해양 선박 트래킹을 위한 확률 안전 제어와 보상 설계

본 논문은 해양 선박이 비선형 동역학을 가지고 바람·파도와 같은 불규칙한 외란에 노출되는 상황에서, 목표 궤적을 정확히 추적하면서도 안전 영역을 확률적으로 보장하는 제어 전략을 제시한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 1. **시스템 모델링** - Fossen의 선박 조종 모델을 기반으로 전역 좌표계에서의 위치(x_glo, y_glo)와 자세(θ_glo) 방정식을 제시한다. - 선박의 중심이 아닌 앞쪽 피벗점(c = –1 m)을 기준으로 모델을 재구성해 상태공간 형태(𝑥̇ = f(x)+g(x)u) 로 변환한다. - 목표 궤적(x_r, y_r, θ_r)와 제어 입력(v_r, ω_r)을 정의하고, 오류 상태(x_e, y_e, θ_e)를 기하학적으로 도출한다. - 오류 역학을 전개한 뒤, 제어 입력을 v_s, ω_s 로 재정의해 오류가 0이 되도록 설계한다. 2. **선형화 및 LQ 제어 설계** - 초기 오류가 작다고 가정하고 1차 테일러 전개를 통해 선형 모델 𝑥̇ = A𝑥 + Bu 를 얻는다. - A와 B는 선박의 전방 속도(v_r=0), 회전 반경(c=–1) 등 물리적 파라미터에 의해 구체화된다. - 선형 시스템에 대해 LQ 최적제어를 적용, 비용 행렬 Q′와 R을 설정해 Riccati 방정식을 풀어 P와 최적 피드백 K를 도출한다. - 이 피드백을 적용하면 외란이 없을 때 오류는 지수적으로 수렴한다. 3. **확률 안전 분석 및 보상 설계** - 가우시안 백색 잡음 dw(t)와 확산 행렬 G(σ_x,σ_y,σ_θ)를 시스템에 추가해 확률 미분 방정식 dx = (A−BK)x dt + G dw 로 만든다. - 안전 집합 χ 를 Lyapunov 함수 V(x)=xᵀPx 를 이용해 {x | V(x) ≤ M} 로 정의하고, ZCBF h(x)=M−xᵀPx 로 표현한다. - Theorem 2에 따라, 초기 상태가 χ_{h>μ} (μ∈(0,M)) 안에 있으면 확률 1−e^{−bμ} 로 전체 시간 동안 χ 안에 머문다. 여기서 b는 시스템 행렬, 확산 행렬, P와 Q의 고유값을 이용해 계산되는 양수 파라미터이다. - **선형 보상** u_com = −R'^{-1}BᵀPx 를 추가하면 b에 추가 항 b⁺ = tr(GᵀB R' Bᵀ G) 가 더해져 안전 확률이 크게 상승한다. R'을 15·I 로 선택해 b⁺≈5.79 를 얻어 1−e^{−(b+b⁺)μ}=0.997 의 높은 안전성을 달성한다. - **비선형 보상**은 γ(x,b') = 2xᵀP(f+g u_tra + b'GGᵀPx)+GᵀPG 를 정의하고, γ>0 일 때 보상 신호 ϕ_s(x)를 계산한다. h(x) 구간에 따라 ϕ_s, ϕ'_s 를 스위칭하여 u_nlc 를 구성한다. 이 방식은 큰 외란이 순간적으로 발생해도 상태가 안전 영역을 벗어나지 않도록 비선형적인 억제 효과를 제공한다. 4. **시뮬레이션 검증** - 파라미터: c=3 m, ω_r=0.1 rad/s, v_r=1 m/s, Q′와 R을 지정해 P와 K를 계산한다. - 확산 행렬 G을 (0.08,0.08,0.08)ᵀ 로 설정하고, 안전 한계 M=10, μ=1 로 두어 b=0.0043 를 얻는다. 이는 보상 없이 안전 확률이 0.0043 에 불과함을 의미한다. - 선형 보상 적용 시 b_total≈5.79 로 안전 확률이 0.997 로 상승한다. - 비선형 보상 적용 시 b' =3, M' =9 로 설정해 안전 확률 0.950 을 얻는다. - 10개의 잡음 시뮬레이션과 무잡음 경우를 비교했으며, LQ만 적용했을 때는 오류 궤적이 안전 경계 밖으로 탈출하고, 선형·비선형 보상 적용 시 모두 안전 집합 내에 머물렀다. 그래프(Fig. 4‑13)에서 각 경우의 평균 궤적과 샘플 경로가 명확히 구분된다. **결론 및 의의** - 확률적 ZCBF를 이용해 안전 확률을 정량화하고, 보상기를 통해 그 확률을 크게 향상시킬 수 있음을 보였다. - 확산 계수 σ가 안전 조건에 직접 등장함으로써 외란 특성을 제어 설계에 명시적으로 반영한다는 새로운 관점을 제공한다. - 선형 보상은 계산이 간단하고 높은 안전 확률을 제공하지만, 비선형 보상은 큰 외란 상황에서도 연속적인 제어를 유지한다는 장점이 있다. - 본 연구는 해양 자동화, 자율 선박, 해양 로봇 등 안전이 중요한 해양 분야에 적용 가능하며, 향후 실제 해양 환경에서의 실험 및 다중 선박 협동 제어로 확장될 수 있다.