플레인 파동 위의 워드·푸리에·하이젠베르크 대칭과 슈뢰딩거 전파

이 논문은 임의 차원의 플레인 파동 시공간에서 스칼라 파동 방정식의 해를 세 가지 구조적 층을 통해 통합적으로 분석한다. 첫 번째 층은 워드(Ward) 진행파 표현으로, 파동 해를 전파 모드 \(\xi\)에 대한 적분 형태로 나타낸다. 두 번째 층은 하이젠베르크 군 \(H_{2n+1}\)의 푸리에 분석으로, 라그랑지안 서브스페이스에 대응하는 라그랑지안 델타 분포 \(\delta_X\)를 이용해 군 컨볼루션이 전통적인 푸리에 변환을 일반화한다. 세 번째 층은 슈뢰딩거 전파 연산자로, 초기 데이터가 시간 \(u\)에 따라 변하는 해밀토니언 \(\Delta_{G(u)}\)에 의해 진화되는 과정을 기술한다. 플레인 파동의 메트릭은 브링컨‑로젠 좌표계에서 \(R(G)=2\,du\,dv- dx^{T}G(u)dx\) 로 주어지며, 여기서 \(G(u)\)는 양정치 대칭 행렬의 매끄러운 곡선이다. 이 메트릭을 통해 정의되는 라그랑지안 그라스만의 양의 곡선은 텐서 \(H(u)\)에 의해 파라미터화된다. \(H(u)\)는 \(\dot H=G^{-1}\)라는 관계를 만족하고, 이는 두 가지 역할을 한다. 첫째, \(H(u)\)는 시공간의 null‑cone을 정의해 광선 구조를 결정한다. 둘째, \(H(u)\)는 슈뢰딩거 연산자 \(\Delta_{G(u)}\)의 시간 의존성을 담당해 파동 방정식 \(\Box\phi=0\)을 푸리에 변환 후 \(\partial_v\)를 제거함으로써 \(\displaystyle 4\pi i\gamma\,\partial_u(g^{1/4}\hat\phi)-\Delta_{G(u)}(g^{1/4}\hat\phi)=0\) 형태의 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로 전환한다. 두 번째 푸리에 변환을 전단 방향 \(x\)에 적용하면, \(\xi\) 모멘텀 변수에 대한 명시적 해가 얻어진다. 정리 1에 따르면, 초기 데이터 \(\hat\phi_0(\xi)\)에 대해 \