볼록성 기반 열역학 모델 학습 내부 에너지와 소산 포텐셜 접근

본 논문은 완전 결합 열역학(thermomechanics) 분야에서 물리 기반 데이터‑드리븐 모델링의 핵심 과제인 열역학적 일관성(thermodynamic admissibility)을 설계 단계에서 보장하는 새로운 신경망 프레임워크를 제안한다. 전통적으로 열역학 모델은 헬름홀츠 자유에너지(ψ(F,T))를 기본 변수로 사용한다. 이 경우 변형에 대한 볼록성(∂²ψ/∂F²≥0)과 온도에 대한 오목성(∂²ψ/∂T²≤0)이라는 서로 상반된 제약을 동시에 만족시켜야 하는데, 이는 신경망 파라미터화 과정에서 구현이 매우 까다롭다. 이를 해결하기 위해 저자들은 내부 에너지 e(F,s)와 소산 포텐셜 ϕ(·;F,s)를 기본 변수로 채택한다. 내부 에너지와 엔트로피 s는 동일한 변수 공간에 존재하므로, 두 포텐셜 모두 변형‑엔트로피 공간에서 순수 볼록성을 요구한다. 볼록성은 입력볼록 신경망(ICNN) 구조를 그대로 적용함으로써 자동으로 만족된다. 즉, 네트워크의 가중치가 비음수 제한을 받는 레이어와 스킴을 사용해 e와 ϕ를 각각 볼록 함수로 구현한다. 논문은 먼저 열역학적 기본 방정식을 정리한다. 클라우지우스‑두헴 불평등을 로컬 형태로 전개하고, 내부 에너지와 소산 포텐셜을 이용해 상태법을 도출한다: P = ∂e/∂F, T = ∂e/∂s, q = ∂ϕ/∂g, 여기서 g = –Grad(ln T) 는 온도 구배에 대한 열전도 포텐셜의 공변량이다. 이 식들은 온도와 엔트로피를 직접 연결시켜, 온도 T를 관측 가능한 입력으로 두고 엔트로피 s를 내부적으로 추정하도록 만든다. 다음으로 물리적 제약을 네트워크에 삽입하는 구체적 방법을 제시한다. 1. **객체성(Objectivity) 및 등방성(Material Symmetry)**: 변형 텐서 F를 오른쪽 Cauchy‑Green 텐서 C=FᵀF와 그 속도 Ċ로 변환하고, 엔트로피 s와 열구배 g를 불변량으로 사용한다. 이는 네트워크 입력을 회전 불변 형태로 만들며, 등방성 재료에 대해 e와 ϕ가 스칼라값 함수가 되도록 보장한다. 2. **정규화(Normalization)**: 휴식 상태(I, s₀)에서 e(I,0)=0, ϕ(0;F,s)=0을 강제한다. 또한 P(I,0)=0, T(I,0)=T₀ 조건을 통해 온도 기준을 명시한다. 3. **볼록성 및 다중볼록성(Polyconvexity)**: 내부 에너지는 e = W(F, cof F, J; s) 형태로 표현해, (F, cof F, J)에 대해 볼록성을 확보한다. 이는 유한 변형 상황에서도 최소화 문제의 존재성을 보장한다. 엔트로피에 대한 엄격한 볼록성 ∂²e/∂s²>0 을 추가해 온도‑엔트로피 관계의 일대일성을 확보한다. 4. **소산 포텐셜의 단순화**: 표준 소산 고체 가정 하에 ϕ는 변형·엔트로피 속도에 직접 의존하지 않으며, 파라미터 (F,s)만을 통해 정의된다. 따라서 ϕ(·;F,s) 는 g (열구배)와 같은 비보존적 구동력에만 의존한다. 학습 절차는 다음과 같다. 실험 또는 시뮬레이션으로부터 얻은 변형 F와 온도 T 데이터를 입력으로 사용한다. 내부 에너지 네트워크 e(F,s)와 소산 네트워크 ϕ(·;F,s)는 각각 ICNN 구조로 구현되며, 손실 함수는 (i) 관측된 응력 P와 온도 T와의 차이, (ii) 열전달 방정식(내부 에너지 보존식) 위반 정도, (iii) 물리적 제약 위반에 대한 페널티를 포함한다. 엔트로피 s는 매 반복마다 T = ∂e/∂s 관계식의 수치적 역함수를 통해 업데이트된다. 수치 검증에서는 네 가지 사례를 제시한다. - **4.1 순수 열 전도**: 온도 구배만 존재하는 1D 열전도 문제에서 제안 모델은 정확히 온도 프로파일을 재현하고, 열전도 포텐셜 ϕ가 기대하는 형태(∝|g|²)와 일치한다. - **4.2 연조직 실험**: 실험적으로 측정된 온도‑의존성 기계적 응답(예: 고무 조직)에 대해 학습된 모델은 비선형 응력‑변형 곡선을 정확히 예측하며, 온도 변화에 따른 강성 감소를 자연스럽게 포착한다. - **4.3 충전 고무**: 고무에 충전 입자를 포함한 복합 재료의 비선형 열‑기계 결합 거동을 다루며, 기존 Helmholtz‑기반 모델이 불안정해지는 고온‑고변형 영역에서도 제안 모델은 안정적인 예측을 제공한다. - **4.4 완전 결합 구조 해석**: 유한 요소(FEM)와 연계해 복합 구조물의 동적 열‑기계 응답을 시뮬레이션하고, 학습된 내부 에너지와 소산 포텐셜을 직접 삽입해 전·열 결합 해석을 수행한다. 결과는 실험 데이터와 높은 일치도를 보이며, 특히 급격한 온도 상승 시 발생하는 비가역 소산을 정확히 포착한다. 모든 실험에서 제안 모델은 (a) 물리적 제약 위반이 거의 없으며, (b) 기존 데이터‑드리븐 Helmholtz 모델 대비 예측 오차가 평균 30% 이상 감소하고, (c) 학습 과정에서 엔트로피를 직접 측정할 필요가 없다는 실용적 장점을 갖는다. 마지막으로 저자들은 코드, 학습 데이터, 최종 모델을 Zenodo(doi:10.5281/zenodo.19248596) 에 공개함으로써 재현 가능성을 보장하고, 향후 비등방성 재료, 내부 변수 포함 모델, 다중 물리 현상(예: 전기‑열‑기계 결합)으로 확장할 수 있는 기반을 제공한다.