그래프 곱에서의 홀 하디거 수 하한과 최적성 연구

본 논문은 그래프 이론에서 중요한 파라미터인 홀 하디거 수(odd Hadwiger number, \(oh(G)\))를 네 가지 표준 그래프 곱—카르테시안 곱(\(□\)), 직접 곱(\(×\)), 사전 곱(\(#\)), 강력 곱(\(⊠\))—에 대해 체계적으로 조사한다. 홀 하디거 수는 그래프가 홀 마이너(odd minor)로 포함하는 최대 완전 그래프 \(K_r\)의 크기를 의미한다. 기존의 Hadwiger 수와 달리, 홀 마이너는 색상 제약을 포함하므로 더 풍부한 구조적 정보를 제공한다. **1. 사전 및 강력 곱에 대한 최적 하한** 정리 1.4는 \(oh(G∗H)≥oh(G)·oh(H)\)를 보이며, 여기서 \(∗\)는 사전 곱(\(#\)) 혹은 강력 곱(\(⊠\))이다. 증명은 각 그래프 \(G, H\)가 홀 확장(odd expansion)으로 \(K_s, K_t\)를 포함한다는 가정 하에, 각 브랜치 트리 \(S_i, T_j\)를 선택하고, 이들의 곱 \(S_i⊠T_j\) 혹은 \(S_i#T_j\)에서 스패닝 트리 \(T_{ij}\)를 만든다. 색칠은 두 그래프의 witness 2‑컬러링 \(c_G, c_H\)를 이용해 \(c_1((u,v))=1\) iff \(c_G(u)=c_H(v)\) 로 정의한다. 이 색칠은 각 \(T_{ij}\)를 적절히 2‑색칠하고, 서로 다른 \(T_{ij}, T_{i'j'}\) 사이에 색이 같은 간선을 보장한다. 따라서 전체 트리 집합이 홀 확장을 이루어 \(K_{st}\)를 홀 마이너로 만든다. 특히, \(K_s⊠K_t=K_{st}\)이므로 하한은 정확히 달성된다. **2. 카르테시안 곱에 대한 새로운 하한** 정리 1.2(또는 3.3)는 \(oh(G□H)≥oh(G)+oh(H)-2\)를 제시한다. 이는 \(G, H\)가 각각 \(K_s, K_t\)의 홀 확장을 갖는 경우, \(K_s□K_t\)에서 \(K_{s+t-2}\)를 구성함으로써 증명된다. 구체적으로, \(K_s□K_t\)의 정점 집합을 \((u_i, v_j)\) 로 두고, \(t-1\)개의 단일 정점과 나머지 \(s-1\)개의 별 트리를 적절히 배치한다. 각 트리는 2‑색으로 색칠하고, 서로 다른 트리 사이에 색이 같은 간선을 확보한다. 이 구성은 \(s,t≥2\)일 때 항상 가능하며, 결과적으로 \(oh(G□H)≥s+t-2\)가 된다. 기존 연구에서 카르테시안 곱에 대한 Hadwiger 수 하한이 \(h(G□H)≥h(G)+h(H)-1\)임을 고려하면, 홀 마이너 버전에서는 한 단계 낮은 결과가 나오지만, 이는 현재 알려진 최선이며, 더 강한 하한 \(Ω(s\sqrt{t})\) 가능성에 대한 문제(Problem 1.3)를 제시한다. **3. 별 그래프와 강력 곱의 특수 사례** 정리 1.5와 보조 정리 4.1은 별 그래프 \(S_r, S_t\)의 강력 곱에서 \(oh(S_r⊠S_t)\)가 \(\max\{Δ(G)+1, \min\{Δ(G),Δ(H)\}+2\}\)까지 크게 증가할 수 있음을 보인다. 여기서 \(Δ(G)\)는 최대 차수를 의미한다. 증명은 별의 중심과 잎을 이용해 \(K_{r+1}\) 혹은 \(K_{\min\{r,t\}+2}\)를 홀 마이너로 구성하는 방법을 제시한다. 이 결과는 일반적인 하한 \(oh(G)·oh(H)=4\)를 훨씬 초과함을 보여, 곱 그래프에서 차수와 구조가 홀 하디거 수에 미치는 영향을 강조한다. **4. 직접 곱에 대한 현재 상황과 추측** 직접 곱(\(×\))에 대해서는 아직 완전한 하한을 제시하지 못했지만, 저자들은 정리 1.1과 유사한 형태의 결과가 성립할 것이라는 추측을 제시한다. 또한, 두 클리크 \(K_s, K_t\)의 직접 곱에 대해 몇몇 하한을 증명하고, 이를 바탕으로 일반 그래프에 대한 확장 가능성을 논의한다. **5. 연구의 의의와 향후 과제** 본 연구는 홀 마이너 개념을 그래프 곱에 적용함으로써 기존 마이너 이론을 확장한다. 특히, 사전·강력 곱에 대한 최적 하한은 \(oh(G)·oh(H)\)라는 간단하면서도 강력한 형태를 제공한다. 카르테시안 곱에 대해서는 아직 최적성이 확정되지 않았으며, 더 강한 하한을 찾는 것이 중요한 열린 문제이다. 직접 곱에 대한 완전한 해답도 아직 미정이며, 이는 차후 연구에서 색상 제약과 곱 구조의 상호작용을 더 깊이 탐구해야 함을 시사한다. 전반적으로, 논문은 홀 하디거 수와 그래프 곱 사이의 관계를 최초로 체계화했으며, 다양한 그래프 종류와 곱 연산에 대해 구체적인 구성과 증명을 제공한다. 이는 그래프 이론뿐 아니라 색상 이론, 구조적 복잡도 분석 등 여러 분야에 파급 효과를 가질 것으로 기대된다.