쿼시 로컬 확률 평균을 이용한 컷오프 정규화와 라플라스 그린함수의 새로운 표현

본 연구는 유클리드 공간 \(\mathbb R^n\) 에서 라플라스 연산자 \(A_n=-\sum_{i=1}^n\partial_{x_i}^2\) 의 기본 해인 그린함수 \(G_n(r)\) 를 시작점으로 삼는다. \(G_n\) 은 차원에 따라 \(\displaystyle G_2(r)=-\frac{1}{2\pi}\ln r,\qquad G_n(r)=\frac{1}{(n-2)S_{n-1}}\,r^{2-n}\;(n\neq2)\) 로 정의되며, 이는 \(\delta\)-함수와의 관계 \(A_n G_n(|x|)=\delta_n(x)\) 를 만족한다. 논문은 물리적 동기에서 출발한다. 양자장론의 섭동 전개에서 필드의 변동을 두 개씩 짝지어 그린함수로 대체하는 과정에서, 그린함수 자체가 발산을 일으키는 경우가 빈번히 발생한다. 이를 제어하기 위해 ‘확률적 평균 연산자’ \(O_{\Lambda}\) 를 도입한다. 여기서 \(\Lambda>0\) 은 정규화 스케일이며, \(\omega(|x|)\) 는 반지름 \(\frac12\) 구 안에 정의된 비음이며 적분이 1인 매끄러운 커널이다. 연산자는 \