유연하고 확장 가능한 베이지안 시공간 Hawkes 모델

본 논문은 시공간 Hawkes 프로세스의 핵심 구성요소인 배경 강도 μ(t,s)와 트리거링 커널 φ(Δt,Δs)를 완전 베이지안 비모수 방식으로 모델링한다. 기존 연구들은 보통 μ와 φ 중 하나 이상을 고정된 파라메트릭 형태(예: 상수 배경, 지수 시간 커널, 가우시안 공간 커널)로 가정해 복잡한 패턴을 포착하는 데 한계를 보였다. 이를 극복하기 위해 저자들은 각각을 독립적인 가우시안 프로세스(GP) 사전 위에 두고, 소프트플러스·시그모이드·지수 등 비음수이며 단조인 링크 함수를 적용해 양의 강도를 보장한다. GP 커널 설계에서는 두 가지 접근을 제시한다. 첫 번째는 전통적인 separable 커널로, 시간과 공간을 독립적인 RBF(또는 Matérn) 커널의 곱으로 표현한다. 두 번째는 additive 커널로, 시간 전용, 공간 전용, 그리고 시간·공간 상호작용 세 파트를 합산한다. 이 additive 구조는 (i) 각 차원의 효과를 별도로 해석할 수 있게 하고, (ii) 비선형 상호작용을 포착하면서도 파라미터 수를 과도하게 늘리지 않아 학습 안정성을 높인다. 시공간 Hawkes 프로세스의 로그우도는 사건 발생 시점의 강도 곱과 전체 관측 영역에 대한 강도 적분의 차이로 구성된다. 비모수 φ를 GP로 모델링하면 적분이 닫힌 형태로 풀리기 어려워 계산 복잡도가 O(N²) (N은 사건 수)로 급증한다. 이를 해결하기 위해 저자들은 희소 변분 GP(sparse variational GP) 프레임워크를 도입한다. M개의 inducing point를 선택해 전체 GP를 저차원 잠재 변수로 근사하고, 변분 하한을 가우시안 변분 가족으로 최적화한다. 이 과정에서 KL 발산과 로그우도 기대값을 효율적으로 계산하며, 전체 복잡도를 O(NM²)로 낮춘다. 모델 학습은 변분 파라미터(인덕팅 포인트 위치와 변분 평균·공분산)와 GP 하이퍼파라미터(신호 분산, 길이 스케일), 그리고 링크 함수 파라미터를 동시에 최적화한다. 안정성을 보장하기 위해 φ의 L1-노름(분기 비율)이 1보다 작아야 함을 사전 제약으로 두고, 변분 추정 과정에서 이를 모니터링한다. 실험에서는 먼저 합성 데이터에서 알려진 μ와 φ를 복원한다. 결과는 제안 모델이 정확히 구조를 회복하고, 불확실성 구간을 제공함을 보여준다. 이후 기존 파라메트릭 Hawkes 모델(상수 배경 + 지수·가우시안 커널)과 반파라메트릭 로그‑가우시안 Cox‑Hawkes 모델과 비교해 held‑out 로그우도가 현저히 높다. 실제 데이터로는 지진(aftershock), 범죄(near‑repeat burglary), 테러 사건을 사용했으며, additive GP가 시간적 급증(예: 지진 직후)과 공간적 클러스터(예: 특정 지역 범죄) 를 각각 드러내어 해석 가능성을 크게 향상시켰다. 특히, φ의 상호작용 파트가 시간·공간 동시 영향을 포착해, 전통적인 separable 커널이 놓치는 복합 패턴을 밝혀냈다. 결론적으로, 이 연구는 (1) 완전 비모수 베이지안 프레임워크, (2) 해석 가능한 additive GP 설계, (3) 희소 변분 추론이라는 세 축을 결합해 시공간 Hawkes 모델링의 유연성, 확장성, 불확실성 정량화를 동시에 달성했다. 향후 연구는 비정형 공간(예: 도로망)이나 다중 유형 이벤트(멀티마크)로 확장하고, 변분 가족을 더 풍부하게 만들어 후방 의존성을 더 정확히 포착하는 방향으로 진행될 수 있다.