv er , ` a un chang ement de topologie pr ` es, une telle r ´ eunion se r ´ eduisant ` a A au sens du th ´ eor ` eme 7. On va don c ˆ etre amen ´ es ` a r ´ eduire une situ ation g ´ en ´ erale ` a u ne au tre. C’est l’obj et du th ´ eor ` eme 1 qu i suit. Il se trouve q ue pour assurer l’existe nce d’une telle r ´ eduction, il nous faut des conditio ns suppl ´ ementaires , aussi bien au d ´ epart qu’ ` a l’arri v ´ ee. D’o ` u les deux d ´ efinitions qui suiv ent. T outes les con dition s suppl ´ ementaires de ces d ´ efinitions seront utilis ´ ees dans la preuve du th ´ eor ` eme 1 qui suit, ` a l’except ion de la condition (b) d’une situatio n d’arri v ´ ee, dont l’int ´ er ˆ et appara ˆ ıtra plus tard. D ´ efinition. On dira que ( Z, T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) est une situation d ′ ar r iv ´ ee si (a) ( Z, T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) est une situatio n g ´ en ´ era le. (b) Le d iam ` etr e du domaine et de l’ imag e de g m,p vaut au pl us 2 − ∆( m,p ) , o ` u ∆ : ω 2 → ω est injective . (c) P our tout entie r non nul k et pour toute suite u dans ( ω 2 ) 2 k , on a l’implicati on   ∃ U ∈ ∆ 0 1 , ∅ 6 = U ⊆ Z et ∀ x ∈ U g − 1 u (0) g u (1) ...g − 1 u (2 k − 2) g u (2 k − 1) ( x ) = x   ⇒ ∃ i < 2 k − 1 u ( i ) = u ( i + 1) . D ´ efinition. On dira que ( F, ( f n,p ) ( n,p ) ∈ ω 2 ) est une situation de d ´ epar t si (a) ( F , F , ( f n,p ) ( n,p ) ∈ ω 2 ) est une situ ation g ´ en ´ era le. (b) F = Π i ∈ ω A i ⊆ ω ω , o ` u chaqu e A i ⊆ ω est fini. (c) P our x dans D f n , on a x < le x f n ( x ) , et pour n , p entiers, il e xiste un entier q ( n, p ) te l que si q > q ( n, p ) et x est dan s D f n,p , f n,p ( x )( q ) = x ( q ) . (d) P our ( x, y ) dans ( T n ∈ ω D f n × F ) ∩ S n ∈ ω Gr ( f n ) , il existe ( y k ) tendant vers y tel le que ( x, y k ) appar tienne ` a S n ∈ ω Gr ( f n ) pour tout entier k , et x 6 = y . (e) On d ´ efinit des r elati ons sur S p ∈ ω (Π i

r te l que pour q ≤ r , x ⌈ p ( r ) 6 R q y ⌈ p ( r ) et x ⌈ p ( r ) < lex y ⌈ p ( r ) puisque x 6 = y ; par (i v) on a do nc ( U x ⌈ p ( r ) × V y ⌈ p ( r ) ) ∩ [ S q ≤ r Gr ( g q )] = ∅ et ( u ( x ) , v ( y )) / ∈ S q ≤ r Gr ( g q ) , don c v ( y ) / ∈ g [ u ( x )] . • Montro ns donc que la constructio n est possib le. On p ose U ∅ := D g 0 , 0 , V ∅ := g 0 , 0 [ U ∅ ] , et Φ( ∅ , ∅ ) := (0 , 0) (on peut supposer que D g 0 , 0 6 = ∅ ). Admettons av oir construit U s , V s et Φ( s, t ) pour | s | , | t | ≤ p v ´ erifiant (i)-(v), et soient s ∈ Π j

q . Poso ns H k := { z ( k, 1) , ..., z ( k, p k ) } , φ :  S k ≤ q { k } × { 1 , ..., p k } → ω ( k , r ) 7→ (Σ i 0 [ M ε k ∪ ( M k +1 \ M ε k )] , et M k +1 \ M ε k est fini, par (3). Si k ∈ ω et y ∈ g [ x ] \ g [ x ] , y / ∈ M k . Donc il ex iste ε > 0 tel que y / ∈ M ε k . Si t ∈ ω k et ( x, w ) est dans ω t , d ( w, M k ) ≤ d ( w, k t ( x )) ≤ ∆ x ( ω x t ) ≤ 2 − ν ( t ) ≤ ε d ` es que ν ( t ) ≥ k 0 , do nc ω x t ⊆ M ε k , sauf pour un nombre fini de t dans ω k . Donc si on d ´ efinit H := { t ∈ ω k / ω x t 6⊆ M ε k } , on a la suite d’incl usions suiv ante : g [ x ] = M k ∪ { k t ( x ) / | t | > k } ⊆ M k ∪ [ | w | > k ω x w ⊆ M k ∪ [ | t | = k ω x t ⊆ M ε k ∪ [ t ∈H ω x t . D’o ` u g [ x ] ⊆ M ε k ∪ S t ∈H ω x t ⊆ M ε k ∪ S | t | = k ω x t . Donc on trouv e une unique suite σ dans ω ω telle que y ∈ T t ≺ σ ω x t . ( G x t ∩ N x ) t ≺ σ est une suite d ´ ecroissante de ferm ´ es non vides dont les diam ` etres tenden t vers 0 d e ( N x , d ′ x ) , par (7) et (8), donc co n ver ge vers ξ ∈ N x , et { ξ } = T t ≺ σ G x t . D’o ` u ξ ∈ T t ≺ σ ω x t = { y } et ( x, y ) ∈ N . 14 • Montrons do nc q ue la con structi on est po ssible . S oit ( Z n ) une bas e de la topo logie de Z form ´ ee d’ouv erts -ferm ´ es non vides. Comme Z est polonais de dimension 0, il peut ˆ etre vu comme un ferm ´ e de ω ω ; on peut donc supposer que Z est muni d’une distance compl ` ete telle que d ( Z n , ˇ Z n ) > 0 . O n pose ω ∅ := Z × T , G ∅ := N . On const ruit φ ( ∅ , p ) et D ∅ ,p par r ´ ecurrence sur p , en e xigea nt que S q

n ( r ) } . Comme Π Z [ N ] est dense dans Z , N ∩ ( Z n ( p ) × T ) 6 = ∅ , donc par la condition (e) d’un syst ` eme r ´ educteu r , on peut trouv er ( m, r ) ∈ ω 2 \ { φ ( ∅ , q ) / q < p } tel que δ ( D k m,r ) < d ( Z n ( p ) , ˇ Z n ( p ) ) et Gr ( k m,r ) ∩ N ∩ ( Z n ( p ) × T ) 6 = ∅ . On a do nc D k m,r ⊆ Z n ( p ) , et on pos e φ ( ∅ , p ) := ( m, r ) ; on choisit D ∅ ,p ⊆ U m,r,Z n ( p ) ,T tel que S q ≤ p D ∅ ,q 6 = Z . De sorte que la condition (1) est r ´ ealis ´ ee. Ceci termine la construc tion pour | t | = 0 . • On ef fectue maintenant une sous-con struct ion : on co nstrui t, par r ´ ecurrence sur n , - Les ouv erts ω t ⌢ n . - Une suite d ´ ecroissa nte ( E n ) de G δ denses de D t . - Des fonction s continues f n : E n → T . - Des ouver ts V n de Z × T . On demande ` a ces objets de v ´ erifier ( i ) Gr ( f n ) ⊆ ω t ⌢ n ∩ G t ( ii ) ω t ⌢ n ⊆ ω t et ω t ⌢ n ∩ ω t ⌢ m = ∅ si n 6 = m ( iii ) ∀ x ∈ E n d ( f n ( x ) , k t ( x )) ≤ 2 − ν ( t ⌢ n ) ( iv ) ∀ x ∈ Z δ ( ω x t ⌢ n ) ≤ 2 − ν ( t ⌢ n ) ( v ) Gr ( k t ⌈ E n ) ⊆ V n ⊆ ( Z × T ) \ ( S m ≤ n ω t ⌢ m ) • Montrons qu’un e telle constru ction est possible . Si on a constru it ces objets pour q < n , soit x ∈ D t . Par conti nuit ´ e de k t , on peut trouv er un vois inage ouvert W x de x inclus dans D t et un v oisina ge ouve rt-ferm ´ e V x de diam ` etre au plus 2 − ν ( t ⌢ n ) de k t ( x ) tels que W x ⊆ k − 1 t ( V x ) . De sorte que si ( z , t ) ∈ W x × V x , d ( t, k t ( z )) ≤ 2 − ν ( t ⌢ n ) . On a, par la propri ´ et ´ e de Lindel ¨ of, [ x ∈ D t ( W x × V x ) = [ m ∈ ω ( W m × V m ) . On r ´ eduit la suite ( W m ) en ( W ′ m ) , puis on pose U n := S m ∈ ω ( W ′ m × V m ) . Soit O n un ouvert dense de D t conten ant E n − 1 tel que Gr ( k t ) ∩ V n − 1 = Gr ( k t ⌈O n ) . Par le th ´ eor ` eme de Janko v-v on Neumann, on peut trouver ˜ f n Baire-mesu rable