오프다이아고날 라도 수와 비동질 선형 방정식 x+y+c z, x+y+k z의 정확한 값

본 논문은 라도 수 이론의 한 갈래인 오프다이아고날 라도 수를 비동질 선형 방정식 쌍 x+y+c=z와 x+y+k=z에 적용해 정확한 값을 구한다. 서론에서는 슈어의 정리와 라도의 전반적 결과를 소개하고, 기존 연구에서 비동질 방정식에 대한 상한·하한만 제시된 점을 지적한다. 정의 부분에서는 t-색 라도 수와 오프다이아고날 라도 수, 연속형 라도 수를 정식화한다. 이후 이전 연구를 정리하며, 특히 Burr‑Loo, Beutelspacher‑Brestovansky, Robertson‑Schaal 등에서 제시된 동질·비동질 방정식에 대한 결과들을 언급한다. 주요 결과는 두 가지 정리이다. 정리 1은 이산 오프다이아고날 라도 수 R₂(c,k)의 정확한 식을 제시한다. c와 k가 서로 다른 홀짝을 가질 경우, 어떤 구간에서도 두 방정식의 단색 해를 동시에 피할 수 있는 짝수·홀수 색칠이 존재하므로 R₂(c,k)=∞가 된다. c와 k가 같은 홀짝이면 두 경우로 나뉜다. (i) k≤2c이면 R₂(c,k)=k+3c+5, (ii) k>2c이면 R₂(c,k)=2k+c+4. 정리 2는 연속형 버전으로, 위 식에 실수 파라미터 α를 곱한 형태 R₂(c,k)=∞, k+3c+5·α, 2k+c+4·α 로 제시한다. 증명은 크게 하한과 상한을 각각 구성한다. 하한은 특정 구간을 빨강 집합 R과 파랑 집합 B로 나누는 명시적 색칠을 제시한다. 예를 들어 k≤2c인 경우, R={1,…,c+1}∪{k+2c+4,…,k+3c+4}, B={c+2,…,k+2c+3} 로 정의하고, 빨강 변수 두 개가 R에 있으면 결과 z는 B에 속하거나 범위를 초과함을 보인다. 파랑 변수 두 개가 B에 있으면 z는 R에 놓여 파랑 해가 없음을 확인한다. 이와 유사하게 k>2c인 경우에도 B={1,…,k+1}, R={k+2,…,2k+c+3} 로 색칠해 하한을 얻는다. 상한은 모든 가능한 색칠이 결국 모순에 빠진다는 강제 논리를 사용한다. 1의 색을 기준으로 (1,1,c+2)·c, (c+2,c+2,k+2c+4)·k 등 일련의 방정식 적용을 통해 색이 강제적으로 결정된다. 각 단계에서 빨강·파랑 변수 조합이 만들어내는 z값이 색에 모순을 일으키면, 해당 구간에서는 반드시 원하는 색의 해가 존재한다는 결론에 도달한다. 두 경우(k≤2c, k>2c) 모두에 대해 이러한 전개를 상세히 수행해 상한을 각각 k+3c+5와 2k+c+4로 확보한다. 따라서 하한과 상한이 일치해 정확한 값을 얻는다. 연속형 라도 수는 이산 결과를 실수 구간