엄격히 양의 밀도를 가진 합리적 도착 과정은 마코프성을 가질 필요가 없다

논문은 Telek(2022)의 질문에 답한다: “합리적 도착 과정(RAP)에서 모든 결합 밀도가 엄격히 양이고, G₀가 유일한 최대 실부 고유값을 가질 때, 이를 유한 차원의 마코프 도착 과정(MAP)으로 변환할 수 있는가?” 저자는 3차 행렬을 이용한 반례를 제시함으로써 부정적인 답을 제시한다. 첫 번째 섹션에서는 RAP와 MAP의 정의를 정리하고, 기존 연구에서 ME(행렬 지수)와 PH(Phase-type) 분포 사이의 정리가 어떻게 G₀의 스펙트럼 조건과 양성 함수를 통해 PH 표현을 강제하는지를 설명한다. 그러나 두 행렬 G₀와 G₁가 동시에 등장하는 RAP에서는 G₁에 대한 제약이 거의 없으며, 이는 MAP 실현에 필요한 비음수 조건을 위반할 여지를 남긴다. 두 번째 섹션에서는 구체적인 반례를 구성한다. G₀는 대각선 행렬로 설정해 첫 번째 좌표는 감쇠율 -1, 두 번째·세 번째 좌표는 더 빠른 감쇠율 -2를 갖는다. G₁은 블록 형태로, 첫 번째 좌표는 양의 도착률 b=1을 갖고, 두 번째·세 번째 좌표는 2×2 회전 행렬 Rφ(φ∈(0,π), φ/π∉ℚ)와 결합된 벡터 u=(2−c+s, 2−c−s)ᵗ 로 구성된다. 초기 분포 ν=(1−ε, ε, 0)이며, ε은 충분히 작은 양수로 선택한다. Lemma 2를 통해 모든 k에 대해 결합 밀도 fₖ(t₁,…,tₖ)는 명시적 형태 (9) 로 얻어진다. 이는 양의 기본 항 e^{-T}와 회전 블록에 의해 발생하는 부호가 있는 교정항의 합으로 분리된다. 교정항은 각 도착 간격 t_j에 따라 e^{-T_j} 로 감쇠되므로 전체 밀도는 언제나 양수이다. 섹션 3에서는 (G₀+G₁)1=0 라는 정확한 정규화 조건을 검증하고, ∫₀^∞ fₖ dtₖ = f_{k-1} 를 만족함을 보이며, 전체 확률이 1임을 확인한다. 또한 ε < 1/(M+1) (M은 φ에 의존하는 상수) 를 만족하면 모든 k와 모든 t_i≥0에 대해 fₖ>0가 된다. G₀의 스펙트럼은 {−1,−2,−2} 이며, -1이 유일한 최대 실부 고유값임을 확인한다. 섹션 4에서는 t_i=0 인 경우의 경계 시퀀스 aₖ = ν G₁ᵏ 1 를 계산한다. aₖ = 1 + ε (1,0)∑_{j=0}^{k-1}Rφʲ 1₂ 로 표현되며, 이는 복소수 형태로 1 + ε Re