uniformisant U n ∩ G t sur sa projection Π . Π est dense dans Z . En e f fet, so ient U un ou ver t-ferm ´ e non vide d e Z et x ∈ O n ∩ U . C omme ( x, k t ( x )) ∈ U n ∩ G t , on peut trouv er un vo isinag e ouvert -ferm ´ e W de x tel que W × k t [ W ] ⊆ U n ∩ ( U × T ) . Soit alors ( z , y ) ∈ ( W × k t [ W ]) ∩ G t . On a que z ∈ U ∩ Π 6 = ∅ . P ar la cond ition (d) d’un syst ` eme r ´ educteur , Π est comaigre dans Z , donc contien t un G δ dense W n de Z . Alors ˜ f n ⌈ W n est Baire-mesurab le, donc on peut trouv er un G δ dense F n de W n ∩ D t tel que ˜ f n ⌈ F n soit contin ue. 15 On peut poser E n := F n ∩ E n − 1 et f n := ˜ f n ⌈ E n . S i x ∈ E n , ( x, f n ( x )) ∈ U n , donc d ( f n ( x ) , k t ( x )) ≤ 2 − ν ( t ⌢ n ) . Les graphes de f n et k t ⌈ E n sont des ferm ´ es disjo ints de E n × T , donc on peut trouv er un ouvert -ferm ´ e θ de E n × T tel que Gr ( f n ) ⊆ θ ⊆ ( E n × T ) \ G r ( k t ⌈ E n ) . On peu t trouv er des ouver ts disjoints T et W de Z × T tels que θ = ( E n × T ) ∩ T et ( E n × T ) \ θ = ( E n × T ) ∩ W , par la propri ´ et ´ e de r ´ eductio n des ouve rts. Soit ( T m ) une base de la topolo gie de T stable par in- tersect ions finies et form ´ ee d’ouve rts-fer m ´ es v ´ erifiant d ( T m , ˇ T m ) > 0 . On raisonne alors comme pr ´ ec ´ edemment : pour x dans E n , on trouv e un voisi nage ouve rt-ferm ´ e de base V ′ x de f n ( x ) de diam ` etre au plus 2 − ν ( t ⌢ n ) et un v oisin age ouvert-fe rm ´ e Y x de x tels que Y x ∩ E n ⊆ f − 1 n ( V ′ x ) et Y x × V ′ x ⊆ T ∩ V n − 1 ∩ ω t . Comme av ant, on appliqu e la propri ´ et ´ e de Lindel ¨ of, ce qui fournit Y m et V ′ m , et on r ´ eduit la suite ( Y m ) en ( Y ′ m ) . On pose ω t ⌢ n := S m ∈ ω Y ′ m × V ′ m et V n := V n − 1 ∩ W . L es condit ions (i) ` a (v) sont clairement satisf aites. On a donc les conditions (5) et (6) de la construc tion princi pale. • On proc ` ede encore comme av ant pour d ´ efinir G t ⌢ n . Pour x dans E n , on trouve un vo isinag e ouv ert-fer m ´ e de base D x de f n ( x ) et un v oisina ge ouvert-fe rm ´ e C x de x tels que δ ′ ([ C x × D x ] ∩ N ) ≤ 2 −| t |− 1 , C x ∩ E n ⊆ f − 1 n ( D x ) et C x × D x ⊆ ω t ⌢ n ∩ G ∩ ( D t × T ) , o ` u G est ouv ert de Z × T tel que G ∩ N = G t . On a ppliqu e la prop ri ´ et ´ e de Lind el ¨ of, ce qu i fou rnit C m et D m , et o n r ´ eduit la s uite ( C m ) en ( C ′ m ) . On pose G t ⌢ n := N ∩ ( S m ∈ ω C ′ m × D m ) et G t := T n ∈ ω E n , et les conditions (7 ) et (8 ) s ont satis- fait es. On a G t ⌢ n ∩ ω t ⌢ n = N ∩ ( S m ∈ ω C ′ m × D m ) ∩ ( S m ∈ ω Y ′ m × V ′ m ) = S l ∈ ω N ∩ ( A l × B l ) , a vec par d ´ efinition A l := C ′ e − 1 2 ( l ) 0 ∩ Y ′ e − 1 2 ( l ) 1 et B l := D e − 1 2 ( l ) 0 ∩ V ′ e − 1 2 ( l ) 1 , o ` u e 2 : ω 2 → ω est bi- jecti v e. De plus, on a A l ∩ A l ′ = ∅ si l 6 = l ′ et Π Z [ N ∩ ( A l × B l )] est comaigre dans A l car Gr ( f n ) ⊆ G t ⌢ n ∩ ω t ⌢ n . On proc ` ede alors comme pour t = ∅ pour terminer la constructio n, en tra v aill ant dans A l × B l . On construit, par r ´ ecurrence sur p , φ ( t ⌢ n, e 2 ( l, p )) et D t ⌢ n,e 2 ( l,p ) , en exi- geant que S q

k ( r ) } . On choisit ( m, r ) ∈ ω 2 \ { φ ( t ⌢ n, e 2 ( l, q )) / q < p } tel qu e δ ( D k m,r ) < d ( Z n k ( p ) , ˇ Z n k ( p ) ) , δ ( Im ( k m,r )) < d ( B l , ˇ B l ) , et Gr ( k m,r ) ∩ N ∩ ( Z n k ( p ) × B l ) 6 = ∅ . On pose φ ( t ⌢ n, e 2 ( l, p )) := ( m, r ) et on choisit D t ⌢ n,e 2 ( l,p ) dans U m,r,Z n k ( p ) ,B l tel que S q ≤ p D t ⌢ n,e 2 ( l,q ) 6 = A l . Ceci termine la constructi on car Gr ( k m,r ) ⊆ Z n k ( p ) × B l ⊆ ω t ⌢ n , ce qui assure l’injecti vit ´ e de φ . • Si de plus ( Z, T , ( k q ,p ) ( q ,p ) ∈ ω 2 ) est d’arri v ´ ee, quitte ` a remplacer G ( g ) par G ( g ) ∩ G ( k ) , on peut a v oir G ( g ) ⊆ G ( k ) . L ’injecti vit ´ e de Φ fait que la situatio n g ´ en ´ erale ( Z, T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) est en fait d’arri v ´ ee.  16 On doit maintena nt obtenir une situation d’arri v ´ ee ` a partir d’une situation g ´ en ´ erale : Th ´ eor ` eme 4 Soit ( Z , T , ( l r,p ) ( r ,p ) ∈ ω 2 ) une situation g ´ en ´ era le. A lors il exis te une situation d’arriv ´ ee ( Z, T , ( k q ,p ) ( q ,p ) ∈ ω 2 ) telle que G ( k ) ⊆ G ( l ) et pour x dan s G ( k ) , on ait k [ x ] ⊆ l [ x ] . D ´ emonstrati on. Pour exprime r ` a la fois l’absence de points isol ´ es dans k [ x ] , la densit ´ e de D k q dans Z et la condition (c) d’une situati on d’arriv ´ ee, il est plus commode d’index er les fonctio ns par S n ∈ ω ω n × ω n +1 que p ar ω 2 . Soient donc ψ : Im ( M ) → ω biject i ve croi ssante, et φ := ψ ◦ M , o ` u M : ( S n ∈ ω ω n × ω n +1 → ω ( s, t ) 7→ q t (0)+1 0 q s (0)+1 1 ...q t ( n − 1)+1 2 n − 2 q s ( n − 1)+1 2 n − 1 q t ( n )+1 2 n ( ( q n ) est la suite des nombres pre miers). φ est donc un e biject ion de S n ∈ ω ω n × ω n +1 sur ω v ´ erifiant φ ( s, t ) < φ ( s ⌢ p, t ⌢ m ) et φ ( s, t ) < φ ( s, t ⌈| s | ⌢ [ t ( | s | ) + 1]) po ur ( s, t ) dans S n ∈ ω ω n × ω n +1 et ( p, m ) dans ω 2 . Soient ( Z n ) une base de la topologie de Z , et ( O r ) une suite d’ouvert s denses de Z tels que G ( l ) = T r ∈ ω O r . En supposant ∀ n ∈ ω ∀ s, t ∈ ω n ∀ m ∈ ω D k s ⌈ ( | s |− 1) ,t \ ( [ i max ( r ( s ⌈ ( | s | − 1) , t ) , m ax i r ( s, t ⌢ n ) > r ( s ⌈ ( | s | − 1) , t ) . On co nstrui t des fonctions k s,t ⌢ m , pour ( s, t, m ) ∈ ( S n ∈ ω ( ω n ) 2 ) × ω , par r ´ ecurrence sur φ ( s, t ⌢ m ) , en demandant (1) D k s,t ⌢ m ⊆ Z r ( s,t ⌢ m ) ∩ D k s ⌈ ( | s |− 1) ,t \ ( S i 0 , e n : ω n → ω bijecti v es. On pose k q ,p := k e ( q ) ,e − 1 | e ( q ) | +1 ( p ) . Les application s sui v an tes sont r ´ eciproques l’une de l’autre : ( ω 2 → S n ∈ ω ω n × ω n +1 ( q , p ) 7→ ( e ( q ) , e − 1 | e ( q ) | +1 ( p )) ,  S n ∈ ω ω n × ω n +1 → ω 2 ( s, t ⌢ m ) 7→ ( e − 1 ( s ) , e | s | +1 ( t ⌢ m )) . Les conditions (a) et (b) d’une situation g ´ en ´ erale et les condition s (b) et (c) d’une situation d’arri v ´ ee seront alors clair ement r ´ ealis ´ ees, par (3), (4) et (6). S m ∈ ω D k s,t ⌢ m est dense dan s D k s ⌈ ( | s | − 1) ,t , sinon on peut trouve r r > r ( s ⌈ ( | s | − 1) , t ) tel que Z r ⊆ D k s ⌈ ( | s | − 1) ,t \ S m ∈ ω D k s,t ⌢ m . Comme la suite ( r ( s, t ⌢ m )) m cro ˆ ıt strictemen t vers l’infini, on trouv e un plus petit m tel que r ( s, t ⌢ m ) > r . Si m > 0 , r ( s, t ⌢ ( m − 1)) ≤ r ; si r ( s, t ⌢ ( m − 1)) < r , on a r ( s, t ⌢ m ) ≤ r , ce qui est absurde. Si r = r ( s, t ⌢ ( m − 1)) , D k s,t ⌢ ( m − 1) ⊆ Z r , ce qui contredit la disjonct ion de Z r et D k s,t ⌢ ( m − 1) . Si m = 0 , on a r ( s, t ⌢ 0) > r > r ( s ⌈ ( | s | − 1) , t ) , ce qui contredit la d ´ efinition de r ( s, t ⌢ 0) . Il suf fit d onc d ’assur er (1) et (2 ) pour a v oir la disj onctio n de D k s,t ⌢ m et D k s,t ⌢ n pour n 6 = m , donc de D k s,t ⌢ m et D k s,v ⌢ n pour ( t, m ) 6 = ( v , n ) , et la de nsit ´ e de D s := S ( t,m ) ∈ ω | s | × ω D k s,t ⌢ m dans S t ∈ ω | s | D k s ⌈ ( | s |− 1) ,t ; on a donc la conditi on (c) d’une situation g ´ en ´ erale. Enfin, on pose G ( k ) := \ q ∈ ω D k q et la conditi on (5) entra ˆ ıne la conditio n (d) d’une situation g ´ en ´ erale car si q ∈ ω et x ∈ G ( k ) = \ s ∈ ω <ω D s , x ∈ D e ( q ) ∩ D e ( q ) ⌢ p pour tout entie r p , donc il exi ste t ∈ ω | e ( q ) | +1 et m ∈ ω tels que x ∈ D e ( q ) ⌢ p,t ⌢ m ⊆ D e ( q ) ,t , et d ( k q ( x ) , k l ( x )) < 2 − p , o ` u e ( l ) = e ( q ) ⌢ p . • Montron s donc que cette construc tion est possible. Soit ( r, p ) ∈ ω 2 telle que D l r,p ∩ Z 0 6 = ∅ . On choisi t u n ouv ert-fe rm ´ e n on vide D k φ − 1 (0) stricte ment inclus dans D l r,p ∩ Z 0 ∩ O | φ − 1 0 (0) | et on pose k φ − 1 (0) := l r,p ⌈ D k φ − 1 (0) . Admettons av oir const ruit ( k s,t ⌢ m ) φ ( s,t ⌢ m ) ≤ n v ´ erifiant (1)-(7 ), ce qui est fait pour n = 0 . P osons φ − 1 ( n + 1) := ( s, t ⌢ m ) . On a d ´ ej ` a construit D k φ − 1 ( q 1 ) , .. ., D k φ − 1 ( q m ) dans D k s ⌈ ( | s |− 1) ,t , de sorte que φ − 1 ( q i ) = ( s, t ⌢ ( i − 1)) pour 1 ≤ i ≤ m , par constructio n de φ . Soit U un ouvert- ferm ´ e non vide de D k s ⌈ ( | s |− 1) ,t tel que δ ( U ) , δ ( k s ⌈ ( | s |− 1) ,t [ U ]) ≤ 2 − n − 1 , U ∪ [ i 0 , u ∈ ( S p ≤ n +1 { φ − 1 ( p ) } ) 2 h et un ouv ert-fer m ´ e non vide U de Z tels que pour tout x de U on ait k − 1 u (0) k u (1) ...k − 1 u (2 h − 2) k u (2 h − 1) ( x ) = x et u ( i ) 6 = u ( i + 1) si i < 2 h − 1 . Par hypoth ` ese d e r ´ ecurre nce, on peut trouv er i < 2 h minimal tel que u ( i ) = φ − 1 ( n + 1) . M ontron s, en raisonn ant par l’absurde, qu’ un te l i est u nique. Si tel n’est pas le cas, on peut trouv er j > i + 1 minimal tel que u ( j ) = φ − 1 ( n + 1) . Il y a al ors quatre cas. Cas 1. i et j sont impairs. Posons y := k u ( j ) k − 1 u ( j +1) ...k u (2 h − 1) ( x ) . Comme u ( j ) = φ − 1 ( n + 1) , y est dans k s ⌈ ( | s |− 1) ,t [ O ′′ ] et on trouv e z dans O ′′ tel que y = k s ⌈ ( | s |− 1) ,t ( z ) . On a la dou ble ´ egalit ´ e x = k − 1 u (0) k u (1) ...k − 1 u ( j − 1) ( y ) = k − 1 u (0) k u (1) ...k − 1 u ( j − 1) k s ⌈ ( | s |− 1) ,t ( z ) , donc le domaine d ´ efinition de k − 1 u ( i +1) k u ( i +2) ...k − 1 u ( j − 1) k s ⌈ ( | s |− 1) ,t est non vide. Si i + 1 = j − 1 et u ( j − 1) = s ⌈ ( | s | − 1) , t , z ∈ D k φ − 1 ( n +1) et y ∈ k φ − 1 ( n +1) [ D k φ − 1 ( n +1) ] ∩ k s ⌈ ( | s |− 1) ,t [ D k φ − 1 ( n +1) ] = ∅ . Si i + 1 6 = j − 1 ou u ( j − 1) 6 = s ⌈ ( | s | − 1) , t , on peut trouver r < p tel que H r +1 = k − 1 u ( i +1) k u ( i +2) ...k − 1 u ( j − 1) k s ⌈ ( | s |− 1) ,t , comme z ∈ O ′′ ⊆ O I , H r +1 ( z ) / ∈ O ′′ , donc k u ( i ) ( H r +1 ( z )) n’est pas d ´ efini, ce qui est absurde. 19 Cas 2. i et j sont pairs. Dans la compo sition appara ˆ ıt k − 1 φ − 1 ( n +1) k u ( i +1) ...k u ( j − 1) k − 1 φ − 1 ( n +1) , donc la compos ition k φ − 1 ( n +1) k − 1 u ( j − 1) ...k − 1 u ( i +1) k φ − 1 ( n +1) a un domaine de d ´ efinition non vide. M ais on v oit comme a v ant que c’est impossible . Cas 3. i est impai r et j es t pair . Soit r < p tel que H r +1 = k − 1 u ( i +1) ...k u ( j − 1) . Alors k − 1 u ( j ) ...k u (2 h − 1) ( x ) ∈ O ′′ , donc comme a v ant k − 1 u ( i +1) ...k u (2 h − 1) ( x ) / ∈ O ′′ , ce qui est absurde . Cas 4. i est pai r et j es t impair . Posons y := k u ( j ) ...k u (2 h − 1) ( x ) ; comme dans le cas 1, on trouv e z dans O ′′ tel que y = k s ⌈ ( | s |− 1) ,t ( z ) . Posons w := k − 1 u ( i +2) ...k u (2 h − 1) ( x ) ; on a w = k − 1 u ( i +2) ...k − 1 u ( j − 1) k s ⌈ ( | s |− 1) ,t ( z ) , et k u ( i +1) ( w ) = k s ⌈ ( | s |− 1) ,t ( v ) , o ` u v ∈ O ′′ , puisq ue k − 1 φ − 1 ( n +1) ( k u ( i +1) ( w )) est d ´ efini. On a v = k − 1 s ⌈ ( | s |− 1) ,t k u ( i +1) ...k − 1 u ( j − 1) k s ⌈ ( | s |− 1) ,t ( z ) . D’o ` u u ( i + 1) = s ⌈ ( | s | − 1) , t = u ( j − 1) et don c i + 2 < j − 1 , ce qu i est absu rde (on utilise le f ait que z et v sont dans O ′′ ). L ’entier i est donc u nique et on peut trouv er un ouve rt-ferm ´ e non vide de D k φ − 1 ( n +1) sur lequel k φ − 1 ( n +1) co ¨ ıncide av ec une composition des f onctio ns k φ − 1 (0) , ..., k φ − 1 ( n ) de la forme k φ − 1 ( j ) H m +1 , o ` u m < p . Mais ceci est contraire ` a la construction de k φ − 1 ( n +1) . Pour v ´ erifier la condition (7), on remarque que dans u ne composition du type d e la condi tion (6) sans termes co ns ´ ecutifs identi ques de s foncti ons k φ − 1 (0) , . .., k φ − 1 ( n +1) , il y a au p lus une fo is la fon ction k φ − 1 ( n +1) (comme pr ´ ec ´ edemment). Une telle compositi on est donc n ´ ecessaire ment de la forme H m +1 , H m +1 k − 1 φ − 1 ( i ) k φ − 1 ( n +1) , H m +1 k − 1 φ − 1 ( n +1) k φ − 1 ( i ) , H m +1 k − 1 φ − 1 ( i ) k φ − 1 ( n +1) H m ′ +1 , H m +1 k − 1 φ − 1 ( n +1) k φ − 1 ( i ) H m ′ +1 , k − 1 φ − 1 ( i ) k φ − 1 ( n +1) H m +1 ou k − 1 φ − 1 ( n +1) k φ − 1 ( i ) H m +1 , o ` u m, m ′ < p et i ≤ n . Il n’y en a don c qu’un nombre fini.  20 Il reste ` a pouv oir assure r la r ´ eduction de la situation d’arri v ´ ee au bor ´ elien dont nous sommes partis. Le lemme qui suit, coupl ´ e av ec le th ´ eor ` eme 3, va le permett re. Lemme 5 Soient ( Z, T , ( l r,p ) ( r ,p ) ∈ ω 2 ) une situ ation g ´ en ´ era le, et ( Z , T , ( k q ,p ) ( q ,p ) ∈ ω 2 ) une situ ation d’arri v ´ ee te lles que pour tout x de G ( k ) ∩ G ( l ) , k [ x ] ⊆ l [ x ] . Alors il exis te un ensemble N , G δ de ( Z × T ) \ ( S r ∈ ω Gr ( l r )) , tel que ( Z, T , ( k q ,p ) ( q ,p ) ∈ ω 2 , N ) soi t un syst ` eme r ´ educte ur . D ´ emonstrati on. Posons H := G ( k ) ∩ G ( l ) et N := { ( x, y ) ∈ Z × T / x ∈ H et y ∈ k [ x ] \ l [ x ] } . Alors N est clairement G δ , et on a N ∩ ( S r ∈ ω Gr ( l r )) = ∅ , ainsi que les co nditio ns ( a) et (b) d ’un syst ` eme r ´ educteur . • S oit U un ouv ert-fer m ´ e non vide de Z . On choisit x ∈ H ∩ U . Comme ( Z, T , ( k q ,p ) ( q ,p ) ∈ ω 2 ) est une situation d’arri v ´ ee, k [ x ] est d ´ enombrable sans point isol ´ e, do nc on trouv e y dans k [ x ] \ l [ x ] , puisqu e k [ x ] est polo nais parfait e t qu e l [ x ] est d ´ enombrable. On a alors que x ∈ U ∩ Π Z [ N ] puisq ue ( x, y ) ∈ N . D’o ` u la cond ition (c) d’un syst ` eme r ´ educteur . • S oient x ∈ U ∩ Π Z [ N ∩ O ] , y ∈ k [ x ] ∩ O x . On choisit des ouverts-f erm ´ es V et W tels que ( x, y ) ∈ V × W et V × W ⊆ O ∩ ( U × T ) . O n peut trouv er q tel que k q ( x ) ∈ W et un ouvert- ferm ´ e non vide V ′ ⊆ k − 1 q ( W ) ∩ V ; si z ∈ V ′ ∩ H , k [ z ] \ l [ z ] ´ etant dense dans k [ z ] , on peut trouver y ( z ) tel que ( z, y ( z )) ∈ N ∩ ( V × W ) . Donc U ∩ Π Z [ N ∩ O ] contient V ′ ∩ H , qu i est non maigre. On a don c montr ´ e que pour tou t ouv ert-fe rm ´ e non vide U de Z , U ∩ Π Z [ N ∩ O ] est non maig re. C omme Π Z [ N ∩ O ] est analytiqu e, on en d ´ eduit que Π Z [ N ∩ O ] est comaigre dans Z . D’o ` u la conditio n (d) d’un syst ` eme r ´ educteur . • Soient U et V des ouverts -ferm ´ es tels q ue N ∩ ( U × V ) 6 = ∅ , et ( x, y ) ∈ N ∩ ( U × V ) . Comme x ∈ G ( k ) et y ∈ V ∩ k [ x ] , k [ x ] n’a pas de p oint isol ´ e et on peut tro uve r un e infinit ´ e de q tels q ue z := k q ( x ) ∈ V . Comme a v ant, on voit que k [ x ] \ l [ x ] est den se dans k [ x ] , d onc z est limite de points z n ∈ V ∩ k [ x ] \ l [ x ] . Don c ( x, z n ) est dans N ∩ ( U × V ) , et ( x, z ) est dan s Gr ( k q ) ∩ N ∩ ( U × V ) . Par con s ´ equent , l’ens emble { q ∈ ω / Gr ( k q ) ∩ N ∩ ( U × V ) 6 = ∅} est infini. Posons U q ,p,U,V := U ∩ k − 1 q ,p ( V ) . Il est clair que G r ( k q ,p ) ∩ N ∩ ( U × V ) ⊆ Gr ( k q ,p ⌈ U q ,p,U,V ) . R ´ eciproqu ement, si ( x, y ) ∈ Gr ( k q ,p ⌈ U q ,p,U,V ) , il fau t voir que ( x, y ) ∈ N . x est limite de ( x n ) ⊆ D k q,p ∩ H . Comme av ant, k q ,p ( x n ) est limite de ( y n m ) m ⊆ k [ x n ] \ l [ x n ] , et on peut suppo ser que d ( k q ,p ( x n ) , y n m ) < 2 − n − m . Alors ( x n , y n n ) ∈ N et tend vers ( x, y ) ∈ N .  21 3 Existence d’exemples et synth ` ese des r ´ esultats pr ´ ec ´ edents. Notations. Soit ( q n ) la suite des nombres premiers : q 0 = 2 , q 1 = 3 , q 2 = 5 , ... On po se J :      ω <ω → ω s 7→ ( q s (0)+1 0 ...q s ( | s |− 1)+1 | s |− 1 si s 6 = ∅ , 0 sino n. • On d ´ efinit A i := { 1 } ∪ { J ( u ⌢ 1) / u ∈ Π p i 1 + 1 minimal tel que l’on ait c ( i 1 + 1)( l − 1) 6 = c ( i 2 )( l − 1) . On a que c ( i 1 ) = c ( i 2 ) , par injecti vit ´ e de J . Donc i 1 = 0 et i 2 = | c | − 1 , par minimalit ´ e de | c | . Par m inimalit ´ e encore , | c | = 3 , ce qui constitue la contradict ion cherch ´ ee (on a c ( i 1 + 1) = c ( i 2 − 1) car il existe un uniqu e couple ( s, t ) tel que c ( i 1 ) ⌢ 1 ω ∈ D f s,t , av ec J ( s ⌢ t ) = l − 1 ; par suite, on a la suite d’ ´ egalit ´ es c ( i 1 + 1) ⌢ 1 ω = f s,t ( c ( i 1 ) ⌢ 1 ω ) = f s,t ( c ( i 2 ) ⌢ 1 ω ) = c ( i 2 − 1) ⌢ 1 ω ). Ou bien c ( i 1 )( l − 1) > c ( i 1 + 1)( l − 1) , auquel cas on trouv e i 2 > i 1 + 1 minimal tel que c ( i 2 )( l − 1) = ... = c ( | c | − 1)( l − 1) . On a c ( i 1 + 1) = c ( i 2 − 1) , donc c ( i 1 ) = c ( i 2 ) comme av ant . D’o ` u i 1 = 0 et i 2 = | c | − 1 , par minimalit ´ e de | c | . Par min imalit ´ e encore, | c | = 3 , ce qui constitue la contra diction cherch ´ ee. D’o ` u la condition (e).(ii) d’une situation de d ´ epart.  Th ´ eor ` eme 7 Il exist e un bor ´ elien B de ω ω × ω ω , tel que pour tous espac es polonais X et Y , et pour tout bor ´ elien A de X × Y dont les coupes horizontale s et vertical es sont d ´ enombr ables , on a l’ ´ equiva lence entr e les conditio ns suivantes : (a) Le bor ´ elien A n’es t pas pot ( Π 0 2 ) . (b) Il existe u : ω ω → X et v : ω ω → Y , hom ´ eomorph ismes sur leurs images , tels que l’on ait B ∩ ( u × v ) − 1 ( A ) = B . D ´ emonstrati on. Soit ( F, ( f n,p ) ( n,p ) ∈ ω 2 ) la situatio n de d ´ epart fourni e par le lemme 6. L ’ensemble G ( f ) = T n ∈ ω D f n est G δ dense de F , donc polonai s parfait de dimension 0 , et G ( f ) est localemen t non compact car son co mpl ´ ementair e contient l’ensemble dense D des suites dif f ´ erentes de 1 ` a partir d’un certain rang. On peut donc trouve r un hom ´ eomorphisme φ 0 : ω ω → G ( f ) . On remarque que si x ∈ G ( f ) et n ∈ ω , f n ( x ) / ∈ D , ` a cause de la condi tion (c) d ’une situat ion d e d ´ epart. Soit donc ψ 0 : ω ω → F \ D un hom ´ eomorphisme. On pose B := ( φ 0 × ψ 0 ) − 1 ( [ n ∈ ω Gr [ f n ⌈ G ( f )]) . 24 • Si A est pot ( Π 0 2 ) , alors la condition (b) n’est pas v ´ erifi ´ ee, car sinon B serait pot ( Π 0 2 ) , donc S n ∈ ω Gr ( f n ⌈ G ( f )) aussi. On pourrait donc trouv er un G δ dense K de F tel que pour tout x de G ( f ) , f [ x ] ∩ K soit G δ de K , donc polonais. Mais { x ∈ G ( f ) / x ∈ T n ∈ ω f − 1 n ( K ) } est G δ dense de G ( f ) , donc on pourrait trouv er x dans G ( f ) tel que f [ x ] soit polo nais, ce qui co ntredi t le fai t qu’il soit sans point isol ´ e. • Si A n’est pas pot ( Π 0 2 ) , nous allons constru ire des appli cation s u et v v ´ erifiant la conditio n (b). Le lemme 2 fourn it un syst ` eme r ´ educteur ( Z , T , ( h n,p ) ( n,p ) ∈ ω 2 , M ) et u 0 : Z → X , v 0 : T → Y injecti ves continues tels que S ( n,p ) ∈ ω 2 Gr ( h n,p ) ⊆ ( u 0 × v 0 ) − 1 ( A ) et M ⊆ ( u 0 × v 0 ) − 1 ( ˇ A ) . Par le th ´ eor ` eme 3 , on trouve une injection Ψ : ω 2 → ω 2 et des ouverts- ferm ´ es D ′ r,p ⊆ D h Ψ( r,p ) tels que si l r,p := h Ψ( r ,p ) ⌈ D ′ r,p , ( Z, T , ( l r,p ) ( r ,p ) ∈ ω 2 ) soit une situation g ´ en ´ erale et ∀ x ∈ G ( l ) , l [ x ] ⊆ { h n,p ( x ) / ( n, p ) ∈ ω 2 et x ∈ D h n,p } et ∀ y ∈ l [ x ] \ l [ x ] , ( x, y ) ∈ M . Par le th ´ eor ` eme 4, on trouve une situati on d’arri v ´ ee ( Z, T , ( k q ,p ) ( q ,p ) ∈ ω 2 ) telle que G ( k ) ⊆ G ( l ) et pour x dans G ( k ) , o n ait k [ x ] ⊆ l [ x ] . P ar le lemme 5, on trouv e u n ensemble N , G δ de Z × T , tel que ( Z, T , ( k q ,p ) ( q ,p ) ∈ ω 2 , N ) soit un syst ` eme r ´ educteur et N ∩ ( [ r ∈ ω Gr ( l r )) = ∅ . Par le th ´ eor ` eme 3 e ncore, il existe une injecti on Φ : ω 2 → ω 2 et de s ouv ert s-ferm ´ es D m,p ⊆ D k Φ( m,p ) tels que s i g m,p := k Φ( m,p ) ⌈ D m,p , ( Z , T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) soit une situation d’ar ri v ´ ee et pour x d ans G ( g ) ⊆ G ( k ) , g [ x ] ⊆ k [ x ] et pour tout y de g [ x ] \ g [ x ] , ( x, y ) ∈ N . Par le th ´ eor ` eme 1, on trouv e des injecti ons continue s u 1 : F → G ( g ) et v 1 : F → T telles que pour ( x, y ) dan s S n ∈ ω Gr ( f n ) on ait ( u 1 ( x ) , v 1 ( y )) ∈ S m ∈ ω Gr ( g m ) et ∀ ( x, y ) ∈ ( T n ∈ ω D f n × T ) ∩ S n ∈ ω Gr ( f n ) \ ( S n ∈ ω Gr ( f n )) , o n ait l’appa rtenan ce de v 1 ( y ) ` a g [ u 1 ( x )] \ g [ u 1 ( x )] . On pose alors u := u 0 ⌈ G ( g ) ◦ u 1 ⌈ G ( f ) ◦ φ 0 et v := v 0 ◦ v 1 ⌈ ( F \ D ) ◦ ψ 0 . Comme u 0 ⌈ G ( g ) ◦ u 1 et v 0 ◦ v 1 sont des hom ´ eomorphismes sur leurs images, u et v au ssi. Si ( x, y ) ∈ B , ( φ 0 ( x ) , ψ 0 ( y )) ∈ S n ∈ ω Gr ( f n ⌈ G ( f )) donc ( u 1 [ φ 0 ( x )] , v 1 [ ψ 0 ( y )]) ∈ S m ∈ ω Gr ( g m ) et aussi u 1 [ φ 0 ( x )] ∈ G ( g ) ⊆ G ( k ) ⊆ G ( l ) . Par suit e, on a v 1 [ ψ 0 ( y )] ∈ g [ u 1 [ φ 0 ( x )]] ⊆ k [ u 1 [ φ 0 ( x )]] ⊆ l [ u 1 [ φ 0 ( x )]] ⊆ { h n,p ( u 1 [ φ 0 ( x )]) / ( n, p ) ∈ ω 2 et u 1 [ φ 0 ( x )] ∈ D h n,p } . Donc ( u ( x ) , v ( y )) ∈ A . 25 Si ( x, y ) ∈ B \ B , ( φ 0 ( x ) , ψ 0 ( y )) ∈ S n ∈ ω Gr ( f n ⌈ G ( f )) \ ( S n ∈ ω Gr [ f n ⌈ G ( f )]) , et comme φ 0 ( x ) ∈ G ( f ) ⊆ T n ∈ ω D f n , ( φ 0 ( x ) , ψ 0 ( y )) ∈ S n ∈ ω Gr ( f n ) \ ( S n ∈ ω Gr ( f n )) . Par suite, v 1 [ ψ 0 ( y )] est dans g [ u 1 [ φ 0 ( x )]] \ g [ u 1 [ φ 0 ( x )]] . Comme u 1 [ φ 0 ( x )] est dans G ( g ) , on a que ( u 1 [ φ 0 ( x )] , v 1 [ ψ 0 ( y )]) est dans N , et donc que v 1 [ ψ 0 ( y )] appartient ` a l [ u 1 [ φ 0 ( x )]] \ l [ u 1 [ φ 0 ( x )]] . Donc ( u 1 [ φ 0 ( x )] , v 1 [ ψ 0 ( y )]) est dans M et ( u ( x ) , v ( y )) / ∈ A .  En analysan t cette d ´ emonstration, on obtie nt d’autres caract ´ erisati ons des bor ´ eliens ` a coupe s d ´ enombrab les n’ ´ etant pas p ot ( Π 0 2 ) . Le corol laire qui suit est ` a rap proche r du th ´ eor ` eme 2.11 de [ Le2]. Cor ollair e 8 Soient X et Y des espaces polonais, et A un bor ´ elien de X × Y don t les coupes horizo ntales et verticales sont d ´ enombr ables . Les condition s suivan tes sont ´ equiva lentes : (a) Le bor ´ elien A n’es t pas pot ( Π 0 2 ) . (b) Il e xiste une situation g ´ en ´ era le ( Z, T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) et i : Z → X , j : T → Y injecti ves contin ues telles que pour tout x de G ( g ) , on ait g [ x ] ∩ ( i × j ) − 1 ( A ) x = g [ x ] . (c) Il ex iste une situation d’arriv ´ ee ( Z , T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) et i : Z → X , j : T → Y injectiv es contin ues telles que pour tout x de G ( g ) , on ait g [ x ] ∩ ( i × j ) − 1 ( A ) x = g [ x ] . (d) Il e xis te une situatio n de d ´ epart ( F , ( f n,p ) ( n,p ) ∈ ω 2 ) et u : F → X , v : F → Y injective s continues telles que [ n ∈ ω Gr ( f n ) ∩ ( G ( f ) × F ) ∩ ( u × v ) − 1 ( A ) = [ n ∈ ω Gr ( f n ⌈ G ( f )) . D ´ emonstrati on. Il suf fit de relire la preuv e du th ´ eor ` eme 7. Pour l’ ´ equi v ale nce de (a) et (d), on prend u := u 0 ⌈ G ( g ) ◦ u 1 et v := v 0 ◦ v 1 . P our l’ ´ equi v alen ce de (a) av ec (b) et (c), on prend i := u 0 et j := v 0 , de sorte que i et j correspond ent s implement ` a un changement de topolo gie. Ces ´ equi v alence s vienne nt du fait que S m ∈ ω Gr ( g m ⌈ G ( g )) = { ( x, y ) ∈ G ( g ) × T / y ∈ g [ x ] } ∩ ( i × j ) − 1 ( A ) .  Cor ollair e 9 Soit Γ une classe de W adge non stable par passa g e au compl ´ ementair e. Alor s il existe un bor ´ elien B Γ de ω ω × ω ω et un ferm ´ e F Γ conten ant B Γ , tels que pour tous espaces polonais X et Y , et pour tout bor ´ elien A de X × Y ayant ses coupe s horizontale s et verti cales d ´ enombr ables , on a l’ ´ equiva lence entr e les conditio ns suivantes : (a) Le bor ´ elien A n’es t pas pot (Γ) . (b) Il exist e des fon ctions contin ues u : ω ω → X et v : ω ω → Y telles qu e F Γ ∩ ( u × v ) − 1 ( A ) = B Γ . D ´ emonstrati on. S i Γ = Π 0 2 , on app lique le th ´ eor ` eme 7. S i Γ = D ξ ( Σ 0 1 ) ou ˇ D ξ ( Σ 0 1 ) , on ap plique les th ´ eor ` emes 3.5 et 3.6 de [Le3] et on utilise l’exist ence d’une r ´ etraction continue de ω ω sur 2 ω . Sinon, Γ contient Σ 0 2 , donc A est pot (Γ) . Il suf fit alors de prendre B Γ := ( ω ω × ω ω ) \ B Π 0 2 et F Γ := B Γ , puisqu e B Π 0 2 / ∈ pot ( Π 0 2 ) , par le th ´ eor ` eme 7.  Remar que. B Π 0 2 ´ etant r ´ eunion d ´ enombrable de graphes de fonctions continues est Σ 0 2 \ pot ( Π 0 2 ) . Si Γ ⊆ ∆ 0 2 et ˇ Γ est stable par inte rsectio n a ve c les f erm ´ es (c’est- ` a-dire s i Γ = D ξ ( Σ 0 1 ) av ec ξ impair ou Γ = ˇ D ξ ( Σ 0 1 ) ave c ξ pair), on a aussi B Γ ∈ ˇ Γ \ pot (Γ) . En e f fet, on app lique le th ´ eor ` eme B ` a A ∈ ˇ Γ \ pot (Γ) (qui existe par le th ´ eor ` eme 3.3 de [L e1]) pour voi r que B Γ = A ξ \ A ξ ∈ ˇ Γ . On en d ´ eduit que B ˇ Γ = A ξ ∈ D ξ +1 ( Σ 0 1 ) si ξ est impair et que B ˇ Γ ∈ ˇ D ξ +1 ( Σ 0 1 ) si ξ est pair . On n’a pas mieux en g ´ en ´ eral (cf [Le3] pour ξ = 1 : B Π 0 1 ∈ D 2 ( Σ 0 1 ) \ pot ( ˇ D 2 ( Σ 0 1 )) ). 26 4 Une limite du r ´ esultat princi pal. On peut observer un ph ´ enom ` ene analogu e ` a celui d ´ ecrit dans la section 2.C de [Le3], c’est- ` a- dire que dans le th ´ eor ` eme 7, en supposan t seu lement A ` a coupes verticale s d ´ enombrable s, on a une incompa tibilit ´ e av ec l’exis tence des injections u et v . D ´ efinition. Une suite ( h s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω de fonctions partielle s de 2 ω dans 2 ω est une bonne s uite si (a) Le domaine D h s de h s est un ouver t dense de 2 ω . (b) Les fonctio ns h s sont conti nues et ouvertes. (c) Si x ∈ T s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω D h s et s ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω , lim k →∞ h s ⌢ k ( x ) = h s ( x ) . (d) Si s, t ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω et s 6 = t , { x ∈ D h s ∩ D h t / h s ( x ) 6 = h t ( x ) } est dens e dans 2 ω . Exemple. Soit J : ω <ω → ω l’injecti on d ´ efinie dans la section 3. On po se h s :                        2 ω → 2 ω x 7→                    ω → 2 k 7→                x ( J ( s ⌈ i ) q − J ( s ⌈ i ) q i − 1 − 1) si      k = J ( s ⌈ i ) q i − 1 q − 1 et i = max { 1 ≤ j ≤ | s | / k ≡ − 1 ( J ( s ⌈ j ) q j − 1 ) } , x ( k ) si ∀ 1 ≤ i ≤ | s | k 6≡ − 1 ( J ( s ⌈ i ) q i − 1 ) . Alors ( h s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω est u ne bo nne sui te. E n ef fet, les conditio ns (a) et ( b) so nt cla irement r ´ ealis ´ ees. Le plus petit entier n tel qu e h s ⌢ k ( x )( n ) 6 = h s ( x )( n ) , s’il exis te, est sup ´ erieur ou ´ egal ` a J ( s ⌢ k ) q | s | − 1 , qui tend ve rs l’infini av ec k . D’o ` u la condition (c). Soit u ∈ 2 <ω ; on cherche x ∈ 2 ω tel que h s ( u ⌢ x ) 6 = h t ( u ⌢ x ) . Ou bien on trouve m < min ( | s | , | t | ) tel que s ( m ) 6 = t ( m ) et s ⌈ m = t ⌈ m , av ec par exemp le s ( m ) < t ( m ) . P osons alors k n := J ( t ⌈ m +1) q m q n m +2 − 1 . On a h s ( u ⌢ x )( k n ) = u ⌢ x ( J ( s ⌈ m + 1) q t ( m ) − s ( m ) − 1 m q n m +2 − J ( s ⌈ m +1) q m − 1) , h t ( u ⌢ x )( k n ) = u ⌢ x ( J ( t ⌈ m + 1) q n m +2 − J ( t ⌈ m +1) q m − 1) . On choisit n ∈ ω tel que les num ´ eros des coordonn ´ ees ci-dessu s soient sup ´ erieurs ` a | u | . Une simpli- fication par q s ( m ) m montre que ces deux num ´ eros sont dif f ´ erents. D’o ` u l’exist ence de x . Ou bien par e xempl e s est un d ´ ebut strict de t . Poso ns k n := J ( t ) q | t |− 1 q n | t | +1 − 1 . On a h s ( u ⌢ x )( k n ) = u ⌢ x ( J ( s ) q | s |− 1 q t ( | s | )+1 | s | ...q t ( | t |− 2)+1 | t |− 2 q t ( | t |− 1) | t |− 1 q n | t | +1 − J ( s ) q | s |− 1 − 1) , h t ( u ⌢ x )( k n ) = u ⌢ x ( J ( t ) q n | t | +1 − J ( t ) q | t |− 1 − 1) . On conclu t comme av an t, av ec simplificatio n par q s ( | s |− 1) | s |− 1 . 27 Lemme 10 Soit ( h s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω une bonne suite , et G un G δ dense de 2 ω inclus dans \ s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω D h s ∩ \ s 6 = t { x ∈ D h s ∩ D h t / h s ( x ) 6 = h t ( x ) } . Alors S s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω Gr ( h s ⌈ G ) n’est pas pot ( G δ ) . D ´ emonstrati on. Elle est identiq ue ` a celle du deuxi ` eme point de la preuv e du th ´ eor ` eme 7.  Lemme 11 Soit ( h s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω une bon ne suit e. Alors il exi ste une b onne su ite ( l s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω , une suite ( V s,t ) ( s,t ) ∈ S n ∈ ω ( ω \{ 0 } ) n × ( ω \{ 0 } ) n +1 d’ouve rts non vides de 2 ω et φ : [ n ∈ ω ( ω \ { 0 } ) n × ( ω \ { 0 } ) n +1 → ( ω \ { 0 } ) <ω telles que (a) D l s = S t ∈ ω | s | +1 , disj. V s,t et V s ⌢ m,t ⌢ n ⊆ V s,t . (b) P our tout x de V s,t on a l s ( x ) = h φ ( s,t ) ( x ) . (c) La suite φ ( s, t ) est un d ´ eb ut strict de φ ( s ⌢ m, t ⌢ n ) . (d) On a D l s ⌢ k ⊆ D l s ∩ T j 1 2 ε ( s ⌢ k , x 0 ) . Par aill eurs, la conditio n (c) d’un e bonne suite fournit r 0 ≥ k tel que d ( h φ ( s,t ) ⌢ r 0 ( x 0 ) , h φ ( s,t ) ( x 0 )) < 1 2 ε ( s ⌢ k , x 0 ) . Par continuit ´ e de h φ ( s,t ) ⌢ r 0 et h φ ( s,t ) , on trouve un v oisin age ouv ert W de x 0 tel que pour tout x de W , on ait d ( h φ ( s,t ) ⌢ r 0 ( x ) , h φ ( s,t ) ( x )) < 1 2 ε ( s ⌢ k , x 0 ) et x soit dans l’ense mble suiv ant : V ∩ V s,t ∩ D l s ∩ \ j 0 et v ( s, u, α ) ∈ 2 <ω tels que u ≺ v ( s, u, α ) ≺ α et pour tout t ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω , pour tout x ∈ N v ( s,u ,α ) ∩ T w ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω D l w , on ait l’implica tion d ( l s ( x ) , l t ( x )) < ε ( s, u, α ) ⇒ s et t sont compatibl es. D ´ emonstrati on. Posons, pour y ∈ ( ω \ { 0 } ) | s | , η ( y , x ) := d ( l y ( x ) , l s ⌈| s |− 1 ( x )) . Alors la fon ction η ( y , . ) : D l y ∩ D l s ⌈| s |− 1 → R ∗ + est d ´ efinie et c ontinu e, donc on p eut trouve r v ( s, u, α ) ∈ 2 <ω telle que u ≺ v ( s, u, α ) ≺ α et pour tout x ∈ N v ( s,u ,α ) ∩ T w ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω D l w , on ait η ( y , x ) > 3 4 η ( y , α ) et ε ( y , x ) > 3 4 ε ( y , α ) , ceci pour y ∈ ( ω \ { 0 } ) | s | v ´ erifiant y = s ou ( ∃ ! i < | s | y ( i ) 6 = s ( i ) et ∃ i < | s | y ( i ) < s ( i )) . Notons Y l’ense mble de ces suites y . O n pose ε ( s, u, α ) := min y ∈ Y min ( 1 4 η ( y , α ) , ε ( y , α )) . Soient t ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω et x ∈ N v ( s,u ,α ) ∩ T w ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω D l w tels que d ( l s ( x ) , l t ( x )) < ε ( s, u, α ) . On raison ne par l’absurde, ce qui fournit i < min ( | s | , | t | ) minimal tel que s ( i ) 6 = t ( i ) . Ou bien s ( i ) < t ( i ) ; par le lemme 12, on a d ( l s ( x ) , l t ( x )) ≥ 1 3 d ( l s ⌈ i +1 ( x ) , l s ⌈ i ( x )) . Si | s | ≥ i + 2 , on a donc d ( l s ( x ) , l t ( x )) ≥ 4 3 ε ( s, x ) > ε ( s, α ) ≥ ε ( s, u, α ) . Si | s | = i + 1 , on a d ( l s ( x ) , l t ( x )) ≥ 1 3 η ( s, x ) > 1 4 η ( s, α ) ≥ ε ( s, u, α ) . Dans tous les cas, on a une contrad iction . Ou bien t ( i ) < s ( i ) ; par le lemme 12, on a d ( l s ( x ) , l t ( x )) ≥ 1 3 d ( l t ⌈ i +1 ( x ) , l t ⌈ i ( x )) . Si | s | ≥ i + 2 , d ( l s ( x ) , l t ( x )) ≥ 4 3 ε ( s ⌈ i ⌢ t ( i ) ⌢ s ( i + 1) , x ) > ε ( s ⌈ i ⌢ t ( i ) ⌢ s ( i + 1) , α ) ≥ ε ( s, u, α ) . Si | s | = i + 1 , on a d ( l s ( x ) , l t ( x )) ≥ 1 3 η ( s ⌈ i ⌢ t ( i ) , x ) > 1 4 η ( s ⌈ i ⌢ t ( i ) , α ) ≥ ε ( s, u, α ) . L ` a encore, on a un e contradic - tion dans les deux cas.  Lemme 14 Soit ( l s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω la bonne suite fournie par le lemme 11, associ ´ ee ` a ( h s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω de l’ex emple . Supp osons que s i ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω , pour i ∈ 4 , et que t i ∈ ( ω \ { 0 } ) | s i | +1 v ´ erifien t les condit ions suivantes : (a) ∅ 6 = s i ≺ 6 = s i +1 . (b) ∅ 6 = D s i ⊆ V s i ,t i . (c) D s i +1 ⊆ D s i . (d) Im ( l ′ i +1 ) ⊆ Im ( l ′ i ) , o ` u l ′ i := l s i ⌈ D s i . Alors l ′ 0 ou l ′ 1 n’est pas injec tive . D ´ emonstrati on. Raisonnons par l’absurd e. Comme D s i ⊆ V s i ,t i , on a, pour tout x de D s i , l ′ i ( x ) = l s i ( x ) = h φ ( s i ,t i ) ( x ) . 30 Comme D s i +1 ⊆ D s i , on a D s i +1 ⊆ V s i +1 ,t i +1 ∩ V s i ,t i , donc cette intersection est non vide. Comme V s ⌢ m,t ⌢ n ⊆ V s,t et s i ≺ 6 = s i +1 , t i ≺ 6 = t i +1 , par disjo nction de ( V s,t ) t ∈ ω | s | +1 . On a donc φ ( s i , t i ) ≺ 6 = φ ( s i +1 , t i +1 ) . Pos ons donc u i := φ ( s i , t i ) , D u i := D s i , h ′ i := h u i ⌈ D u i . On a ∅ 6 = u i ≺ 6 = u i +1 , ∅ 6 = D u i et D u i +1 ⊆ D u i . Les fonctions h ′ i et l ′ i sont ´ egales, donc Im ( h ′ i +1 ) ⊆ Im ( h ′ i ) et h ′ 0 , h ′ 1 sont inject i ves . De plus, on a, puisqu e s 2 6 = s 3 , h ′ 2 ( x ) = l s 2 ( x ) 6 = l s 3 ( x ) = h ′ 3 ( x ) pour tou t x de D u 3 . Pour av oi r la contradicti on cherch ´ ee, il suffit donc de v oir que pour tou t x de D u 3 , on a h ′ 0 ( h ′ 1 − 1 [ h ′ 2 ( x )]) = h ′ 0 ( h ′ 1 − 1 [ h ′ 3 ( x )]) . Posons H j := h ′ 0 ◦ h ′ 1 − 1 ◦ h ′ j , pour j = 2 , 3 , et soit k ∈ ω . 1. Pou r tout 1 ≤ i ≤ | u 0 | , k 6≡ − 1 ( J ( u 0 ⌈ i ) q i − 1 ) . On a alors H j ( x )( k ) = h ′ 1 − 1 [ h ′ j ( x )]( k ) = h ′ 1 ( h ′ 1 − 1 [ h ′ j ( x )])( k ) car pour tout 1 ≤ i ≤ | u 1 | , k 6≡ − 1 ( J ( u 1 ⌈ i ) q i − 1 ) . D’o ` u H j ( x )( k ) = h ′ j ( x )( k ) = x ( k ) car pour tout 1 ≤ i ≤ | u j | , k 6≡ − 1 ( J ( u j ⌈ i ) q i − 1 ) . 2. I l exi ste 1 ≤ i ≤ | u 0 | m aximal tel que k ≡ − 1 ( J ( u 0 ⌈ i ) q i − 1 ) , et q tel que k = J ( u 0 ⌈ i ) q i − 1 q − 1 . 2.1. L ’entier i est maximal sous | u 1 | tel que k ≡ − 1 ( J ( u 1 ⌈ i ) q i − 1 ) . On a alors H j ( x )( k ) = h ′ 1 − 1 [ h ′ j ( x )]( J ( u 0 ⌈ i ) q − J ( u 0 ⌈ i ) q i − 1 − 1) = h ′ 1 ( h ′ 1 − 1 [ h ′ j ( x )])( k ) = h ′ j ( x )( k ) = x ( J ( u 0 ⌈ i ) q − J ( u 0 ⌈ i ) q i − 1 − 1) . 2.2. L ’entier k est de la forme J ( u 1 ⌈| u 0 | +1) q | u 0 | q ′ − 1 (d’o ` u q = q | u 0 |− 1 q u 1 ( | u 0 | ) | u 0 | q ′ ). On a alors H j ( x )( k ) = h ′ 1 − 1 [ h ′ j ( x )]( J ( u 0 ) q − J ( u 0 ) q | u 0 |− 1 − 1) . Si 1 ≤ l < | u 1 | et q ′′ n’est pas multiple de q l − 1 q u 1 ( l ) l , on a J ( u 0 ) q − J ( u 0 ) q | u 0 |− 1 − 1 6 = J ( u 1 ⌈ l ) q ′′ − J ( u 1 ⌈ l ) q l − 1 − 1 (on simplifie par q u 0 ( | u 0 |− 1) | u 0 |− 1 si l > | u 0 | , et par q u 0 ( l − 1) l − 1 si l < | u 0 | ; si l = | u 0 | , on obtient q ′′ = q = q | u 0 |− 1 q u 1 ( | u 0 | ) | u 0 | q ′ , ce qui est exc lus). De m ˆ eme, o n a pour tout q ′′ que J ( u 0 ) q − J ( u 0 ) q | u 0 |− 1 − 1 6 = J ( u 1 ) q ′′ − J ( u 1 ) q | u 1 |− 1 − 1 . Par ailleurs , J ( u 0 ) q − J ( u 0 ) q | u 0 |− 1 − 1 = J ( u 1 ⌈| u 0 | ) q | u 0 |− 1 ( q | u 0 |− 1 q − 1) − 1 ; comme la f onctio n h ′ 1 est injecti ve , la coordon n ´ ee num ´ ero J ( u 0 ) q − J ( u 0 ) q | u 0 |− 1 − 1 est const ante sur D s 1 , d’o ` u H 2 ( x ) = H 3 ( x ) .  31 Th ´ eor ` eme 15 L e th ´ eor ` eme 7 devie nt faux si on suppos e seulement A ` a coupe s verticales d ´ enombr a- bles. D ´ emonstrati on. On raisonne par l’absurde, ce qui fournit un bor ´ elien B 1 . A vec A = B , on vo it que B 1 a ses coupes horizontale s et verticale s d ´ enombrables . A vec A = B 1 , on v oit que B 1 / ∈ pot ( G δ ) . Par le corol laire 8, on o btient u ne s ituatio n d’arri v ´ ee ( Z , T , ( g m,p ) ( m,p ) ∈ ω 2 ) et des inj ection s conti- nues i : Z → ω ω , j : T → ω ω telles que pour tout x dans G ( g ) on ait g [ x ] ∩ ( i × j ) − 1 ( B 1 ) x = g [ x ] . Par le t h ´ eor ` eme 1, on trou ve des inj ection s contin ues ˜ u : F → G ( g ) et ˜ v : F → T telles que pou r tout ( x, y ) ∈ S n ∈ ω Gr ( f n ) , on ait ˜ v ( y ) ∈ g [ ˜ u ( x )] , et pour ( x, y ) ∈ ( \ n ∈ ω D f n × F ) ∩ [ n ∈ ω Gr ( f n ) \ ( [ n ∈ ω Gr ( f n )) , on ait ˜ v ( y ) ∈ g [ ˜ u ( x )] \ g [ ˜ u ( x )] . Soit ( l s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω la bonn e suite fournie par le lemme 11 a ppliqu ´ e ` a la suite ( h s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω de l’ex emple. En appliqu ant le lemme 10 ` a la bonne suite ( l s ) s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω et ` a G := T s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω D l s , on voit qu e A := S s ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω Gr ( l s ⌈ G ) / ∈ pot ( G δ ) . Par suite, on peut trouv er des injections continu es u : ω ω → G et v : ω ω → 2 ω telles que B 1 ∩ ( u × v ) − 1 ( A ) = B 1 . Posons U := u ◦ i ◦ ˜ u et V := v ◦ j ◦ ˜ v ; U et V sont des h om ´ eomorph ismes sur leurs images (i ncluse s respec ti ve ment dans G et 2 ω ) et si ( x, y ) ∈ S n ∈ ω Gr ( f n ) , on a ( U ( x ) , V ( y )) ∈ A . De plus, on a [ n ∈ ω Gr ( f n ⌈ G ( f )) ∩ ( U ⌈ G ( f ) × V ) − 1 ( A ) = [ n ∈ ω Gr ( f n ⌈ G ( f )) . • Nous allons montrer un r ´ esultat interm ´ ediair e. Soient ( s, t ) ∈ S n ∈ ω ω n × ω n +1 , X un ouvert non vide de D f s,t , et ˜ s, ˜ t ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω \ {∅} telle que pour tout x ∈ X , U ( x ) ∈ V ˜ s, ˜ t et ( U ( x ) , V ( f s,t ( x ))) ∈ Gr ( l ˜ s ) . Alors on peut trou ver un o uve rt non vide Y de X , des entiers m et n , et ˜ s ′ , ˜ t ′ ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω tels que (a) La suite ˜ s est un d ´ ebut strict de ˜ s ′ . (b) L ’ouv ert Y est inclus dans D f s ⌢ m,t ⌢ n . (c) Pour tout x de Y , U ( x ) ∈ V ˜ s ′ , ˜ t ′ et ( U ( x ) , V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x ))) ∈ Gr ( l ˜ s ′ ) . (d) L ’ensembl e l ˜ s ′ [ U [ Y ]] est inclus dans l ˜ s [ U [ X ]] . Soit O (re specti vement P ) u n ou ver t de D l ˜ s (respe cti ve ment 2 ω ) tel que U [ X ] = U [ F ] ∩ O (respec- ti ve ment V [ f s,t [ X ]] = V [ F ] ∩ P ). Fixons α ∈ U [ X ∩ G ( f )] , u ′ ∈ 2 <ω tel que α ∈ N u ′ ⊆ O , et, en utilisa nt le lemme 13, W := { ( x, y ) ∈ N v ( ˜ s ,u ′ ,α ) × P / ∀ i < | ˜ s | y 6 = l ˜ s ⌈ i ( x ) et d ( y , l ˜ s ( x )) < ε ( ˜ s , u ′ , α ) } . Alors W est ouver t de 2 ω × 2 ω . C omme U − 1 ( α ) ∈ G ( f ) , f s ⌢ m ( U − 1 ( α )) tend v ers f s ( U − 1 ( α )) quand m tend vers l’infini . Comme U − 1 ( α ) ∈ X ∩ U − 1 ( N v ( ˜ s ,u ′ ,α ) ) , on peut trouver un entier m tel que ( U − 1 ( α ) , f s ⌢ m ( U − 1 ( α ))) ∈ ( U × V ) − 1 ( W ) . On peut trouver t ′ ∈ ω | t | et n ∈ ω tels que f s ⌢ m ( U − 1 ( α )) = f s ⌢ m,t ′ ⌢ n ( U − 1 ( α )) . C omme U − 1 ( α ) ∈ D f s ⌢ m,t ′ ⌢ n ⊆ D f s,t ′ , on a t ′ = t puisqu e U − 1 ( α ) ∈ D f s,t . Posons Q := { x ∈ X ∩ U − 1 ( N v ( ˜ s ,u ′ ,α ) ) ∩ D f s ⌢ m,t ⌢ n / ( U ( x ) , V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x ))) ∈ W } . 32 Alors Q ⊆ S w ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω { x ∈ Q / ( U ( x ) , V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x ))) ∈ Gr ( l w ) } . Par le t h ´ eor ` eme de Baire, on p eut d onc tro uve r un ouv ert no n vi de Y de Q et ˜ s ′ ∈ ( ω \ { 0 } ) <ω tels que pour tout x de Y , ( U ( x ) , V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x ))) ∈ Gr ( l ˜ s ′ ) . Par le th ´ eor ` eme de Baire encore, on peut suppose r qu’ il existe ˜ t ′ ∈ ( ω \ { 0 } ) | ˜ s ′ | +1 telle que pour tout x de Y , U ( x ) ∈ V ˜ s ′ , ˜ t ′ . Les condit ions (b) et (c) sont clairement v ´ erifi ´ ees. Si x est dans Y , on a l’ ´ egalit ´ e l ˜ s ′ ( U ( x )) = V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x )) . Comme x est dans Q , ( U ( x ) , V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x ))) est dans W , donc V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x )) ∈ V [ f s,t [ X ]] . Donc on trouve y ∈ X tel que V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x )) = l ˜ s ( U ( y )) . D’o ` u la cond ition (d). De plus, V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x )) 6 = l ˜ s ⌈ i ( U ( x )) si i < | ˜ s | , et on a ´ egal ement d ( l ˜ s ( U ( x )) , l ˜ s ′ ( U ( x ))) < ε ( ˜ s , u ′ , α ) . Donc ˜ s est un d ´ eb ut de ˜ s ′ puisqu e U ( x ) ∈ N v ( ˜ s ,u ′ ,α ) ∩ G . Si ˜ s = ˜ s ′ , on a succe ssi v ement V ( f s ⌢ m,t ⌢ n ( x )) = l ˜ s ′ ( U ( x )) = l ˜ s ( U ( x )) = V ( f s,t ( x )) , d’o ` u l’ ´ egalit ´ e f s ⌢ m,t ⌢ n ( x ) = f s,t ( x ) , qui est absurde . • Re v enons ` a la p reuv e du th ´ eor ` eme. On peut trouver ( c, d ) ∈ S n ∈ ω ω n × ω n +1 et un ouv ert n on vide R de D f c,d tels que pour tout x de R on ait ( U ( x ) , V ( f c,d ( x ))) / ∈ Gr ( l ∅ ) . Sinon H := \ n ∈ ω { x ∈ G ( f ) / ( U ( x ) , V ( f n ( x ))) ∈ Gr ( l ∅ ) } serait G δ dense de F et on aurait S n ∈ ω Gr ( f n ⌈ H ) = S n ∈ ω Gr ( f n ⌈ H ) ∩ ( U ⌈ H × V ) − 1 ( Gr ( l ∅ ⌈ G )) , donc S n ∈ ω Gr ( f n ⌈ H ) serait pot ( Π 0 1 ) non pot ( Π 0 2 ) , ce qui est absurd e. On a l’in clusio n R ⊆ [ w ∈ ( ω \{ 0 } ) <ω { x ∈ R / ( U ( x ) , V ( f c,d ( x ))) ∈ Gr ( l w ) } . Par le th ´ eor ` eme de Baire comme ci-dessus, on trouv e un ouvert non vide X de R et ˜ s, ˜ t dans ( ω \ { 0 } ) <ω \ {∅} tels que pour tout x de X , on ait U ( x ) ∈ V ˜ s, ˜ t et ( U ( x ) , V ( f c,d ( x ))) ∈ Gr ( l ˜ s ) . On app lique le poi nt pr ´ ec ´ edent ` a c , d , et X , ce qui fourn it Y 0 , m 0 , n 0 , et s 0 , t 0 . O n ap plique en- suite le point pr ´ ec ´ edent ` a c ⌢ m 0 , d ⌢ n 0 et Y 0 , ce qui fournit Y 1 , m 1 , n 1 , et s 1 , t 1 . On applique ensuit e le point pr ´ ec ´ edent ` a c ⌢ m ⌢ 0 m 1 , d ⌢ n ⌢ 0 n 1 et Y 1 , ce qui fourni t Y 2 , m 2 , n 2 , et s 2 , t 2 . On appliq ue enfin le point pr ´ ec ´ edent ` a c ⌢ m ⌢ 0 m ⌢ 1 m 2 , d ⌢ n ⌢ 0 n ⌢ 1 n 2 et Y 2 , ce qui fournit Y 3 , m 3 , n 3 , et s 3 , t 3 . On a ˜ s ≺ 6 = s 0 et s i ≺ 6 = s i +1 si i ∈ 2 , donc les s i sont no n vides . Posons D s i := U [ Y i ] . A vec les notati ons du lemme 1 4, on a Im ( l ′ i +1 ) = l s i +1 [ U [ Y i +1 ]] ⊆ l s i [ U [ Y i ]] = Im ( l ′ i ) . Pour to ut x de Y i , on a V ( f m ⌢ 0 ... ⌢ m i , 0 ⌢ n ⌢ 0 ... ⌢ n i ( x )) = l s i ( U ( x )) . Par suite, si y = U ( x ) et y ′ = U ( x ′ ) a vec x, x ′ ∈ Y i , l ′ i ( y ) = l ′ i ( y ′ ) entra ˆ ıne succes si ve ment que V ( f m ⌢ 0 ... ⌢ m i , 0 ⌢ n ⌢ 0 ... ⌢ n i ( x )) vau t V ( f m ⌢ 0 ... ⌢ m i , 0 ⌢ n ⌢ 0 ... ⌢ n i ( x ′ )) , que f m ⌢ 0 ... ⌢ m i , 0 ⌢ n ⌢ 0 ... ⌢ n i ( x ) = f m ⌢ 0 ... ⌢ m i , 0 ⌢ n ⌢ 0 ... ⌢ n i ( x ′ ) , puis que x = x ′ et y = y ′ . D’o ` u l’injecti vit ´ e de l ′ i . Le lemme 14 peut donc s’applique r et donne la contrad iction cherch ´ ee.  33 5 R ´ ef ´ er ences. [HKL] L. A. 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